热力学基础计算题

1. 温度为25℃、压强为1 atm的1 mol刚性双原子分子理想气体，经等温过程体积膨胀至原来的3倍． (普适气体常量R＝8.31 JmolK，ln 3=1.0986)

(1) 计算这个过程中气体对外所作的功．

(2) 假若气体经绝热过程体积膨胀为原来的3倍，那么气体对外作的功又是多少？ 解：(1) 等温过程气体对外作功为

3V03V011 WV0pdVV0RTdVRTln3 2分 V =8.31×298×1.0986 J = 2.72×103 J 2分

(2) 绝热过程气体对外作功为

3V03V0 WV0pdVpVV00V0dV

311131 p0V0RT 2分

11 ＝2.20×103 J 2分

2.一定量的单原子分子理想气体，从初态A出发，

p (105 Pa) 沿图示直线过程变到另一状态B，又经过等容、等压两过程回到状态A．

B (1) 求A→B，B→C，C→A各过程中系统对3 外所作的功W，内能的增量E以及所吸收的热

2 量Q． (2) 整个循环过程中系统对外所作的总功以A C 1 及从外界吸收的总热量(过程吸热的代数和)． 

V (103 m3) 解：(1) A→B： O 1W1(pBpA)(VBVA)=200 J．

21 2

ΔE1=CV (TB－TA)=3(pBVB－pAVA) /2=750 J

Q=W1+ΔE1＝950 J． 3分

B→C： W2 =0

ΔE2 =CV (TC－TB)=3( pCVC－pBVB ) /2 =－600 J．

Q2 =W2+ΔE2＝－600 J． 2分

C→A： W3 = pA (VA－VC)=－100 J．

E3CV(TATC)3(pAVApCVC)150 J． 2 Q3 =W3+ΔE3＝－250 J 3分

(2) W= W1 +W2 +W3=100 J．

Q= Q1 +Q2 +Q3 =100 J 2分

3. 0.02 kg的氦气(视为理想气体)，温度由17℃升为27℃．若在升温过程中，(1) 体积保持不变；(2) 压强保持不变；(3) 不与外界交换热量；试分别求出气体内能的改变、吸收的热量、外界对气体所作的功．

(普适气体常量R =8.31 JmolK)

解：氦气为单原子分子理想气体，i3 (1) 等体过程，V＝常量，W =0

据 Q＝E+W 可知

QE11MCV(T2T1)＝623 J 3分 Mmol (2) 定压过程，p = 常量， QMCp(T2T1)=1.04×103 J Mmol E与(1) 相同．

W = Q E＝417 J 4分

(3) Q =0，E与(1) 同

W = E=623 J (负号表示外界作功) 3分

4. 一定量的某单原子分子理想气体装在封闭的汽缸里．此汽缸有可活动的活塞(活塞与气缸壁之间无摩擦且无漏气)．已知气体的初压强p1=1atm，体积V1=1L，现将该气体在等压下加热直到体积为原来的两倍，然后在等体积下加热直到压强为原来的2倍，最后作绝热膨胀，直到温度下降到初温为止， (1) 在p－V图上将整个过程表示出来．

(2) 试求在整个过程中气体内能的改变．

(3) 试求在整个过程中气体所吸收的热量．(1 atm＝1.013×105 Pa)

(4) 试求在整个过程中气体所作的功． 解：(1) p－V图如右图. 2分 p (atm) (2) T4=T1E＝0 2分

(3)

(4) W＝Q＝5.6×102 J 2分 O 1

5.1 mol双原子分子理想气体从状态A(p1,V1)沿p V图所p示直线变化到状态B(p2,V2)，试求： (1) 气体的内能增量． (2) 气体对外界所作的功． (3) 气体吸收的热量．

(4) 此过程的摩尔热容．

(摩尔热容C =Q/T，其中Q表示1 mol物质在过程中升高温度T时所吸收的热量．)

MMCp(T2T1)CV(T3T2) MmolMmol53p1(2V1V1)[2V1(2p1p1)] 2211p1V1＝5.6×102 J 4分 2Q2 1 T1 T3 T2 T4 V (L)

2 p2p1OABV1V2V

解：

ECV(T2T1)5(p2V2p1V1) 2分 2 (2) W1(p1p2)(V2V1)， 21(p2V2p1V1)． 3分 2W为梯形面积，根据相似三角形有p1V2= p2V1，则

