(易错题)高中数学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》测试卷(答案解析)(1)

一、选择题

1．设复数z满足z1，则z1i的最大值为（ ）

A．21

B．22 C．21

D．22 2．已知i是虚数单位，则复数A．第一象限

10i的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） 12iC．第三象限

D．第四象限

B．第二象限

3．已知复数z1，i为虚数单位，则z34i的最小值是（ ） A．2

4．已知z11，A．圆上

B．3

C．4

D．5

z114bi（bR），z1，则z对应的点在（ ） 2(z1+1)z11B．抛物线上

C．双曲线上

D．椭圆上

5．已知复数z满足：z12iz1，则z的最小值是（ ） A．1

B．5 C．2 2D．2 z满足 z1z1i，则 6．复数 z的值是（ ）

A．1i

B．1i

i C． D．i

7．已知i是虚数单位，a,bR，abiA．1 8．如果复数A．2 B．1

3iab等于（ ） ，则 1iC．3

D．4

2bi

的实部与虚部互为相反数，那么实数b的值为（ ） 12i

B．

2 32015C．-2

=( )

C．-i

D．2 31+i9．i为虚数单位，则1iA．i

B．-1 D．1

10．已知i是虚数单位，复数z满足1iz2i，则z的虚部是（ ） A．1

B．i

C．1

D．i

11．复数z满足z2i，则下列四个判断中，正确的个数是 ①z有且只有两个解； ②z只有虚数解； ③z的所有解的和等于0； ④z的解的模都等于1； A．1

12．设复数z1B．2

C．3

D．4

2，则z的共轭复数是（ ） iA．12 iB．12i C．12 iD．12i

二、填空题

13．设z22i，则z_____________． 1i2214．已知z,wC，zw1，zw4，则zw的最大值为______.

15．设复数zcosisin，则zi的最大值是______. 16．已知i为虚数单位，若z(1i)2i，则复数z________． 17．有以上结论：

①若x， yC，则xyi2i的充要条件是x2， y1； ②若实数a与ai对应，则实数集与虚数集是一一对应；

③由“在平面内，三角形的两边之和大于第三边”类比可得“在空间中，四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；

④由“若a， b， cR，则abcabc”类比可得“若a， b， c为三个向量，则

abcabc.其中正确结论的序号为__________．

18．在复平面内，复数z112i与z21i所对应的点分别为A,B，若向量AB所对应的复数为z，则z________.

19．若(1i)(2i)abi，其中a,bR,i为虚数单位，则ab___________．

220．如果复数mi1mi（其中i是虚数单位）是实数，则实数m___________.

三、解答题

21．设复数za2a(a1)i,(aR). （1）若z为纯虚数，求|3z|；

（2）若z在复平面内对应的点在第四象限，求a的取值范围. 22．已知复数z(1i)236i.

(1)求z及z，（2）若z2azb820i，求实数a,b的值． 23．设z是虚数，ω＝z＋

1是实数，且－1<ω<2. z(1)求z的实部的取值范围；(2)设u＝

1z，那么u是不是纯虚数？并说明理由． 1z24．已知复数

（1）m取什么值时，z是实数？ （2）m 取什么值时，z是纯虚数？

25．证明：在复数范围内，方程z1iz1iz255i（为虚数单位）无解． 2i26．复数，当实数m为何值时

（1）z为实数；（2）z为虚数；（3）z为纯虚数。

【参】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．C 解析：C 【分析】

如图所示，复数满足z1时轨迹方程为复平面内的单位圆，

而z1iz1i表示z与复数1i所对应的点在复平面内的距离， 结合圆的性质可知，z1i的最大值为1211本题选择C选项.

221.

2．C

解析：C 【分析】 先计算出

10i42i，求出其共轭复数，即得解. 12i【详解】

10i10i(12i)2010i42i， 由题得

12i(12i)(12i)5所以

10i的共轭复数为42i，它对应的点为(4,2)，在第三象限. 12i故选：C 【点睛】

本题主要考查复数的除法和共轭复数，考查复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

3．C

解析：C 【分析】

利用复数的几何意义，转化求解即可． 【详解】

解：复数z满足z1（i是虚数单位），复数z表示，复平面上的点到0,0的距离为1的圆．

|z34i|的几何意义是圆上的点与(3,4)的距离，

所以最小值为：32(4)214． 故选：C． 【点睛】

本题考查复数的几何意义，复数的模的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．

4．B

解析：B 【分析】

2先求出zb4bi22bi2zxyi,即得，再求出1+z12，代入得zb2bi，设z1+11b解. 【详解】

z122z13(z122z13)z13z11z1341bi 由题得z(z1+1)2(z1+1)2(z1+1)2z1+1z1+1z1+1z11444bibi(bi)bib2. z1+1z1+1z1+12所以zb4bi z1+12z111b2bibi，所以z11bi(z11),z1. 因为2z111b4bi22bi2zb所以1+z1得zb22bi. 2，代入z1+11b设zxyi,(x,yR),xb2,y2b， 消去b得y24x. 所以z对应的点在抛物线上. 故选：B 【点睛】

本题主要考查复数的运算和复数的轨迹问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和

计算能力.

