第七章 线性离散系统与Z 变换第⼀节 概述
离散系统（采样数字系统），与连续系统的根本区别在于所处理的信号是离散型的。在离散控制系统中，认为系统变量仅是在离散的时刻上才发⽣变化，⽽在两个相邻时刻之间是不发⽣变化的。离散信号的时间函数如图7－1所⽰。
图7－1 离散的时间函数
在离散控制系统中最常⽤的计算机控制系统，其原理图7－2如所⽰。
图7－2 计算机控制系统原理图
◆ 线性连续系统的动态特性可以由微分⽅程描述，分析线性定常连续系统采⽤拉⽒变换；
◆ 线性离散系统的动态特性可以⽤线性差分⽅程描述，分析线性定常离散系统采⽤Z 变换法。Z 变换是分析单输⼊单输出、线性定常离散系统的有⼒⼯具。第⼆节 Z 变换
Z 变换是由拉⽒变换引出的，可以把Z 变换看成拉⽒变换的⼀种变形。⼀、 采样函数的拉⽒变换
设连续时间函数()x t 可以进⾏拉普拉斯变换，其拉⽒变换为()X s 。连续时间函数 ()x t 经采样周期为 0T 的采样器采样后，变成离散信号*()x t
+-++-+-+=)()()2()2()()()()0()(000000*nT t nT x T t T x T t T x t x t x δδδδ＝
()()n x nT t nT δ∞=-∑ （7－1）
对上式进⾏拉普拉斯变换，⼜snT e nT t L 0]([0-=-δ可得0**
0000000()[()][()()]()[()]()n nT s
n n X s L x t L x nT t nT x nT L t nT x nT e δδ∞=∞∞
-====-=-=∑∑∑ （7－2）⼆、 采样函数的Z 变换
在式（7－2）中，由于s 在指数⾥，给运算带来许多困难。为此引进新的变量0T s z e =，则式7－2变形为∑∞=-=00)()(n nz nT x z X （7－3）
称()X z 为离散时间函数 *()x t 的Z 变换，记为 *[()]()Z x t X z =或者[()]
()Z x n T X z =。相应的Z 反变换表⽰为1*[()]()Z X z x t -=。
⼀般，采样函数的变量直接⽤n 表⽰，即0()()x n x nT =，记作n x ，所以0()n n n X z x z ∞
-==∑ （7－4）——Z 变换的⽆穷级数表⽰形式
注：只有采样序列*()x t 才能定义Z 变换。有时为书写⽅便，也写*[()][()]Z x t Z x t =，但含义仍是对采样序列求Z 变换。三、由定义求取Z 变换由式（7－3）可得∑∞=-=00)()(n n
z nT x z X ，因此只要知道连续时间函数 )
(t x 在采样时刻 ),2,1,0(0∞= n nT 上的采样值 )(0nT x ，就可以求取其 Z 变换的⽆穷级数展开式。
Z 变换的⽆穷级数形式具有明显的物理意义。它和原来的离散序列之间，有着⾮常明确的“幅值”和“定时”对应关系。n x
n z -——各采样时刻000,2,3T T T ；
由于级数展开式具有⽆穷多项，为了便于应⽤，需要将⽆穷级数写成闭合形式，这其中需要⼀定的技巧和经验。【例】求单位阶跃时间序列()1()y kT kT =的Z 变换解：12311()[1()]1()11k k zY z Z kT kT z z z z z z ∞
-----====++++=-∑ ＝1－ 注：⽤到等⽐序列的求和公式1(1),||11n a q q q-<-。——收敛域问题
由于从定义求X(z)⽐较困难，⼯程上常常通过查阅已编好的“Z 变换对照表”来实现。四、z 变换的主要性质1、线性定理
若()[()]F z Z f kT =，11()[()]z Z kT f F =，22()[()]z Z kT f F = 则有1212[()()]()()Z a kT b kT a z z f f bF F ±=± 2、延迟定理若()[()]F z Z f kT =，11(1)
[()]()()()()(1)(1)n nj
j n n Z f k n z F z f j n z z F z f n f n z f z ---=-----=+-=+-+-++-∑[()]()n Z f kT nT z F z --=。
即离散信号在时域内延迟T ，则其Z 变换应该乘以1z -，所以1z -可以看作是滞后⼀个采样周期的算⼦。 3、超前定理若()[()]F z Z f kT =，1112[()]()()()()()(0)(1)(2)(1)n n n njnn j
j j n n n n Z f kT nT z F z z
z f jT z F z z f jT z F z z f z f z f zf n ----==--+=-=-=------∑∑
即离散信号在时域内超前T ，则其Z 变换应该乘以z ，所以z 可以看作是超前⼀个采样周期的算⼦。注：延迟定理和超前定理，主要⽤于求解差分⽅程。4、复数位移定理