W (3) Q =ΔE+W=3( p2V2－p1V1 )． 2分

(4) 以上计算对于A→B过程中任一微小状态变化均成立，故过程中

ΔQ =3Δ(pV)． 由状态方程得 Δ(pV) =RΔT， 故 ΔQ =3RΔT，

摩尔热容 C=ΔQ/ΔT=3R． 3分

6. 有1 mol刚性多原子分子的理想气体，原来的压强为1.0 atm，温度为27℃，若经过一绝热过程，使其压强增加到16 atm．试求：

(1) 气体内能的增量； (2) 在该过程中气体所作的功； (3) 终态时，气体的分子数密度．

( 1 atm= 1.013×105 Pa， 玻尔兹曼常量k=1.38×10-23 J·K-1,普适气体常量R=8.31 J·mol-1·K-1 )

解：(1) ∵ 刚性多原子分子 i = 6，i24/3 1分 i1∴ T2T1(p2/p1)

E600 K 2分

(2) ∵绝热 W =－ΔE =－7.48×103 J (外界对气体作功) 2分

(3) ∵ p2 = n kT2

∴ n = p2 /(kT2 )=1.96×1026 个/m3 3分

1(M/Mmol)iR(T2T1)7.48103 J 2分

2

7. 如果一定量的理想气体，其体积和压强依照Va/p的规律变化，其中a为已知

常量．试求：

(1) 气体从体积V1膨胀到V2所作的功；

(2) 气体体积为V1时的温度T1与体积为V2时的温度T2之比． 解：(1) dW = pdV = (a2 /V2 )dV

WdWV2V1(a2/V2)dVa2(11) 2分 V1V2 (2) ∵ p1V1 /T1 = p2V2 /T2 ∴ T1/ T2 = p1V1 / (p2V2 ) 由

V1a/p1，V2a/p2

得 p1 / p2= (V2 /V1 )2

∴ T1/ T2 = (V2 /V1 )2 (V1 /V2) = V2 /V1 3分

8. 汽缸内有一种刚性双原子分子的理想气体，若经过准静态绝热膨胀后气体的压强减少了一半，则变化前后气体的内能之比 E1∶E2＝？

1)iRT, pV(M/Mmol)RT 2分 mol21得 EipV

211变化前 E1ip1V1， 变化后E2ip2V2 2分

22绝热过程 p1V1p2V2

解：据

E(M/M即

题设 p2 (V/V)12p2/p1 3分

11p1， 则 (V1/V2) 2211/即 V1/V2()

2∴

11111/ E1/E2ip1V1/(ip2V2)2()21.22 3分

2221

9. 2 mol氢气(视为理想气体)开始时处于标准状态，后经等温过程从外界吸取了 400 J的热量，达到末态．求末态的压强．

(普适气体常量R=8.31J·mol-2·K-1)

解：在等温过程中， ΔT = 0 Q = (M/Mmol) RT ln(V2/V1) 得

lnVV21Q0.0882

(M/Mmol)RT即 V2 /V1=1.09 3分 末态压强 p2 = (V1 /V2) p1=0.92 atm 2分

10. 为了使刚性双原子分子理想气体在等压膨胀过程中对外作功2 J，必须传给气体多少热量？

解：等压过程 W= pΔV=(M /Mmol)RΔT 1分

11iRTiW 1分 22双原子分子 i5 1分

1∴ QEWiWW7 J 2分

2内能增

E(M/Mmal)

11.两端封闭的水平气缸，被一可动活塞平分为左右两室，每室体积均为V0，其中盛有温度相同、压强均为p0的同种理想气体．现保持气体温度不变，用外力缓慢移动活塞(忽略磨擦)，使左室气体的体积膨胀为右室的2倍，问外力必须作多少功？ 为了使刚性双原子分子理想气体在等压膨胀过程中对外作功2 J，必须传给气体多少热量？

外力 解：设左、右两室中气体在等温过程中对外作功分别用W1、W2表示，外力作功用W′表示．由

题知气缸总体积为2V0，左右两室气体初态体积均为V0，末态体积各为4V0/3和2V0/3 . 1分

据等温过程理想气体做功： W=(M /Mmol )RT ln(V2 /V1) 得 W1p0V0ln4V04p0V0ln 3V032V2得 W2p0V0ln0p0V0ln 2分

