沈阳市铁西区2019届九年级上期末数学试卷含答案解析

沈阳市铁西区2019届九年级上期末数学试卷含答案解析

一、选择题（每题3分）

1．一元二次方程x（2x+3）=5的常数项是（ ） A．﹣5 B．2 C．3 D．5

2．如图所示的几何体的左视图是（ ）

A． B． C． D．

3．有三张正面分别写有数字﹣1，1，2的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为a的值，然后再从剩余的两张卡片随机抽一张，以其正面的数字作为b的值，则点（a，b）在第二象限的概率为（ ） A． B． C． D．

4．下列关于矩形的说法，正确的是（ ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形 C．矩形的对角线互相垂直且平分 D．矩形的对角线相等且互相平分

5．小明乘车从广州到，行车的平均速度y（km/h）和行车时间x（h）之间的函数图象（ ）

A． B． C．

D．

6．如图，小强和小明去测量一座古塔的高度，他们在离古塔60m的A处，用测角仪测得古塔顶的仰角为30°，已知测角仪高AD=1.5m，则古塔BE的高为（ ）

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A．（20﹣1.5）m B．（20+1.5）m C．31.5m D．28.5m

7．若两个相似三角形的面积比为2：3，那么这两个三角形的周长的比为（ ） A．4：9 B．2：3 C．： D．3：2

8．如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（ ）

A．（2，10） B．（﹣2，0） C．（2，10）或（﹣2，0） D．（10，2）或（﹣2，0）

二、填空题（每题4分）

9．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=12，sinA=______．

10．我们知道，平行光线所形成的投影称为平行投影，当平行光线与投影面______，这种投影称为正投影．

11．已知关于x的一元二次方程x2+bx+b﹣1=0有两个相等的实数根，则b的值是______． 12．反比例函数y=

的图象，当x＞0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是

______．

13．如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥DC交BC于点E，若AD=8cm，则OE的长为______cm．

14．如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC边上，DE与AC相交于点F，如果AB=9，BD=3，那么CF的长度为______．

15．某小区年屋顶绿化面积为2000平方米，计划年屋顶绿化面积要达到2880平方米，如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是______．

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16．如图，Rt△ABO中，∠AOB=90°，∠ABO=30°，点A在第二象限，点B在第一象限，过点A的反比例函数表达式为y=﹣，则过点B的反比例函数表达式为______．

三、解答题

17．计算：2cos30°﹣tan45°﹣．

18．已知，如图，在△ABC中，点D在AB边上，连接CD，∠1=∠2． （1）求证：△ACD∽△ABC；

（2）如果AD=2，BD=1，求AC的长．

19．学校旁边的文具店里有A、B、C、D四种笔记本，每种笔记本数量充足，某同学去该店购买笔记本，每种笔记本被选中的可能性相同．

（1）若他去买一本笔记本，则他买到A种笔记本的概率是______；

（2）若他两次去买笔记本，每次买一本，且两次所买笔记本品种不同，请用树状图或列表法求出恰好买到A种笔记本和C种笔记本的概率．

20．已知，如图，△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥BC，AD：DB=7：5，AC=24，求DE的长．

21．已知：y=2x2﹣ax﹣a2，且当x=1时，y=0，先化简，再求值：（1﹣

．

）÷

五、解答题

22．如图，一艘渔船位于小岛M的北偏东42°方向、距离小岛180海里的A处，渔船从A处沿正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东60°方向的B处．

（1）求渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离（参考数据：参考数据：sin42°≈0.6691，cos42°≈0.7431，tan42°≈0.9044，≈1.732，结果精确到0.1海里） （2）若渔船以20海里/小时的速度从B沿BM方向行驶，求渔船从B到达小岛M的航行时间（结果精确到0.1小时）

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23．如图，直线y=x﹣1与反比例函数y=的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，已知点A的坐标为（﹣1，m）． （1）求反比例函数的解析式；

