河南省济源第一中学2016级理科实验班能力提升43

(时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

5

1．已知△ABC中，tan A＝－，则cos A等于( )

12

125512A. B. C．－ D．－ 13131313

2．已知向量a＝(2,1)，a＋b＝(1，k)，若a⊥b，则实数k等于( ) 1

A. B．－2 C．－7 D．3 2

→→

3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则AB·AC等于( ) A．－16 B．－8 C．8 D．16

π

4．已知sin(π－α)＝－2sin(＋α)，则sin αcos α等于( )

2

22A. B．－ 55221C.或－D．－ 555

π

5．函数y＝Asin(ωx＋φ) (ω>0，|φ|<，x∈R)的部分图象如图所示，则函数表达式为( )

2

ππππx＋B．y＝4sinx－ A．y＝－4sin8484ππππx－D．y＝4sinx＋ C．y＝－4sin8484

6．若|a|＝2cos 15°，|b|＝4sin 15°，a，b的夹角为30°，则a·b等于( )

31A. B.3 C．23 D. 22

π

7．为得到函数y＝cos(x＋)的图象，只需将函数y＝sin x的图象( )

3

ππ

A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位

665π5π

C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位

66

→→→1→→

8．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD＝2DB，CD＝CA＋λCB，则λ等于( )

3

2112A. B. C．－ D．－ 3333

9．若2α＋β＝π，则y＝cos β－6sin α的最大值和最小值分别是( )

1111

A．7,5 B．7，－C．5，－ D．7，－5

22

π4π

10．已知向量a＝(sin(α＋)，1)，b＝(4,4cos α－3)，若a⊥b，则sin(α＋)等于( )

63

3131

A．－ B．－ C. D.

4444

π

11．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象向左平移个单位，若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于

2

( )

A．4 B．6 C．8 D．12

→→→→→

12．已知向量OB＝(2,0)，OC＝(2,2)，CA＝(2cos α，2sin α)，则OA与OB夹角的范围是( )

ππ5ππ5π5ππ0， B.，C.， D.， A.44121212122二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．sin 2 010°＝________.

114．已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝2，1＋sin θ(θ为锐角)，且a∥b，则tan θ＝________.

→→

15．已知A(1,2)，B(3,4)，C(－2,2)，D(－3,5)，则向量AB在CD上的投影为________．

ππ

16．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－≤φ≤)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，

22

1

且过点(2，－)，则函数f(x)＝________.

2

三、解答题(本大题共6小题，共70分)

3

17．(10分)已知向量a＝(sin x，)，b＝(cos x，－1)．

2

2

(1)当a∥b时，求2cosx－sin 2x的值；

π

(2)求f(x)＝(a＋b)·b在[－，0]上的最大值．

2

18．(12分)设向量a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，c＝(cos β，－4sin β)． (1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b＋c|的最大值；

(3)若tan αtan β＝16，求证：a∥b.

π

19．(12分)已知向量a＝(sin θ，－2)与b＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈(0，)．

2

(1)求sin θ和cos θ的值；

π

(2)若5cos(θ－φ)＝35cos φ，0<φ<，求cos φ的值．

2

20．(12分)已知函数f(x)＝sin(π－ωx)cos ωx＋cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；

1

(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数

2

π

g(x)在区间[0，]上的最小值．

16

4cos4x－2cos 2x－1

21．(12分)已知函数f(x)＝.

ππsin＋xsin－x44

11

(1)求f(－π)的值；

12

π1

(2)当x∈[0，)时，求g(x)＝f(x)＋sin 2x的最大值和最小值．

42

22．(12分)已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，|a－b|＝

25. 5

(1)求cos(α－β)的值；

ππ5

(2)若0<α<，－<β<0，且sin β＝－，求sin α.

