2022年广西贺州市中考数学试卷(解析版)

2022年广西贺州市中考数学试卷真题

一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分；给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．在试卷上作答无效．）

1．（3分）（2022•贺州）下列各数中，﹣1的相反数是（ ） A．﹣1

B．0

C．1

D．2

2．（3分）（2022•贺州）如图，直线a，b被直线c所截，下列各组角是同位角的是（ ）

A．∠1与∠2

B．∠1与∠3

C．∠2与∠3

D．∠3与∠4

3．（3分）（2022•贺州）在一个不透明的盒子中，装有质地、大小一样的白色乒乓球2个，黄色乒乓球3个，随机摸出一个球，摸到黄色乒乓球的概率是（ ） A．

B．

C．

D．

4．（3分）（2022•贺州）下面四个几何体中，主视图为矩形的是（ ）

A． B．

C． D．

5．（3分）（2022•贺州）2022年我国高考报名人数再创新高，约为1193万（即11930000）人，数据11930000用科学记数法表示为（ ） A．1193×104

B．11.93×106

C．1.193×107

D．1.193×108

6．（3分）（2022•贺州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝56°，则∠A的度数为（ ）

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A．34°

B．44°

C．124°

D．134°

7．（3分）（2022•贺州）下列运算正确的是（ ） A．x3+x3＝x6

B．x6÷x3＝x2

C．（3x3）2＝6x5

D．x2•x3＝x5

8．（3分）（2022•贺州）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE＝2，BC＝5，则S△ADE：S△ABC的值是（ ）

A．

B．

C．

D．

9．（3分）（2022•贺州）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则y＝﹣kx+b与y＝的图象为（ ）

A． B．

C． D．

10．（3分）（2022•贺州）如图，在等腰直角△OAB中，点E在OA上，以点O为圆心、OE为半径作圆弧交OB于点F，连接EF，已知阴影部分面积为π﹣2，则EF的长度为（ ）

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A．

B．2

C．2

D．3

11．（3分）（2022•贺州）已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（ ） A．1

B．2

C．3

D．4

12．（3分）（2022•贺州）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是6cm，高是6cm；圆柱体底面半径是3cm，液体高是7cm．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（ ）

A．2cm

B．3cm

C．4cm

D．5cm

二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分；请把答案填在答题卡对应的位置上，在卷上作答无效） 13．（3分）（2022•贺州）若是 ．

14．（3分）（2022•贺州）因式分解：3m2﹣12＝ ．

15．（3分）（2022•贺州）如图，在平面直角坐标系中，△OAB为等腰三角形，OA＝AB＝5，点B到x轴的距离为4，若将△OAB绕点O逆时针旋转90°，得到△OA′B′，则点B′的坐标为 ．

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在实数范围内有意义，则实数x的取值范围

16．（3分）（2022•贺州）若实数m，n满足|m﹣n﹣5|+＝ ．

17．（3分）（2022•贺州）一枚质地均匀的骰子，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6．连续抛掷骰子两次，第一次正面朝上的数字作为十位数，第二次正面朝上的数字作为个位数，则这个两位数能被3整除的概率为 ． 18．（3分）（2022•贺州）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，E，F分别是

＝0，则3m+nAD，AB的中点，∠ADC的平分线交AB于点G，点P是线段DG上的一个动点，则△PEF的周长最小值为 ．

三、解答题：（本大题共8题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

19．（6分）（2022•贺州）计算：20．（6分）（2022•贺州）解方程：

+|﹣2|+（＝

﹣2．

﹣1）0﹣tan45°．

21．（8分）（2022•贺州）为了落实“双减”，提倡课内高效学习，课外时间归还学生．“鸿志”班为了激发学生学习热情，提高学习成绩，采用分组学习方案，每7人分为一小组．经过半个学期的学习，在模拟测试中，某小组7人的成绩分别为98，94，92，88，95，98，100（单位：分）． （1）该小组学生成绩的中位数是 ，众数是 ；

（2）若成绩95分（含95分）以上评为优秀，求该小组成员成绩的平均分和优秀率（百分率保留整数）．

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22．（8分）（2022•贺州）如图，在小明家附近有一座废旧的烟囱，为了乡村振兴，美化环境，计划把这片区域改造为公园．现决定用爆破的方式拆除该烟囱，为确定安全范围，需测量烟囱的高度AB，因为不能直接到达烟囱底部B处，测量人员用高为1.2m的测角器在与烟囱底部B成一直线的C，D两处地面上，分别测得烟囱顶部A的仰角∠B′C′A＝60°，∠B′D′A＝30°，同时量得CD为60m．问烟囱AB的高度为多少米？（精确到0.1m，参考数据：≈1.414，

