华中科技大学2005年数学分析试题及答案

n1.设an0(n1,2,),an1,Ann1ak1k,求极限llimeAneneAn1en1nAA85?

85,试给出

2.设f(x)在区间[0，1]上有二阶连续导数，f(0)= f(1)=0，f'xf(x)0x1的一个估计。

,f''x3.设x,y有连续的一阶偏导数1x,y,2x,y,fx,yfx0duu,vdv,证明：

0yx,y01t01tyx1tx,vdv2tx0y2u,tydu2xytx,tydt

24.设f(x)在区间[0,)上可微且恒大于零，f(0)=1，

f'xfx单调减，证明：

fxyfxfyx,y0

5. 设f(x)在区间[a，b]上有二阶连续导数，faf'a0,证明：

babxf''xdx6dxfaa3bxydy

nn6.设r>1为常数，级数anr收敛，bna2,求幂级数bnxn的收敛域。

n0n07. 设f(x)在区间,上有连续的一阶导数，an,bn是f(x)在区间,上的Fourier系数，证明：存在常数M>0，使得anMnL,bn2Mnn1。

8.设Q(x,y) 有连续的一阶偏导数，积分3xydxQdy完全决定于L的起点与终点，且对任何实数z成立等式：2z,10,03xydxQdy221,z0,03xydxQdy，求函数Q(x,y)。

29. 设记球面xyz1，A是内部一点，它与原点的距离为q,02点A与上的点之间的距离，求IdS2?

10. 设fnxn1,2,是区间[a，b]上的连续函数，当n时， fnx在[a，b]上一致收敛于函数f(x)，每个fnx在[a，b]上均有零点，证明：f(x) 在[a，b]上至少有一个零点。

2005年硕士研究生入学考试数学分析试题参考解答

1

x1.解：容易知道，lim1x11,lim1e1,所以

x0xx0x1xe1exo(x2)x0,ex1xo(x2)x0,

由题设条件可以得到：liman0,nlimAn1,anAnAn1(n2),因此就有：

nAnn1l)An1eannlimeeAn1AeenlimeA(1eAnAnenlimeenAn1Ae(1AAnlimn1n1AnaennA)nAn1aoe11a2noan1enlimelimna2

nn11aa2nean21eAonnAnAoannAn2.解：由题设条件将f(x)分别在小x=0,x=1展成Taylor级数，就有： fxf0f'0xf''222!x(01)f'0xf''2!x,fxf1f'1(x1)f''2f''2!(x1)(01)f'1(x1)2!(x1)2所以2fxf'0xf''22!xf'1(x1)f''2!(x1)2，因此，

2fxf'0xf''2f''22!xf'1(x1)2!(x1)f'0xf'1(x1)f''22!xf''2!(x1)2

8x8182851x18225x25(x1)54255x(x1)28(12x(1x))8545545125故f(x)650x1。

4.证明：由题设条件

f'xf'tyf'tfx单调减，故f(ty)f(t)t,y[0,)，所以有：

xf'tyxf'tf(ty)f(t 因此有：lnfyx0dt0)dt，t0lnftx0,也就是：

lnfxylnfylnfxlnf0,注意到f(0)=1即

2

fxyfxfyx,y0

ba5.证明：

abxb3f''xdx3abxbab3df'xbxf'x23baf'xdbx3baf'ab2f'x3bx1dx(因为f'a0）xba3f'xbxdx3abxab22dfx3bxfbafxdbx2 3bafa2bafb(因为fa0）x2bx1dxbbx(fxdy)dx6dxfaaxbx=6fabxbxdx6abxab3ydy(交换积分顺序）所以有：f''xdx6dxfaaydy。

7.证明：因为f(x)在区间,上有连续的一阶导数，所以f(x)在,上连续，故存在K0,使得f(x)K,同理f'(x)在,上连续，故存在L0,使得f(x)L,又由于an,bn是f(x)在区间,上的Fourier系数，所以

an1fxcosnxdxn0,bn1sinnxn1fxsinnxdxn1,

因此有： an1fxcosnxdxfxd1sinnxfxnsinnxndfx,1sinnsin(n)1ffnnn11f'xsinnxdxnf'xsinnxdxbnfxsinnxdx1fxdcosnxn1cosnxf(x)ncosnxndf(x),f'(x)cosnxdx1cosncos(n)1f()nnn1f'(x)cosnxdxf()f()n所以存在常数Mmax2K,2K2L0，使得： 1nan1nf'xsinnxdxf'xsinnxdx1nKdx2KnMn,

3

bn1f()f()n1f'(x)cosnxdxf()f()nf'(x)cosnxdx,

12Kn1f'(x)cosnxdx2KnLdx1n2K2LMn所以存在常数M>0，使得anMn,bnMnn1。

L8.解：由题设条件Q(x,y) 有连续的一阶偏导数，积分3x2ydxQdy完全决定于L的起点与终点，所以根据格林公式有

z,1Qx23xy2y23x,因此Qx,yxy,另一方面，

3对任何实数z成立等式：0,023xydxQdy1,z0,023xydxQdy，故有：

20,10,03xydxQdy2z,10,13xydxQdy1,00,03xydxQdy1,z1,023xydxQdy，即：

10Q(0,y)dyz03x1dxz0z02103x0dxQ(x,0)d032z031yd1Q(1,y)dy，所以：

210Q(0,y)dyx3Q(1,y)dy，把Qx,yxy代入前式得到：

10(y)dyz3z0(1(y))dy，等式两边对z求导数得：3z1(z)，所以：

33222(y)3y1，Qx,yxyx3y1.

10.证明：用反证法，假设f(x)在[a,b]上没有零点，则.f(x)在[a,b]上不变号，不妨设，由于fn(x)是连续函数，且在[a,b]上一致收敛到f(x)，f(x)0(否则考虑-f(x)0即可）故ff(x)也是连续函数，则存在x0[a,b],使得f(x0)minf(x)0,从而

x[a,b]x(f0)xx[a]b,，取

12f(x0)0，则由于fn(x)在[a,b]上一致收敛到f(x)，

故存在自然数N，当nN时，对于一切x[a,b]，都有fnxf(x)，所以就有：

fnxf(x)f(x0)12f(x0)12f(x0)0(x[a,b])

这与fn(x)在[a,b]上有零点矛盾，故反设不成立，即f(x) 在[a，b]上至少有一个零点。

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