高等数学习题详解-第7章 多元函数微分学

1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限：

A(2，1,-6)，B(0，2，0)，C(-3，0,5)，D(1，-1，-7).

解：A在V卦限，B在y轴上，C在xOz平面上，D在VIII卦限。

2. 已知点M(-1，2，3)，求点M关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解：设所求对称点的坐标为(x，y，z)，则

(1) 由x-1=0，y+2=0，z+3=0，得到点M关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3). (2) 由x=-1，y+2=0，z+3=0，得到点M关于x轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3). 同理可得：点M关于y轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于z轴的对称点的坐标为：(1，-2，3).

(3)由x=-1，y=2，z+3=0，得到点M关于xOy面的对称点的坐标为：(-1， 2，-3).

同理，M关于yOz面的对称点的坐标为：(1， 2，3)；M关于zOx面的对称点的坐标为：(-1，-2，3).

3. 在z轴上求与两点A(-4，1，7)和B(3，5，-2)等距离的点. 解: 设所求的点为M(0，0，z)，依题意有|MA|2=|MB|2，即

(-40)2(10)2(7z)2(30)2(50)2(-2z)2

解之得z=11，故所求的点为M(0，0，

14). 9224. 证明以M1(4,3,1)，M2(7,1,2)，M3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：由两点距离公式可得M1M2214，M1M36,M2M36

所以以M1(4,3,1)，M2(7,1,2)，M3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 5. 设平面在坐标轴上的截距分别为a=2,b=－3,c=5,求这个平面的方程.

xyz1。 解：所求平面方程为2356. 求通过x轴和点(4,－3,－1)的平面方程. 解：因所求平面经过x轴，故可设其方程为

Ay+Bz =0.

又点(4,－3,－1)在平面上，所以-3A-B =0.即B=-3 A代入并化简可得 y-3z =0. 7. 求平行于y轴且过M1(1,0,0)，M2(0,0,1)两点的平面方程. 解：因所求平面平行于y轴，故可设其方程为

Ax+Cz+D=0.

又点M1和M2都在平面上，于是

AD0 CD0可得关系式：A=C=－D,代入方程得：－Dx－Dz+D=0.

显然D≠0,消去D并整理可得所求的平面方程为x+z－1=0. 8. 方程x2+y2+z2－2x+4y=0表示怎样的曲面？

解：表示以点（1，-2，0）为球心，半径为5的球面方程。

9. 指出下列方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么几何图形？ (1) x－2y=1； (2) x2+y2=1； (3) 2x2+3y2=1； (4) y=x2.

解：(1)表示直线、平面。(2)表示圆、圆柱面。(3)表示椭圆、椭圆柱面。 (4)表示抛物线、抛物柱面。

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习题7-2

1. 下列各函数表达式:

(1) 已知f(x,y)=x2+y2,求f(xy,xy)； (2) 已知f(xy,xy)x2y2,求f(x,y).

解：（1）f(xy,xy)(xy)2(xy)2x2xyy2 （2）f(xy,xy)x2y2(xy)22 所以f(x,y)x22y2

2. 求下列函数的定义域，并指出其在平面直角坐标系中的图形： (1) zsin212； (2) z1x2y21; xy1arcsin(3x2y2)(3) f(x,y)1xln(xy)； (4) f(x,y)

2xy解：（1）由x2y210可得x2y21

故所求定义域为D={(x,y)| x2y21}表示xOy平面上不包含圆周的区域。 （2）由

1x20 2

y101x1 可得

y1或y1xy

2 故所求的定义域为D={(x,y)| 1x1且y1或y1}，表示两条带形闭域。 （3）由

1x0 

xy0 可得

x1 

yx 故所求的定义域为D={(x,y)| x1且yx}，表示xOy平面上直线y=x以下且横坐

标x1的部分。 （4）由

13x2y21  2xy0 可得

2x2y24  2yx 故所求的定义域为D={(x,y)| 2x2y24且y2x}。 3. 说明下列极限不存在：

xy (1) lim；

x0xyy0x3y(2) lim6.