5．C

解析：C 【分析】

设zxyi,x,yR,再根据z12iz1求出x,y满足的方程,根据复数的几何意义求解z的最小值即可. 【详解】

设zxyi,x,yR,因为z12iz1,故

x1y2ix1yi,故

x1y222x1y2,即xy10.故z在复平面内的轨迹是直线

2xy10.又z的几何意义为z到复平面原点的距离,故其最小值为原点到xy10的距离d故选：C 【点睛】

本题主要考查了复数的几何意义运用,需要根据题意设zxyi,x,yR再列式求解对应的轨迹方程.属于中档题.

00112122. 26．D

解析：D 【分析】

z，把 z写出 z1z1i，求出复数 abia,bR的形式，即求 由 z.

【详解】

1i1i12ii2 z1z1i,zi，

1i1i1i1i22 zi.

D. 故选： 【点睛】

本题考查复数的运算和共轭复数，属于基础题.

7．A

解析：A 【分析】

根据复数的除法化简【详解】

3i，再根据复数相等的充要条件求出a,b，即得答案. 1i3i3i1i34ii224iabi12i， 21i1i1i1i2a1,b2,ab1.

故选：A. 【点睛】

本题考查复数的除法运算和复数相等的充要条件，属于基础题.

8．D

解析：D 【分析】

先根据复数除法化为代数形式，再根据实部与虚部互为相反数解得b的值. 【详解】

b42bi22bb4i22b2,所以，b,选D.

12i5553【点睛】

因为

本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i,(a,b,c.dR). 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数abi(a,bR)的实部为a、虚部为b、模为

a2b2、对应点为(a,b)、共轭为abi. 9．C

解析：C 【解析】

分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数

1+i为1i1+ii，根据1i2015i45033i3，从而可得结果.

21+i=2i=i1+i详解：， 1i1i1i21+i则1i2015i45033i3i，故选C.

点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.

10．A

解析：A 【解析】

1iz2iz11．D

解析：D 【解析】 【分析】

2i2i(1i)1i，所以z的虚部是1，选A. 1i2由题意结合复数的运算法则求得z的值，然后考查所给的说法是否正确即可. 【详解】

222设zabia,bR，则zab2abi，

2aaa2b202结合题意可得：，解得：或2ab1b2b22222i或zi. 2222考查题中说给的四个说法： ①z有且只有两个解正确； ②z只有虚数解正确；

③z的所有解的和等于0正确； ④z的解的模都等于1正确； 即四个判断中，正确的个数是4. 本题选择D选项. 【点睛】

即z22， 22本题主要考查复数相等的充分必要条件，复数的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

12．D

解析：D 【解析】

z1212iz12i, 选D. i二、填空题

13．2【分析】根据复数的四则运算得出再求即可【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的四则运算以及求复数的模属于中档题

解析：2 【分析】

根据复数的四则运算得出z，再求z即可.

【详解】

2(1i)2(1i)2z(1i)212ii22i

1i(1i)(1i)z02(2)22

故答案为：2 【点睛】

本题主要考查了复数的四则运算以及求复数的模，属于中档题.

14．【分析】因为由即可求得答案【详解】当且仅当和共线其方向相反是等号成立如是方程的两个根故等号可以取得综上所述的最大值为故答案为：【点睛】本题解题关键是掌握复数基础知识和不等式求最值的方法考查了分析能力

5解析：

2【分析】

22因为z,wC，zw1，zw4，由|zw|11|2zw|(zw)2z2w2，22即可求得答案. 【详解】

z,wC，zw1，z2w24， |zw|1115222|2zw|(zw)2z2w2(zw)||zw|2 222当且仅当(zw)2和z2w2共线其方向相反是等号成立 如zw1.z2w24

50的两个根 2z.,w是方程x2xz1313，wi 2222故等号可以取得

综上所述，zw的最大值为故答案为：【点睛】

本题解题关键是掌握复数基础知识和不等式求最值的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

5. 25. 215．2【分析】根据复数模的公式知再由三角函数的最值求得答案【详解】当时的最大值是2故答案为：2【点睛】本题主要考查了复数的模三角函数最值的求法属于中档题

解析：2 【分析】

根据复数模的公式知zi【详解】

22sin，再由三角函数的最值求得答案．

zcosisin，

zicossin1icos2(sin1)222sin．

当sin1时，zi的最大值是2．

故答案为：2． 【点睛】

本题主要考查了复数的模，三角函数最值的求法，属于中档题．

16．【解析】【分析】由题意利用复数的除法运算法则确定z的值即可【详解】【点睛】本题主要考查复数的除法运算属于基础题

解析：1i. 【解析】 【分析】

由题意利用复数的除法运算法则确定z的值即可. 【详解】

z2i1i2i22i1i. 1i1i1i2【点睛】

本题主要考查复数的除法运算，属于基础题.