2213

河南省济源第一中学2016级理科实验班能力提升43模块综合检测(A)答案

sin A5512

1．D [∵cos2A＋sin2A＝1，且＝－，∴cos2A＋(－cos A)2＝1且cos A<0，解得cos A＝－.]

cos A121213

2．D [∵a＝(2,1)，a＋b＝(1，k)．∴b＝(a＋b)－a＝(1，k)－(2,1)＝(－1，k－1)． ∵a⊥b.∴a·b＝－2＋k－1＝0∴k＝3.]

→→→→→→2→→→2

3．D [AB·AC＝(AC＋CB)·AC＝AC＋CB·AC＝AC＋0＝16.]

πsin αcos αtan α

4．B [∵sin(π－α)＝－2sin(＋α)∴sin α＝－2cos α.∴tan α＝－2.∴sin αcos α＝2＝2＝2sinα＋cosαtan2α＋1－22

＝－.]

5－22＋1

6ω＋φ＝0，

5．A [由图可知，A＝4，且，解得

－2ω＋φ＝－π



3φ＝－4π

πω＝8

π3πππ

.∴y＝4sin(x－)＝－4sin(x＋)．]

8484

a·b3a·ba·b

6．B [由cos 30°＝得＝＝∴a·b＝3，故选B.]

|a||b|22cos 15°·4sin 15°4sin 30°πππ5π5π

7．C [y＝cos(x＋)＝sin(x＋＋)＝sin(x＋)，∴只需将函数y＝sin x的图象向左平移个长度单位，33266

π

即可得函数y＝cos(x＋)的图象．]

3

→→→→→→2→→2→→1→2→→1→→

8．A [由于AD＝2DB，得CD＝CA＋AD＝CA＋AB＝CA＋(CB－CA)＝CA＋CB，结合CD＝CA＋λCB，

33333

2知λ＝.]

3

9．D [∵β＝π－2α，∴y＝cos(π－2α)－6sin α＝－cos 2α－6sin α＝2sin2α－1－6sin α

311

sin α－2－当sin α＝1时，ymin＝－5；当sin α＝－1时，ymax＝7.] ＝2sin2α－6sin α－1＝222πππ1

10．B [a·b＝4sin(α＋)＋4cos α－3＝23sin α＋6cos α－3＝43sin(α＋)－3＝0，∴sin(α＋)＝. 6334

4ππ1

∴sin(α＋)＝－sin(α＋)＝－，故选B.]

334

ππ

11．B [将f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象向左平移个单位，若与原图象重合，则为函数f(x)的周期的整数倍，

22

π2π

不妨设＝k·(k∈Z)，得ω＝4k，即ω为4的倍数，故选项B不可能．]

2ω

12．C [建立如图所示的直角坐标系． →→→

∵OC＝(2,2)，OB＝(2,0)，CA＝(2cos α，2sin α)， ∴点A的轨迹是以C(2,2)为圆心，2为半径的圆．

→

过原点O作此圆的切线，切点分别为M，N，连结CM、CN，如图所示，则向量OA与→→→

OB的夹角范围是∠MOB≤〈OA，OB〉≤∠NOB.

ππ→→→1→

∵|OC|＝22，∴|CM|＝|CN|＝|OC|，知∠COM＝∠CON＝，但∠COB＝. 264

π5ππ5π→→

∴∠MOB＝，∠NOB＝，故≤〈OA，OB〉≤.] 121212121113．－解析 sin 2010°＝sin(5×360°＋210°)＝sin 210°＝sin(180°＋30°)＝－sin 30°＝－.

22

112π

14．1解析 ∵a∥b，∴(1－sin θ)(1＋sin θ)－＝0.∴cos2θ＝，∵θ为锐角，∴cos θ＝，∴θ＝，∴tan

2224

θ＝1.

