五年级数学(上),第六单元整理和复习

五年级数学(上),第六单元整理和复习

整理：刘新民

一、基础知识整理

（一）平行四边形的面积计算公式 1、推导方法： （1）、数方格法：

在方格纸上数一数,然后填写下表。（一个方格代表1ｍ²,不满一格的都按半格计算） 底 平行四边形 长 高 宽 面积 面积 长方形 从上表可以看出,平行四边形的底和长方形的长相等,平行四边形的高和长方形的宽相等,这两个图形的面积也相等。 （2）、转化法

方法一：沿着平行四边形底边上的高把平行四边形剪成一个直角三角形和一个直角梯形,把直角三角形向右平移后拼在直角梯形的右边,使平行四边形转化成长方形。如下图：

底

底

1 / 14

底

高 高 高

方法二：用剪刀将平行四边形沿一条高剪开,剪成两个直角梯形,把左边的直角梯形向右平移后拼在另一个直角梯形的右边,使平行四边形转化成长方形。如下图：

底

底

底

高 高 高 观察发现：

①、拼成的长方形面积与平行四边形的面积相等。

②、平行四边形的底等于长方形的长,平行四边形的高等于长方形的宽。 2、推导公式：

长方形面积 = 长 × 宽

平行四边形面积= 底 × 高 3、平行四边形面积的字母公式：

如果用S表示平行四边形的面积,用a表示平行四边形的底,用h表示平行四边形的高（如右图）,那么平行四边形的面积计算公式可以写成： S=ah

注意：求平行四边形面积是底和高要对应。 （二）、三角形的面积计算公式 1、推导方法：

把两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形（如下图）。 高 底

观察发现：

①、平行四边形的底等于三角形的底。 ②、平行四边形的高等于三角形的高。

③、平行四边形的面积等于三角形面积的2倍,也就是说每个三角形的面积等于拼成的平行四边形面积的一半。

2 / 14

高 底 高

a h 底

2、推导公式：

平行四边形的面积 = 底 × 高

三角形的面积×2 = 底 × 高 三角形的面积=底×高÷2

3、三角形面积的字母公式：

如果用S表示三角形的面积,用a表示三角形的底, h

用h表示三角形的高（如右图）,那么三角形的面积 计算公式可以表示为：S=ah÷2

a

4、把三角形沿两腰的中点剪开,剪成一个三角形和一个梯形,再把三角形拼补在梯形的右边或左边（如图） 中点

剪成

中点

两部分 拼补

观察发现：

（1）、三角形的面积=拼成的平行四边形的面积。

（2）、平行四边形的低等于三角形的底,高等于三角形高的一半。 推导得出：

平行四边形面积=三角形的底×（三角形的高÷2）

三角形的面积= 底 × 高 ÷2

5、把三角形沿两腰中点向下折叠,再从中点向底边作垂线,沿垂线向内折叠（如图）。 沿虚线

中点

中点

向内折叠

观察发现：

（1）、折叠后,长方形的面积是原三角形的面积的一半。

（2）、长方形的长等于原三角形底的一半,宽等于原三角形高的一半。

3 / 14

推导得出：

长方形的面积×2=（三角形的底÷2）×（三角形的高÷2）×2

三角形的面积 = 底 × 高 ÷ 2 注意：

①、等底等高的三角形的面积相等。

②、三角形面积等于和它等底等高的平行四边形面积的一半。 （三）、梯形的面积计算公式 1、推导方法：

方法一：用拼摆的方法把两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形（如下图）。

上底 高 下底

上底 高 下底

上底 高 下底

观察发现：

下底 上底

（1）、拼成的平行四边形的底等于上底与下底的和,高等于梯形的高。 （2）、梯形的面积等于拼成的平行四边形面积的一半。 2、推导公式：

平行四边形的面积÷2=（上底+下底）×高÷2

梯形的面积 =（上底+下底）×高÷2

方法二：画出梯形的一条对角线,把它分成两个三角形（如下图）。

高

①

② 下底

高

上底

梯形的面积=三角形①的面积+三角形②的面积

上底×高÷2 +下底×高÷2

4 / 14

（上底+下底）×高÷2

方法三：从梯形上底的一个顶点向下底引一条与梯形的一条腰平行的线,把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（如下图）