（2）若点P（n，﹣1）是反比例函数图象上一点，过点P作PE⊥x轴于点E，延长EP交直线AB于点F，求△CEF的面积．

24．通过市场调查，一段时间内某地区某一种农副产品的需求数量y（千克）与市场价格x（元/千克）（0＜x＜30）存在下列关系： x（元/千克） 5 10 15 20 y（千克） 4500 4000 3500 3000 又假设该地区这种农副产品在这段时间内的生产数量z（千克）与市场价格x（元/千克）成正比例关系：z=400x（0＜x＜30）．现不计其它因素影响，如果需求数量y等于生产数量z，那么此时市场处于平衡状态．

（1）请通过描点画图探究y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；

（2）根据以上市场调查，请你分析：当市场处于平衡状态时，该地区这种农副产品的市场价格与这段时间内农民的总销售收入各是多少？

（3）如果该地区农民对这种农副产品进行精加工，此时生产数量z与市场价格x的函数关系发生改变，而需求数量y与市场价格x的函数关系未发生变化，那么当市场处于平衡状态时，该地区农民的总销售收入比未精加工市场平衡时增加了17600元．请问这时该农副产品的市场价格为多少元？

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25．如图①所示，矩形ABCD一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的点P处，折痕与边BC交于点O，连接AP，OP，OA，△PDA的面积是△OCP的面积的4倍．

（1）求证：△OCP∽△PDA； （2）求边AB的长；

（3）连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E． ①按上面的叙述在图②中画出正确的图象；

②当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度．

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-学年九年级（上）期末数学试卷

参与试题解析

一、选择题（每题3分）

1．一元二次方程x（2x+3）=5的常数项是（ ） A．﹣5 B．2 C．3 D．5

【考点】一元二次方程的一般形式．

【分析】方程整理为一般形式后，找出常数项即可． 【解答】解：方程整理得：2x2+3x﹣5=0， 则常数项为﹣5， 故选A．

2．如图所示的几何体的左视图是（ ）

A． B． C． D．

【考点】简单几何体的三视图．

【分析】找到从几何体的左边看所得到的图形即可． 【解答】解：从几何体的左边看可得直角三角形

，

故选：A．

3．有三张正面分别写有数字﹣1，1，2的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为a的值，然后再从剩余的两张卡片随机抽一张，以其正面的数字作为b的值，则点（a，b）在第二象限的概率为（ ） A． B． C． D．

【考点】列表法与树状图法；点的坐标．

【分析】画出树状图，然后确定出在第二象限的点的个数，再根据概率公式列式进行计算即可得解．

【解答】解：根据题意，画出树状图如下：

一共有6种情况，在第二象限的点有（﹣1，1）（﹣1，2）共2个， 所以，P==．

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故选B．

4．下列关于矩形的说法，正确的是（ ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形 C．矩形的对角线互相垂直且平分 D．矩形的对角线相等且互相平分 【考点】矩形的判定与性质．

【分析】根据定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．矩形的性质： 1．矩形的四个角都是直角 2．矩形的对角线相等

3．矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等

4．矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线）． 5．对边平行且相等

6．对角线互相平分，对各个选项进行分析即可．

【解答】解：A、因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以本选项错误； B、因为对角线互相平分且相等的四边形是矩形，所以本选项错误； C、因为矩形的对角线相等且互相平分，所以本选项错误； D、因为矩形的对角线相等且互相平分，所以本选项正确． 故选：D．

5．小明乘车从广州到，行车的平均速度y（km/h）和行车时间x（h）之间的函数图象（ ）

A． B． C．

D．

【考点】反比例函数的应用；反比例函数的图象．

【分析】根据时间x、速度y和路程s之间的关系，在路程不变的条件下，得y=，则y是x的反比例函数，且x＞0．

【解答】解：由题意可得：y=（x＞0），

故y是x的反比例函数． 故选：B．

6．如图，小强和小明去测量一座古塔的高度，他们在离古塔60m的A处，用测角仪测得古塔顶的仰角为30°，已知测角仪高AD=1.5m，则古塔BE的高为（ ）

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A．（20﹣1.5）m B．（20+1.5）m C．31.5m D．28.5m 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

