安徽省郎溪中学2017-2018学年高一重点班选拔统一考试数学试卷

2017年郎溪中学高一重点班选拔统一考试数学试卷

一 、单项选择题（本大题共7小题，每小题4分，满分28分 ）

222x2y3z0xyz1. 设非零实数x、y、z满足，则的值为 ……… 【 】

2xy4z0xyyzxz A. 2 B.

1 2C. －2 D. 1

2.已知3x4,9y7，则3x2y的值为 …………………… 【 】 A．

472 B． C．3 D．

7473.如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有 …………………… 【 】

A． 2个 B． 3个 C．4个 D．5个

第3题图 第4题图

4.如图，A点是半圆上一个三等分点，B点是弧AN的中点，P点是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，则AP+BP的最小值为 …………………… 【 】 A．1

B．

C．

D．

5.如图，△ABC中，AB=AC，D为BC中点，在BA的延长线上取一点E，使得ED=EC，ED与AC交于点F，则A．

AF的值为 ……………………【 】 CF C．

D．

B．

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第5题图 第7题图

6.代数式x24(12x)29的最小值为 …………………… 【 】 A．12 B．13 C．14 D．11

7.如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=

的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线

上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴作垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．给出以下结论： ①点E坐标是（a，1﹣a）； ②S△EOF=

；

③当点P在曲线上移动时，∠EOF始终等于45°；④AF•BE=1．其中正确的有………【 】

A．1个 B． 2个 C．3个 D．4个 二 、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 8.因式分解：1a22abb2 = ．

3x-a09.如果关于x的不等式组：的整数解仅有1，2，那么适合这个不等式组的整数a，

2x-b0b组成的有序数对（a，b）共有 个．

10.规定：如果10=M，则称n是M的常用对数，记作：lgM=n．如10=100，所以lg100=2． 则lg1+lg0.1= ． 11.如图，抛物线yn

2

123xx2与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点D与点C22关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，交BD于点M．当点P在线段OB上运动时，QM的长度最大值为 ．

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第11题图 第12题图

12.如图，四边形ABCD是矩形纸片，AB=2．对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF；展平后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在EF上的点N，折痕BM与EF相交于点Q；再次展平，连接BN，MN，延长MN交BC于点G．有如下结论： ①∠ABN=60°；②AM=1；③QN=BN的中点，则PN+PH的最小值是

；④△BMG是等边三角形；⑤P为线段BM上一动点，H是． 其中正确结论的序号是 ．

三、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

a22abb21113.先化简，再求值：()，其中a51，b51.

2a2bba

14.如图，在△ABC中，∠B=36°，D为BC上的一点， AB=AC=BD=1. （1）求DC的长；

（2）利用此图，求sin18°的值（保留根号）.

四、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 15. 我市某企业利用机器生产一种科技产品，机器从早上八点开始工作，中午十二点停止.产品生产出来后，需要包装入库.通常的办法是，机器先工作一段时间，包装工人再开始包装.某次包装工人工作了一段时间后，因临近下班，又抽掉了一部分工人来帮忙，使包装入库的速度提高了一倍.如图是生产出来后待包装入库的产品数量y

A

B D C

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（件）与时间t.（h）的函数关系的图象.根据图象解决以下问题：

（1）机器每小时生产 件产品；工人包装入库的速度是 件/h； （2）求线段BC的解析式（不要求写自变量的取值范围）；

（3）如果要保证生产的产品恰好在半天（4h）时间全部包装入库，原有包装工人应该在机器开始工作后多长时间时开始包装？

16.类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． （1）概念理解：

①如图1，在四边形ABCD中，添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”，你添加的一个条件是 （任写一个即可）．

②命题“对角线互相平分的等邻边四边形是菱形”是 命题（填“真”或者“假”）． （2）问题探究：

如图2，小红画了一个Rt△ABC，其中∠ABC=90°，AB=2，BC=1，并将Rt△ABC沿∠ABC的平分线BB′方向平移得到△A′B′C′，连结AA′，BC′，小红要使平移后的四边形ABC′A′是“等邻边四边形”，求平移的距离（即线段BB′的长）． （3）拓展应用：

如图3，“等邻边四边形”ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=90°，AC，BD为对角线，AC=AB，则BC，CD，BD的数量关系为 ．

五、（本大题满分12分）

2217.对于二次函数y=x3x+2和一次函数y=2x+4，把y=tx3x+2+1t2x+4称为这

两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E.现有点A（2，0）和抛物线E上的点B（－1，n），请完成下列任务： 【尝试】

2（1）当t=2时，抛物线y=tx3x+2+1t2x+4的顶点坐标为 .

 第 4 页 共 9 页

（2）点A是否在抛物线E上？ （填“是”或者“否”）. （3） n的值为 .

【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，定点坐标为 .

【应用1】二次函数y=3x2+5x+2是二次函数y=x23x+2和一次函数y=2x+4的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由；

【应用2】以AB为边作矩形ABCD，使得其中一个顶点落在y轴上，若抛物线E经过A、B、C、D其中的一点，求出所有符合条件的t的值.

2017年郎溪中学高一重点班选拔统一考试数学参

一 、选择题（本大题共7小题，每小题4分，满分28分 ）

CACC BBD

二 、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 8. (1+a-b)(1-a+b) 9. 6 10. -1 11.