→→

210AB·CD2×－1＋2×3→→→→→→→15.解析 AB＝(2,2)，CD＝(－1,3)．∴AB在CD上的投影|AB|cos〈AB，CD〉＝＝5→－12＋32|CD|

4210＝＝. 510

πxπT16．sin(＋)解析 据已知两个相邻最高及最低点距离为22，可得2＋1＋12＝22，解得T＝4，

2622πππx11ππ故ω＝＝，即f(x)＝sin(＋φ)，又函数图象过点(2，－)，故f(x)＝sin(π＋φ)＝－sin φ＝－，又－≤φ≤，T222222ππxπ

解得φ＝，故f(x)＝sin(＋)．

626

2cos2x－2sin xcos x2－2tan x20332

17．解 (1)∵a∥b，∴cos x＋sin x＝0，∴tan x＝－，2cosx－sin 2x＝＝＝.

22sin2x＋cos2x1＋tan2x132ππ3ππππ2

(2)f(x)＝(a＋b)·b＝sin(2x＋)．∵－≤x≤0，∴－≤2x＋≤，∴－1≤sin(2x＋)≤，

24244442

211∴－≤f(x)≤，∴f(x)max＝.

222

18．(1)解 因为a与b－2c垂直， 所以a·(b－2c)＝4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin β＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0， 因此tan(α＋β)＝2.

(2)解 由b＋c＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)，得

|b＋c|＝sin β＋cos β2＋4cos β－4sin β2＝17－15sin 2β≤42.

π

又当β＝－时，等号成立，所以|b＋c|的最大值为42.

4

4cos αsin α

(3)证明 由tan αtan β＝16得＝，所以a∥b.

sin β4cos β

19．解 (1)∵a·b＝0，∴a·b＝sin θ－2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ.又∵sin2θ＋cos2θ＝1，

14π255

∴4cos2θ＋cos2θ＝1，即cos2θ＝，∴sin2θ＝.又θ∈(0，)，∴sin θ＝，cos θ＝. 55255

(2)∵5cos(θ－φ)＝5(cos θcos φ＋sin θsin φ)＝5cos φ＋25sin φ＝35cos φ，

1π2

∴cos φ＝sin φ.∴cos2φ＝sin2φ＝1－cos2φ，即cos2φ＝.又∵0<φ<，∴cos φ＝. 222

1＋cos 2ωx11

20．解 (1)因为f(x)＝sin(π－ωx)cos ωx＋cos2ωx.所以f(x)＝sin ωxcos ωx＋＝sin 2ωx＋cos 222

π1122π

2ωx＋＋.由于ω>0，依题意得＝π，所以ω＝1. 2ωx＋＝sin42222ω

π1π122

2x＋＋，所以g(x)＝f(2x)＝sin4x＋＋. (2)由(1)知f(x)＝sin424222

π1＋2ππππ2

4x＋≤1.因此1≤g(x)≤当0≤x≤时，≤4x＋≤，所以≤sin. 41644222

π

0，上的最小值为1. 故g(x)在区间161＋cos 2x2－2cos 2x－1cos22x2cos22x

21．解 (1)f(x)＝＝＝ πππππsin＋xsin－xsin＋xcos＋xsin＋2x

44442

22cos2x11π11ππ＝＝2cos 2x，∴f(－)＝2cos(－)＝2cos ＝3. cos 2x1266

ππππ3ππ

(2)g(x)＝cos 2x＋sin 2x＝2sin(2x＋)．∵x∈[0，)，∴2x＋∈[，)．∴当x＝时，g(x)max＝2，当x

444448

＝0时，g(x)min＝1.

22．解 (1)∵|a|＝1，|b|＝1，|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝|a|2＋|b|2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝1＋1－2cos(α

252443

－β)，|a－b|2＝()＝，∴2－2cos(α－β)＝得cos(α－β)＝. 5555

ππ

(2)∵－<β<0<α<，∴0<α－β<π.

22

34

由cos(α－β)＝得sin(α－β)＝，

55512

由sin β＝－得cos β＝.

1313

4123533

∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝×＋×(－)＝.

51351365