【分析】作AC⊥BE于点C．则CE=AD，AC=DE．在直角△ABC中选择适当的三角函数求出BC即可得解．

【解答】解：过点A作AC⊥BE于点C． 根据题意有：AC=DE=60，CE=AD=1.5． ∴BC=AC×tan30°=20．

故古塔BE的高为BC+CE=（20+1.5）m． 故选B．

7．若两个相似三角形的面积比为2：3，那么这两个三角形的周长的比为（ ） A．4：9 B．2：3 C．： D．3：2 【考点】相似三角形的性质．

【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．

【解答】解：∵两个相似三角形的面积比为2：3， ∴这两个三角形的相似比为：， ∴这两个三角形的周长的比为：， 故选：C．

8．如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（ ）

A．（2，10） B．（﹣2，0） C．（2，10）或（﹣2，0） D．（10，2）或（﹣2，0）

【考点】坐标与图形变化-旋转．

【分析】分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况讨论解答即可． 【解答】解：∵点D（5，3）在边AB上，

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∴BC=5，BD=5﹣3=2，

①若顺时针旋转，则点D′在x轴上，OD′=2， 所以，D′（﹣2，0），

②若逆时针旋转，则点D′到x轴的距离为10，到y轴的距离为2， 所以，D′（2，10），

综上所述，点D′的坐标为（2，10）或（﹣2，0）． 故选：C．

二、填空题（每题4分）

9．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=12，sinA= 【考点】锐角三角函数的定义． 【分析】根据正弦的概念计算即可． 【解答】解：sinA=故答案为：．

10．我们知道，平行光线所形成的投影称为平行投影，当平行光线与投影面 垂直 ，这种投影称为正投影． 【考点】平行投影．

【分析】根据正投影定答．

【解答】解：在平行投影中，当投影线垂直于投影面时，这种投影叫正投影， 故答案为：垂直．

11．已知关于x的一元二次方程x2+bx+b﹣1=0有两个相等的实数根，则b的值是 2 ． 【考点】根的判别式．

【分析】根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式的值等于0，即可求出b的值． 【解答】解：根据题意得：△=b2﹣4（b﹣1）=（b﹣2）2=0， 则b的值为2． 故答案为：2

12．反比例函数y=

的图象，当x＞0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是 k=，

．

＜3 ．

【考点】反比例函数的性质．

【分析】先根据当x＞0时，y随x的增大而增大判断出k﹣3的符号，求出k的取值范围即可．

【解答】解：∵反比例函数y=

的图象，当x＞0时，y随x的增大而增大，

∴k﹣3＜0，解得k＜3． 故答案为：k＜3．

13．如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥DC交BC于点E，若AD=8cm，则OE的长为 4 cm．

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【考点】菱形的性质；三角形中位线定理．

【分析】根据已知可得OE是△ABC的中位线，从而求得OE的长． 【解答】解：∵OE∥DC，AO=CO ∴OE是△ABC的中位线 ∵AB=AD=8cm ∴OE=4cm． 故答案为4．

14．如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC边上，DE与AC相交于点F，如果AB=9，BD=3，那么CF的长度为 2 ．

【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．

【分析】利用两对相似三角形，线段成比例：AB：BD=AE：EF，CD：CF=AE：EF，可得CF=2．

【解答】解：如图，∵△ABC和△ADE均为等边三角形， ∴∠B=∠BAC=60°，∠E=∠EAD=60°， ∴∠B=∠E，∠BAD=∠EAF， ∴△ABD∽△AEF， ∴AB：BD=AE：EF． 同理：△CDF∽△EAF， ∴CD：CF=AE：EF， ∴AB：BD=CD：CF， 即9：3=（9﹣3）：CF， ∴CF=2．

