《逻辑学》完整版笔记整理

第一节 “逻辑”的含义 一、逻辑的词源

1. 逻辑一词源出于希腊文的“逻各斯”（logos，复数形式是logoi）。 ·古希腊的哲学家赫拉克利特据说有专论逻各斯的著作《逻各斯》。

·逻各斯的基本词义是言辞、秩序和规律。言语是这一语词的原创义，然后在此基本词义基础上派生出理性、理想、推理论证等词义。 2. 逻各斯演变为“逻辑”一词

·最先是由斯多葛学派使用 ;看作是由论辩术和修辞学两部分构成的理论。 ·古罗马和欧洲中世纪的逻辑学家也在这种意义上来看待“逻辑”一词。 ·其后，逻辑一词的含义就一直和推理与论辩的方法和原则相关。 3. 逻辑一词传入中国

·严复开始，“按逻辑此翻名学。其名义始于希腊，为逻各斯一根之转”. ·严复翻译的时间大约在19世纪末 ;

·再过十多年后，由章士钊正式在汉语中定名，作为讨论思维、讨论推理的规范和秩序的学问

4. 为什么logic要翻译为逻辑？ 逻辑学是有点特殊的学科。 特殊在什么地方？

学科名的特殊和学科内容的特殊。 中国历史上和逻辑对应的学科? 逻辑究竟研究什么？ 二、什么是逻辑？

1. 逻辑是一门和方法、原则、规范紧密相关的人文学科。

她探索和研究的是我们进行推理（reasoning，inference）时应该使用的方法、技巧、标准和原则。

逻辑是一门讲道理的学科。 逻辑总是和语言相关。逻辑总是和论证证明推理相关。p2 2. 三个方向的推理

追寻历史：一个事件出现了，我们寻求其产生的原因，案件、历史、文物等，向后的推导。

确定目标：未来可能出现的事件，这是向前的推理。

演绎推理：没有时空条件的推理，数学和逻辑。几何证明和数学计算。

第二节 逻辑历史简述 一、古典逻辑

1. 古希腊哲学家亚里士多德公认为是逻辑学之父。

2. 亚里士多德创立逻辑学科的标志是他所撰写的逻辑专著，这些讨论逻辑问题的专著有《范畴篇》、《解释篇》、《分析前篇》、《分析后篇》、《论辩篇》和《辩谬篇》，这些篇章后来合编为《工具论》一书。

3. 亚里士多德的三段论逻辑 （第四章） 4. 斯多葛学派的逻辑

·亚里士多德是现代形式逻辑的创始人，斯多葛学派稍后于亚里士多德，大约晚2个世纪。他们创立了命题逻辑雏形。（第三章）

· 就形式逻辑学科而言，这两大逻辑学派都应该看作是现代形式逻辑的祖先。 Formal logic

希腊：亚里士多德逻辑学

5. 逻辑的三大源流 中国：名辩学，墨子，公孙龙子 印度：佛教因明学，玄奘 二、近代逻辑（主要是以下几位哲学家的工作） ·英国哲学家培根（1561年-1626）：年归纳逻辑（经验论哲学家） ·法国哲学家笛卡儿（1596年-1650年）—— 强调演绎逻辑的重要性（唯理论哲学家）、知识的两大来源：直觉和演绎 ·德国哲学家莱布尼咨（16年-1716年）——普遍语言的设想

（莱布尼兹简介：莱布尼兹是17、18世纪之交德国最重要的数学家、物理学家、哲学家和逻辑学家，一个举世罕见的科学天才。他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。） 三、逻辑学的现代发展 布尔（英国人）（1815-18）——类演算，布尔代数 弗雷格（德国人）（1848-1925）——《概念语言》（一种普遍语言） 罗素和怀特海（英国人）（1872-1970）（1861-1947）——《数学原理》 皮尔斯（美国人）（1839-1914）——关系逻辑

布尔的研究大致可分为逻辑和数学两部分．他在数学上的成就是多方面的．但在逻辑方面，他的主要贡献就是用一套符号来进行逻辑演算，即逻辑的数学化．大约200年以前，G．W．莱布尼茨(Leibniz)曾经探索过这一问题，但最终没有找到精确有效的表示方法．因为它牵涉到改进亚里士多德(Aristoteles)的工作，而人们对于改进亚里士多德的工作的尝试总有点犹豫不决．布尔凭着他卓越的才干，创造了逻辑代数系统，从而基本上完成了逻辑的演算工作.。

布尔使逻辑学从传统走向现代。

第三节 语言，思维和逻辑 一、理性和逻辑 理性（reason）。而英文的理性一词取其行为动词的含义，就变成了推理（reasoning）。理性就表现为我们人类的推理能力，正是有推理能力这一点，人类才和没有理性思维能力的动物区分开来。