若()[()]F z Z f kT =，则[()]()akT akT Z f kT F z e e ±= 。 5、复微分定理若()[()]F z Z f kT =，则[()]()dZ kT f kT Tz F z dz=-。 6、初值定理
若()[()]F z Z f kT =，则(0)()lim z f F z →∞=。
7、终值定理
若()[()]F z Z f kT =，则有 1()(1)()l i m l i m k T z f k T z F z →∞→=-五、常⽤函数的Z 变换对照表
表7-1 常⽤的拉普拉斯变换与z 变换对照表
【例】连续时间函数 )(t x 的拉普拉斯变换为 )(a s s a+，试求取其Z 变换。
解：根据部分分式法，先写出 )(t x 的拉普拉斯变换 )(s X 的部分分式展开式，即令a s A s A a s s a
s X ++=+=21)()(其中：1)(0
1=+==s a s s a sA ，1)()
(2-=++=-=as a s s a a s A 可得a s s a s s a s X +-=+=11)()(
查 Z 变换表得0000)1(1(1)(2)
aT aT aT aT e z e z e z e z z z z z X ----++--=---=第三节 Z 反变换
由X(z)求出相应的时间序列()x nT 称为Z 反变换，记作1[()]()Z X z x nT -=。Z 反变换的求解⽅法通常有长除法、部分分式法和留数计算法。⼀、长除法
长除法是将 )(z X 展开成 1-z 的⽆穷级数形式，即∑∞
=----+++++==0
020100)()2()()0()()(n n n z nT x z T x z T x x z nT x z X这⾥，)(0nT x 是离散时间函数 )(*
t x 在各个采样时刻上的值，通过长除法来确定。设)()
()(z D z M z X =其中
)()()(110110m n z a z a a z D z b z b b z M n
n m m ≥+++=+++=---- （按照1z -的升幂或者z 的降幂排列）【例】11() (1)X z z a az -=>-，，求z反变换12233111122222233331111
az a z a z az az az az a z a z a z a z a z ------------+++----12233()1nn
n X z az a za zaz ---∞-==++++=∑…
()()n x n a t nT δ∴=-注：⼀般来讲，⽤长除法只能求得时间序列的前若⼲项⽬，得不到数学解析式。【例】试应⽤长除法求取)5.0)(1(5.0)(--=z z z
z X 的 Z 反变换。
解：211
25.05.115.05.05.15.0)5.0)(1(5.0)(---+-=+-=--=z z z z z z z z z z X 应⽤长除法得++++=----43219375.0875.075.05.0)(z z z z z X由此可得
⼆、部分分式法
应⽤部分分式法求取 Z 反变换的过程，与应⽤部分分式法求拉普拉斯反变换是很相似的。它需先将 z z X )(写成部分分式和的形式，即1()n ii i
A X z z z p ==-∑ 其中，()[()]i i i z p X z A z p z ==- （7－5） 则Z 反变换 11()[]ni i iA z
x nT Z z p -==-∑【例】应⽤部分分式法求)3)(2()(--=z z z
z X 的 Z 反变换。解： 32)3)(2(1)(-+-=--=z bz a z z z
z X 其中： 1)3)(2(1)2(2
-=---==z z z z a ，1)3)(2(1)3(3
=---==z z z z b可得32)3)(2()(-+--=--=z zz z z z z z X由 Z 变换表查得 nn z z Z z z Z 3]3[,2]2[11=-=---因此∑∞=-+-=00*)
()32()(n n n nT t t x δ
根据上式可得： ,19)3(,5)2(,1)(,0)0(000====T x T x T x x三、留数计算法1111
()Res[()]lim()()]i ikk
n n z p i z p i i x nT X z z z p X z z --=→====-∑∑ （7－6）其中，k 表⽰极点个数，i p 表⽰第i 个极点。
【例】试应⽤留数计算法，求 )1)(8.0)(2.0(2)(2-+++=z z z zz z x 的Z 反变换 )(*t x 解：根据式（7－6）有)
,2,1,0( 1825)8.0(910)2.0(25 )1()1)(8.0)(2.0()2( )
8.0()1)(8.0)(2.0()2()2.0()1)(8.0)(2.0()2( ]
)1)(8.0)(2.0()2([])1)(8.0)(2.0(2[)(18.02.01
