高考数学常考题型的总结(必修五)

高考数学常考题型的总结（必修五）

对高三理科来说，必修五是高考的必考容，它不仅要考查基础知识点，而且还要考查解题方法和解题思路的问题。同学们在复习过程中，一定要明白什么是重要，什么是难点，什么是常考知识点。对重难点要了如指掌，能做到有的放矢。同学们不仅要掌握课本上的知识点，更重要的要对知识点理解的有深度，对经典题型或高考常考题型掌握到相当熟练的程度。人们常说，只有你多于一桶水的能力，在考试过程中才能发挥出一桶水的水平来，否则，基本不可能考出相对理想的成绩来。

必修五主要包括三大部分容：解三角形、数列、不等式。高考具体要考查那些容呢？这是我们师生共同研究的问题。虽然高考题不能面面俱到，但是我们在复习的时候，一定要不留死角，对常考题型的知识点和方法能倒背如流。下面具体对必修五常考的型作一分解：

解三角形

解三角形是高考的必考知识点，每年都有考题，一般考查分数为5-12分。考查的时候，可能是选择题、填空题，或解答题，有时单独考查，有时会与三角函数，平面向量等知识点进行综合考查，难度一般不是很大，如果出解答题，一般是第17题，属于拿分题。 知识点：正弦定理、余弦定理和三角形的面积的公式。

abc正弦定理：2R（R为ABC的外接圆半径）

sinAsinBsinC余弦定理：abc2abcosC，acb2accosB，bca2bccosA

222222222a2b2c2a2c2b2c2b2a2cosC，cosB，cosA （变形后）

2ab2ac2cb三角形的面积的公式：SABC111absinCacsinBbcsinA。 222知识点分解：

（1）两边一角，求另外两角一边，可以用正弦定理，也可以用余弦定理，特别注意两种三角形的情况。 （2）两角一边，求另外一角和两边，肯定是正弦定理。

（3）等式两边都有边或通过转化等式两边都有边，用正弦定理。 （4）知道三边的关系用余弦定理。

（5）求三角形的面积，或和向量结合用向量的余弦公式。 （6）正余弦定理与其他知识的综合。

必须具备的知识点：三角函数的定义、同角三角函数、诱导公式和三角恒等变换。

可能综合的知识点：三角函数以及正余弦定理的模块部综合；和与数列的综合、与平面向量的综合、以及与基本不等式的综合。 解三角形常考的题型有： 考点一 正弦定理的应用

例：在ABC中，a15,b10,A60，则cosB

答案：

63

知识点：正弦定理和三角同角关系

思路：（方法不唯一）利用正弦定理先求出sinB，然后利用同角三角函数的关系可求出cosB。

.. .

. . . .

考点二 余弦定理的应用

例：在ABC中，已知a23，c答案：b22 知识点：余弦定理

思路：直接利用余弦定理acb2accosB，即可求出b的值。

22262，B60，求b的值

考点三 正、余弦定理的混合应用

例：设ABC的角A,B,C所对边的长分别为a,b,c。若bc2a，则3sinA5sinB,则角C_____. 答案：

2 3知识点：正余弦定理 思路：（方法不唯一）先通过正弦定理求出三边的关系，然后再用余弦定理求角C。

考点四 三角形的面积问题

例：在ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若AC2B，且a1,b3,求SABC的值

答案：

32

知识点：三角形的面积

思路：先求出B，然后由三角形面积公式即可。

考点五 最值问题

例：在ABC中，B60,AC3，则AB2BC的最大值为 答案：27

知识点：正弦定理和三角恒等变换

思路：（方法不唯一）先利用正弦定理，然后利用恒等变换，转化为正弦函数，求正弦函数的值域问题。

考点六 三角形形状的判断

例：已知ABC中，acosAbcosB，判断三角形的形状 答案：等腰三角形或直角三角形 知识点：正弦定理和二倍角公式

思路：先由正弦定理化解，然后利用二倍角公式讨论即可。

考点七 三角形个数的判断

例：在ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若A30，且a1,b答案：1或2 知识点：正余弦定理

.. .