理性的理论方面就在于：要把我们的信念建立在证据上，而不是建立在愿望、成见或传说之上。按照这个论题，一个有理性的人就同一个审判官或一个科学家是一样的人。

人的认识分为理性认识和感性认识。

理性认识阶段，也就是我们所讲的思维，思维是对对象的理性认识。 罗素著《真与爱—罗素散文集》。 二、自然语言和人工语言

古典逻辑使用自然语言（又称日常语言，是指人们在日常生活中、一定的语言范围中所使用的某种民族语言。）

现代逻辑使用人工语言（即指人们根据特殊需要而自觉创造的符号或符号体系，其根本属性是人工制造），第三章和第四章讲到的逻辑就是一种人工语言，数学物理化学等学科使用的语言也是一种人工语言。这种语言比自然语言更精确，可以避免自然语言的歧义与模糊。

第二章 逻辑思维的基本规律

第一节 概述

一、保持思维确定性的基本规律 · 逻辑的基本规律是指人们在运用各种思维形式进行思维时所必须遵守的起码的逻辑准则。 · 适用于一切理性思维；所以说是普遍有效的规律

· 概括了逻辑思维的基本特征，思维确定性或者逻辑性（条理和秩序性） 二、逻辑规律的三同一：同一时间，同一关系和同一对象 ·逻辑基本规律的经典论述 ·逻辑基本规律的哲学思考

·理解逻辑规律的知识背景：逻辑和语言的对应 三、逻辑基本规律的经典论述

1、同一律：在同一思维过程中，每一思想的自身都具有同一性，每一思想都必须与自身保持一致。

2、矛盾律：同一事物，不可能在同一时间内既存在又不存在，也不允许有以同样方式与自身对立的东西。

3、排中律：同样地，在相互矛盾的判断之间不允许有任何居间的东西，但必须是对同一个东西的同一方面予以肯定或否定。如果我们首先把真实与虚假加以规定。 四、思维规律的哲学思考 ·唯心论，唯物论； ·形而上学，辩证法；

·约定论和反映论；语言规定还是逻辑规定？

·思维的基本要求，如同公理一般的东西，但也是可以质疑的，质疑的结果不是否定，而是换一个思路，放在一个更可以想象的范围之内。 ·牛顿力学和相对论，欧式几何和非欧几何。 五、理解逻辑规律的知识背景 1、语词（单词）、语句（陈述）和句组（句群） ‖ ‖ ‖ 概念（词项）、命题（判断）和推理（论证）

·概念的一纸两面：内涵和外延；命题的一纸两面：意义和真假； ·两种推理：有效的推理和非有效的推理

·为了更高的抽象，为了去除自然语言的多义，也为了表达式的简洁和经济，我们在这里用大写英文符号ABC…,表示任意概念或者命题。 2、逻辑不存在清规戒律

对逻辑来说不存在清规戒律，每个人都可以构造自己的逻辑，即他自己的语言形式，只要他愿意，对他的唯一要求是：如果他想讨论这种逻辑，那么他必须清楚他的方法，并给出语法规则，而不是给出哲学依据。卡尔那普。

第二节 同一律

·思想必须与自身一致，我们所有的确信也必须彼此一致。《柏拉图全集.菲多篇》 ·任何真实的事物，必定在任何方面与它自身一致。《亚里士多德.工具论》 1、同一律的表述

A=A：数学表述 ； A是A：变量和 ； A→ A：逻辑连接词 · 思维确定性的标志；

· 自然语言的模糊需要这样一个规则来保证语言和思维的规定性和准确性。

2、同一律的两类情形

·在同一个思维过程中，必须保持概念自身的同一；否则就会出现“混淆概念”或者“偷换概念”的错误；p17

（混淆词项：指在同一思维过程中，无意地将两个内涵与外延不同的词项混淆。 偷换词项：指在同一思维过程中，有意地把两个不同的词项混为一谈。）

·在同一思维过程中，必须保持论题自身的同一；否则就会犯“转移论题”或者“偷换论题”的错误。

（转移论点：指在思维过程中不自觉地用另一个论点代替了原来的论点。

偷换论题：指故意将一个论题转换为另一个论题。）

第三节 矛盾律 1、矛盾律的表述

A≠﹃A A不是非A ﹃（A∧﹃A）

思维确定性最重要的标志；思维需要这样一个规则来保证思维的逻辑性，一致性和准确性

（反证法和归谬法）

2、用归谬法证明物理定律（Eg：伽利略的实验可以用推理来说明这个结论） 假定——我们要证明命题p”重快轻慢”为假（不成立），现在假定﹃ p ”重快轻慢”为真（成立）。

在假定基础上的推理——现在问：把一重一轻的东西放在一起下落，它是快还是慢？ 矛盾律的要点：自相矛盾 （p20，例子）

第四节 排中律 1、排中律的表述

A或者非A ； A∨ ﹃A ；

2、二值思维的基本要求；逻辑论证需要这样一个规则来保证推导的有效进行。矛盾律的另一种表述方式。互相矛盾的两个命题之间，没有第三种取值可能性。 （反证法和归谬法） 3、排中律的要点——