3V03429ln)p0V0ln 2分 338现活塞缓慢移动，作用于活塞两边的力应相等，则

W’+W1=－W2

WW1W2p0V0(ln

12.一定量的理想气体，从A态出发，经p－V图中所示的过

p (105 Pa)程到达B态，试求在这过程中，该气体吸收的热量． . AC4 2DB1

解：由图可得 O 2 58V (m3)5

A态： pAVA 8×10 J B态： pBVB 8×105 J ∵ pAVApBVB，根据理想气体状态方程可知

TATBE = 0 3分

根据热力学第一定律得：

QWpA(VCVA)pB(VBVD)1.510 J 2分 13. 如图，体积为30L的圆柱形容器内，有一能上下自由滑动

6的活塞（活塞的质量和厚度可忽略），容器内盛有1摩尔、温度为127℃的单原子分子理想气体．若容器外大气压强为1标准大气压，气温为27℃，求当容器内气体与周围达到平衡时需向外放热多少？（普适气体常量 R = 8.31 J·mol-1·K-1）

－

3

活塞 解：开始时气体体积与温度分别为 V1 =30×103 m，T1＝127＋273＝400 K

∴气体的压强为 p1=RT1/V1 =1.108×105 Pa 大气压p0=1.013×105 Pa， p1>p0

可见，气体的降温过程分为两个阶段：第一个阶段等体降温，直至气体压强p2 = p0，此时温

度为T2，放热Q1；第二个阶段等压降温，直至温度T3= T0=27＋273 =300 K，放热Q2 (1) Q1CV(T1T2)3R(T1T2) 2 365.7 K

∴ Q1= 428 J 5分 (2) Q2Cp(T2T3)∴ 总计放热

Q = Q1 + Q2 = 1.79×103 J 5分

5R(T2T3)=1365 J 2

14.一定量的理想气体，由状态a经b到达c．(如图，

p (atm) abc为一直线)求此过程中 a

(1) 气体对外作的功； (2) 气体内能的增量；

3 2 1 b c (3) 气体吸收的热量．(1 atm＝1.013×105 Pa)

V (L) 解：(1) 气体对外作的功等于线段ac下所围的面积 0 1 2 3 W＝(1/2)×(1+3)×1.013×105×2×103 J＝405.2 J

3分

(2) 由图看出 PaVa=PcVc∴Ta=Tc 2分 内能增量 E0． 2分 (3) 由热力学第一定律得

Q=E +W=405.2 J． 3分

15. 一定量的理想气体在标准状态下体积为 1.0×102 m3，求下列过程中气体吸收的热

量：

(1) 等温膨胀到体积为 2.0×102 m3； (2) 先等体冷却，再等压膨胀到 (1) 中所到达的终态． 已知1 atm= 1.013×105 Pa，并设气体的CV = 5R / 2． 解：(1) 如图，在A→B的等温过程中,ET0， 1分 p V2V2∴ QTWT将p1=1.013×10 Pa，V1=1.0×102 m3和V2=2.0×102 m3 p2 B 代入上式，得 QT≈7.02×102 J 1分

C (2) A→C等体和C→B等压过程中 V ∵A、B两态温度相同，∴ ΔEABC = 0 V1 V2 ∴ QACB=WACB=WCB=P2(V2－V1) 3分

又 p2=(V1/V2)p1=0.5 atm 1分 ∴ QACB =0.5×1.013×105×(2.0－1.0)×102 J≈5.07×102 J 1分

V15

pdVV1p1V1dVp1V1ln(V2/V1) 3分 p A 1V等温

16. 将1 mol理想气体等压加热，使其温度升高72 K，传给它的热量等于1.60×103 J，

求：

(1) 气体所作的功W； (2) 气体内能的增量E； (3) 比热容比．

(普适气体常量R8.31JmolK)

解：(1) WpVRT598 J 2分

(3) CpE11QW1.00103 J 1分

Q22.2Jmol1K1 T11 CVCpR13.9JmolK

CpCV1.6 2分

17. 一定量的某种理想气体，开始时处于压强、体积、温度分别为p0=1.2×106 Pa，

V0=8.31×103m3，T0 =300 K的初态，后经过一等体过程，温度升高到T1 =450 K，再经过一等温过程，压强降到p = p0的末态．已知该理想气体的等压摩尔热容与等体摩尔热容之比Cp / CV =5/3．求：