3,求c的值

. . . .

思路：分类讨论B60或B120两种情况。

考点八 基本不等式在解三角形上的应用

例：在ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若a答案：21

知识点：三角形面积公式、余弦定理和基本不等式

思路：先利用三角形面积公式，然后用余弦定理，最后基本不等式求最值。 例：设△ABC的角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosBbcosA答案：

4,b2，求ABC的面积的最大值。

3c，求tan(AB)的最大值。 53 4知识点：正弦定理、正切差公式和基本不等式

思路：先通过正弦定理，得到tanA4tanB，然后正切差公式，最后应用基本不等式。

考点九 平面向量在解三角形上的应用

例：在ABC中，ACAB6,ABC的面积33，求A 答案：

 3知识点：三角形面积公式和平面向量中的余弦公式

思路：先利用三角形面积公式，然后平面向量中的余弦公式即可。 例：在ABC中，边c所对的角为C，向量m(cos求角C的大小 答案：CCCCC且向量m与n的夹角是。 ,sin),n(cos,sin)，

322223

知识点：向量中的坐标运算和余弦公式

思路：先利用向量的坐标运算和余弦公式转化，然后求解。

考点十 数列在解三角形上的应用

例：设△ABC的角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若a，b，c依次成等比数列，角B的取值围. 答案：(0,

3

]

知识点：余弦定理、等比数列和基本不等式

思路：先用等比数列，然后余弦定理，最后用基本不等式求最值。

考点十一 解三角形的实际应用

例：如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面，B、D为两岛上的

两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75，

.. .

. . . .

30，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60，AC0.1km。试探究图中B、D间距离与另外哪两点

间距离相等，然后求B、D的距离（计算结果精确到0.01km，21.414，62.449） 答案：0.33km

知识点：正弦定理和三角形的相关知识

思路：先通过三角形的相关知识进行转化，然后利用正弦定理就可以求出长度。

考点十二 解三角形的综合题型

例：已知a,b,c分别为ABC三个角A,B,C的对边，acosC3asinCbc0 （1）求A （2）若a2，ABC的面积为3；求b,c。 答案：(1)A60 (2)bc2

知识点：正余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换和诱导公式

思路：（1）先通过正弦定理和诱导公式转化，转化完之后，利用三角恒等变换求出A。 （2）利用角A，再通过余弦定理，就可以求出b,c的值。

数列

数列是高考的必考知识点，每年都有考题，一般考查分数为10-17分。考查的时候，可能是选择题、填空题，或解答题，有时单独考查，有时会与不等式，函数等知识点进行综合考查。以前考题比较难一些，现在多数比较简单，但是常用的方法还是比较经典的。

知识点：数列的递推公式，数列的求通项公式，数列的求和，等差数列和等比数列

知识点分解：

（1）递推公式：建立前n项和Sn和an的关系。

（2）等差数列的通项公式、公式、性质、等差中项以及前n项和Sn等问题。 （3）等比数列的通项公式、公式、性质、等比中项以及前n项和Sn等问题。 （4）数列求通项公式的几种方法。 （5）数列求和的几种方法。 （6）数列的综合问题

必须具备的知识点：函数、导数、不等式，平面向量、三角函数等相关知识。

可能综合的知识点：数列的部综合、与三角函数的综合、与导数的综合、以及与不等式的综合。 数列的常见题型：

SSn1n2考点一 Sn和an的关系annn1a1

例：数列{an}的前n项和为Sn, 已知Snn2，求a8的值，以及数列{an}的表达式。 答案：a815，an2n1

.. .

. . . .