故答案为：2．

15．某小区年屋顶绿化面积为2000平方米，计划年屋顶绿化面积要达到2880平方米，如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是 20% ． 【考点】一元二次方程的应用．

【分析】一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设人均年收入的平均增长率为x，根据题意即可列出方程．

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【解答】解：设平均增长率为x，根据题意可列出方程为： 2000（1+x）2=2880， （1+x）2=1.44． 1+x=±1.2．

所以x1=0.2，x2=﹣2.2（舍去）． 故x=0.2=20%．

即：这个增长率为20%． 故答案是：20%．

16．如图，Rt△ABO中，∠AOB=90°，∠ABO=30°，点A在第二象限，点B在第一象限，过点A的反比例函数表达式为y=﹣，则过点B的反比例函数表达式为 y= ．

【考点】待定系数法求反比例函数解析式． 【分析】解直角三角形求得

=

，然后过A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥x轴于点

D，可证明△AOC∽△OBD，由点A在y=﹣上，可求得△AOC的面积，由相似三角形的性质可求得△BOD的面积，可求得答案．

【解答】解：∵Rt△ABO中，∠AOB=90°，∠ABO=30°， ∴tan30°=

=

，

如图，过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥x轴，垂足分别为C、D， ∵∠AOB=90°，

∴∠BOD+∠AOC=∠DBO+∠BOD， ∴∠DBO=∠AOC， ∴△AOC∽△OBD， ∴

=（

）2=（

）2=，

设A点坐标为（xA，yA）， ∵点A在函数y=﹣的图象上， ∴xAyA=k=﹣1， ∴S△AOC=|k|=， ∴S△OBD=3S△AOC=， 设B点坐标为（xB，yB）， ∴xByB=， ∴xByB=3，

∴过B点的反比例函数的解析式为y=，

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故答案为：y=．

三、解答题

17．计算：2cos30°﹣tan45°﹣

．

【考点】特殊角的三角函数值．

【分析】直接把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可． 【解答】解：原式=2×

﹣1﹣

=﹣1﹣（﹣1） =0．

18．已知，如图，在△ABC中，点D在AB边上，连接CD，∠1=∠2． （1）求证：△ACD∽△ABC；

（2）如果AD=2，BD=1，求AC的长．

【考点】相似三角形的判定与性质．

【分析】（1）根据相似三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据相似三角形的性质得到

，代入数据即可得到结果．

【解答】（1）证明：∵∠1=∠2，∠A=∠A， ∴△ACD∽△ABC；

（2）解：∵△ACD∽△ABC， ∴

，

∴AC2=AB•AD， ∵AD=2，BD=1， ∴AB=3， ∴AC=．

19．学校旁边的文具店里有A、B、C、D四种笔记本，每种笔记本数量充足，某同学去该店购买笔记本，每种笔记本被选中的可能性相同． （1）若他去买一本笔记本，则他买到A种笔记本的概率是

；

（2）若他两次去买笔记本，每次买一本，且两次所买笔记本品种不同，请用树状图或列表法求出恰好买到A种笔记本和C种笔记本的概率． 【考点】列表法与树状图法；概率公式．

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【分析】（1）由学校旁边的文具店里有A、B、C、D四种笔记本，直接利用概率公式求解即可求得答案；

（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好买到A种笔记本和C种笔记本的情况，再利用概率公式即可求得答案．

【解答】解：（1）∵学校旁边的文具店里有A、B、C、D四种笔记本， ∴若他去买一本笔记本，则他买到A种笔记本的概率是：； 故答案为：．

（2）画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，恰好买到A种笔记本和C种笔记本的有2种情况， ∴恰好买到A种笔记本和C种笔记本的概率为：

=．

20．已知，如图，△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥BC，AD：DB=7：5，AC=24，求DE的长．