在一般的语言表述中很少违反排中律。因为我们的日常语言很少仅是正反两方面，只有逻辑和数学是把很多符号归为两方面。

模棱两可的规定不严格。但传统逻辑一直这么做，就延续下来了。

* 三个规律之间的关系

一、用现代逻辑的符号表示这些规律，它们都属于有效公式： A→ A ≡﹃（A∧ ﹃A）≡ A∨ ﹃A

二、同一律是就一个语言对象而言的，语言对象在一个时间区间之中；矛盾律是就两个语言对象而言的，几乎是同时的；排中律则是就三个语言对象而言的，也几乎是同时的。

第三章 命题逻辑

第一节 命题逻辑概述 一、命题

（一）命题是什么？

1、命题就是通过语句对对象情况有所反映的思维形式。

描述或者评价我们所经历，所想象，所关心的一切对象的一般方式有两种：一是要给对象一个名字，这个结果称之为： ；

一是把对象和任意一个其他对象联系起来，形成我们的描述或者评价，这个结果称之为： 。 2、命题的逻辑特征

语言学家关心的语句和逻辑学家关心的命题。语言形式和思维形式。 思维的三种形式：概念，命题和推理。

——都是逻辑学研究的对象。这对应于语言的语词，语句和句组或者句段。

逻辑学对命题的基本假定：任何命题都是有真假值的思维形式，二值假定，二值原则。 （二）命题与语句

第一，任何命题都要通过语句来表达，但并非任何语句都表达命题。 第二，同一个命题可以用不同的语句来表达。 第三，同一个语句，有时可以表达不同的命题。（歧义） （三）命题的分类——简单命题与复合命题。

1、简单命题其组成成份是词项，它不再包含命题，因此，我们也可以把简单命题称作“原子命题”。p30命题1，2，3。

2、复合命题是由简单命题与联结简单命题的联结词组成的，或者说，复合命题是用命题与联结词组成的。命题4，5，6。 复合命题=简单命题+关联词 3、支命题，多重复合命题

组成复合命题的那些命题谓之复合命题的支命题，支命题可以是简单命题，也可以是复合命题。如果一个复合命题的支命题也是复合命题，则我们谓之多重复合命题。——命题逻辑研究的是复合命题及其推理。 二、推理

（一）推理及其逻辑构成

1、推理就是从已有的知识得出新的知识。因此，推理也就是从已知命题得出新命题的思维形式，它在思维形式上表现为一个命题序列。在语言形式上表现为一个语句系列。 2、任何推理都由两部分组成：

一是推理中的已知命题，我们谓之前提； 一是所推出的新命题，我们谓之结论。 3、推理的识别

最主要的语言标志：因为…，所以…。数学逻辑符号标志：∵，∴。 此外还有，“由于···，以至···”；“···，所以···”；“之所以······，是因为···”，等等。但有时候，在一些推理中人们省略或者不用这些语词标识，而由人们凭句子之间的意义关联去区分前提与结论。 4、推理的特征 已知：前提 求证：结论 证明：推理

逻辑学考察从前提推导出结论时，这些结论是有效的还是可靠的？

（二）推理的分类——演绎推理与归纳推理

1、演绎推理是由一般性前提推出特殊性结论即所谓由一般到特殊的推理。也称必然性的推理，即只要前提真就能确保结论必然真的推理；

2、归纳推理是指由特殊到一般的推理。也称或然性的推理，即前提真不一定能确保结论真，前提只对结论提供一定的支持关系的推理。 （三）演绎推理的有效性与可靠性

1、演绎推理的有效性，指的是推理形式的有效性，它与前提或结论本身的真假是无关的：只要保证假定前提真，结论就一定真，则该推理有效，至于前提如果为假，则结论的真假就无法保证了。p32

2、演绎推理的可靠性则不仅要求推理形式有效，而且要求推理的前提本身事实上必须真，相应地也要求结论一定真。 3、命题逻辑的创立

斯多葛学派最早探索了命题逻辑；如果第一，那么第二；第一，所以，第二。

斯多葛哲学学派是塞浦路 斯岛人芝诺(约公元前336～约前2年)于公元前300年左右在雅典创立的学派,由于他通常在雅典的画廊讲学,故称之为画廊学派或斯多葛派.斯葛多派认为世界理性决定事物的发展变化.

克吕西波，费罗和第奥多鲁斯讨论条件句：如果是白天，那么天是亮的。 乔治布尔奠定了雏形

1847年，发表了著作《The Mathematical Analysis of Logic》，在这本书中，阐述了正式的逻辑学公理，建立了布尔代数（也称逻辑代数）。他的逻辑理论建立在两个逻辑值0、1和三个运算符与、或、非的基础上，这种简化的二值逻辑为计算机的二进制数、开关逻辑元件和逻辑电路的设计铺平了道路，并最终为计算机的发明奠定了数学基础。 弗雷格和皮尔斯创立现代逻辑

弗雷格，1848-1925，德国人，1880年建立命题逻辑； 皮尔斯，1839-1914，美国人，1880年建立命题逻辑； 依据不同思路，各自地建立命题逻辑；

* 非数值算法:一个推理实例——

王教授、胡教授和赵教授3人各自执教逻辑、伦理、哲学、政治、法学、历史六门课程中的两门，请根据以下条件推断他们各自执教哪两门课程？ 1、伦理学教授和政治学教授是邻居；2、王教授年龄最小；