x0xy2y0解：（1）当点P(x,y)沿直线y=kx趋于点(0,0)时，有

xy(k1)xk1lim lim。

(x,y)(0,0)xyx0(k1)xk1 ykx - 2 -

显然，此时的极限值随k的变化而变化。 因此，函数f(x,y)在(0,0)处的极限不存在。 （2）当点P(x,y)沿曲线ykx趋于点(0,0)时，有 x3ykx6klim22 lim。 626(x,y)(0,0)xyx0(k1)xk13 ykx3显然，此时的极限值随k的变化而变化。 因此，函数f(x,y)在(0,0)处的极限不存在。

4. 计算下列极限：

sin(xy)exy(1) lim； (2)lim;

x0xy(x,y)(0,3)xy1sin(x3y3)(3) lim；

(x,y)(0,0)xy(4)

(x,y)(0, 0)limxy42.

xyexy解：（1）因初等函数f(x,y)在(0,1)处连续，故有

xyexye01 lim2

x0xy01y1（2）

sin(xy)sin(xy)limy3

(x,y)(0,3)(x,y)(0,3)xxylimsin(x3y3)sin(x3y3)2lim(xxyy2)0 （3）lim33(x,y)(0,0)(x,y)(0,0)xyxy（4）lim(x,y)(0, 0)xy42(xy42)(xy42)11limlim。 (x,y)(0, 0)(x,y)(0, 0)xy4xy(xy42)xy425. 究下列函数的连续性：

x2y2,(x,y)(0,0)(1) f(x,y)xy

0,(x,y)(0,0)x2y2,(x,y)(0,0)(2) f(x,y)x2y2

0,(x,y)(0,0)x2y2解：(1)limlim(xy)0f(0,0)

(x,y)(0,0)xy(x,y)(0,0) 所以f(x,y)在(0,0)处连续.

x2y2x2kx21k2lim2 (2) lim 2(x,y)(0,0)x2y2x0xk2x21k ykx 该极限随着k的取值不同而不同，因而f(x,y)在(0,0)处不连续.

6. 下列函数在何处间断？ (1) z212； (2) zln1x2y2. xy解：(1)z在{(x,y)| xy}处间断. (2)z在{(x,y)| xy1}处间断.

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22习题7-3

1. 求下列函数偏导数：

(1) z=x3+3xy+y3；

siny2 (2) zx;

(3) zln(x3y)； (4) zxylnxy(x0，y0,x1) z(5) uxy； (6) ucos(x2y2ez) 解：(1) zx3x23y,zy3x3y2.

(2) zsiny2zxx,12yxcosy22y. (3) z13y,zy3xxx3y.

(4) zyxy1y1z1xxyyxy1x,yxylnxy.

uzz (5)

xzyxy1,uyxylnx(zy2). z uzxylnx(1y)

(6) uxsin(x2y2ez)2x, zsin(x2y2ez)(2y)2ysin(x2y2ezy).

uzsin(x2y2ez)(ez) ezsin(x2y2ez) 2. 求下列函数在指定点处的偏导数： (1) f(x,y)=x2－xy+y2，求fx(1,2)，fy(1,2);

f(x,y)arctanx2y2(2) xy;求fx(1,0)

(3) f(x,y)lnx2y2sin(x21)earctan(x2x2y2); 求fx(1,2)； (4) f(x,y,z)ln(xyz), 求fx(2,0,1),fy(2,0,1),fz(2,0,1). 解：(1) fx(x,y)2xy,fy(x,y)x2y. fx(1,2)220,fy(1,2)143. (2) f(x,0)arctanx,故fx(x,0)11x2 因此f1x(1,0)1112. (3) f(x,2)1ln(x24)sin(x21)earctan(x2x24)2

因此

f(x,2)12x2x24cos(x21)2xearctan(x2x24)x2x12x sin(x21)earctan(x2x24)2x241(x2x24)2. - 4 -

1所以fx(1,2)2earctan(15).

5y (4) fx(x,y,z)1,fy(x,y,z)z,fz(x,y,z).

xyzxyzxyz11 故fx(2,0,1),fy(2,0,1),fz(2,0,1)0.