(1) 该理想气体的等压摩尔热容Cp和等体摩尔热容CV．

(2) 气体从始态变到末态的全过程中从外界吸收的热量．

－－

(普适气体常量R = 8.31 J·mol1·K1)

－

5 和 CpCVR

CV353可解得 CpR 和 CVR 2分

22pV (2) 该理想气体的摩尔数 004 mol

RT0解：(1) 由

Cp在全过程中气体内能的改变量为 △E=CV(T1－T2)=7.48×103 J 2分

全过程中气体对外作的功为 WRT1lnp1 p0T16.06103 J． 2分 T0式中 p1 ∕p0=T1 ∕T0

则 WRT1ln全过程中气体从外界吸的热量为 Q = △E+W =1.35×104 J ． 2分

18.如图所示，AB、DC是绝热过程，CEA是等温过程，BED

是任意过程，组成一个循环。若图中EDCE所包围的面积为70 J，EABE所包围的面积为30 J，过程中系统放热100 J，求BED过程中系统吸热为多少？

pADECBV解：正循环EDCE包围的面积为70 J，表示系统对外作正功O

70 J；EABE的面积为30 J，因图中表示为逆循环，故系统对外作负功，所以整个循环过程系统对外

作功为： W=70+(－30)=40 J 1

分

设CEA过程中吸热Q1，BED过程中吸热Q2 ，由热一律，

W =Q1+ Q2 =40 J 2

分

Q2 = W －Q1 =40－(－100)=140 J

BED过程中系统从外界吸收140焦耳热. 2

分

19. 1 mol理想气体在T1 = 400 K的高温热源与T2 = 300 K的低温热源间作卡诺循环（可逆的），在400 K的等温线上起始体积为V1 = 0.001 m3，终止体积为V2 = 0.005 m3，试求此气体在每一循环中

(1) 从高温热源吸收的热量Q1 (2) 气体所作的净功W

(3) 气体传给低温热源的热量Q2

解：(1) Q1RT1ln(V2/V1)5.35103 J 3

分

T(2) 120.25.

T1 WQ11.34103 J 4

分

(3) Q2Q1W4.01103 J 3

分

20.一定量的某种理想气体进行如图所示的循环过程．已

p (Pa)知气体在状态A的温度为TA＝300 K，求 (1) 气体在状态B、C的温度； A 300 (2) 各过程中气体对外所作的功； (3) 经过整个循环过程，气体从外界吸收的总热量200(各过程吸热的代数和)． C B

100解：由图，pA=300 Pa，pB = pC =100 Pa；VA=VC=1 m3，

V (m3)VB =3 m3． O23 (1) C→A为等体过程，据方程pA/TA= pC /TC 1

TC = TA pC / pA =100

K． 2分

B→C为等压过程，据方程VB/TB=VC/TC得

TB=TCVB/VC=300 K． 2分

(2) 各过程中气体所作的功分别为 A→B： W11(pApB)(VBVC)=400 J． 2 B→C： W2 = pB (VC－VB ) = 200 J．

C→A： W3 =0 3分

(3) 整个循环过程中气体所作总功为

W= W1 +W2 +W3 =200 J．

因为循环过程气体内能增量为ΔE=0，因此该循环中气体总吸热

Q =W+ΔE =200 J． 3分

21.1 mol 氦气作如图所示的可逆循环过

pc程，其中ab和cd是绝热过程， bc和da

pb为等体过程，已知 V1 = 16.4 L，V2 = 32.8

L，pa = 1 atm，pb = 3.18 atm，pc = 4 atm， pdpd = 1.26 atm，试求： pa(1)在各态氦气的温度． (2)在态氦气的内能．