知识点：递推公式

思路：已知项数n，求具体值；未知项数n，求表达式。

考点二 等差数列

1等差数列的公差和通项公式

ana1(n1)d，（等差数列的通项公式，知三求一；如果已知a1,d，那么求的是数列{an}的通项公式） anam(nm)d（等差数列通项公式的变形公式）

例：已知等差数列{an}中，a11,a33,求数列的公差d以及数列{an}的通项公式； 答案：d2，an32n 知识点：等差的公差和通项公式

思路：利用数列的通项公式先求出公差d，然后求数列{an}的通项公式。

2 等差数列的性质

，anamapaq，2npq（都是正整数），2anapaq，an是ap和aqnmpq（都是正整数）的等差中项。

例：已知等差数列{an}中，a51,a97,求a1a13以及a7的值 答案：a1a136，a73

知识点：等差数列的性质

思路：等差数列的性质和等差中项可得到。

3 等差数列的求和

nn(n1)d（知三求一，如果已知a1,d，那么求的是Sn的表达式）， Sn(a1an)na122Snnan1（n为奇数）或S(2m1)(2m1)am。

2例：设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S33，S624，则S9的值 答案：63

知识点：等差数列的求和

思路：（方法不唯一）通过等差数列前n项和为Sn，先求出a1和d，然后再利用等差数列前n项和，求S9。

4 等差数列求和中的最值问题

n(n1)dd2dSnna1n(a1)n类似于二次函数，当d0时，Sn有最小值；当d0时，Sn有最大值。

222例：设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a39,d2，求Sn中的最大值 答案：49.

知识点：等差数列的和或二次函数的知识

思路：先利用等差数列的前n项和Sn表达式，然后利用二次函数的知识求最大值。 例：设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a39,d2，求Sn中的最小值

.. .

. . . .

答案：-36

知识点：等差数列的和或二次函数的知识

思路：先利用等差数列的前n项和Sn表达式，然后利用二次函数的知识求最小值

5 等差数列的证明

anan1d（等差数列的定义表达式）

例：设数列{an}的前n项和为Sn，a110,an19Sn10，求证：{lgan}是等差数列。 答案：首项为1，公差也为1的等差数列 知识点：对数函数的知识和等差数列

思路：先求出lga11，然后利用等差数列的定义表达式anan1d，证明等差数列。 6已知等差数列{an}中，a3a716,a4a60,求数列{an}前n项和Sn。

22答案：Snn9n或Snn9n

知识点：解方程和等差数列的和

思路：先利用等差数列的知识求出首项和公差，然后再求前n项和Sn

考点三 等比数列

1 等比数列的公比和通项公式

ana1qn1(q0)（等比数列的通项公式，知三求一；如果已知a1,q，那么求的是数列{an}的通项公式）

anqnm（等比数列通项公式的变形公式） anm例：已知等比数列{an}中，a12,a38，求等比数列的公比q和数列{an}的通项公式；

n答案：q2，an(2)

知识点：等比数列的公比和通项公式 思路：利用等比数列的通项公式即可求出。 2等比数列的性质

2，anamapaq，2npq（都是正整数），anapaq，an是ap和aq的等nmpq（都是正整数）

比中项。

例：设等比数列{an}，已知a3a918，求a6值 答案：32 知识点：等比中项 思路：利用等比中项即可。

例：设等比数列{an}，已知a33,a712，求a4a5a6值 答案：216

知识点：等比数列的性质

.. .

. . . .

思路：利用等比的性质即可。 3等比数列求和

a1(aqn)a1anq(q1)（用错位相减法推导） Sn1q1q(q1)na1例：设等比数列{an}的公比q答案：15

知识点：等比数列的求和

思路：利用等比数列的求和和通项公式即可。 4 等比数列的证明

1S，前n项和为Sn，则4 2a4anq（等比数列的定义表达式） an1例：在数列{an}中，a11，an12an3n，设bnan3n，证明：数列是{bn}等比数列。 答案：数列{bn}是公比2，首项-2的等比数列 知识点：等比数列的定义