3、赵教授，逻辑学教授和政治学教授这3人经常从学校一起回家； 4、逻辑学教授比历史学教授的年龄大；

5、哲学教授，历史教授和王教授在双休日喜欢打乒乓球。 解题思路——

1、分清题目的前提，从前提推出结论；2、理解一个命题蕴涵的其他命题； 3、使用命题的二值假定；4、使用命题逻辑中的一些推理格式； 5、得出确定的结论。推理题实例.doc 有效性体现——

4、逻辑学教授比历史学教授的年龄大； 2、王教授年龄最小； 可以代之以符号 A比B年龄大,A＞B

A表示王教授，年龄最小,我们可以推得：a≤B＜A 这就是有效性推理p32例2

第二节 复合命题及其推理 学前补充——

（一）知识背景1：半形式的刻画，对应自然语言 知识背景2：常项和变项

1、常项——不同的逻辑联结词都有相对固定的意义，它们就是一个复合命题中的常项。它相当于数学中的加法和减法等运算。这些常项可以用更为精确的符号来表示，以去除自然语言的歧义和模糊：

语言中最常用的连接词：并且，或者，并非，如果…那么。

2、变项——联结词旁边的空位，可以代入不同的支命题，因代入命题的不同，复合命题的真值也会产生相应的变化。这些命题空位，看作是复合命题的命题变项。

复合命题的一些表格借用数学中的常元和变元概念把一个复合命题也分成两个部分：常项和变项。

3、逻辑连接词是常项：意义固定；命题符号是变项：因代入不同，真值不同。 4、复合命题符号表达式

把支命题看成是命题变项，就能够在更一般的意义上讨论各种不同的推理形式，也使得我们可以用符号（常用小写字母p、q、r、s等来代表）来表示它们。 5、命题变项的解释

以p ∧ q为例：p，q代表任意命题

以3+5=8，4+6=10代p和q，则p ∧ q是真命题； 以3+4=8，4+6=10代p和q，则p ∧ q是假命题；

逻辑联结词和复合命题总共有四大类；

这四大类再细分为七个不同类别的逻辑联结词；7个真值表；

真值表

前件 后件 复合命题 假言命题 选言命题p∨q 充分 必要 充要 相容 不相容 P q p ∧ q p→q p←q p↔q p∨q p∨q T T T T T T T F T F F F T F T T F T F T F F T T F F F T T T F F

负命题：与原命题真假相反

一、复合命题的类型 （一）联言命题

1、自然语言带有并列连接词的复句p33，但意义更精确，而且有严格的定义。例如： 不仅结了婚，而且生了孩子。 京城无孩体健貌端。

2、用单义符号∧表示联言。用真值表定义逻辑连接词

以两个为基础，两个以上也得到定义。例如：p ∧ q∧r∧s也为真。 （二）假言命题

因为有三种条件所以有三种假言命题，三类联结词：充分条件、必要条件和充分必要条件逻辑联结词。

前件和后件：表示条件的支命题叫做前件，表示结果的支命题叫做后件。 1、充分条件假言命题：蕴涵式

自然语言带有条件连接词的复句，但意义更精确，而且有严格的定义。 “如果……那么、只要……就、假使……那么、要么……则”等等，例如： 如果我得奖，那么我请客。

用单义符号→表示假言。用真值表定义逻辑连接词→。 以两个为基础，两个以上也得到定义。 2、必要条件假言命题：逆蕴涵式

自然语言带有必要条件连接词的复句，但意义更精确，而且有严格的定义。 “只有……才能、仅当……才、除非……不、没有……就没有……”等等 例如：只有一个人年满十八岁，他才有选举权。

符号←。用真值表定义逻辑连接词 、以两个为基础，两个以上也得到定义。 3、充分必要条件假言命题 / 充要条件命题：双向蕴涵式

自然语言带有充要条件连接词的复句，但意义更精确，而且有严格的定义。 例如：当且仅当a=b，才有b=a。如果a，那么b，并且只有a，才b。 用单义符号↔表示充要假言。用真值表定义逻辑连接词↔，充要=等值 以两个为基础，两个以上也得到定义。 （三）选言命题 1、相容选言命题

选言命题就是反映几种事物情况中至少有一种为真的命题。

自然语言带有选择连接词的复句，但意义更精确，而且有严格的定义。 例如：胜者或因其强，或因其指挥得当。

用单义符号∨表示相容选言。用真值表定义逻辑连接词∨。 以两个为基础，两个以上也得到定义。 2、不相容选言命题

反映的几种事物情况中至少有一个是真的且只能有一个为真的命题。 “不是、、、、，就是、、、、；要么、、、、，要么、、、、；要就是、、、、，要就是、、、、； 例如：要就选小张为优秀，要就选小李。