20 =+-+--=--+++++-+++++-+++=-+++=-+++==-=-=-∑∑n z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z res z z z z z z res nT x n n z n zn z n n n
因此得Z 反变换为∑∑∞=∞
=-+-+--=-=00000*)()1825
)8.0(910)2.0(25()()()(n n n n nT t nT t nT x t x δδ
由于Z 变换是对采样序列的变换，所以Z 反变换得到的仅是连续时间函数在各采样时刻上的函数值，得不到采样点之间的函数值。【作业】⽤部分分式法求112
0.6()1 1.40.4z Y z z z
---=-+的Z 反变换。 第四节 ⽤Z 变换法求解差分⽅程
线性离散系统的动态特性可以⽤线性差分⽅程描述，采⽤Z 变换法求解差分⽅程，可以使差分⽅程变成代数⽅程，⼤⼤简化和⽅便离散系统的分析与综合。⼀、差分⽅程的定义1、后向差分⽅程
对于单输⼊单输出线性定常系统，在某⼀采样时刻的输出值()y k ，不仅与这⼀时刻的输⼊值()u k 有关，与k 时刻以前的输⼊值(1),(2)u k u k -- 有关，还与k 时刻以前的输出值(1),(2)y k y k -- 有关。可以把这种关系描述如下：
（7－7）
式（7－7）称为后向差分⽅程。 2、前向差分⽅程
对于单输⼊单输出线性定常系统，在某⼀采样时刻的输出值()y k ，不仅与这⼀时刻的输⼊值()u k 有关，与将来时刻的输⼊值(1),(2)u k u k ++ 有关，还与将来时刻的输出值(1),(2)y k y k ++ 有关。可以把这种关系描述如下：011011()(1)(1)()()(1)(1)()
n n m m a y k n a y k n a y k a y k b u k m b u k m b u k b u k --+++-++++=+++-++++ （7－8）式（7－8）称为前向差分⽅程。
◆ 求解差分⽅程，可⽤迭代法和Z 变换⽅法。⼆、迭代法求解差分⽅程由式（7－7）变形可得
如果已知系统的初始值(1),(-2),,()y y y n -- 和输⼊信号序列{()}u k ，就可以递推求得(0),(1),(2)y y y 。 【例】
◆ ⽤计算机实现迭代法很容易。但在求解之前，必须已知初始条件和输⼊序列；递推解法仅能得到输出序列的有限项，⽽且当初始条件或输⼊发⽣变化时，所有步骤必须重做。三、Z 变换求解差分⽅程
采⽤Z 变换法求解差分⽅程的实质，是将差分⽅程变换成以 z 为变量的代数⽅程，从⽽获得差分⽅程的解。滞后定理：11(1)
[()]()()()()(1)(1)n nj
j n n Z f k n z F z f j n z z F z f n f n z f z ---=-----=+-=+-+-++-∑超前定理：112[()]()()()(0)(1)(2)(1)n n
n j j n n n n Z f kT nT z F z z f jT z F z z f z f z f zf n --=--+=-=------∑【例】⽤ Z 变换法，求解下列差分⽅程)1)1(,0)0((0
)(2)1(3)2(===++++x x k x k x k x
解：对给定差分⽅程两端同时进⾏Z 变换得0)(2)0(3)(3)1()0()(22=+-+--z X zx z zX zx x z z X z由于 1)1(,0)0(==x x 则有0)(2)(3)(2=++-z X z zX z z X z即
21)2)(1(23)(2+-
+=++=++=z z
z z z z z z z z z X由于 k a
a z z Z =--1，则有k
k z z Z z z Z )2(2,)1(111-=+-=+--因此
)3,2,1,0()2()1()( =---=k k x kk【例】
应⽤Z变换法，将差分⽅程变换成以z为变量的代数⽅程时，初始数据便⾃动包含在代数⽅程中。【作业】求下列系统的响应()x k)()
(2)1(3)2(kukxkxkx=++-+
式中：()0(0)x k k=≤，1,0 ()0,0ku kk==?<或k>0提⽰：将1
k=-代⼊上述⽅程中，得(1)0x=
解：将 1-=k 代⼊上述⽅程中，得 0)1(=x ，取给定系统⽅程的 Z 变换并考虑到初始条件，得
)()()23(2z U z X z z =+-式中系统输⼊函数 )(k u 的 Z 变换为1)()(0==∑∞=-k k z k u z U因此2111231)(2-+--=+-=z z z z z X
利⽤ )0)0((,)()0()()]1([==-=+x z zX zx z zX k x z ，此时有21)(-+--=
z z z z z zX ， 根据 k a a z z Z =--1，则有)2,1,0(21)1( =+-=+k k x k或
)3,2,1(21)(1 =+-=-k k x k
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