上底 高

下底

梯形的面积=平行四边形的面积 + 三角形的面积

=平行四边形的底×高 + 三角形的底×高÷2

=平行四边形的底×高×2÷2+三角形的底×高÷2

=（平行四边形的底×2+三角形的底）×高÷2

=（平行四边形的底+平行四边形的底+三角形的底）×高÷2

=[平行四边形的底+（平行四边形的底+三角形的底）]×高÷2

=（梯形的上底 + 梯形的下底 ） ×高÷2

=（上底+下底）×高÷2 方法四：

（1）、取梯形一条腰的中点,连接中点和上底的一个顶点,再延长与下底相交,然后把上面的三角形平移下来。

中点 高 底

平移后梯形的面积等于三角形的面积,三角形的高等于梯形的高,底等于梯形的上底+下底,可得：

三角形的面积 = 底 × 高 ÷ 2

梯形的面积 = （上底+下底）× 高 ÷ 2

5 / 14

（2）、连接梯形两腰的中点,再把上面的梯形向下平移后拼在下面梯形的一边,使梯形转化成平行四边形（如下图）。

下底

中点 上底 高

中点

上底 高 下底

上底 下底

梯形的面积等于拼成的平行四边形的面积,平行四边形的底等于梯形的（上底+下底）,高等于梯形高的一半,可得： 平行四边形的面积= 底 × 高

梯形的面积=（上底+下底）×（高÷2）

（3）、从两腰的中点分别作下底的垂线,沿垂线剪下后贴在上底,使体型转化成长方形,长方形的长等于梯形上底与下底和的一半,宽等于梯形的高,可得： 长方形的面积 = 长 × 宽

梯形的面积 =（上底+下底）÷2 × 高 =（上底+下底）× 高÷2 3、梯形面积的字母公式：

如果用S表示梯形的面积,用a表示梯形的上底,用 b表示梯形的下底,用h表示梯形的高（如右图）,那 么梯形面积计算公式是S=（a+b）h÷2 二、基本方法复习 1、运用抓不变法解题

例1：如图所示,在平行四边形ABCD中,求DF的长是厘米。

B

E 1.2C

b h a

F 分析与解答：抓住平行四边形的面积不变是解答这个的

㎝1.5㎝ 是平行四边形 关键 ,由于 DF AB 边上的高 ,DE 是 BC 边上

的高,所以DF×AB=DE×BC,即DF×1.5=2×1.2,DF=2×A D

1.2÷1.5=1.6㎝ 2㎝

例2：右图中阴影部分的面积是10㎝²,三角形ABC的面积是多少平方厘米？

6 / 14

A

分析与解答：解这道题的关键是先求△ABC,BC边上的高,它又是阴影部分的高,故可以求得高=10×2÷4=5,所以△ABC的面积=（6+4）×5÷2=25（平方厘米）

2、运用平移法解题

B

6㎝

C 4㎝

例1：已知F、E分别是平行四边形ABCD左右两边的中点,连接AF、CE。如果平行四边形ABCD的面积是36㎝²,求平行四边形AECF的面积。 分析与解答：由于E、F中点,将△BCE向上平移,与△ADF拼成一个与平行四边形AECF等底等高的平行四边形,平行四边形AECF的面积等于平行四边形ABCD的一半,即平行四边

形AECF的面积=36÷2=18（㎝²）

C

B

F

E

D

A

例2：三角形ABC和三角形EFD是两个完全相同的直角三角形,把它们的一部分叠放在一起,如下图所示,求阴影部分的面积。（单位：㎝） 分析与解答：因为三角形ABC和三角形EFD是两个完全相同的直角三角形,所以阴影部分的面积可看成△EDF从AC位置通过平移形成的,故阴影部分的面积应该与梯形AGDC相等,即阴影部分面积=（4+3）×2÷2=7（㎝²）