选择意义可以任意更替原子命题位置而不改变复合命题的值；如同加法和乘法中的数字一样；如此才能用真值表定义不相容析取逻辑联结词∨’。 （四）负命题

否定联结词：对一个命题予以否定的逻辑联结词称之为否定联结词。

Eg：并非；并不是；是假的；是不成立的；是错误的，是不正确的；不是真的 负命题：一个命题带有对整个命题予以否定的否定词，这个命题就和否定词一起构成了一个负命题。负命题反映了对支命题的否定关系。 否定词用┐表示。

例如：如果一个人发烧，那么这个人就得了肺炎，这个说法是不成立的。

二、复合命题的基本推理模式

复合命题的推理指的就是前提或结论中包含复合命题，根据复合命题的逻辑性质而进行的推理。有四种类型。

（一）联言推理 联言推理分解式 2、联言推理合成式 ｐ∧q →q P，q， 或者 所以，p并且q， p∧ q →p p，q → p ∧q （二）选言推理 3、相容选言推理的否定4不相容选言推理的否5不相容选言推理的肯肯定式 定肯定式 定否定式 或者p，或者q， 要么p，要么q， 要么p，要么q， 非q， 非p p 所以p 所以，q 所以，非q 相容选言推理有效式不相容选言推理符号推不相容选言推理的符号符号表述： 理形式： 推理形式： （（p∨q）∧q ）→ p （（p∨。q）∧p ）→ q （（p∨q）∧p ）→ q

（三）假言推理 充分条件假言推充分条件假言推理必要条件假言推必要条件假言推理的肯定前件式 的否定后件式 理的肯定后件式 理的否定前件式 如果p，那么q 如果p，那么q 只有p，才能q 只有p，才能q p 非q 非p q 所以，q 所以，非p 所以，非q 所以，p 用符号表示为： 符号形式为： 符号形式为： 符号形式为： （（p →q）∧p）（（p →q）∧q）（（p ←q）∧p）（（p ←q）∧q）→ q → p → q → p 充要条件假言推充要条件假言推理充要条件假言推充要条件假言推理的肯定前件式 的肯定后件式 理的否定前件式 理的否定后件式 p当且仅当q p当且仅当q p当且仅当q q 非p 非q 所以，p 所以，非q 所以，非p 符号形式为： 符号形式为： 符号化为： （（p ↔q）∧q）→ p （（p↔q）∧p）（（p ↔q）∧q） →q →p

注意：蕴涵和演绎推理的区别和联系 蕴涵式用真值表定义；

演绎推理也可以用→表示（p42）

演绎推理相当于充分条件和其结果之间的关系，前件的内容等值或者包含着后件。等值推理体现等值，蕴涵式推理体现包含。

实际上，联言合成和分解，选言推理格式和后面的推理格式都体现这种特征。 命题逻辑有一个演绎推理。

（四）假言推理的派生形式 二难推理简述

普罗塔哥拉（约公元前481年-约公元前411年） 古希腊智者学派的著名哲学家。他在收受弟子教人打官司时都要和对方订下合同，学生开学时先交一半学费，毕业后第一次出庭胜诉时再交付另一半学费。 学生欧提勒士学成后一直不肯出庭替人打官司，当然也就不会交付另一半学费。普罗塔哥拉决定起诉他。在法庭上，老师志在必得地说：

如果你在此案中胜诉，你就应按合同约定交付学费； 如果你在此案中败诉，你就必须按判决付给我学费。 总之，无论胜诉还是败诉，你都要付给我另一半学费。

推理二难简述

欧提勒士则针锋相对地回答：老师你错了，这官司无论胜负我都不用付学费。因为： 如果我胜诉，根据法庭判决我不用付学费；

如果我败诉，根据合同的约定，我也不用交付学费。 或者我胜诉，或者我败诉 ，我都不用付学费。

双方都从真实性难以怀疑的前提出发，却得出了两个完全相反的结论，让法官难以判决。这就是历史上著名的“普罗塔哥拉悖论”，也称为“半费诉讼”。 这是二难推理的典型案例。 具体公式见p47

蕴涵式推理

上述13种推理可看作蕴涵式推理，，由于具有充分条件逻辑关系的前件和后件是一种蕴涵关系，这实际上就是一种推导关系，蕴涵词用→表示，也常常用来表达演绎推理。蕴涵词所带的前件是这一演绎推理的前提，蕴涵词所带的后件是这一推理的结论。命题逻辑的演绎定理。 所以，蕴涵词不仅是一种表达复合命题的逻辑联结词，蕴涵词也可以不那么严格地作为表达复合命题推理的符号。