≈1.732）

23．（8分）（2022•贺州）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且ED＝BF，连接AF，CE，AC，EF，且AC与EF相交于点O． （1）求证：四边形AFCE是平行四边形；

（2）若AC平分∠FAE，AC＝8，tan∠DAC＝，求四边形AFCE的面积．

24．（8分）（2022•贺州）2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品．某商家以每套34元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件．若该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套． （1）设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，求该商品销售量y与x之间的函数关系式；

（2）求每套售价定为多少元时，每天销售套件所获利润W最大，最大利润是多少元？

25．（10分）（2022•贺州）如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，延长AB到点E，使得BE＝BC＝6，连接EC，且∠ECB＝∠CAB，点D是

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上的点，连接AD，CD，

且CD交AB于点F．

（1）求证：EC是⊙O的切线； （2）若BC平分∠ECD，求AD的长．

26．（12分）（2022•贺州）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式；

（2）点P为抛物线对称轴上一动点，当△PCB是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；

（3）在（2）条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点，使得S△BCM＝S△BCP若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．

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2022年广西贺州市中考数学试卷

参与试题解析

一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分；给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．在试卷上作答无效．）

1．（3分）（2022•贺州）下列各数中，﹣1的相反数是（ ） A．﹣1

B．0

C．1

D．2

【分析】直接利用相反数的定义进行判断即可． 【解答】解：﹣1的相反数是：1． 故选：C．

【点评】此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键． 2．（3分）（2022•贺州）如图，直线a，b被直线c所截，下列各组角是同位角的是（ ）

A．∠1与∠2

B．∠1与∠3

C．∠2与∠3

D．∠3与∠4

【分析】同位角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角．

【解答】解：根据同位角、邻补角、对顶角的定义进行判断，

A、∠1和∠2是对顶角，故A错误； B、∠1和∠3是同位角，故B正确； C、∠2和∠3是内错角，故C错误； D、∠3和∠4是邻补角，故D错误． 故选：B．

【点评】解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．

3．（3分）（2022•贺州）在一个不透明的盒子中，装有质地、大小一样的白色乒

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乓球2个，黄色乒乓球3个，随机摸出一个球，摸到黄色乒乓球的概率是（ ） A．

B．

C．

D．

【分析】随机摸出一个球共有5种等可能结果，其中摸到黄色乒乓球的有3种，再根据概率公式求解即可．

【解答】解：随机摸出一个球共有5种等可能结果，其中摸到黄色乒乓球的有3种，

∴随机摸出一个球，摸到黄色乒乓球的概率为， 故选：D．

【点评】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．

4．（3分）（2022•贺州）下面四个几何体中，主视图为矩形的是（ ）

A． B．

C． D．

【分析】根据主视图是从物体正面看，所得到的图形，分别得出四个几何体的主视图，即可解答．

【解答】解：A．长方体的主视图是矩形，故本选项符合题意；

B．三棱锥的主视图是三角形，故本选项不符合题意； C．圆锥的主视图是等腰三角形，故本选项不符合题意； D．圆台的主视图是等腰梯形，故本选项不符合题意． 故选：A．

【点评】本题考查了简单几何体的主视图，注意主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．

5．（3分）（2022•贺州）2022年我国高考报名人数再创新高，约为1193万（即11930000）人，数据11930000用科学记数法表示为（ ）

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A．1193×104 B．11.93×106 C．1.193×107 D．1.193×108

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．

【解答】解：11930000＝1.193×107． 故选：C．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值． 6．（3分）（2022•贺州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝56°，则∠A的度数为（ ）

A．34°

B．44°

C．124°

D．134°

【分析】根据直角三角形的两锐角互余计算即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°， 则∠B+∠A＝90°， ∵∠B＝56°，

∴∠A＝90°﹣56°＝34°， 故选：A．

【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．

7．（3分）（2022•贺州）下列运算正确的是（ ） A．x3+x3＝x6

B．x6÷x3＝x2

C．（3x3）2＝6x5

D．x2•x3＝x5

【分析】按照整式幂的运算法则逐一计算进行辨别． 【解答】解：∵x3+x3＝2x3， ∴选项A不符合题意；

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∵x6÷x3＝x3，， ∴选项B不符合题意； ∵（3x3）2＝9x6， ∴选项C不符合题意； ∵x2•x3＝x5， ∴选项D符合题意， 故选：D．