思路：先化解，再利用等比数列的定义来证明。 5 等比数列的综合

例：设Sn为数列{an}的前n项和，Snkn2n，nN，其中k是常数，若对于任意的mN，am，a2m，

**a4m成等比数列，求k的值。

答案：k0或k1

知识点：等比数列的等比中项和递推公式

思路：先通过递推公式化解，然后再利用等比数列的等比中项，即可求出。

考点四 等差和等比数列的综合问题

例：已知实数列{an}是等比数列,其中a71,且a4,a51,a5成等差数列，求数列{an}的通项公式。 答案：an27n

知识点：等比数列的通项公式和等差中项

思路：先利用等比数列的知识，然后再利用等差数列的等差中项，即可求出。

例：等比数列{an}中，已知a12,a416，若a3,a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn。

2答案：Sn6n22n

知识点：等比数列的通项公式和等差的通项公式

.. .

. . . .

思路：通过等比数列的知识来转化为等差数列，即可。

考点五 求数列的通项公式

1 观察法、等差数列和等比数列的通项公式（上述已有）

2 累加法 形式为：an1anf(n)，利用累加法求通项，ana1f(1)f(2)f(n1)

例：已知数列{an}满足an1ann，a11求数列{an}的通项公式。

n2n2答案：an

2知识点：累加法求数列的通项公式

思路：由an1ann得an1ann则an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1，即可。 3 累乘法 形式为：

an1aaaf(n)，利用累乘法求数列通项，annn12a1。 anan1an2a1答案：an2 3naan1aaan，a1234nan，即可。 a1a2a3an1ann1知识点：累加法求数列的通项公式 思路：由条件知

4 待定系数法

（1）an1panq（其中p，q均为常数，(pq(p1)0)），把原递推公式转化为：an1tp(ant)，其中tq，再转化为等比数列求通项公式。 1p（2）an1panqn（其中p,q均为常数，(pq(p1)(q1)0)）。 （或an1panrqn,其中p,q,r均为常数）等式两边同除以q得，

nan1pann11，若pq，再利用上述的方法，转化为等比数列的形式，nqqq利用等比数列通项公式；若pq，将转化为等差数列的形式，再利用等差数列求通项公式。 例：已知数列an中，a11，an12an3，求an. 答案：an2n13

知识点：待定系数法求数列的通项公式

思路：设递推公式an12an3可以转化为an12(an)，然后利用等比数列求通项公式。

n例：已知数列an中，a13,an12an3，求an。 nn答案：an32

知识点：待定系数法求数列的通项公式

.. .

. . . .

nn思路：（方法不唯一）根据an12an3，两边除以3得：

an12an，令，转化成上面例题的a1bnnnnn1333形式，然后再利用上面例题的方法求解。

5 配凑法（构造法）：建立等差数列或等比数列的形式

*例：已知数列an满足a11,a23,an23an12an(nN).求数列an的通项公式；

答案：an2n1

知识点：构造成等比数列 思路：（方法不唯一，还可以利用特征根的方法求解）构造等比数列，或利用特征根的方法，求出两根，

an23an12an,an2an12(an1an)，然后利用等比数列的知识求解。

6 递推法

n1aan1，解决既有an又有Sn的问题。

SnSn1n2例：设数列{an}的前n项和为Sn, 已知a11,Sn14an2答案：an(3n1)2n2

知识点：利用递推公式，再利用等比数列的通项公式 思路：先利用递推公式化解，然后等比数列求通项公式。

7 不动点法、换元法，数学归纳法等求通项公式（高考现在已经不是重要的方法了）

，

求数列{an}的通项公式。

考点六 数列求和

1 公式法、等差数列和等比数列求和（略） 2 裂项相消法 裂项相消的常见形式：

1111111()，，

n(n1)nn1n(n2)2nn2

1111()。

(2n1)(2n1)22n12n1例：已知数列{an}满足答案：Sn111,,,132435,1,n(n2)求数列{an}的求和Sn。

32n3 42(n1)(n2)

知识点：利用裂项相消求数列的和

1111()求和即可。

n(n2)2nn21例：已知数列{an}满足：an求数列{an}的求和Sn

nn1，

思路：利用an答案：Snn11

知识点：分母有理化，利用裂项相消求数列的和

.. .