223．设rx2y2z2，证明： rrr1; (1) xyz222rr(2) 2r2; 22rxyz2(lnr)2(lnr)2(lnr)1(3) 2.

x2y2z2rrxx, 证明：xrx2y2z2222利用函数关于自变量的对称性，可推断得到：r(1)

xry,rz.

yrzr2rrzy22x2y2z2r221

r2r2rxrxr222rrxxr(2) 2 xr2r2r3222rry2rr2z2利用函数关于自变量的对称性，可推断得到：2 ,2yr3zr32222r2r2r3rxy2r222223.

rxyzr3r(lnr)xx(3) lnr1ln(x2y2z2),22 222xxyzrr22(lnr)rx2rxr22x2 x2r4r42(lnr)r22y22(lnr)r22z2,. 利用函数关于自变量的对称性，可推断得到：

y2r4z2r42(lnr)2(lnr)2(lnr)3r22(x2y2z2)12.

x2y2z2r4r222

zz4. 求下列函数的二阶偏导数2,2,z： xyyx

(1) z4x33x2y3xy2xy； (2) zxln(xy).

2zz22解：(1) 12x6xy3y1,224x6y.

xxz2z3x26xy1,26x. yyxyxx2yz12z1(2) ln(xy)x,2.

xxyxxy(xy)2(xy)2zx2zx,2. yxyy(xy)25. 某水泥厂生产A,B两种标号的水泥，其日产量分别记作x,y(单位：吨)，总成本(单位：

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元)为

C(x,y)=20+30x2+10xy+20y2,

求当x=4,y=3时，两种标号水泥的边际成本，并解释其经济含义. 解：Cx(x,y)60x10y,Cy(x,y)10x40y, Cx(4,3)270,Cy(x,y)160.

经济含义:当A,B两种标号的水泥日产量分别4吨和3吨时，如果B水泥产量不变，而A水泥的产量每增加1吨，成本将增加270元；如果A水泥产量不变，而B水泥的产量每增加1吨，成本将增加160元。

6. 设某商品需求量Q与价格为p和收入y的关系为

Q=400－2p+0.03y.

求当p=25,y=5000时，需求Q对价格p和收入y的偏弹性，并解释其经济含义. 解：

Qp(p,y)2,Qy(p,y)0.03, Qp(25,5000)2,Qy(25,5000)0.03.

经济含义: 价格为25和收入为5000时，如果价格不变，而收入增加1个单位，商品的需求量将增加0.03；如果收入不变，而价格增加1个单位，商品的需求量将减少2.

习题7-4

1. 求下列函数的全微分： (1) z=4xy3+5x2y6；

(2) z1x2y2

yeyz 2(3) u=ln(x－yz)； (4) uxsin解：(1) z4y310xy6,z12xy230x2y5,

xydz2y3(2+5xy3)dx6xy2(2+5xy3)dy. 所以 yzxz,, (2) x1x2y2y1x2y2dz所以 x1xy22dxy1xy22dy.

y(3) u1,uz,u,

xxyzyxyzzxyzy1z所以 dudxdydz.

xyzxyzxyzy(4) u1,u1coszeyz,uyeyz,

xy22zy1dudx(coszeyz)dyyeyzdz. 所以 222. 计算函数z=xy在点(3，1)处的全微分. 解：zyxy1,zxylnx,

xydzyxy1dxxylnxdy. 所以 dz(3,1)dx3ln3dy.

3. 求函数z=xy在点(2，3)处，关于Δx=0.1，Δy=0.2的全增量与全微分.

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z解：zy,zx,所以z3,2,

x(2,3)y(2,3)xyzzzxy0.30.40.7 x(2,3)y(2,3) dz(2,3)3dx2dy.

4. 计算 (1.04)2.02的近似值.

设函数f(x,y)=xy.x=1,y=2,Δx=0.04,Δy=0.02.

f(1,3)=13=1,fx(x,y)=yxy-1,fy(x,y)=xylnx,

fx(1,2)=2,fy(1,2)=0.

由二元函数全微分近似计算公式(7-18)，得

(1.05)3.02≈1+2×0.04+0×0.02=1.08.

5. 设有一个无盖圆柱形玻璃容器，容器的内高为20 cm，内半径为4 cm，容器的壁与底的厚度均为0.1 cm，求容器外壳体积的近似值.

