一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若sin(α+β)=
,则
为( )
A.5 B.﹣1 C.6 D.
参:
A
【考点】三角函数的恒等变换及化简求值. 【专题】计算题.
【分析】由两角和差的正弦公式,解得sinαcosβ=
,cosαsinβ=
,相除求得
的值.
【解答】解:由题意可得sinαcosβ+cosαsinβ=,sinαcosβ﹣cosαsinβ=, 解得 sinαcosβ=,cosαsinβ=
,∴
=5,
故选A.
【点评】本题考查两角和差的正弦公式,同角三角函数的基本关系,求出sinαcosβ=,
cosαsinβ=,是解题的关键.
2. (5分)函数
的零点所在的区间是()
A. B. (﹣1,0) C. D. (1,+∞)
参:
C
考点: 函数的零点.
专题: 计算题.
分析: 由于函数在(0,+∞)单调递增且连续,根据零点判定定理只要满足f(a)f(b)<0即为满足条件的区间;
解答: 解:因为函数
,(x>0)
f()=ln+
=﹣1+
<0,
f(1)=ln1+=>0,
∴f()f(1)<0,根据零点定理可得,
∴函数
的零点所在的区间(,1),
故选C;
点评: 此题主要考查函数零点的判定定理及其应用,解题的过程中要注意函数的定义域,是一道基础题.
3. (4分)圆x2
+y2
﹣4x=0在点P(1,)处的切线方程为()
A.
x+
y﹣2=0 B.
x+
y﹣4=0 C.
x﹣
y+4=0 D.
x﹣
y+2=0
参:
D
考点: 圆的切线方程.
专题: 计算题.
分析: 本题考查的知识点为圆的切线方程.(1)我们可设出直线的点斜式方程,联立直线和圆的方程,根据一元二次方程根与图象交点间的关系,得到对应的方程有且只有一个实根,即△=0,求出k值后,进而求出直线方程.(2)由于点在圆上,我们也可以切线的性质定理,即此时切线与过切点
的半径垂直,进行求出切线的方程.
1 / 7
解答: 解:法一: x+y﹣4x=0 y=kx﹣k+
?x2﹣4x+(kx﹣k+
)2=0.
该二次方程应有两相等实根,即△=0,解得k=
.
A.180 B.
C.45 D.
2
2
参:
∴y﹣即x﹣法二: ∵点(1,
)在圆x2+y2﹣4x=0上, =
(x﹣1),
A
y+2=0.
【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】由题意可得
,然后把mi=
转化为
求得答案.
【解答】解:由图可知,∠B2AC3=30°,又∠AC3B3=60°, ∴则
∴m1+m2+…+m10=18×10=180.
又∵圆心为(2,0),∴
?k=﹣1.
故选:A.
【点评】本题考查平面向量的数量积运算,考查了三角形中边角关系的运用,考查了数学转化思想方
解得k=
,
y+2=0.
法,是中档题.
∴切线方程为x﹣故选D
点评: 求过一定点的圆的切线方程,首先必须判断这点是否在圆上.若在圆上,则该点为切点,若点P(x0,y0)在圆(x﹣a)+(y﹣b)=r(r>0)上,则 过点P的切线方程为(x﹣a)(x0﹣a)+(y﹣b)(y0﹣b)=r(r>0);若在圆外,切线应有两条.一般用“圆心到切线的距离等于半径长”来解较为简单.若求出的斜率只有一个,应找出过这一点与x轴垂直的另一条切线.
4. 如图,三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上,边B3C3上有10个不同的点P1,P2,…P10,记mi=
(i=1,2,…,10),则m1+m2+…+m10的值为( )
6. 已知tanθ=2,则sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ等
于 ( )
2
2
2
2
,即.
,
∴点P为切点,从而圆心与P的连线应与切线垂直.
5. 已知
( ) A、
是上的减函数,那么的取值范围是
C、
B、
D、参: C
2 / 7
A.-
B.