【点评】此题考查了整式幂的相关运算能力，关键是能准确理解并运用该计算法则．

8．（3分）（2022•贺州）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE＝2，BC＝5，则S△ADE：S△ABC的值是（ ）

A．

B．

C．

D．

【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴S△ADE∽S△ABC， ∵DE＝2，BC＝5， ∴S△ADE：S△ABC的值为故选：B．

【点评】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．

9．（3分）（2022•贺州）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则y＝﹣kx+b与y＝的图象为（ ）

，

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A． B．

C． D．

【分析】本题形数结合，根据一次函数y＝kx+b的图象位置，可判断k、b的符号；再由一次函数y＝﹣kx+b，反比例函数y＝中的系数符号，判断图象的位置．经历：图象位置﹣系数符号﹣图象位置．

【解答】解：根据一次函数y＝kx+b的图象位置，可判断k＞0、b＞0． 所以﹣k＜0．

再根据一次函数和反比例函数的图像和性质， 故选：A．

【点评】本题考查一次函数和反比例函数的性质及数形结合思想的运用，故牢记函数的图像和性质是解题的关键．

10．（3分）（2022•贺州）如图，在等腰直角△OAB中，点E在OA上，以点O为圆心、OE为半径作圆弧交OB于点F，连接EF，已知阴影部分面积为π﹣2，则EF的长度为（ ）

A．

B．2

C．2

D．3

【分析】设OE＝OF＝r，利用扇形面积减去直角三角形OEF的面积等于阴影部分面积列方程，即可求出r，再用勾股定理即可求出EF长． 【解答】解：设OE＝OF＝r， 则

∴r＝±2（舍负），

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，

在Rt△OEF中，EF＝故选：C．

＝2，

【点评】本题主要考查扇形面积的计算，解题关键是将不规则面积转化成规则面积．

11．（3分）（2022•贺州）已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（ ） A．1

B．2

C．3

D．4

【分析】先找到二次函数的对称轴和顶点坐标，求出y＝15时，x的值，再根据二次函数的性质得出答案．

【解答】解：∵二次函数y＝2x2﹣4x﹣1＝2（x﹣1）2﹣3， ∴抛物线的对称轴为x＝1，顶点（1，﹣3）， ∴当y＝﹣3时，x＝1，

当y＝15时，2（x﹣1）2﹣3＝15， 解得x＝4或x＝﹣2，

∵当0≤x≤a时，y的最大值为15， ∴a＝4， 故选：D．

【点评】本题考查的是二次函数的最值，熟知二次函数的顶点坐标公式是解答此题的关键．

12．（3分）（2022•贺州）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是6cm，高是6cm；圆柱体底面半径是3cm，液体高是7cm．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（ ）

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A．2cm

B．3cm

C．4cm

D．5cm

【分析】由圆锥体底面半径是6cm，高是6cm，可得CD＝DE，根据圆锥、圆柱体积公式可得液体的体积为63πcm3，圆锥的体积为72πcm3，即知计时结束后，圆锥中没有液体的部分体积为9πcm3，设计时结束后，“沙漏”中液体的高度AD为xcm，可得π•（6﹣x）2•（6﹣x）＝9π，即可解得答案． 【解答】解：如图：

∵圆锥的圆锥体底面半径是6cm，高是6cm， ∴△ABC是等腰直角三角形，

∴△CDE也是等腰直角三角形，即CD＝DE，

由已知可得：液体的体积为π×3×7＝63π（cm），圆锥的体积为π×6×6＝72π（cm3），

∴计时结束后，圆锥中没有液体的部分体积为72π﹣63π＝9π（cm3）， 设计时结束后，“沙漏”中液体的高度AD为xcm，则CD＝DE＝（6﹣x）cm， ∴π•（6﹣x）2•（6﹣x）＝9π， ∴（6﹣x）3＝27，

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2

3

2

解得x＝3，

∴计时结束后，“沙漏”中液体的高度为3cm， 故选：B．

【点评】本题考查圆柱体、圆锥体体积问题，解题的关键是掌握圆柱体、圆锥体体积公式，列出方程解决问题．

二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分；请把答案填在答题卡对应的位置上，在卷上作答无效） 13．（3分）（2022•贺州）若