O(3)在一循环过程中氦气所作的净功． (1 atm = 1.013×105 Pa) (普适气体常量R = 8.31 J· mol1· K1)

p (atm)cbdaV1V (L)V2

解：(1) Ta = paV2/R＝400 K Tb = pbV1/R＝636 K Tc = pcV1/R＝800 K

Td = pdV2/R＝504 K 4分 (2) Ec =(i/2)RTc＝9.97×103 J 2分

(3) b－c等体吸热

Q1=CV(TcTb)＝2.044×103 J 1分

d－a等体放热

Q2=CV(TdTa)＝1.296×103 J 1分 W=Q1Q2＝0.748×103 J 2分

22.比热容比＝1.40的理想气体进行如图所示的循

环．已知状态A的温度为300 K．求： p (Pa) (1) 状态B、C的温度； A (2) 每一过程中气体所吸收的净热量． 400 11(普适气体常量R＝8.31 JmolK) 300 200

100 C 解：由图得 pA＝400 Pa， pB＝pCO 2 B 4 6 V(m3)

＝100 Pa，

3

VA＝VB＝2 m，VC＝6 m3．

(1) C→A为等体过程，据方程pA /TA = pC /TC

TC = TA pC / pA =75 K 1分

B→C为等压过程，据方程 VB /TB =VC TC

TB = TC VB / VC =225 K 1分 (2) 根据理想气体状态方程求出气体的物质的量(即摩尔数)为

 pA VARTA mol 由＝1.4知该气体为双原子分子气体，CVB→C等压过程吸热 Q257R，CPR 227R(TCTB)1400 J． 2分 25C→A等体过程吸热 Q3R(TATC)1500 J． 2分

2Δ

E =0，整个循环过程净吸热

QW1(pApC)(VBVC)600 J． 2∴ A→B过程净吸热： Q1=Q－Q2－Q3=500 J 4分

23. 一卡诺热机(可逆的)，当高温热源的温度为 127℃、低温热源温度为27℃时，其每次循环对外作净功8000 J．今维持低温热源的温度不变，提高高温热源温度，使其每次循

环对外作净功 10000 J．若两个卡诺循环都工作在相同的两条绝热线之间，试求： (1) 第二个循环的热机效率；

(2) 第二个循环的高温热源的温度．

WQ1Q2T1T2 Q1Q1T1T1QT Q1W 且 22

T1T2Q1T1解：(1) ∴ Q2 = T2 Q1 /T1

T1TT2＝24000 J 4分 2WT1T2T1T1T2WQ2WQ2 ( ∵ Q2Q2) 3分 由于第二循环吸热 Q129.4％ 1分 W/Q1T2 (2) T1425 K 2分

1即 Q2

24.气缸内贮有36 g水蒸汽(视为刚性分子理想

p (atm) 气体)，经abcda循环过程如图所示．其中a－b、c－d为等体过程，b－c为等温过程，d－a

为等压过程．试求： 6 b (1) d－a 过程中水蒸气作的功Wda (2) a－b 过程中水蒸气内能的增量ab (3) 循环过程水蒸汽作的净功W

c 2 a d (4) 循环效率 V (L) O 50 25 (注：循环效率＝W/Q1，W为循环过程水

蒸汽对外作的净功，Q1为循环过程水蒸汽吸收的热量，1 atm= 1.013×105 Pa)

解：水蒸汽的质量M＝36×10-3 kg 水蒸汽的摩尔质量Mmol＝18×10-3 kg，i = 6

(1) Wda= pa(Va－Vd)=－5.065×103 J 2分

(2) ΔEab=(M/Mmol )(i/2)R(Tb－Ta)

=(i/2)Va(pb－ pa)

=3.039×104 J 2分 (3) Tb Wbc= (M /Mmol )RTbln(Vc /Vb) =1.05×104 J

净功 W=Wbc+Wda=5.47×103 J 3分

(4) Q1=Qab+Qbc=ΔEab+Wbc =4.09×104 J

η=W/ Q1=13％ 3分

pbVa914 K

(M/Mmol)R

25.1 mol的理想气体，完成了由两个等体过程和两个等压过程构成的

p循环过程(如图)，已知状态1的温度为T1，状态3的温度为T3，且状

态2和4在同一条等温线上．试求气体在这一循环过程中作的功． 32

解：设状态“2”和“4”的温度为T

41 WW41W23R(T3T)R(T1T)

VO R(TT)2RT

132分

∵ p1 = p4，p2 = p3，V1 = V2，V3 = V4

而 p1V1RT1，p3V3RT3，p2V2RT，p4V4RT ∴ T1T3p1V1p3V3/R2， T2p2V2p4V4/R2 . 得 T2T1T3，即 T(T1T3)1/2∴ WR[T1T32(T1T3)1/2]