【考点】相似三角形的判定与性质．

【分析】根据平行线分线段成比例的知识求出AE，EC，然后判断ED=EC，即可得出答案．

【解答】解：∵DE∥BC， ∴

，

又∵AC=24，

∴AE=14，EC=10，

∵CD平分∠ACB交AB于D， ∴∠ACD=∠DCB， 又∵DE∥BC， ∴∠EDC=∠DCB， ∴∠ACD=∠EDC， ∴DE=EC=10．

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21．已知：y=2x2﹣ax﹣a2，且当x=1时，y=0，先化简，再求值：（1﹣

．

）÷

【考点】分式的化简求值．

【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再由当x=1时，y=0求出a的值，选取合适的a的值代入进行计算即可． 【解答】解：原式=[1﹣==

•，

]÷

∵y=2x2﹣ax﹣a2，且当x=1时，y=0， ∴2﹣a﹣a2=0，解得a1=1，a2=﹣2， 当a=1时，原式=3；

当a=﹣2时，a+2=0，原式无意义． 故原式=3．

五、解答题

22．如图，一艘渔船位于小岛M的北偏东42°方向、距离小岛180海里的A处，渔船从A处沿正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东60°方向的B处．

（1）求渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离（参考数据：参考数据：sin42°≈0.6691，cos42°≈0.7431，tan42°≈0.9044，≈1.732，结果精确到0.1海里） （2）若渔船以20海里/小时的速度从B沿BM方向行驶，求渔船从B到达小岛M的航行时间（结果精确到0.1小时）

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．

【分析】（1）过点M作MD⊥AB于点D，根据∠AME的度数求出∠A=42°，再根据AM的值求出和特殊角的三角函数值即可求出答案；

（2）在Rt△DMB中，根据∠BMF=60°，得出∠DMB=30°，再根据MD的值求出MB的值，最后根据路程÷速度=时间，即可得出答案． 【解答】解：（1）过点M作MD⊥AB于点D， ∵∠AME=42°， ∴∠A=42°，

∵AM=180海里，

∴MD=AM•sin42°≈120.4（海里），

答：渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离约为120.4海里；

（2）在Rt△DMB中，

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∵∠BMF=60°， ∴∠DMB=30°， ∵MD=120.4海里， ∴MB=

≈139，0，

∴139.0÷20≈7.0（小时），

答：渔船从B到达小岛M的航行时间约为7.0小时．

23．如图，直线y=x﹣1与反比例函数y=的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，已知点A的坐标为（﹣1，m）． （1）求反比例函数的解析式；

（2）若点P（n，﹣1）是反比例函数图象上一点，过点P作PE⊥x轴于点E，延长EP交直线AB于点F，求△CEF的面积．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．

【分析】（1）将点A的坐标代入直线解析式求出m的值，再将点A的坐标代入反比例函数解析式可求出k的值，继而得出反比例函数关系式；

（2）将点P的纵坐标代入反比例函数解析式可求出点P的横坐标，将点P的横坐标和点F的横坐标相等，将点F的横坐标代入直线解析式可求出点F的纵坐标，将点的坐标转换为线段的长度后，即可计算△CEF的面积．

【解答】解：（1）将点A的坐标代入y=x﹣1，可得：m=﹣1﹣1=﹣2， 将点A（﹣1，﹣2）代入反比例函数y=，可得：k=﹣1×（﹣2）=2， 故反比例函数解析式为：y=．

（2）将点P的纵坐标y=﹣1，代入反比例函数关系式可得：x=﹣2， 将点F的横坐标x=﹣2代入直线解析式可得：y=﹣3， 故可得EF=3，CE=OE+OC=2+1=3，

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故可得S△CEF=CE×EF=．

24．通过市场调查，一段时间内某地区某一种农副产品的需求数量y（千克）与市场价格x（元/千克）（0＜x＜30）存在下列关系： x（元/千克） 5 10 15 20 y（千克） 4500 4000 3500 3000 又假设该地区这种农副产品在这段时间内的生产数量z（千克）与市场价格x（元/千克）成正比例关系：z=400x（0＜x＜30）．现不计其它因素影响，如果需求数量y等于生产数量z，那么此时市场处于平衡状态．