在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是

x≥5 ．

【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而得出答案． 【解答】解：式子

在实数范围内有意义，则x﹣5≥0，

故实数x的取值范围是：x≥5． 故答案为：x≥5．

【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握相关定义是解题关键．

14．（3分）（2022•贺州）因式分解：3m﹣12＝ 3（m+2）（m﹣2） ． 【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【解答】解：3m2﹣12， ＝3（m2﹣4）， ＝3（m+2）（m﹣2）． 故答案为：3（m+2）（m﹣2）．

【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

15．（3分）（2022•贺州）如图，在平面直角坐标系中，△OAB为等腰三角形，OA＝AB＝5，点B到x轴的距离为4，若将△OAB绕点O逆时针旋转90°，得到△OA′B′，则点B′的坐标为 （﹣4，8） ．

2

第14页（共25页）

【分析】过点B作BN⊥x轴，过点B′作B′M⊥y轴，先求出ON＝8，再证明△AOB≌△A′OB′（AAS），推出OM＝ON＝8，B′M＝BN＝4，从而求出点B′的坐标．

【解答】解：过点B作BN⊥x轴，过点B′作B′M⊥y轴， ∴∠B′MO＝∠BNO＝90°，

∵OA＝AB＝5，点B到x轴的距离为4， ∴AN＝3， ∴ON＝8，

∵将△OAB绕点O逆时针旋转90°，得到△OA′B′， ∴∠BOB′＝90°，OB＝OB′，

∴∠BOA′+∠B′OA′＝∠BOA+∠BOA′， ∴∠BOA＝∠B′OA′， ∴△AOB≌△A′OB′（AAS）， ∴OM＝ON＝8，B′M＝BN＝4， ∴B′（﹣4，8）， 故答案为：（﹣4，8）．

【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握这几个知识点的综合应用，其中作出辅助线证明三角形全等是解题关键． 16．（3分）（2022•贺州）若实数m，n满足|m﹣n﹣5|+7 ．

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＝0，则3m+n＝

【分析】根据非负数的性质求出m和n的值，再代入3m+n计算可得． 【解答】解：∵|m﹣n﹣5|+∴m﹣n﹣5＝0，2m+n﹣4＝0， ∴m＝3，n＝﹣2， ∴3m+n＝9﹣2＝7． 故答案为：7．

【点评】本题考查的是非负数的性质，掌握非负数之和等于0时，各项都等于0是解题的关键．

17．（3分）（2022•贺州）一枚质地均匀的骰子，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6．连续抛掷骰子两次，第一次正面朝上的数字作为十位数，第二次正面朝上的数字作为个位数，则这个两位数能被3整除的概率为

．

＝0，

【分析】画树状图，共有36种等可能的结果，其中所得两位数能被3整除的结果有12种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：画树状图如下：

共有36种等可能的结果，其中所得两位数能被3整除的结果有12种， ∴两位数能被3整除的概率为 故答案为：．

【点评】此题考查的是树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．

18．（3分）（2022•贺州）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，E，F分别是

＝，

AD，AB的中点，∠ADC的平分线交AB于点G，点P是线段DG上的一个动点，则△PEF的周长最小值为 5+

．

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【分析】如图，在DC上截取DT，使得DT＝DE，连接FT，过点T作TH⊥AB于点H．利用勾股定理求出FT＝论．

【解答】解：如图，在DC上截取DT，使得DT＝DE，连接FT，过点T作TH⊥

，EF＝5，证明PE+PF＝PF+PT≥FT，可得结

AB于点H．

∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠ADT＝90°， ∵∠AHT＝90°， ∴四边形AHTD是矩形，

∵AE＝DE＝AD＝3．AF＝FB＝AB＝4，

∴AH＝DT＝3，HF＝AF﹣AH＝4﹣3＝1，HT＝AD＝6， ∴FT＝

＝

＝

，

∵DG平分∠ADC，DE＝DT， ∴E、T关于DG对称， ∴PE＝PT，

∴PE+PF＝PF+PT≥FT＝∵EF＝

＝

， ＝5，

，

∴△EFP的周长的最小值为5+故答案为：5+

．

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【点评】本题考查矩形的性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 三、解答题：（本大题共8题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

19．（6分）（2022•贺州）计算：

+|﹣2|+（

﹣1）0﹣tan45°．

【分析】利用零指数幂和特殊角的三角函数值进行化简，可求解． 【解答】解：＝3+2+1﹣1 ＝5．

【点评】本题考查了实数的运算，利用零指数幂和特殊角的三角函数值化简是解题的关键．

20．（6分）（2022•贺州）解方程：

＝

﹣2．

+|﹣2|+（

﹣1）0﹣tan45°

【分析】应用解分式方程的方法进行计算即可得出答案． 【解答】解：方程量表同时乘以最简公分母（x﹣4）， 得3﹣x＝﹣1﹣2（x﹣4）， 去括号，得3﹣x＝﹣1﹣2x+8， 解方程，得x＝4，