. . . .

思路：进行分母有理化得，ann1n，然后裂项相消求和。

3 错位相减法：（课本上推导等比数列求和公式的方法）由等差数列和等比数列构成的新数列，用错位相减。 例：已知数列{an}满足：ann2n，求数列{an}的求和Sn 答案：Sn(n1)2n12 知识点：错位相减法求和 思路：错位相减法求和。

例：设数列an满足a13a23a3…32n1annn*，aN，设bn，求数列bn的前n项和Sn。 3an答案：Snnn11n1333 244知识点：错位相减法求和 思路：错位相减法求和。

4 分组求和法（将新数列分成已学过的数列，然后求和）

n例：设数列an的前n项和为Sn，且an23n，求Sn的表达式

2n13n23n2答案：Sn

2知识点：利用等差数列和等比数列求和

思路：根据数列的特点，等差数列和等比数列的求和公式可以得到。 5 相加求和法、数学归纳法求和（高考现在已经不是重要的方法了）

考点七 数列中的不等式问题

**例：设数列an的前n项和为Sn．已知a1a，an1Sn3n，nN，若an1≥an，nN，求a的取值

围。

答案：9，

知识点：递推公式，构造法求an的通项公式，数列的单调性。

思路：通过递推公式，构造法求an的通项公式，再利用数列的单调性求a的取值围。

考点八 数列中的放缩法

例：已知数列{an}满足a11,an13an1，证明，a1a2a311113 an2答案：如下

知识点：发缩放证明数列中的不等式

思路：由构造法求an的通项公式，然后利用放缩法

121nn-1，转化为等比数列求和，最后证明不等式。 an3-13 .. .

. . . .

考点九 数列中的不等式问题（最值问题，n是正整数）

例：已知等差数列an的前n项和为Sn，若S100,S1525，则nSn的最小值为 答案：-49

知识点：等差数列的求和，导数

思路：通过等差数列的知识求出Sn，然后再通过导数求出nSn。

不等式

不等式是高考的重要知识点，但是它会和其他知识融合在一起考查，有时是一道小题，有时会和其他知识综合在一起以大题的形式出现，分数围为（5-10分）。现在线性规划，几乎每年必考，虽然不是很难，但是大家一定要掌握好，不等式小题一般不会很难，综合题重点主要是汇入其他知识点进行，对数是取值围或值域问题。

知识点：不等关系、解不等式、不等数组的线性规划和基本不等式。 不等关系：

1.不等关系与不等式

比差法：abab0,abab0,abab0。问题的关键是判定差的符号（正，负，零），

方法通常是配方或因式分解。

2.不等式的性质

基本性质有：

（1）abba（对称性） （2)ab,bcac(传递性) ( 3)abacbc (4)c0时，abacbc； c0时，abacbc。 运算性质有：

(1)ab,cdacbd (2)ab0nanb (3)ab0anbn (4)ab0,dc0,3 基本不等式

ab2ab,ab2ab(a,b同号，当且仅当ab时成立等号)；

ab (5)ab,dc,acbd (6)ab0,dc0,acbd. cda2b22ab（a,b同号，等号成立）；ab(ab2)（当且仅当ab时成立等号)。 2a2b2ab2ab(a,bR当且仅当ab时成立等号)。 ab22ab

必须具备的知识点：函数、导数、三角函数、数列等相关知识。

可能综合的知识点：不等式的部综合、与三角函数的综合、与导数的综合、以及与数列的综合。 不等式的常见题型：

考点一 解一元二次不等式

解一元二次不等式一般与二次函数和一元二次方程结合起来研究

（讨论a0的情况）

.. .

