2019年高考数学(理科)真题

理科数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．设z1i2i，则z（ ） 1iA．0 B．

1 2 C．1 D．2 2．已知集合Ax|x2x20，则A．x|1x2 C．x|x1

RA（ ）

B．x|1≤x≤2 D．x|x≤1x|x2 x|x≥2

3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：

则下面结论中不正确的是（ ） A．新农村建设后，种植收入减少

B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

4．记Sn为等差数列an的前n项和．若3S3S2S4，a12，则a5=（ ） A．12

B．10

C．10

D．12

1 / 5

5．设函数fxx3a1x2ax．若fx为奇函数，则曲线yfx在点0，0处的切线方程为（ ） A．y2x

B．yx

C．y2x

D．yx

6．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB（ ） A．C．

31ABAC 4431ABAC 44

B．D．

13ABAC 4413ABAC 447．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图所示，圆柱表面上的点

M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为

B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（ ）A．217

B．25

C．3

D．2

8．设抛物线C：y24x的焦点为F，过点2，0且斜率为

FMFN（ ）

2的直线与C交于M，N两点，则3A．5 B．6 C．7 D．8

ex，x≤09．已知函数fx，若gx存在2个零点，则a的取值范围是（ ） gxfxxa，

lnx，x0A．1，0

B．0，

C．1，

D．1，

10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个

半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC，△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（ ） A．p1p2

B．p1p3

C．p2p3

D．p1p2p3

x211．已知双曲线C：y21，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交

3点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则MN（ ） A．

3 2 B．3 C．23 D．4

12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积

的最大值为（ ） A．33 4 B．23 3 C． 2 / 5

32 4 D．3 2

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

x2y2≤013．若x，y满足约束条件xy1≥0，则z3x2y的最大值为________．

y≤014．记Sn为数列an的前n项和．若Sn2an1，则S6________．

15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________

种．（用数字填写答案）

16．已知函数fx2sinxsin2x，则fx的最小值是________．

三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。） （一）必考题：共60分。 17．（12分）

在平面四边形ABCD中，∠ADC90，∠A45，AB2，BD5． ⑴求cos∠ADB； ⑵若DC22，求BC．

18．（12分）

如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF．

⑴证明：平面PEF⊥平面ABFD； ⑵求DP与平面ABFD所成角的正弦值．

19．（12分）

x2设椭圆C：y21的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为2，0．

2⑴当l与x轴垂直时，求直线AM的方程； ⑵设O为坐标原点，证明：∠OMA∠OMB．

20．（12分）

3 / 5

某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为p0p1，且各件产品是否为不合格品相互．

⑴记20件产品中恰有2件不合格品的概率为fp，求fp的最大值点p0；

⑵现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以⑴中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．

（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX； （ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

21．（12分）

已知函数fx1xalnx． x⑴讨论fx的单调性；

⑵若fx存在两个极值点x1，x2，证明：

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为ykx2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为22cos30．

⑴求C2的直角坐标方程；

⑵若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．

4 / 5

fx1fx2x1x2a2．

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知fxx1ax1．

⑴当a1时，求不等式fx1的解集；

⑵若x∈0，1时不等式fxx成立，求a的取值范围．

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