3、用剔除法解题

4 A

E G 3 C 2 D

6

B

F

例1：右图中两个正方形的边长分别是8㎝和4㎝,求阴影部分的面积是多少平方厘米。

分析与解答：这道题的阴影部分面积可以看成从两个正方形的面积和中减去两个空白三角形的面积得到的,先求出两个正方形的面积和=4×4+8×8=80（平方厘米）,再求出两个空白三角形的面积和=8×8÷2+（8+4）×4÷2=56（平方厘米）,那么阴影部分面积=80-58=24（平方厘米）

例2：求下图中阴影部分面积。（单位：ｍ）

7 / 14

5

4㎝

8㎝

分析与解答：阴影部分面积可以看成大正方形的面积减去两个空白三角形的面积,大正方形的面积=5×5=25（ｍ²）,两个空白三角形的面积=5×5÷2+5×3÷2=20（ｍ ²）,所以阴影部分面积=25-20=5（ｍ²） 4、运用推理法解题

例1：如右图,AE=5㎝,AB=4㎝,BD=9㎝。左边梯形和右边三角形的面积相等,求三角形的底是多少。

分析与解答：由于左边梯形和右边三角形的面积A 相等,可以推出三角形的面积等于梯形ABDE面4 积的一半。梯形ABDE的面积=（5+9）×4÷2=28（㎝²）,那么三角形的面积=28÷2=14（㎝）,所B 以三角形的底=14×2÷4=7（㎝）

例2：求右图中阴影部分面积。

分析与解答：由于平行四边形与白三角形是等底等高,所以白三角形的面积等于平行四边形面积的一半,也就是说阴影部分的面积等于白三角形的面积等于平行四边形面积的一半。所以阴影部分面 积=16×13÷2=104（㎝²）

5、运用画辅助线法解题

16㎝

13㎝ C

9

D

5

E

5

3

3

例1：在四边形ABCD中,M为AB的中点,N为CD的中点,如果四边形ABCD的面积是80㎝²,求阴影部分BNDM的面积。

D

分析与解答：连结BD,由于M、N分别是AB、CD的中点,所以△BCN与△BDN是等底等高,所以它们A 的面积相等,同理△ADM的面积等于△BDN的面积,故阴影部分的面积等于四边形ABCD面积的一半。即阴影部分面积=80÷2=40（㎝²）

M

B

N

C

例2：如果下图中大正方形的边长是6㎝,求阴影部分的面积。

8 / 14

A 分析与解答：连结CF,因为△CDF的面积=CD×EF÷2；△

B F

BGF的面积=BC×FH÷2,由于CD=BC,FE=FH,所以这两个三角形的面积相等,也就是说△BGF的面积等于△CDG的面积,这样可以把△BGF移动到△CDG的位置,那么阴影部D

分的面积就是大正方形面积的一半,即6×6÷2=18（㎝²）

6、运用转化法解题

H G C

E

例1：右图是由两个正方形拼成的图形,其中小正方形的边长是4㎝,求阴影部分的面积。

分析与解答：连结AC,△ACE的面积=CE×AD÷2；A △ACG的面积=CG×AB÷2；由于AB=AD,CE=CG,所以△ACE和△ACG的面积相等,那么△AGH和△CEH的面积也相等,故原阴影部分面积就转化成求

△CEG的面积,即4×4÷2=8（㎝²）

H

D

C

E

B G

F

例2：如下图,已知三角形ABC的面积是32.4㎝²,是三角形EFB的3倍。平行四边形EFCD的面积是多少？

分析与解答：由于三角形ABC的面积是三角形EFB的3倍,所以三角形EFB的面积=32.4÷3=10.8（㎝²）,这个三角形的高等于平行四边形CDEF的高,底等于平行四边形的底,那么平行四边形CDEF的面积等于三角形EFB的2倍,即平行

