【2021中考数学】圆解答题含答案

1．已知：如图，∠PAC＝30°，在射线AC上顺次截取AD＝3cm，DB＝10cm，以DB为直径作⊙O交射线AP于E、F两点． （1）求圆心O到AP的距离； （2）求弦EF的长．

2．如图，A为⊙O上的一点，C为⊙O外的一点，AC交⊙O于点B，且OA＝BC，∠C＝24°，求∠A的度数．

1

3．在⊙O中，半径OD⊥AB，垂足为点P，点C为圆上任意一点，若∠O＝60°，DP＝2，求∠C的度数和半径OB的长．

4．如图，⊙O的半径为2，点A为⊙O上一点，OD⊥弦BC于D，如果∠BAC＝60°．求OD的长和∠OCB度数．

2

5．如图，某地新建的一座圆弧形的拱桥，正常水位时，水面宽40米，拱高10米，今年夏季汛期受上游涨水影响，水位持续上涨5米达到警戒水位，求此时水面的宽度．

6．如图，⊙O中的弦AB＝CD，AB与CD相交于点E．求证： （1）AC＝BD； （2）CE＝BE．

3

7．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，过D作DE⊥CA，垂足为E，且DE与⊙O相切，DO的延长线与BC交于点F． （1）求证：四边形CEDF是矩形； （2）若AC＝OA＝2，求弦长BC与

所围成的图形（阴影部分）的面积．

8．如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E． （1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

4

（2）若⊙O的半径为2，∠BAC＝60°，求线段EF的长．

5

9．如图，AB是⊙O的直径，点D在直径AB上（D与A，B不重合），CD⊥AB，且CD＝AB，连接CB，与⊙O交于点F，在CD上取一点E，使EF＝EC． （1）求证：EF是⊙O的切线；

（2）若D是OA的中点，AB＝4，求CF的长．

10．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC的平分线与AC相交于点D，与⊙O过点A的切线相交于点E． （1）求证：AD＝AE；

（2）若AB＝8，AD＝6，求EB的长．

6

7

参

1．解：（1）过O点作OH⊥EF于H，如图， ∵DB＝10， ∴OD＝5，

∴OA＝AD+OD＝3+5＝8， 在Rt△OAH中，∵∠OAH＝30°，

∴OH＝OA＝4，

即圆心O到AP的距离为4cm； （2）连接OF，如图， ∵OH⊥EF， ∴EH＝FH， 在Rt△OHF中，HF＝

＝3，

＝

∴EF＝2HF＝6（cm）．

2．解：如图，连接OB，

8

∵OB＝OA，OA＝BC， ∴∠ABO＝∠A，OB＝BC， ∴∠BOC＝∠C＝24°， ∴∠ABO＝48°， ∴∠A＝48°． 3．解：连接OA， ∵OD⊥AB，

∴＝，

∵∠BOD＝60° ∴∠AOD＝∠BOD， ∴∠C＝

∠BOD＝30°；

∵OD⊥AB，DP＝2， ∴AC＝CB，设半径为R， 在Rt△OAC中，R﹣2＝

R，

∴R＝4．

∴⊙O的半径为4．

9

4．解：∵∠BAC＝60°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝120°， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB＝∵OD⊥弦BC， ∴∠BDO＝90°， ∴OD＝

OB＝1．

（180°﹣120°）＝30°，

5．解：如图，设桥拱所在的圆心为O，正常水位时的水面为AB，上涨后的水面为CD， 过O作OE⊥CD于E，交AB于F．连接OA、OD

，

则OF⊥AB， ∴AF＝BF＝

AB＝20（米），CE＝DE，

设OA＝r米，则OF＝（r﹣10）米，

在Rt△AOF中，根据勾股定理得r2＝202+（r﹣10）2， 解得：r＝25，则OF＝15米，

在Rt△OED中，OE＝OF+EF＝15+5＝20（米）， ∴DE＝

＝15（米），

＝

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∴CD＝2DE＝30（米），

即水位到达警戒水位时水面宽30米．

6．证明：（1）∵AB＝CD， ∴

＝

，

即+＝+，

∴＝，

∴AC＝BD； （2）∵

＝，

∴∠ADC＝∠DAB， ∴EA＝ED， ∵AB＝CD， 即AE+BE＝CE+DE， ∴CE＝BE．

7．（1）证明：∵DE与⊙O相切， ∴OD⊥DE， ∴∠FDE＝90°， ∵AB是⊙O的直径，

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∴∠ACF＝90°， ∵DE⊥CA， ∴∠E＝90°，

∴四边形CEDF是矩形． （2）解：连接OC，

∵AC＝OA＝OC＝2， ∴△OAC为等边三角形， ∴∠COA＝∠ACO＝60°， ∴∠COB＝120°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠OCF＝30°， ∵四边形CEDF为矩形， ∴∠OFC＝90°，

Rt△OCF中，OC＝2，∠OCF＝30°，∴OF＝1，CF＝，

∴BC＝2

，

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∴S阴影＝S扇形OBC﹣S△OBC＝8．解：（1）直线DE与⊙O相切， 连结OD． ∵AD平分∠BAC， ∴∠OAD＝∠CAD， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∴∠ODA＝∠CAD， ∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，即∠AED＝90°， ∴∠ODE＝90°，即DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线； （2）过O作OG⊥AF于G， ∴AF＝2AG，

∵∠BAC＝60°，OA＝2，

∴AG＝OA＝1，

∴AF＝2， ∴AF＝OD，

∴四边形AODF是菱形， ∴DF∥OA，DF＝OA＝2，

×1＝．

13

∴∠EFD＝∠BAC＝60°， ∴EF＝

DF＝1．

9．（1）证明：连接OF，如图1所示：∵CD⊥AB，

∴∠DBC+∠C＝90°， ∵OB＝OF， ∴∠DBC＝∠OFB， ∵EF＝EC， ∴∠C＝∠EFC， ∴∠OFB+∠EFC＝90°， ∴∠OFE＝180°﹣90°＝90°， ∴OF⊥EF， ∵OF为⊙O的半径， ∴EF是⊙O的切线；

（2）解：连接AF，如图2所示： ∵AB是⊙O的直径，

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∴∠AFB＝90°， ∵D是OA的中点， ∴OD＝DA＝

OA＝

AB＝

×4＝1，

∴BD＝3OD＝3， ∵CD⊥AB，CD＝AB＝4， ∴∠CDB＝90°，

由勾股定理得：BC＝＝＝5，

∵∠AFB＝∠CDB＝90°，∠FBA＝∠DBC， ∴△FBA∽△DBC，

∴＝，

∴BF＝＝＝，

∴CF＝BC﹣BF＝5﹣＝．

10．解：（1）证明：∵BE平分∠ABC，

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∴∠1＝∠2， ∵AB为直径， ∴∠C＝90°， ∴∠2+∠3＝90°， ∵AE为⊙O切线， ∴AE⊥AB， ∴∠E+∠1＝90°， ∴∠E＝∠3， 而∠4＝∠3， ∴∠E＝∠4， ∴AE＝AD；

（2）在Rt△ABE中，AB＝8，AE＝AD＝6，根据勾股定理，得 EB＝＝10．

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