解：解 设圆柱的直径和高分别用x，y表示，则其体积为

Vf(x,y)π(x)2y1πx2y.

24于是，将所需的混凝土量看作当x+Δx=8+2×0.1，y+Δy=20+0.1与x=8，y=20时的两个圆柱体的体积之差ΔV(不考虑底部的混凝土)，因此可用近似计算公式

ΔV≈dV=fx(x,y)Δx+fy(x,y)Δy.

11又fx(x,y)πxy,fy(x,y)πx2，代入x=8，y=20，Δx=0.2，

24Δy=0.1，得到

11VdV8200.2820.117.655.2.(m3).

24因此，大约需要55.2m3的混凝土.

习题7-5

1. 求下列函数的全导数：

dz； dtdz(2) 设z=arctan(u－v),而u=3x,v=4x3,求导数;

dxdz(3) 设z=xy+sint,而x=et,y=cost,求导数.

dtdzzduzdv 解： (1)

dtudtvdt3e3u2v2t2e3u2v(sint)

(1) 设z=e3u+2v，而u=t2,v=cost,求导数

6te3t2cost2sinte3t2cost

dzzduzdv (2)

dxudxvdx11 312x 21(uv)1(uv)23 (14x). 1(3x4x3)2dy(3) dzzdxzz

dtxdtydtt

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22 yetx(sint)cost

costetetsintcost

2. 求下列函数的偏导数(其中f具有一阶连续偏导数)：

(1) 设z=u2v－uv2，而u=xsiny,v=xcosy，求zx和zy；

(2) 设z=(3x2+y2)4x+2y，求z和zxy；

(3) 设u=f(x,y,z)=ex+2y+3z,z=x2cosy，求u和uxy；

(4) 设w=f(x，x2y，xy2z)，求wwwx,y,z.

解：(1)zzxuuxzvvx(2uvv2)siny(u22uv)cosy (x2sin2yx2cos2y)siny(x2sin2yx2sin2y)cosyzyzuuyzvvy(2uvv2)xcosy(u22uv)xsiny (x2sin2yx2cos2y)xcosy(x2sin2yx2sin2y)xsiny (2) 令u3x2y2,v4x2y,则zuv. zzuzvvuv1xuxvx6xuvlnu4 6x3x2y24x2y143x2y24x2yln(3x2y2)

zzuxuyzvvyvuv12yuvlnu2 2y3x2y24x2y123x2y24x2yln(3x2y2)

(3)

wf1f22xyf2x3yz wyf22xf32xyz

wzf3xy2 3. 应用全微分形式的不变性，求函数zarctanxy1xy的全微分. 解：令uxy,v1xy,则zarctanuv

dzd(arctanu111uv)du1(uv)2v1(u2v)v2dv 而dudxdy,dvydxxdy

故dz11(xy)(1xy21xy[dxdyydxxdy)1xy] 1xy dx1x2dy1y2. 4. 已知sinxy－2z+ez=0,求zzx和y..

解：两同时对x求偏导，可得

ycosxy2zzxezx0.

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ycosxy故z. x2ez两边同时对y求偏导，可得

zzxcosxy2ez0.

yyxcosxy故z. y2ez5. 若f的导数存在，验证下列各式：

uxyuxu(1) 设u=yf(x2－y2)，则y2；

xyy(2) 设zxyxf()，则xzyzzxy.

xxyuyf'(x2y2)2x,uf(x2y2)2y2f'(x2y2). 证：(1) xy所以y2uxyuy3f'(x2y2)2xxy[f(x2y2)2y2f'(x2y2)]xu.

xyyyy(2) zyf()xf'()(12),zxxf'()1.

yxxxxxxyyy所以xzyzx[yf()f'()(1)]y[xxf'()1]zxy.

xyxxxxx6. 求下列函数的二阶偏导数(其中f具有二阶连续偏导数)：

xy(1) zarctan；

1xy(2) z=ylnx；

(3) z=f(xy,x2－y2).

dyz1z,. 2x1xy1y22y2z2x2z2z2z故2,,0. x(1x2)2y2(1y2)2xyyx(2) zylnxlny1,zlnxylnx1.