四边形EFCD的面积是10.8×2=21.6（㎝²） 三、同步练习：

1. 如下图,求AB的长是多少厘米？

D

B

C

D

G

A

F

E

9 / 14

C

E

7㎝ 5㎝

A 3㎝

F B

2. 如下图,E、F分别是平行四边形ABCD上、下底两边的中点,连接DE、BF。如果阴影部分（平行四边形EBFD）的面积是28dm²,求平行四边形ABCD的面积。

A

E

B

D F C

3. 如下图,在一块长方形草坪中有一条平行四边形的石子路,种草皮的面积是多少？

35ｍ

20ｍ

2ｍ 4. 一个平行四边形,底增加2㎝后,面积增加20㎝²；高增加3㎝后,面积增加45㎝²,求原平行四边形的面积的多少平方厘米？

5. 如下图所示,梯形的面积是90㎝²,上底是10㎝,下底是20㎝,求阴影部分的面积。

6. 三角形ABC和三角形MNG是两个完全相同的直角三角形,把它们一部分叠放在一起,如下图所示。求阴影部分的面积。（单位：㎝）

0.75

A M 3

D

N

B

C 1 10 / 14

G 3

7. 求下图中阴影部分的面积。（单位：dm）

0.9

2.2 1.6

8. 计算下图中阴影部分的面积。

12㎝

12㎝

8㎝

8㎝

9. 三角形ABC的面积是36㎝²,DC=3BD,阴影部分的面积是多少平方厘米？

A

B

D

C

10. 在四边形ABCD中,E为AB边上的中点,F为CD边上的中点,如果四边形AECF的面积是32㎝²,求四边形ABCD的面积。

D

A

F

E

C

B

11. 求下图中阴影部分的面积。（单位：ｍ）

5

5

3 3

11 / 14

12. 下面的图形是由4个相同的直角三角形拼成的。直角三角形的直角边分别为2㎝和3㎝。求大正方形的面积。

13. 平行四边形ABCD的底是30㎝,高是12㎝（如下图）,求阴影部分的面积。

3 2 3 2 3 2 3 2

14. 明明在一张面积是16㎝²的正方形方格纸画了一个不规则图形,你能求出这个不规则图形的面积吗？（图中每个小方格的边长是1㎝）

四、重要考点复习 （一）、填空。

1. 一个三角形的面积是12㎝²,与它等底等高的平行四边形面积是（ ）㎝² 2. 用字母表示梯形的面积计算公式是（ ）

3. 如果下图中长方形的面积是72㎝²,那么平行四边形的面积是（ ）㎝²,三角形面积是（ ）㎝²,梯形的面积是（ ）㎝²。

12 / 14 12

12

12

8 4

4. 一个三角形和一个平行四边形的面积相等,底也相等,三角形的高是16㎝,平行四边形的高是（ ）㎝。 （二）、判断。

1. 两个面积相等的三角形一定能拼成一个平行四边形。（ ）

2. 两个等腰梯形,如果腰相等,高也相等,那么它们的面积也一定相等。（ ） 3. 如果一个三角形和一个平行四边形等底等高,那么它们的面积相等。（ （三）、计算下面各图形的面积。（单位：㎝） 3.4

B

C 3.4 3.1 3.8

17 13.5

7

A

18

D

5

4

7

2 8

5

4

（四）、解决问题。

1. 已知一个平行四边形的面积是56㎝²,底是8㎝,高是多少厘米？

13 / 14

）

2. 已知一个三角形的面积是㎝²,底是8㎝,高是多少厘米？

3. 一个梯形的下底是16dm,上底是下底的一半,高和上低相等,求这个梯形的面积。

4. 如果正方形的边长是6㎝,那么阴影部分的面积是多少平方厘米？

5. 有一条水渠穿过一块长方形地（如下图）,这块地的实际耕种面积是多少平方米？

28ｍ 5ｍ 50ｍ

25ｍ

6. 一堆木头整齐地堆放在地上,最下面一层有12根,最上面一层有6根,紧挨着的两层下面的一层都比上面的一层多一根,这堆木头一共有多少根？

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