河南省信阳市高级中学校本部2022年高一数学文月考试题含解析

一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的

1. 若sin（α+β）=

，则

为（ ）

A．5 B．﹣1 C．6 D．

参：

A

【考点】三角函数的恒等变换及化简求值． 【专题】计算题．

【分析】由两角和差的正弦公式，解得sinαcosβ=

，cosαsinβ=

，相除求得

的值．

【解答】解：由题意可得sinαcosβ+cosαsinβ=，sinαcosβ﹣cosαsinβ=， 解得 sinαcosβ=，cosαsinβ=

，∴

=5，

故选A．

【点评】本题考查两角和差的正弦公式，同角三角函数的基本关系，求出sinαcosβ=，

cosαsinβ=，是解题的关键．

2. （5分）函数

的零点所在的区间是（）

A． B． （﹣1，0） C． D． （1，+∞）

参：

C

考点： 函数的零点．

专题： 计算题．

分析： 由于函数在（0，+∞）单调递增且连续，根据零点判定定理只要满足f（a）f（b）＜0即为满足条件的区间；

解答： 解：因为函数

，（x＞0）

f（）=ln+

=﹣1+

＜0，

f（1）=ln1+=＞0，

∴f（）f（1）＜0，根据零点定理可得，

∴函数

的零点所在的区间（，1），

故选C；

点评： 此题主要考查函数零点的判定定理及其应用，解题的过程中要注意函数的定义域，是一道基础题．

3. （4分）圆x2

+y2

﹣4x=0在点P（1，）处的切线方程为（）

A．

x+

y﹣2=0 B．

x+

y﹣4=0 C．

x﹣

y+4=0 D．

x﹣

y+2=0

参：

D

考点： 圆的切线方程．

专题： 计算题．

分析： 本题考查的知识点为圆的切线方程．（1）我们可设出直线的点斜式方程，联立直线和圆的方程，根据一元二次方程根与图象交点间的关系，得到对应的方程有且只有一个实根，即△=0，求出k值后，进而求出直线方程．（2）由于点在圆上，我们也可以切线的性质定理，即此时切线与过切点

的半径垂直，进行求出切线的方程．

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解答： 解：法一： x+y﹣4x=0 y=kx﹣k+

?x2﹣4x+（kx﹣k+

）2=0．

该二次方程应有两相等实根，即△=0，解得k=

．

A．180 B．

C．45 D．

2

2

参：

∴y﹣即x﹣法二： ∵点（1，

）在圆x2+y2﹣4x=0上， =

（x﹣1），

A

y+2=0．

【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】由题意可得

，然后把mi=

转化为

求得答案．

【解答】解：由图可知，∠B2AC3=30°，又∠AC3B3=60°， ∴则

∴m1+m2+…+m10=18×10=180．

又∵圆心为（2，0），∴

?k=﹣1．

故选：A．

【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了三角形中边角关系的运用，考查了数学转化思想方

解得k=

，

y+2=0．

法，是中档题．

∴切线方程为x﹣故选D

点评： 求过一定点的圆的切线方程，首先必须判断这点是否在圆上．若在圆上，则该点为切点，若点P（x0，y0）在圆（x﹣a）+（y﹣b）=r（r＞0）上，则 过点P的切线方程为（x﹣a）（x0﹣a）+（y﹣b）（y0﹣b）=r（r＞0）；若在圆外，切线应有两条．一般用“圆心到切线的距离等于半径长”来解较为简单．若求出的斜率只有一个，应找出过这一点与x轴垂直的另一条切线．

4. 如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边B3C3上有10个不同的点P1，P2，…P10，记mi=

（i=1，2，…，10），则m1+m2+…+m10的值为（ ）

6. 已知tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ等

于 ( )

2

2

2

2

，即．

，

∴点P为切点，从而圆心与P的连线应与切线垂直．

5. 已知

（ ） A、

是上的减函数，那么的取值范围是

C、

B、

D、参： C

2 / 7

A．－

B.

C．－

D.

参：

D 略

7. 已知x与y之间的一组数据： x 0 1 2 3 y m 3 5.5 7 已求得关于y与x的线性回归方程为=2.1x+0.85，则m的值为（ ） A．1 B．0.85

C．0.7 D．0.5

参：

D

【考点】线性回归方程． 【专题】计算题；概率与统计．

【分析】求出这组数据的横标和纵标的平均数，写出这组数据的样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程求出m的值． 【解答】解：∵=

=，

=

，

∴这组数据的样本中心点是（，

），

∵关于y与x的线性回归方程=2.1x+0.85， ∴

=2.1×+0.85，解得m=0.5，

∴m的值为0.5． 故选：D．

【点评】本题考查回归分析，考查样本中心点满足回归直线的方程，考查求一组数据的平均数，是一个运算量比较小的题目，并且题目所用的原理不复杂，是一个好题．

8. 设函数

的图像过点，其反函数的图像过点，则等于

（ ）.

A 3 B 4 C 5 D 6

参： B

9. 下列说法中正确的是（ ） A．三角形的内角必是第一、二象限角 B．第一象限角必是锐角 C．不相等的角终边一定不相同

D．若β=α+k?360°（k∈Z），则α和β终边相同

参：

D

【考点】象限角、轴线角；终边相同的角．

【分析】分别由象限角、锐角、终边相同角的概念注意核对四个选项得答案． 【解答】解：∵三角形的内角可以是90°，90°不是第一、二象限角，∴A错误； 390°是第一象限角，不是锐角，∴B错误； 30°≠390°，但终边相同，∴C错误； 由终边相同的角的集合可知D正确． 故选：D．

10. 已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，

成等比数列，则

A. 22 B.24 C. 26 D.34

参：

A 由已知得

，即：

，解得：

二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分

11. _______.

