椭圆旋转坐标变换公式

要看椭圆旋转坐标变换公式及推导过程，就要先看2个直角坐标系之间的旋转变换和平移变换关系。

先看旋转变换。

有2个右手螺旋平面直角坐标系，UOV和XOY.

2坐标系共原点O。

U0V的U轴的正向和X0Y的X轴正向之间的夹角为θ。

【可以在纸上画一个XOY坐标系，然后让U轴在XOY的第一象限，画出UOV坐标系来。0 <θ< PI/2 】

则，

若平面上一点P在XOY坐标系下的坐标为(X,Y),在UOV坐标系下的坐标为(U,V)。

【在XOY,UOV的第一象限的公共部分画一点P,然后由P分别向X,Y,U,V画垂线】

则

X = U*COS(θ) - V*SIN(θ)

Y = U*SIN(θ) + V*COS(θ)

U = X*COS(θ) + Y*SIN(θ)

V = X*SIN(θ) - Y*COS(θ)

这样，

一个在XOY中的标准的椭圆 X^2/A^2 + Y^2/B^2 = 1 在UOV中满足的方程就变成了

[U*COS(θ) - V*SIN(θ)]^2/A^2 +[U*SIN(θ) + V*COS(θ)]/B^2 = 1

U^2{[BCOS(θ)]^2 +[ASIN(θ)]^2} +V^2{[BSIN(θ)]^2 +[ACOS(θ)]^2} + 2UV[COS(θ)SIN(θ)][A^2 + B^2] - (AB)^2 = 0,

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再看平移变换。

有2个右手螺旋平面直角坐标系，UO'V和XOY.

2坐标系的U,X坐标轴相互平行，V,Y坐标轴也相互平行。

UO'Y的原点O'在XOY中的坐标为（S,T）。

则，

若平面上一点P在XOY坐标系下的坐标为(X,Y),在UO'V坐标系下的坐标为(U,V)。

X = U + S

Y = V + T

U = X - S

V = Y - T

这样，

一个在XOY中的标准的椭圆 X^2/A^2 + Y^2/B^2 = 1 在UO'V中满足的方程就变成了

[U+S]^2/A^2 + [V+T]^2/B^2 = 1.

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把平移和旋转结合起来，

有2个右手螺旋平面直角坐标系，UO'V和XOY.

UO'Y的原点O'在XOY中的坐标为（S,T）。

U0'V的U轴的正向和X0Y的X轴正向之间的夹角为θ。

则，

若平面上一点P在XOY坐标系下的坐标为(X,Y),在UO'V坐标系下的坐标为(U,V)。

X = U*COS(θ) - V*SIN(θ) + S

Y = U*SIN(θ) + V*COS(θ) + T

U = (X-S)*COS(θ) + (Y-T)*SIN(θ)

V = (X-S)*SIN(θ) - (Y-T)*COS(θ)

这样，

一个在XOY中的标准的椭圆 X^2/A^2 + Y^2/B^2 = 1 在UO'V中满足的方程就变成了

[U*COS(θ) - V*SIN(θ) + S]^2/A^2 + [U*SIN(θ) + V*COS(θ) + T]/B^2 = 1

答案

已知：椭圆方程：见图1，椭圆上任一点A 点坐标(Z,X):(acosα ,bsinα )，则：。若椭圆绕圆心旋转θ ，则根据旋转公式，求出A 点在工件坐标系(Z0X 坐标系)中的坐标为：

A点：Z：acosαcosθ-bsinαsinθ;

X ：acosα sinθ +bsinα cosθ。

注意：椭圆顺时针旋转时，公式中的θ 角取负值;逆时针旋转时，θ 角取正值