. . . . axbxc0 axbxc0 ax2bxc0 20 两不等实根x1x2 0 两相等实根x1x20 b 2a无实根 2{xxx1或xx2} {xx1xx2} {xxb} 2aR   （讨论a0的情况，只需将不等式两边同乘以-1，改变不等式方向加以研究） 1 最基本的一元二次不等式（略）

2 含参数的一元二次不等式（需要分类讨论）

例：解不等式(ax1)(x1)0（a0） 答案：当a0或a1时，解集为{xx11或x1}；当1a0时，解集为{xx1或x}； aa知识点：解含参数的一元二次不等式

思路：用分类讨论法解一元二次不等式。

3 高次不等式(数轴标根法，已不再是高考的重点) 4 分式不等式

cxd0(axb)(cxd)0（axb0）.

axbcxdcxdcxdaxb（2）1100（剩下的同上）注意，如果已经确定axb0，即有

axbaxbaxbcxdaxb。

（1）

5 单绝对值不等式

（1）axbc(a0)axbc或axbc；（2）axbc(a0)caxbc 6 双绝对值不等式

bdbdb)可分解为：当x时，(axb)(cxd)t；当x时，

aaccad(axb)(cxd)t；当x时，[(axb)(cxd)]t。具体解根据实际情况即可。注意：

caxbcxdt(设ababab；含参数的双绝对值需要先确定参数的围再分类讨论，或根据实际情况看是哪一类问题

具体确定；含参数的双绝对值不等式恒成立问题，会涉及到最值问题，需要根据函数的单调性求取值。 例：已知函数f(x)x3x2，求不等式f(x)3的解集。 答案：{xx4或x1}

知识点：双绝对值不等式

思路：分类讨论解双绝对值不等式。

例：函数f(x)xax2，若f(x)x4的解集包含[1,2]，求a的取值围。 答案：3a0

.. .

. . . .

知识点：双绝对值不等式中含参数的问题

思路：由给出的解集，可去双绝对值，然后确定a的取值围。

例：关于x的不等式x2xa2a在R上恒成立，则实数a的最大值是 答案：a2 3知识点：双绝对值不等式中含参数的问题 思路：（方法不唯一）分类讨论可以解出不等式的取值围，然后求出a的最大值。

考点二 不等式的证明

常用的方法：做差法，分析法，综合法，放缩法，数学归纳法。 柯西不等式：(ab)(cd)(acbd)

22222a2b2(ab)2 例：已知0x1，求证

x1x答案：如下

知识点：柯西不等式

思路：由x(1x)1，然后构造柯西不等式。

例：已知a1,b1，求证

1ab1。 ab答案：如下

知识点：绝对值不等式，作差法

思路：作差，讨论1abab的正负。 例：若abc,bca，求证ca

答案：如下

知识点：绝对值不等式，不等式的性质

思路：通过解绝对值不等式，和不等式的性质即可。

22考点三 不等式组的线性规划

不等式组的线性规划的解题思路是：所取的点是否在约束的围。 1 最大值和最小值

xy20,例：设变量x,y满足约束条件x5y1010,则目标函数z3x4y的最大值和最小值分别为

xy80,答案：3，-11

知识点：不等式组的线性规划（最大值和最小值）

思路：三条直线的交点（构成三角形区域）代入目标函数中，即一个最大值和一个最小值。 2 最值围

x,y0例：设x,y满足约束条件：xy1；则zx2y的取值围为

xy3 .. .

. . . .

答案：[3,3]