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参：

12. 设函数

的图像过点

，其反函数的图像过点

，则

等

于 ；

参：

４

13. 如图，分别为正方体的面、面的中心，则四边形在该正方体的

面上的射影可能是____________。

参： 平行四边形或线段

14. 若关于x的方程x2﹣mx+m=0没有实数根，则实数m的取值范围是 ．

参：

（0，4）

【考点】二次函数的性质．

【分析】由二次函数的性质可知：△＜0，根据一元二次不等式的解法，即可求得m的取值范围． 【解答】解：由方程x2﹣mx+m=0没有实数根，则△＜0， ∴m2﹣4m＜0，解得：0＜m＜4， ∴实数m的取值范围（0，4）， 故答案为：（0，4）．

15. 已知非零向量

满足

，则向量

与

的夹角为 .

参：

略

16. 在相距千米的、两点处测量目标，若,，则,两 点之

间的距离是 千米。 参：

17. 幂函数f（x）的图象过点 (3，

)，则f（4）= ．

参：

2

【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域． 【分析】设出幂函数的解析式，由图象过，确定出解析式，然后令x=4即可得到f（4）的

值．

【解答】解：设f（x）=xa，因为幂函数图象过

，

则有

=3a，∴a=，即f（x）=x

，

∴f（4）=（4）=2．

故答案为：2．

【点评】考查学生会利用待定系数法求幂函数的解析式．会根据自变量的值求幂函数的函数值．

三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

18. (本小题满分16分)已知函数. (1) 若关于的不等式的解集为

,求实数

的值；

(2) 设

,若不等式

对任意实数都成立,求实数的取值范围；

(3) 设

,解关于的不等式组.

参：

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(1)因为不等式所以由题意得

为函数

的解集为

的两个根,

，

法组建了一个人的课外兴趣小组． （1）求课外兴趣小组中男、女同学的人数；

（2）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学

所以(2)当因为解之得

时,

,解得

恒成立,即 ,所以

,所以实数的取值范围为

.……………………………………4分

恒成立.

, ………………………………6分 .……………………………………8分

中恰有一名女同学的概率；

（3）试验结束后，第一次做试验的同学得到的试验数据为得到的试验数据为

，第二次做试验的同学

，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由.

参：

(3)当时,,的图象的对称轴为.

（1）设有名男同学，则，男、女同学的人数分别为3人，1人 ………4分 ，则选取两名同学的基本事件有

共

种，其

(ⅰ)当(ⅱ)当

,即,即

或

时,由时

,得,…………………………………10分

（2）把名男同学和名女同学记为

①当时,由,得,所以,

中有一名女同学的有种选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为………8分

（3）

②当

时,由

,得

,所以

或

,………………12分

，

，

(ⅲ)当

,即

或

时,方程

的两个根为

,

因

,

所以，第二位同学的实验更稳定. ……………12分

与

的夹角为θ，已知

?

=6，且2

20. （12分）在△ABC中，设≤6．

（1）求θ的取值范围；

≤||||sin（π﹣θ）

①当时,由知,所以的解为或,

②当时,由知,所以的解为,…………………14分

（2）求函数f（θ）=的最大值．

综上所述,

参：

,

.…………………………………………………16分

名，女同学有

名，老师按照分层抽样的方

考点： 三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；三角函数的最值． 专题： 三角函数的求值；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．

当当

时,不等式组的解集为时,不等式组的解集为

19. （本小题满分12分）某中学的高二(1)班男同学有

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分析： （1）首先根据向量的数量积与已知条件求出向量的夹角范围．

（2）进一步对三角函数的关系式进行恒等变形，利用夹角的范围求出三角函数关系式的最值． 解答： （1）∵

=6，①

，②

由

得，

，

∵θ为

与

的夹角，

∴；

（2）

=

=，

由于在内是增函数，

∴f（θ）max=0（当且仅当时等号成立）．

点评： 本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，向量的夹角的求法，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的最值问题，属于基础题型．

21. 用定义证明函数f（x）=+3在区间（0，+∞）上是减函数．

参：

【考点】函数单调性的判断与证明．

【分析】首先，任设x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2 ，然后，作差法比较大小，最后写出结论即可． 【解答】证明：任设x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2，

∵f（x1）﹣f（x2）=（+3）﹣（

）=

，

∵x2＞x1＞0， ∴x2﹣x1＞0，

∴f（x1）﹣f（x2）＞0，

∴f（x）在区间（0，+∞）上是减函数．

22. 如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，

A1E=D1F=4．过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形． （Ⅰ）在图中画出这个正方形（保留画图痕迹，不用说明画法和理由）

（Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分中较小部分的体积．

参：

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．

【分析】（Ⅰ）在面ABCD中做HG平行于BC，连接EH，FG，则EFGH就是所求正方形． （Ⅱ）由图形可以看出左半部分体积小，由此能求出平面α把该长方体分成的两部分中较小部分的体

积．

【解答】解：（Ⅰ）交线围成的正方形EHGF，

如图，在面ABCD中做HG平行于BC，连接EH，FG且HB=GC=6，则EF平行且等于HG，

所以四边形EFGH是平行四边形，EF平行于A1D1，

所以EF垂直面A1AB1B，所以EF垂直于EH，且由题意得EH=FG=10， 所以EFGH是正方形．

（Ⅱ）由图形可以看出左半部分体积小…，

所以平面α把该长方体分成的两部分中较小部分的体积：

…

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