9 212. ①④⑤

三、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

2（ab）ab 13.解：原式=……………………………………………………（4分）

2(ab)ab

abab 2abab =.……………………………………………………（7分）

2 =

当a51,b51时，原式=

14.解：（1） ∵AB=AC，∠B=36°，

（51）(51)512.…………（10分）

22∴∠C=∠B=36°. ………………1分

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∵AB=BD，

∴∠ADB=∠DAB= 72°. ………………2分 又∵∠ADB=∠C＋∠DAC ，

∴∠DAC =36°. ………………3分 ∴△ABC∽△DAC. ………………4分

A

DCACDC1则. 即. ABBDDC11DC 得 DCB E

D C

51.（负根舍去） ………………6分 2（2）作△ABC的高线AE，则∠EAD =18°.

1 由（1）得 EC(BDCD)2 ∴ ED(CECD)151511.

224515135 ………………8分 424 ∴ sin18ED35251. ………………10分 AD4451四、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 15.解：（1）150 ； 250 ………………2分

（2）由包装速度提高一倍可知，最后阶段包装速度为500件/时，100÷500=0.2，所以点C的坐标为（4.2,0）， ………………4分

设y=kt+b，则

4kb100，解得k500,b2100 4.2kb0y500t2100 ………………6分

（3）设机器开始工作后t小时，包装工人开始包装，则 150×4=250（4-t） 解得t=1.6

即原有工人应该在机器开始工作1.6小时后开始包装. ………………10分

16.解：（1） ①AB=BC或BC=CD或CD=AD或AD=AB（任写一个即

可）； ……………1分

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② 真 …………… 2

分

（2） 线段BB′的长为 2、5、2或∵∠ABC=90°，AB=2，BC=1， ∴AC=

，

∵将Rt△ABC平移得到△A′B′C′，

∴BB′=AA′，A′B′∥AB，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC=

，

①如图1，当AA′=AB时，BB′=AA′=AB=2； …………… 3分 ②如图2，当AA′=A′C′时，BB′=AA′=A′C′=

③如图3，当A′C′=BC′=

； …………… 4分

时，

延长C′B′交AB于点D，则C′B′⊥AB， ∵BB′平分∠ABC， ∴∠ABB′=∠ABC=45°， ∴∠BB′D=′∠ABB′=45° ∴B′D=BD， 设B′D=BD=x， 则C′D=x+1，BB′=

x，

∵在Rt△BC′D中，BD2+（C′D）2=（BC′）2 ∴x2+（x+1）2=（

）2，

解得：x1=1，x2=﹣2（不合题意，舍去）， ∴BB′=

x=

…………… 6分

④如图4，当BC′=AB=2时，与③方法同理可得：BD2+（C′D）2=（BC′）2，

设B′D=BD=x， 则x2+（x+1）2=22， 解得：x1=∴BB′=

x=

，x2=

（不合题意，舍去），

； …………… 8分

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（3）BC，CD，BD的数量关系为：BC2+CD2=2BD2. …………… 10分

五、（本大题满分12分） 17.解：

【尝试】（1）（1，－2） ； ……………1分

（2） 是 ； ……………2分 （3） 6 . ……………3分 【发现】A（2，0）、B（－1，6）. ……………5分 【应用1】不是.

∵将x=－1代入y=3x2+5x+2，得y=66， ∴二次函数y=3x2+5x+2的图象不经过点B

∴二次函数y=3x2+5x+2不是二次函数y=x23x+2和一次函数y=2x+4的一个“再生二次函数”.

……………7分

【应用2】满足条件的所有t值为、

如图，作矩形ABC1D1和ABC2D2，过点B作BK⊥y轴于点K，过点D1作D1G⊥x轴于点G，过点C2作C2H⊥y轴于点H，过点B作BM⊥x轴于点M，C2H与BM相交于点T. ……………8分

515、、. 822 第 8 页 共 9 页

易得AM=3，BM=6，BK=1，△KBC1∽△MBA，

则

AMBMC1KBK，即3CK1611，得C1K2. ∴C0，131（2）. ……………9分

易得△KBCAG=1，GD11≌△GAD1，得1=2.

∴D3，11（2）. ……………10分

易得△OAD2∽GAD1，则

D1GAGOD， 2OA1由AG=1，OA=2，GD111=2得2OD2，得OD2=1.∴D2（0，－1）.

2易得△TBC2≌△OD2A，得TC2=AO=2，BT==OD2=1.∴C2（－3，5）. ……………11分

∵抛物线E总过定点A、B，∴符合条件的三点只可能是A、B、C或A、B、D.

当抛物线经过A、B、C131时，将C1（0，

2）代入y=tx23x+2+1t2x+4得t51=4； 当抛物线经过A、B、D151时，将D1（3，2）代入y=tx23x+2+1t2x+4得t2=8；

当抛物线经过A、B、C2时，将C2（－3，5）代入y=tx23x+2+1t2x+4得t132； 当抛物线经过A、B、D1）代入y=tx23x+2+1t2x+4得t52时，将D2（0，－42.

∴满足条件的所有t值为5、518、2、2. ……………12分

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