检验：当x＝4时，x﹣4＝0，

∴x＝4不是原方程的解，原分式方程无解．

【点评】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法进行求解是解决本题的关键．

21．（8分）（2022•贺州）为了落实“双减”，提倡课内高效学习，课外时间归还学生．“鸿志”班为了激发学生学习热情，提高学习成绩，采用分组学习方案，每7人分为一小组．经过半个学期的学习，在模拟测试中，某小组7人的成绩分别为98，94，92，88，95，98，100（单位：分）． （1）该小组学生成绩的中位数是 95分 ，众数是 98分 ； （2）若成绩95分（含95分）以上评为优秀，求该小组成员成绩的平均分和优秀率（百分率保留整数）．

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【分析】（1）将这组数据重新排列，再根据中位数和众数的定义求解即可； （2）根据算术平均数的定义和优秀率的概念求解即可．

【解答】解：（1）将7人的成绩重新排列为88，92，94，95，98，98，100， 所以这组数据的中位数是95分，众数是98分， 故答案为：95分，98分；

（2）该组成员成绩的平均分为×（98+94+92+88+95+98+100）＝95（分）， 95分（含95分）以上人数为4人， 所以优秀率为×100%≈57%，

答：该小组成员成绩的平均分为95分，优秀率为57%．

【点评】本题主要考查众数、中位数、算术平均数，解题的关键是掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．

22．（8分）（2022•贺州）如图，在小明家附近有一座废旧的烟囱，为了乡村振兴，美化环境，计划把这片区域改造为公园．现决定用爆破的方式拆除该烟囱，为确定安全范围，需测量烟囱的高度AB，因为不能直接到达烟囱底部B处，测量人员用高为1.2m的测角器在与烟囱底部B成一直线的C，D两处地面上，分别测得烟囱顶部A的仰角∠B′C′A＝60°，∠B′D′A＝30°，同时量得CD为60m．问烟囱AB的高度为多少米？（精确到0.1m，参考数据：≈1.414，

≈1.732）

【分析】根据题意可得BB′＝DD′＝CC′＝1.2米，D′C′＝DC＝60米，然后利用三角形的外角可得∠AD′C′＝∠D′AC′＝30°，从而可得D′C′＝

AC′＝60米，再在Rt△AC′B′中，利用锐角三角函数的定义求出AB′的长，

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进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：

BB′＝DD′＝CC′＝1.2米，D′C′＝DC＝60米， ∵∠AC′B′是△AD′C′的一个外角， ∴∠D′AC′＝∠AC′B′﹣∠AD′B′＝30°， ∴∠AD′C′＝∠D′AC′＝30°， ∴D′C′＝AC′＝60米，

在Rt△AC′B′中，∠AC′B′＝60°， ∴AB′＝AC′•sin60°＝60×∴AB＝AB′+BB′＝30

＝30

（米），

+1.2≈53.2（米），

∴烟囱AB的高度约为53.2米．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．

23．（8分）（2022•贺州）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且ED＝BF，连接AF，CE，AC，EF，且AC与EF相交于点O． （1）求证：四边形AFCE是平行四边形；

（2）若AC平分∠FAE，AC＝8，tan∠DAC＝，求四边形AFCE的面积．

【分析】（1）根据平行四边形性质得出AD＝BC．AE∥FC，根据等量减等量差相等，得出AE＝FC，从而证明四边形AFCE是平行四边形；

（2）先证明平行四边形AFCE是菱形，根据三角函数求出EO＝3，求出S△AEO＝AO•EO＝6，从而求出四边形AFCE的面积． 【解答】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，

AD＝BC．AE∥FC， ∵ED＝BF，

∴AD﹣ED＝BC﹣BF，

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∴AE＝FC，

∴四边形AFCE是平行四边形； （2）解：∵AE∥FC， ∴∠EAC＝∠ACF， ∴∠EAC＝∠FAC， ∴∠ACF＝∠FAC， ∴AF＝FC，

∵四边形AFCE是平行四边形， ∴平行四边形AFCE是菱形， ∴AO＝AC＝4，AC⊥EF，

在Rt△AOE中，AO＝4，tan∠DAC＝， ∴EO＝3，

∴S△AEO＝AO•EO＝6，

S菱形＝4S△AEO＝24．

【点评】本题考查了解直角三角形、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质，掌握这几个知识点的综合应用是解题关键．