（1）请通过描点画图探究y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；

（2）根据以上市场调查，请你分析：当市场处于平衡状态时，该地区这种农副产品的市场价格与这段时间内农民的总销售收入各是多少？

（3）如果该地区农民对这种农副产品进行精加工，此时生产数量z与市场价格x的函数关系发生改变，而需求数量y与市场价格x的函数关系未发生变化，那么当市场处于平衡状态时，该地区农民的总销售收入比未精加工市场平衡时增加了17600元．请问这时该农副产品的市场价格为多少元？

【考点】一次函数的应用．

【分析】（1）通过描点画图可知y是x的一次函数，从而利用待定系数法即可求出该解析式；

（2）令y=z，求出此时的x，则农民的总销售收入是xy元；

（3）可设这时该农副产品的市场价格为a元/千克，因为该地区农民的总销售收入比未精加工市场平衡时增加了17600元，则a（﹣100a+5000）=40000+17600，解之即可． 【解答】解：（1）描点．

因为由图象可知，y是x的一次函数， 所以设y=kx+b，

由x=5，y=4500；x=10，y=4000得： 则所以

即y=﹣100x+5000

（2）∵y=z，

∴﹣100x+5000=400x， ∴x=10．

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∴总销售收入=10×4000=40000（元）

∴农副产品的市场价格是10元/千克，农民的总销售收入是40000元．

（3）设这时该农副产品的市场价格为a元/千克，则 a（﹣100a+5000）=40000+17600， 解之得：a1=18，a2=32． ∵0＜a＜30， ∴a=18．

∴这时该农副产品的市场价格为18元/千克．

25．如图①所示，矩形ABCD一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的点P处，折痕与边BC交于点O，连接AP，OP，OA，△PDA的面积是△OCP的面积的4倍．

（1）求证：△OCP∽△PDA； （2）求边AB的长；

（3）连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E． ①按上面的叙述在图②中画出正确的图象；

②当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度． 【考点】相似形综合题．

【分析】（1）利用折叠和矩形的性质可得到∠C=∠D，∠APD=∠POC，可证得相似； （2）利用面积比可求得PC的长，在Rt△APD中利用勾股定理可求得AB的长；

（3）①结合描述画出图形即可，②作MQ∥AN交PB于点Q，利用条件证明△MFQ≌△NFB，得到EF=PB，且可求出PB的长，可得出结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，

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由折叠可得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO，∠APO=∠B， ∴∠APO=90°，

∴∠APD=90°﹣∠CPO=∠POC， ∴△OCP∽△PDA；

（2）解：∵△OCP与△PDA的面积比为1：4， ∴

=

=，

∴CP=4，

设AB=x，则AP=x，DP=x﹣4，

在Rt△ADP中，由勾股定理可得AP2=AD2+DP2， 即x2=82+（x﹣4）2，解得x=10， 即边AB的长为10； （3）解：①如图所示，

②EF的长度不变，理由如下：

作MQ∥AN，交PB于点Q，如上图， ∵AP=AB，MQ∥AN，

∴∠APB=∠ABP，∠ABP=∠MQP， ∴∠∠APB=∠MQP， ∴MP=MQ， ∵ME⊥PQ， ∴PE=EQ=PQ， ∵BN=PN，MP=MQ， ∴BN=QM， ∵MQ∥AN，

∴∠QMF=∠BNF， 在△MFQ和△NFB中，

，

∴△MFQ≌△NFB（AAS）， ∴QF=BF， ∴QF=QB，

∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB，

又由（1）可知在Rt△PBC中，BC=8，PC=4， ∴PB=4， ∴EF=2，

即EF的长度不变．

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年9月20日

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