等值推理

由于充分必要条件前件和后件之间的等值关系也实际上是一种推导关系，等值词也常常用来表达演绎推理中的等值推理。

等值词所带的前件是这一演绎推理的前提，等值词所带的后件是这一推理的结论。本教案略去了这一内容。

第三节命题演算

一、重言式及其判定

（一）真值联结词、真值形式

1、命题的真假二值，我们称为命题的真值。

2、现代逻辑在研究复合命题时所涉及的联结词，是一种真值联结词。所谓真值联结词，是指仅仅表示复合命题与其支命题之间真假关系的联结词。

3、基本的真值联结词主要有五个：否定、合取、析取、蕴涵、等值； 分别用符号、∧、∨、→、 ↔表示。

否定式： p； 合取式：p∧ q；析取式：p∨ q； 蕴涵式：p→ q；等值式：p ↔q 4、真值形式

真值联结词与命题变项所构成的形式结构，就是真值形式。 真值形式=命题形式=公式。 5、连接词结合力的规定p50

、结合力最强 ，∧、次强，∨第三，→、第四， ↔最弱。

例如公式： p∧q∨r → p ↔p ∨r →如果没有括号，这会产生很多组合。 规定了结合力，它的公式就是唯一的了：(((p∧q)∨r)) → p))) ↔(p ∨r); (p∧q)∨r) → p) ↔(p ∨r);

6、真值函项——真值形式以函项的形式存在，从这个意义上看，一个真值形式就是一个函数function，数学中的函数。 真值形式=真值函数。

真值形式中，其命题变项的真值决定着该真值形式的真值，两者构成一种函数关系，每一个真值形式都是一个真值函数。

为什么？定义域和值域都是真值 。以p∧ q为例。f（x，y）f（x）一元函数 7、真值函项的解释

一个公式的真值是由其变元的值和联结词的定义决定的；给定一个公式，公式的常元就确定下来，这个时候，该公式的值就由变元的赋值所决定。 以某个词组为例：（ ）的首都 以某个命题形式为例：p∧q 8、真值函数的数目

·真值函数的数目是由公式中变项的真假组合决定的。

·二值逻辑中，当公式只有一个变项时，其取值只有该变项的真假两种可能。

·当有两个变项时，由于每个变项都可以有真、假两种取值，因此，该公式的真假组合便有2×2=4种 ，

·当公式有三个变项时，其真值组合便有2×2×2=8种。

·以此类推可得公式：当一个公式有n个变项时，其真假组合便有 种。

（二）真值函数种类及其判定方法 1、真值函数的种类

常真的：不论其中的命题变项取什么值，函项的值总是真 常假的：不论其中的命题变项取什么值，函项的值总是假 可满足的：函项的值有时为真有时为假。 2、真值函项种类的名称——

第一类是永真公式，也叫重言式。如p ∨p、p →p等。 第二类是永假公式，也叫矛盾式。如p ∧p、p ↔ p等。 第三类是可满足式。如p∨q、p →q等。

3、重言式的特殊意义

·复合命题中所有有效推理式都是重言式。

·包括13个基本推理式，以及等值推理式，以及基本式以外的其他推理公式，例如二难推理，假言连锁推理等格式p47。

4、重言式的判定——（2）真值表判定方法

第一步：找出该公式中不同的命题变项，并竖行列出它们所有可能的真假组合。

第二步：按照该公式的生成次序，由简单到复杂横行列出所有子公式，直至该公式本身。 第三步，按照上面给定的真值联结词的真值表，由命题变项的真值逐步计算出各个子公式的真值，最后算出该公式本身的真值。 （3）归谬赋值法

基本思路是：判定一公式A是否为重言式，先假定A为假，在此基础上如能导出矛盾，则说明该假设不可能成立，因此A必为重言式。若导不出矛盾，则A就不是重言式。 此法也称为简化真值表法。

判定步骤——第一步，假定被判定的公式为假。

第二步，从这一假定出发，依次对公式中的各部分公式赋以相应的真值，直到所有的可能情况都被赋以确定的真值为止。

第三步，检查结果，如出现了逻辑矛盾（如果有多于一种真值指派，则需每种指派都出现矛盾），那么，可以证明被判定的公式是一个重言式；如果并未导致逻辑矛盾，那就证明被判定的公式不是重言式 。

二、命题逻辑公理系统 1、形式系统浅说

一）形式语言：初始符号 二）合式公式形成规则 三）导出定义 四）公理 五）推理规则 2、形式演绎系统中的符号：在一个形式系统中，符号没有意义。我们必须假定，除了在系统中对符号性质所作的说明之外，我们没有有关符号的任何其他性质。由此我们才能看到逻辑的基础。（汉密尔顿《数理逻辑》英文版27页） 3、定理证明