xxy解：(1)由第3题可知

211故zylnxln2y2ylnxlny2, 2xxx2zlnx(lnx1)ylnx2, 2y2z2z1lnx111ylnxylnx1lnyylnx1(1lnxlny). xyyxxxxz(3) f1yf22x,zf1xf22y.

xy2故zy(f11yf122x)2f22x(f21yf222x)y2f114xyf124x2f222f2. 2x2zx(f11xf122y)2f22y(f21xf222y)x2f114xyf124y2f222f2. 2y2z2zf1y(f11x2yf12)2x(f21x2yf22)f1xyf11(2x22y2)f124xyf22. xyyxzz7. 求由下列方程所确定的隐函数z=f(x,y)的偏导数,：

xy(1) x2+y2+z2－4z=0；

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(2) z3－3xyz=1.

zzz2x40,故. xxx42z2y两边同时对y求偏导得2y2zz4z0,故z.

y42zyy3yzzz3y(z)0,故z2(2) 两边同时对x求偏导得3z2. xxx3z3yxz两边同时对y求偏导得故z3.

y3z23x解：(1)两边同时对x求偏导得2x2z

习题7-6

1. 求下列函数的极值：

(1) f(x,y)=x2+y3－6xy+18x－39y+16； (2) f(x,y)=3xy－x3－y3+1.

fx(x,y)2x6y180解：(1) 先解方程组 2f(x,y)3y6x390y得驻点为(-6,1),(6,5).

fxx2,fxyx,y6,fyyx,y6y,

在点(-6，1)处，Δ=AC-B2=2×6-36<0,所以f(-6，1)不是极值； 在点(6，5)处，Δ= AC-B2=2×30-36>0，又A>0，所以函数在(6，5)处有极小值f(6，5)=-90.

2fx(x,y)3y3x0(2) 先解方程组 2f(x,y)3x3y0y得驻点为(0,0),(1,1).

fxx6x,fxyx,y3,fyyx,y6y,

在点(0，0)处，Δ=AC-B2=-9<0,所以f(0，0)不是极值；

在点(1，1)处，Δ=AC-B2=27>0,又A<0，所以函数在(1，1)处有极大值f(1，1)=2.

2. 求函数f(x,y)=x2－2xy+2y在矩形区域D={(x,y)|0≤x≤3,0≤y≤2}上的最大值和最小值.

解：(1)先求函数在D内的驻点，解方程组 fx(x,y)2x2y0 f(x,y)2x20 y得唯一驻点(1,1),且f(1,1)=1.

(2) 再求f(x,y)在D的边界上的最值.

在边界x =0,0y2上, f(x,y)=2y，因此最大值为f(0,2)=4，最小值为f(0,0)=0； 在边界x =3,0y2上, f(x,y)= -4y+9，因此最大值为f(3,0)=9，最小值为f(3,2)=1； 在边界y =0,0x3上, f(x,y)= x2，因此最大值为f(3,0)=9，最小值为f(0,0)=0；

在边界y =2,0x3上, f(x,y)= x2－4x+4，因此最大值为f(3,2)=1，最小值为f(2,2)=0； (3) 比较上述得到的函数值，从而得到f(3,0)=9为最大值，f(0,0)=0为最小值. 3. 求函数f(x,y)=3x2+3y2－x3在区域D:x2+y2≤16上的最小值. 解：(1)先求函数在D内的驻点，解方程组

2fx(x,y)6x6y3x0 f(x,y)6y0 y得驻点(0,0), (2,0)，且f(0,0)=0， f(2,0)=4.

- 10 -

(2) 再求f(x,y)在D的边界上的最值.

在边界x2+y2=16上，f(x,y)=48－x3, 因此最大值为f(0,4)=48，最小值为f(4,0)=-16； (3) 比较上述得到的函数值，从而得到f(0,4)=48为最大值，f(4,0)=-16为最小值. 4. 求下列函数的条件极值： (1) z=xy，x+y=1；

(2) u=x－2y+2z， x2+y2+z2=1.

解：(1) 作拉格朗日函数L(x,y,λ)=xy+λ(x+y－1).写出方程组

Lxy0Lyx0 Lxy1011111得到P(,),因此，z=xy在P(,)处取得最大值.