17．③【解析】当时复数也是故①错误当时没有复数和其对于故②错误平面中的长度类比到空间即是面积故③正确由于方向与相同或者相反方向与方向相同或者相反故④错误综上所述正确的命题是③点睛：本题主要考查命题真假性

解析：③

【解析】当xi,y2i时，复数也是2i，故①错误.当a0时，没有复数和其对于，故②错误.平面中的长度，类比到空间即是面积，故③正确.由于abc方向与c相同或者相反， abc方向与a方向相同或者相反，故④错误.综上所述，正确的命题是③.

点睛：本题主要考查命题真假性的判断.第一个是复数的运算，与平时运算的差别是题目中

x,y是在复数集内选两个数，举出反例判断出结论是错误的.第一个结论主要用a0来排

除.第三个结论涉及到的知识点是向量的数量积运算，向量数量积运算结果是实数，数乘以向量，结果是向量.

18．【解析】试题分析：由复数的代数形式分别得故考点：1复数的代数形

式；2复数模的计算 解析：13 【解析】

试题分析：由复数的代数形式分别得A(1,2),B(1,1),

,故

z22(3)213.

考点：1.复数的代数形式；2.复数模的计算.

19．4【解析】试题分析：故答案为4考点：复数的运算

解析：4 【解析】

1i)(2i）abi，即3iabi，a3，b1，ab4，故答案试题分析：（为4．

考点：复数的运算．

20．【详解】由复数的运算法则可知因为复数是实数则 解析：1

【详解】

由复数的运算法则可知(m2i)(1mi)(m2m)(m31)i， 因为复数(m2i)(1mi)是实数，则m310m1.

三、解答题

21．（1）10；（2）a1 . 【分析】

（1）由z为纯虚数，可得实部为0，虚部不为0，可得z的值，可得|3z|的值； （2）由实部大于0且虚部小于0，列出不等式组可得答案. 【详解】

a2a0 , 解：（1）若z为纯虚数，则a10所以a0，故zi , 所以|3z|10 ；

a2a0 , （2）若2在复平面内对应的点在第四象限，则a10解得a1 . 【点睛】

本题主要考查复数的几何意义及复数的有关概念，比较基础.

22．(1) z34i,z5. (2) a1,b2. 【分析】

1利用复数代数形式的运算进行化简求得z，根据求模公式可得z

2由1把z代入等式，利用复数相等的充要条件可得方程组，解出即可得到答案

【详解】

（1）解：（1）依题意得， （2）

解得：【点睛】

本题主要考查了复数代数形式的运算和求模公式，复数相等的充要条件 23．(1) (1,1). 2(2) u是纯虚数，理由见解析. 【解析】

分析：（1）设zabi(a,bR)，代入，由是实数，得a2b21，从而求得

2a，代入已知不等式可得； （2）同样求出u，即可判断.

详解： (1)设z＝a＋bi(a、b∈R，b≠0)，ω＝a＋bi＋是实数，∴b－部的取值范围是(2)u＝

＝

＝

＝

＋

i，∵ω

＝0.又b≠0，∴a2＋b2＝1，ω＝2a.∵－1<ω<2，∴－.

＝－

i，∵－点睛：复数的分类：设zabi(a,bR)，则z为实数b0，z为虚数b0，z为纯虚数24．（1）【解析】

试题分析：本题考查了复数的基本概念，明确实数的条件是复数的虚部是0，且分式的分

b0． a0；（2）3

母有意义

第二问明确复数是纯虚数的条件是虚部不为0而实部为0． 试题 （1）解当

时，z为实数

（2）解：当

时，z为纯虚数

考点：复数是实数，纯虚数的条件． 25．见解析 【详解】

假设存在这样的复数，

则原方程化简为z1iz1iz13i

2

设zxyi代入上述方程得x2y22xi2yi13i

{方程组无实数解 2x2y3∴假设不成立，即原方程在复数范围内无解. 考点：反证法及复数运算

点评：当直接证明不易时考虑反证法，先假设所要证明的反面成立，借此来推出矛盾，从而肯定原结论成立 26．（1）2；（2）【解析】

本试题主要是考查了复数的概念的运用。 解：（1）因为所以

,解得m=-3或m=2，注意到

为实数，

,

且

；（3）－5.

x2y21所以m=2时，Z是实数。 （2）所以即当（3）

且

，解得

且

为虚数，

,

时，Z为虚数。

为纯虚数，

所以解得m=-5,

所以当m=-5时，复数Z是纯虚数。