证明是从公理出发的推演序列，在自然推理中使用规则，在公理化系统中使用公理和规则。分离规则=蕴涵消去8；

公理化规则严格，自然推理方便直观。

第三章小结

① 复合命题

② 逻辑联结词+（支命题）原子命题 ③ 四类复合命题，四类复合命题推理 ④ 真值表，

⑤ 真值表判定法，归谬赋值法 ⑥ 真值形式，真值函项

⑦ 形式化系统：公理系统，自然推理系统。

第四章 词项逻辑

第一节 词项

一、词项逻辑概述

对命题的分析以简单命题为基本单元，然后再经由命题联结词按照一定的方式组合而成各种更复杂的命题及其系统，这被称为“命题逻辑”。p62

命题逻辑对命题的分析未能提供判断推理有效性的合理准则。

把对命题的分析深入到简单命题中的语词成分，即所谓的“词项”。在这个意义上的逻辑理论称之为“词项逻辑”。

二、词项及其指称（外延）

（一）词项是组成简单命题的基本素材 Eg：上帝是全知全能的神； 偶数是自然数 月亮是地球的卫星 （二）词项的内涵和外延

内涵=属性；外延=属性的载体

在逻辑学中，所有充当简单命题基本素材的这类语词统称“词项”。 三、词项分类

（一）名称和摹状词

名称即所谓专有名词，不对对象作出描述。 摹状词则是带有描述性的词或词组。 （二）空词项、单独词项和普遍词项

按照词项外延元素的总数，词项分为空词项、单独词项和普遍词项，它们外延的元素总数分别为0、1和大于1的自然数。 （三）集合词项和非集合词项

1. “集合词项”是指所指称者唯一且是一个集合的词项。 “非集合词项”则是所指称者是若干个体的词项。 集合意义和普遍分布的意义区别—— 2. 区分两种关系：

一个是类与子类的关系-普遍分布的意义； 一个是整体和部分的关系-集合意义； 一个是元素和类的关系

这三种关系在逻辑性质上有很大区别，必须加以区分。 3. 集合论悖论

设A=一切不以自身为元素的集合。 现在问：A本身是不是A的元素？

假定A是A的元素A∈A ，则依假设A不∈A ；

假定A不是A的元素：A不∈A ，则依假设，当然是A ∈A 这就是著名的罗素悖论：理发师悖论。 4. 三段论处理的关系 不是整体和部分的关系； 不是元素和类的关系；a∈A

仅仅是类与类的关系。ATA；如果A是单元素的集合，表示为A=﹛a﹜, 我们可以有a ∈﹛a﹜,但没有﹛a﹜∈﹛a﹜, 这种关系在传统逻辑中称作外延间的关系。

所以必须把握好外延概念。注意单元素也是作为类或者集合来使用的。

四、词项外延间的五种关系

歐拉（Leonard Euler; 1707 - 1783），瑞士人，出身於牧師家庭，13 歲考入大學，16 歲已經獲得碩士學位。1727 年到俄國聖彼得科學院工作。1741 年轉到德國，任柏林科學院物理數學所所長。1766 年回到俄國，直至去世。他在 1735 年，由於過度工作的關係，引至右眼失明。1771 年又因眼疾引致左眼失明。雖然如此，歐拉卻是數學史上最多產的數學家，論著涉及的範圍非常之廣泛，他的成就對後世數學發展有深遠的影響。 1. 词项外延间关系 （一）全同关系 （二）真包含于关系 （三）真包含关系 （四）交叉关系 （五）全异关系

词项外延间关系排除空词项； 2. 词项外延间关系例举

华南师大 华南师大文学院； 省人民代表大会 广东省人民代表大会 中国 广州； 城市 国家； 城市 国家 杭州 广州 中小城市 大学生 中学生 小学生； 男人 女人 3. 两种全异关系

矛盾关系与反对关系；

论域：谈论词项时所预设的词项范围p，例如学者，数，工人，白领； 词项与负词项：互为负词项的两个词项，其外延之和是该词项的某个论域。 两种全异关系的区分在于区分构成上属论域的单位数。p66 4. 文恩简介

英国逻辑学家约翰·文恩（John Venn，1834－1923） 布尔之后又一位英国逻辑学家。文恩认为：欧拉圈不能提供一种一般的方法在同一个图中表示两个类之间的更多关系。 他创立了文恩图法。 5. 用文恩图表示五种关系 U=全集；用长方形表示。 +=有=非空≈真；-=无=空≈假。 没有+，-符号的块表示不定有无。

一个封闭的图形就是一个的单元。称作块，p68。 文恩图的五种关系。P68-69 注意全异关系的图形。

第二节 直言命题

一、直言命题的基本构造

一个直言命题由以下四个部分构成：p71 主项：这是直言命题所论及的对象；S 谓项：表达对象性质或所属类别的项；P

联项：联结主项和谓项的词项；肯定联项和否定联项；p71 量项：表示主项数量的词项，主要有全称量项和特称量项。p71 注意：关系命题不是直言命题。p70

二、两种量项的说明

1. 全称量项：覆盖所有外延的量项；

所有，任何一个，任意，全部与日常语言有区别 2. 特称量项：外延对象至少存在一个的量项； 有些，有的，存在，有 和日常语言有区别 3. 直言命题的四种类型

全称肯定命题，表示为SAP，再简化为A命题。 全称否定命题，表示为SEP，再简化为E命题。 特称肯定命题，表示为SIP，再简化为I命题。 特称否定命题，表示为SOP，再简化为O命题。 两种特殊的直言命题：单称肯定和单称否定。p72 三、直言命题主谓项周延性问题 （一）周延性的含义

如果直言命题对某个词项进行的断定是相对于这个词项外延中每个元素作出的，那么就称该词项在这个直言命题中是周延的；否则，就称该词项在这个直言命题中是不周延的。 （二）A、E、I、O 主谓项周延情况