22224(2) 作拉格朗日函数L(x,y,z,λ)= x－2y+2z +λ(x2+y2+z2－1).写出方程组

Lx12x0Ly22y0 L22z0zLx2y2z2－10122122,),P得到P1(,1(-,,-). 333333122因此，u=x－2y+2z在P1(-,,-)处取得最小值-3. 3335. 要用铁板做成一个体积为8m3的有盖长方体水箱，如何设计才能使用料最省？ 解 设长方体的三棱长分别为x，y，z，则问题就是在约束条件

xyz=8

下求函数S=2(xy+yz+xz)的最大值. 构成辅助函数

F(x，y，z)= 2(xy+yz+xz)+λ(xyz－8)，

解方程组

Fx(x,y,z)2y2zyz0,Fy(x,y,z)2x2zxz0,Fz(x,y,z)2x2yxy0,xyz8得xyz2这是唯一可能的极值点.

因为由问题本身可知最小值一定存在，所以最小值就在这个可能的极值点处取得.即：体积为8m3的有盖长方体水箱中,以棱长为2的正方体的表面积为最小，最小表面积S24.

6. 某工厂生产甲、乙两种产品的日产量分别为x件和y件，总成本函数为

C(x,y)=1000+8x2－xy+12y2(元),

要求每天生产这两种产品的总量为42件，问甲、乙两种产品的日产量为多少时，成本最低？

解：问题是在约束条件x+y=42(x>0，y>0)下，函数

C(x,y)=1000+8x2－xy+12y2(元)

的条件极值问题.令

L(x,y,λ)10008x2－xy12y2(xy42)

- 11 -

由Lx16xy0,Lyx24y0,xy42得x=25,y=17.

根据问题本身的意义及驻点的唯一性知，当投入两种产品的产量分别为25件和17件时，可使成本最低.

7. 某公司通过电视和报纸两种媒体做广告，已知销售收入R(单位:万元)与电视广告费x(单位:万元)和报纸广告费y(单位:万元)之间的关系为

R(x,y)=15+14x+32y－8xy－2x2－10y2，

(1) 若广告费用不设限，求最佳广告策略.

(2) 若广告费用总预算是2万元，分别用求条件极值和无条件极值的方法求最佳广告策

略.

解：(1)令Rx148y4x0,Ry328x20y0.得唯一驻点(1.5,1).由此可知，当电视广告费为1.5万元，报纸广告费为1万元时，广告策略最佳。 (2) 问题是在约束条件x+y=2(x>0，y>0)下，函数

R(x,y)=15+14x+32y－8xy－2x2－10y2

的条件极值问题.令

10y2(xy2) L(x,y,λ)1514x32y－8xy－2x2－由Lx148y4x0,Ly8x3220y0,xy2

解得x=0.75,y=1.25. 由此可知，当电视广告费为0.75万元，报纸广告费为1.25万元

时，广告策略最佳。

由x+y=2，可得y =2-x,代入R得

R(x,y)=-4 x2+6x+39

令Rx0,得x0.75.因此y=1.25.

复习题7 （A）

1. 设zyf(3x1)，且已知y=1时，z=x则f(x)(x1)31,z解：由y=1时，z=x，得f(3x1)=x1.

令3x1=t.得x(t1)3,因此f(t)(t1)31.即f(x)(x1)31，zyx1. yx1.

x3,(x,y)(0,0)2. 设f(x,y)x2y2，则fx(0,0) 1 , fy(0,0) 0 . 0,(x,y)(0,0)f(0x,0)f(0,0)xlim1,

x0x0xxf(0,0y)f(0,0)0 fx(0,0)limlim0. x0x0yy解：fx(0,0)limxy,,则dz . xyu解：令uxy,vxy,则zarctan

vu111udzd(arctan)dudv 2uv1(u)2v2v1()vv而dudxdy,dvdxdy

(xy)(dxdy)11[dxdy] 故dz2xyxyxy11xy3. 设zarctan - 12 -

xdyydx.