24．（8分）（2022•贺州）2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品．某商家以每套34元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件．若该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套． （1）设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，求该商品销售量y与x之间的函数关系式；

（2）求每套售价定为多少元时，每天销售套件所获利润W最大，最大利润是多少元？

【分析】（1）根据题意，得y＝200﹣×4（x﹣48），化简即可；

（2）根据题意，得W＝（x﹣34）（﹣2x+296），化成顶点式，再根据二次函数的性质求出最大值．

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【解答】解：（1）根据题意，得y＝200﹣×4（x﹣48） ＝﹣2x+296，

∴y与x之间的函数关系式：y＝﹣2x+296； （2）根据题意，得W＝（x﹣34）（﹣2x+296） ＝﹣2（x﹣91）2+98， ∵a＝﹣2＜0，

∴抛物线开口向下，W有最大值， 当x＝91时，W最大值＝98，

答：每套售价定为：91元时，每天销售套件所获利润最大，最大利润是98元．

【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）．

25．（10分）（2022•贺州）如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，延长AB到点E，使得BE＝BC＝6，连接EC，且∠ECB＝∠CAB，点D是且CD交AB于点F．

（1）求证：EC是⊙O的切线； （2）若BC平分∠ECD，求AD的长．

上的点，连接AD，CD，

【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质及圆周角定理可得OC⊥EC，然后由切线的判定方法可得结论；

（2）由角平分线的性质可得∠BAD＝∠CAB，利用圆周角定理及等腰三角形的性质可得∠E＝∠ECB＝∠BCF＝30°，然后根据解直角三角形可得答案． 【解答】（1）证明：连接OC，

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∵OA＝OC， ∴∠CAB＝∠ACO， ∵∠ECB＝∠CAB， ∴∠ECB＝∠ACO， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠ACO+∠OCB＝90°，

∴∠ECB+∠OCB＝90°，即OC⊥EC， ∵OC是⊙O的半径， ∴EC是⊙O的切线； （2）解：∵BC平分∠ECD， ∴∠BCD＝∠ECB， ∵∠BCD＝∠BAD， ∴∠ECB＝∠BAD， ∵∠ECB＝∠CAB， ∴∠BAD＝∠CAB， ∵AB是直径， ∴AB⊥DC， 在Rt△FCE中， ∵BE＝BC， ∴∠E＝∠ECB，

∴∠E＝∠ECB＝∠BCF＝30°， 在Rt△BCF中，BC＝6，∠BCF＝30°， ∴CF＝BC•cos∠BCF＝6×∵AB⊥CD，AB是直径，

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＝3，

∴DF＝CF＝3，

∵∠DAF＝∠BCF＝30°， ∴AD＝

＝

．

【点评】此题考查的是圆的有关性质定理，涉及圆周角定理、切线的判定与性质、解直角三角形、等腰三角形的性质等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．

26．（12分）（2022•贺州）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式；

（2）点P为抛物线对称轴上一动点，当△PCB是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；

（3）在（2）条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点，使得S△BCM＝S△BCP若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）由交点式可直接得出抛物线的解析式；

（2）设P（1，m），根据PB＝PC列出方程，进而求得点P坐标；

（3）作PQ∥BC交y轴于Q，作MN∥BC交y轴于N，先求出PQ的解析式，进而求得MN的解析式，进一步求得结果．

【解答】解：（1）由题意得：y＝﹣（x+1）（x﹣3）•， ∴y＝﹣x2+2x+3； （2）设P（1，m）， ∵PB2＝PC2，

∴（3﹣1）2+m2＝1+（m﹣3）2， ∴m＝1，

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∴P（1，1）；

（3）假设存在M点满足条件，

作PQ∥BC交y轴于Q，作MN∥BC交y轴于N， ∵PQ的解析式为y＝﹣x+2， ∴Q（0，2），

∵C（0，3），S△BCM＝S△BCP， ∴N（0，4），

∴直线MN的解析式为：y＝﹣x+4， 由﹣x2+2x+3＝﹣x+4得，

x＝，

或

．

∴M点横坐标为

【点评】本题考查了求二次函数解析式，一次函数解析式，勾股定理列方程，两个函数图象交点与对应方程（组）之间的关系等知识，解决问题的关键是转化题意，求一次函数解析式．

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