知识点：不等式组的线性规划

思路：画图，找出区域，求出的交点代入目标函数中，即一个最大值和一个最小值。 3面积问题

2xy60例：不等式组xy30表示的平面区域的面积为

y2答案：1

知识点：不等式组的线性规划

思路：找出三角形区域，然后用三角形面积公式求面积。 4目标函数中含参数

xy5例：已知x,y满足以下约束条件xy50，使zxay(a0)取得最小值的最优解有无数

x3个，则a的值为 答案：1

知识点：不等式组的线性规划

思路：找出可行域，做目标函数的平行线，即可。 5 求非线性目标函数的最值

2xy2022

例：已知x、y满足以下约束条件x2y40 ，则z=x+y的最大值和最小值分别是

3xy30答案：13，

4 5知识点：不等式组的线性规划

思路：找出可行域，求出三个交点的坐标代入目标函数中，即可。

6 约束条件中含函数的最值围

x1例：已知a＞0， x,y满足约束条件xy3， 若z2xy的最小值是1，则a＝

ya(x3)答案：

1 2知识点：不等式组的线性规划

思路：找出可行域，求出三个交点的坐标代入目标函数中，即可。 7 比值问题

xy20y例：已知变量x,y满足约束条件x1，则 的取值围是（ ）。

xxy70 .. .

. . . .

答案：[,6]

知识点：不等式组的线性规划

思路：找出可行域，求出三个交点的坐标代入目标函数中，即可。 8 双边约束条件

例：若变量x,y满足约束条件9532xy9，则zx2y的最小值是。

6xy9答案：-6

知识点：不等式组的线性规划

思路：找出可行域，是平行四边形区域，求出四个交点的坐标代入目标函数中，即可。

考点四 基本不等式 1 直接法

1例：求函数yx(x0)的最小值

x答案：2

知识点：基本不等式

思路：直接用基本不等式。 2 构造法 例：已知x5，求函数y4x21的最大值 44x5答案：1

知识点：基本不等式

思路：上述表达式可转化为，y4x513，应用基本不等式。 4x5x23x1,(x0)的最小值 例：求yx答案：5

知识点：基本不等式 思路：上式转化为：yx3 换元法 例：求函数y13，然后用基本不等式。 xx25x42的值域。

答案：, 知识点：基本不等式

2思路：令x24t(t2)，则yx5x2452x241应用基本不等式（函数的单调性）。 t(t2)，

2tx414 “1”的活用

例：已知a0,b0,ab2,则y14的最小值是 ab .. .

. . . .

答案：

9 21a4b1a4bab)进行转化，然后利用基本不等式。 2知识点：基本不等式

思路：可根据()()(5 ab(ab2)的应用 222例：若实数x,y满足xyxy1，则xy的最大值是

答案：23 3知识点：基本不等式

思路：上式可转化为：(xy)1xy1(6 基本不等式的证明

2xy2)，即可。 2a2b2c21。 例：设a,b,c均为正数，且abc1，证明：bca答案：如下

知识点：基本不等式

a2b2c2b2a,c2b,a2c即可。 思路：利用bca考点五 不等式的综合问题

例：函数f(x)sinx(0x2)的值域是

54cosx答案：[11,] 22知识点：函数的值域，基本不等式

思路：需要先对函数两边平方，然后构造基本不等式，最后用基本不等式。 例：不等式x3x1a3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值围为 答案：(,1][4,)

知识点：恒成立问题，解不等式

思路：先求双绝对值的最大值，然后解实数a的取值围。

23xy60,23例：设x,y满足约束条件xy20,若目标函数zaxby(a＞0,b＞0)的最大值为12，则的最小值

abx0,y0,为 答案：

25 6知识点：线性规划，基本不等式

思路：先画可行域，然后确定最大值，最后用基本不等式求最小值。

.. .

. . . .

例：已知函数f(x)axbc(a0)的图像在点(1,f(1))处的切线方程为yx1。 x（1）用a表示出，b,c；

（2）若f(x)lnx在[1,)上恒成立，求a的取值围；

（3）证明：1111nln(n1)(n1)。 23n2(n1)答案：（2）, 知识点：导数，函数，不等式

12k1，然后化解就行。 k 上述将必修五的知识点和常考题型简单的做了总结，题型不是很全，但重要的方法或常考的方法基本上都有了，同学们不仅要理解它，更重要的是灵活应用它。希望同学们在学习过程中，要多总结，多练习，多思考，将常考的知识点和方法掌握相当熟练的程度，只有这样才能取得理解的成绩。

思路：（2）分类讨论，恒成立问题。（3）在第二问的基础上，令x

.. .