C.-
D.
参:
D 略
7. 已知x与y之间的一组数据: x 0 1 2 3 y m 3 5.5 7 已求得关于y与x的线性回归方程为=2.1x+0.85,则m的值为( ) A.1 B.0.85
C.0.7 D.0.5
参:
D
【考点】线性回归方程. 【专题】计算题;概率与统计.
【分析】求出这组数据的横标和纵标的平均数,写出这组数据的样本中心点,把样本中心点代入线性回归方程求出m的值. 【解答】解:∵=
=,
=
,
∴这组数据的样本中心点是(,
),
∵关于y与x的线性回归方程=2.1x+0.85, ∴
=2.1×+0.85,解得m=0.5,
∴m的值为0.5. 故选:D.
【点评】本题考查回归分析,考查样本中心点满足回归直线的方程,考查求一组数据的平均数,是一个运算量比较小的题目,并且题目所用的原理不复杂,是一个好题.
8. 设函数
的图像过点,其反函数的图像过点,则等于
( ).
A 3 B 4 C 5 D 6
参: B
9. 下列说法中正确的是( ) A.三角形的内角必是第一、二象限角 B.第一象限角必是锐角 C.不相等的角终边一定不相同
D.若β=α+k?360°(k∈Z),则α和β终边相同
参:
D
【考点】象限角、轴线角;终边相同的角.
【分析】分别由象限角、锐角、终边相同角的概念注意核对四个选项得答案. 【解答】解:∵三角形的内角可以是90°,90°不是第一、二象限角,∴A错误; 390°是第一象限角,不是锐角,∴B错误; 30°≠390°,但终边相同,∴C错误; 由终边相同的角的集合可知D正确. 故选:D.
10. 已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,
成等比数列,则
A. 22 B.24 C. 26 D.34
参:
A 由已知得
,即:
,解得:
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. _______.
3 / 7
参:
12. 设函数
的图像过点
,其反函数的图像过点
,则
等
于 ;
参:
4
13. 如图,分别为正方体的面、面的中心,则四边形在该正方体的
面上的射影可能是____________。
参: 平行四边形或线段
14. 若关于x的方程x2﹣mx+m=0没有实数根,则实数m的取值范围是 .
参:
(0,4)
【考点】二次函数的性质.
【分析】由二次函数的性质可知:△<0,根据一元二次不等式的解法,即可求得m的取值范围. 【解答】解:由方程x2﹣mx+m=0没有实数根,则△<0, ∴m2﹣4m<0,解得:0<m<4, ∴实数m的取值范围(0,4), 故答案为:(0,4).
15. 已知非零向量
满足
,则向量
与
的夹角为 .
参:
略
16. 在相距千米的、两点处测量目标,若,,则,两 点之
间的距离是 千米。 参:
17. 幂函数f(x)的图象过点 (3,
),则f(4)= .
参:
2
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 【分析】设出幂函数的解析式,由图象过,确定出解析式,然后令x=4即可得到f(4)的
值.
【解答】解:设f(x)=xa,因为幂函数图象过
,
则有
=3a,∴a=,即f(x)=x
,
∴f(4)=(4)=2.
故答案为:2.
【点评】考查学生会利用待定系数法求幂函数的解析式.会根据自变量的值求幂函数的函数值.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分16分)已知函数. (1) 若关于的不等式的解集为
,求实数
的值;
(2) 设
,若不等式
对任意实数都成立,求实数的取值范围;
(3) 设
,解关于的不等式组.
参:
4 / 7
(1)因为不等式所以由题意得
为函数
的解集为
的两个根,
,
法组建了一个人的课外兴趣小组. (1)求课外兴趣小组中男、女同学的人数;
(2)经过一个月的学习、讨论,这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验,方法是先从小组里选出名同学做实验,该同学做完后,再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验,求选出的两名同学
所以(2)当因为解之得
时,
,解得
恒成立,即 ,所以
,所以实数的取值范围为
.……………………………………4分
恒成立.