分

26. 一卡诺循环的热机，高温热源温度是 400 K．每一循环从此热源吸进 100 J热量并向一低温热源放出80 J热量．求：

(1) 低温热源温度；

(2) 这循环的热机效率．

解：(1) 对卡诺循环有： T1 / T2 = Q1 /Q2

∴ T2 = T1Q2 /Q1 = 320 K

即：低温热源的温度为 320 K． 3分

(2) 热机效率： 1Q220% 2分 Q1

27.如图所示，有一定量的理想气体，从初状态a(p1,V1)开始，经

p过一个等体过程达到压强为p1/4的b态，再经过一个等压过程达到状态c，最后经等温过程而完成一个循环．求该循环过程中系

p1a统对外作的功W和所吸的热量Q．

p1/4cb解：设c状态的体积为V2，则由于a，c两状态的温度相同，p1V1=

VV1p1V2 /4

故 V2 = 4 V1

2分

循环过程 ΔE = 0 , Q =W ． 而在a→b等体过程中功 W1= 0． 在b→c等压过程中功

W2 =p1(V2－V1) /4 = p1(4V1－V1)/4=3 p1V1/4 2分

在c→a等温过程中功

W3 =p1 V1 ln (V2/V1) = p1V1ln 4 2分 ∴ W =W1 +W2 +W3 =[(3/4)－ln4] p1V1 1分

Q =W=[(3/4)－ln4] p1V1 3分

28.比热容比1.40的理想气体，进行如图所示的

p (Pa)ABCA循环，状态A的温度为300 K．

(1) 求状态B、C的温度； A 400 (2) 计算各过程中气体所吸收的热量、气体所作的

功和气体内能的增量． 300 (普适气体常量 R8.31Jmol1K1) 200

解：(1) C→A等体过程有 pA /TA = pC /TC 100 BCp∴ TCTA(c)75 K O246V (m3)pA1分

B→C等压过程有 VB /VB =VC / TC

∴ TBTC(

VB)225 K 1分 VCpVM (2) 气体的摩尔数为 AA0.321 1分

MmolRTA57R，CpR 1分 22由 γ=1.40 可知气体为双原子分子气体，

故 CVC→A等体吸热过程 WCA =0

QCA =ΔECA = v CV (TA－TC ) =1500 J 2分

B→C等压压缩过程 WBC =PB (VC－VB ) =－400 J

ΔEBC = v CV (TC－TB ) =－1000 J

QBC =ΔEBC + WBC =－1400 J 2分 A→B膨胀过程 WAB1(400100)(62)J1000 J 2 ΔEAB = v CV (TB－TA ) =－500 J

QAB =ΔEAB+ WAB =500 J 2分

29. 一气缸内盛有一定量的单原子理想气体．若绝热压缩使其体积减半，问气体分子的平均速率为原来的几倍？

解：设绝热压缩前气体的体积为V1，温度为T1；压缩后的体积为V2=V1 /2，温度为T2；气体的比热比为 由绝热方程得： V11T1V21T2

∴ T2=T1(V1/V2)γ-1=2γ-1T1 2分 设绝热压缩前后，气体分子的平均速率分别为 v1 和 v2， ∵ vT ∴ v2/ v1T2/T1

将关系式T2/ T1= 2γ-1 代入上式， 得 v2/ v12(1)/2 1分 单原子理想气体  =5/3≈1.67 ， 1分 故 v2/ v1≈1.26 1分

30. 一定量的氦气(理想气体)，原来的压强为p1 =1 atm，温度为T1 = 300 K，若经过一绝热过程，使其压强增加到p2 = 32 atm．求：

(1) 末态时气体的温度T2． (2) 末态时气体分子数密度n．

－－

(玻尔兹曼常量 k =1.38×1023 J·K1, 1atm=1.013×105 Pa ) 解：(1) 根据绝热过程方程 p1TC

T2p(2)(1)/ 有

∴ 氦为单原子分子，5/3 ∴ (2)

T1p1TTp2(1)/21(p) 1

T2=1200 K np21.961026 m3kT 2 3分 2分