周延性是指主谓项在直言命题中的断定情况，不是词项本身的性质；

周延是一种纯形式的规定性定义，一种不允许例外的规定，每一种直言命题中的主谓项都有确定的周延性情形。

直言命题周延情况图表1

直言命题 S周延情况 P周延情况 SAP 周延 不周延 SEP 周延 周延 SIP 不周延 不周延 SOP 不周延 周延

直言命题周延情况图表2 直言命题 S周延情况 P周延情况 全称命题 周延 ？ 特称命题 不周延 ？ 肯定命题 ？ 不周延 否定命题 ？ 周延

周延是判定推理有效的词项关键特性。 四、直言命题的真值判定

（一）直言命题真值与其质和量紧密相关 关注直言命题的真值，主要地不是要联系具体的知识去进行判定，而是要从形式的角度来进行判定，也就是与质和量方面的因素相关。

（二）直言命题的真值主要由其主谓项外延间的关系来决定。第76页表格

直言命题的真值情况表 命题形 式 S与P外延关系 SAP T T F F F SEP F F F F T SIP T T T T F SOP F F T T T

第三节 直接推理

一、直言推理概述

1. 直言推理：其有效性需诉诸于直言命题内部结构的推理是直言推理。

2. 直言推理的分类：直言推理可以划分为两个大类：直接推理和间接推理 。 二、对当关系推理

1. 矛盾关系：SAP与SOP， SEP与SIP之间； 差等关系：SAP与SIP， SEP与SOP之间； 反对关系：SAP与SEP之间； 下反对关系：SIP与SOP之间。 2. 对当关系推理

16个有效式，其中前8个为等值推理式。后8个为蕴涵推理式p79。 根据定义和方阵可得。

注意，对当关系推理只转换命题形式，主谓项形式不变。 三、直言命题变形的直接推理 1. 第一种形式：换质法直接推理 第二种形式：换位法直接推理 第三种形式：换质位法直接推理 2. 换质法直接推理——

从一个直言命题的前提推出一个直言命题的结论，量和主项都保持不变，

但是质发生了改变，谓项变为原来的负词项，前提和结论具有等值关系。这一推理即所谓直接推理中的换质法。其基本有效推理式1-8个，p80，等值推理形式。 3. 换位法直接推理—— 规则：

第一，换位只是更换主谓项的位置，不能改变质。

第二，换位后的主谓项在原来的命题中不周延的，换位后仍然不得周延，否则就是无效的推理式。

4个有效式，两个等值推理，两个蕴涵式推理。 4. 换质位法直接推理——

交替使用换质法和换位法也可以通过命题变形来进行推理，这种交替使用换质法和换位法的推理方法就是换质位法。 SEP╞PES╞PAS╞SIP╞SOP； SAP╞SEP╞PES╞PAS

第四节 间接推理三段论

我主张，三段论形式的发明是人类心灵最美好、甚至也是最值得重视的东西之一。这是一种普遍的数学，它的重要性还没有被充分认识；并且可以说，其中包含着一种不谬性的技术，只要是我们知道并且能够很好地加以应用的话，这不是永远能办得到的。（莱布尼兹《人类理智新论》第571页）

三段论的要点 一、三段论的形式 （一）三段论形式： 三个直言命题，三个项。 形式分析步骤——

1、确定三段论的结论；2、确定大项、小项和中项； 3、确定大前提和小前提；4、写出三段论形式。 *三段论的结构分析——

三段论结构先确定结论和前提，从结论开始分析其构成部分。 以三段论的结论构件来定义其他构件。 小项：结论的主项。常用符号S来表示。 大项：结论的谓项。常用符号P来表示。

中项：前提有的项。常用符号M来表示。 小前提：小项所在的前提。

大前提：大项所在的前提。三段论结构分析.doc （二）三段论的格与式

1、三段论的格：依据中项在前提中的不同位置所形成的不同三段论形式，称为三段论的格。教材82页；

2、三段论的式：不同的直言命题形式构成的三段论，称为三段论的式。

3、3个直言命题，每个直言命题有4种命题形式，每个三段论有4个不同的格，三段论就有4×4×4×4= 44 =256个式。 二、三段论有效式判定

规则1：.中项的两次出现至少有一次是周延的。 违反规则1的逻辑错误称为中项不周延的错误。

大项和小项靠中项来确定两者之间的关系，当中项一个也不周延的时候，关系就无法确定。

规则2：如果一个项在前提中不周延，那么它在结论中也不周延。 规则3：如果结论是肯定的，那么前提都是肯定的。

规则4：如果结论是否定的，那么前提有且仅有一个是否定的。 三段论的非形式判定规则：

规则5：一个三段论有且仅有三个不同的项 违反规则5，犯有四概念错误。

网络教育机构是分布于世界各地的，华南师范大学网络学院是网络教育机构 所以，华南师范大学网络学院是分布于世界各地的。

四概念错误实际是混淆了词项的分布式用法和合成式用法。集合和非集合混淆。