, ………………………………6分 .……………………………………8分
中恰有一名女同学的概率;
(3)试验结束后,第一次做试验的同学得到的试验数据为得到的试验数据为
,第二次做试验的同学
,请问哪位同学的实验更稳定?并说明理由.
参:
(3)当时,,的图象的对称轴为.
(1)设有名男同学,则,男、女同学的人数分别为3人,1人 ………4分 ,则选取两名同学的基本事件有
共
种,其
(ⅰ)当(ⅱ)当
,即,即
或
时,由时
,得,…………………………………10分
(2)把名男同学和名女同学记为
①当时,由,得,所以,
中有一名女同学的有种选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为………8分
(3)
②当
时,由
,得
,所以
或
,………………12分
,
,
(ⅲ)当
,即
或
时,方程
的两个根为
,
因
,
所以,第二位同学的实验更稳定. ……………12分
与
的夹角为θ,已知
?
=6,且2
20. (12分)在△ABC中,设≤6.
(1)求θ的取值范围;
≤||||sin(π﹣θ)
①当时,由知,所以的解为或,
②当时,由知,所以的解为,…………………14分
(2)求函数f(θ)=的最大值.
综上所述,
参:
,
.…………………………………………………16分
名,女同学有
名,老师按照分层抽样的方
考点: 三角函数中的恒等变换应用;平面向量数量积的运算;三角函数的最值. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质;平面向量及应用.
当当
时,不等式组的解集为时,不等式组的解集为
19. (本小题满分12分)某中学的高二(1)班男同学有
5 / 7
分析: (1)首先根据向量的数量积与已知条件求出向量的夹角范围.
(2)进一步对三角函数的关系式进行恒等变形,利用夹角的范围求出三角函数关系式的最值. 解答: (1)∵
=6,①
,②
由
得,
,
∵θ为
与
的夹角,
∴;
(2)
=
=,
由于在内是增函数,
∴f(θ)max=0(当且仅当时等号成立).
点评: 本题考查的知识要点:向量的数量积的应用,向量的夹角的求法,三角函数关系式的恒等变换,正弦型函数的最值问题,属于基础题型.
21. 用定义证明函数f(x)=+3在区间(0,+∞)上是减函数.
参:
【考点】函数单调性的判断与证明.
【分析】首先,任设x1,x2∈(0,+∞),x1<x2 ,然后,作差法比较大小,最后写出结论即可. 【解答】证明:任设x1,x2∈(0,+∞),x1<x2,
∵f(x1)﹣f(x2)=(+3)﹣(
)=
,
∵x2>x1>0, ∴x2﹣x1>0,
∴f(x1)﹣f(x2)>0,
∴f(x)在区间(0,+∞)上是减函数.
22. 如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,
A1E=D1F=4.过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形. (Ⅰ)在图中画出这个正方形(保留画图痕迹,不用说明画法和理由)
(Ⅱ)求平面α把该长方体分成的两部分中较小部分的体积.
参:
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.
【分析】(Ⅰ)在面ABCD中做HG平行于BC,连接EH,FG,则EFGH就是所求正方形. (Ⅱ)由图形可以看出左半部分体积小,由此能求出平面α把该长方体分成的两部分中较小部分的体
积.
【解答】解:(Ⅰ)交线围成的正方形EHGF,
如图,在面ABCD中做HG平行于BC,连接EH,FG且HB=GC=6,则EF平行且等于HG,
所以四边形EFGH是平行四边形,EF平行于A1D1,
所以EF垂直面A1AB1B,所以EF垂直于EH,且由题意得EH=FG=10, 所以EFGH是正方形.
(Ⅱ)由图形可以看出左半部分体积小…,
所以平面α把该长方体分成的两部分中较小部分的体积:
…
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