x2y22y2u . 4. 设uyf()xg(x),其中f,g具有二阶连续偏导数,则xuyxyxyx2yy解：uyf'()2g(x)xg'(x)1,

xxxyyyyy2y2y2ux1x1x1 2yf''()4yf'()3g'()g'()xg''()2,

xxxxyyyyyyx yy2y2y2uxxxx2xx 2f''()3f'()2g'()2g''()3g'()2,

xxxxyyyyyyx22u所以x2yu0.

xyx5. 若函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的偏导数存在，则在该点处函数zf(x,y) ( D )

A 有极限 B连续

C 可微 D以上三项都不成立

解：因为偏导数存在，不能推出极限存在，所以ABC三项不一定正确. 6. 偏导数fx(x0,y0)，fy(x0,y0)存在是函数z=f(x,y)在点(x0,y0)连续的( D ) A 充分条件 B 必要条件

C 充要条件 D 即非充分也非必要条件 解：同5.

22

7. 设函数f(x,y)=1－x+y,则下列结论正确的是( D )

A 点(0,0)是f(x,y)的极小值点 B 点(0,0)是f(x,y)的极大值点 C 点(0,0)不是f(x,y)的驻点 D f(0,0)不是f(x,y)的极值 8. 求下列极限： (1)

lim(x2y2)sin1； (2) (x,y)(0,0)xy(x,y)(0,0)(x,y)(0, 0)limxy11.

xy解：(1) 因为 (2)

(x,y)(0, 0)lim(x2y2)0，而sin11有界.所以lim(x2y2)sin0.

(x,y)(0,0)xyxylimxy11(xy11)(xy11)xylimlim (x,y)(0, 0)(x,y)(0, 0)xy(xy)(xy11)(xy)(xy11) =0

9. 设u=e3xy，而x2+y=t2,x－y=t+2,求du.

dtt0－

解：由x2+y=t2,x－y=t+2,可得 dxdydxdy2x2t,1,所以 dtdtdtdtdx2t1dy2t2x,. dt2x1dt2x1dy2t13xy2t2x. 因此，dududxdu3e3xyedtdxdtdydt2x12x1令t0,得x2,y4或x1,y1.

2du5e4故e或. dtt03322zz10. 设z=f(x,y)由方程xy+yz+xz=1所确定,求,2,z. xxxy - 13 -

解：两边同时对x求偏导，得

yzzzzzxz.

yyzx0,因此,由对称性可得xxxxyyxyyzz(xy)(yz)(xy)yzxy2y2z2zx. 2222x(xy)(xy)(xy)(1z)(xy)(yz)(1xz)(xy)yz2yxyz2z. 22xy(xy)(xy)(xy)22f2f111. 设f(u,v)具有二阶连续偏导数,且满足221，又g(x,y)f[xy,(x2y2)],

2uv试证

2g2g2x2y2. 2xy1证：设uxy,v(x2y2),则g(x,y)f(u,v).则

2gfufvffgfufvffyx,xy, xuxvxuvyuyvyuv2g2fu2fy2x2u2xv2g2fu2fx2y2u2yvf2f22f2fvxy2x, xvu2vvf2f22f2fvyx2y, yvu2vv2g2g所以22x2y2.

xy12. 求函数f(x,y)=x2(2+y2)+ylny的极值.

2fx(x,y)2x(2y)0解：先解方程组 2f(x,y)2xylny10y得驻点为(0,1).

1fxx2(2y2),fxyx,y4xy,fyyx,y2x2,

y在点(0，1)处,Δ=AC-B2=6×1-0>0,又A>0,所以函数在(0，1)处有极小值f(0，1)=0.

（B）

－z1. 设z=ex+f(x－2y)，且已知y=0时，z=x2,则 .

x解：令y0得f(x)x2ex,因此，zex(x2y)2ex2y,

z所以ex2(x2y)ex2y.

x2. 设f(x,y,z)=exyz2，其中z=z(x,y)是由x+y+z+xyz=0确定的隐函数，则fx(0,1,1) .

zz解：由xyzxyz0可得1y(zx)0.

xx1yz故z. x1xy1yzzfx(x,y,z)y(exz2ex2z)y(exz22exz)

x1xy因此fx(0,1,1)1.

- 14 -

3. 设zln(xy),则xzyz .

xy11112y2xzz,解：，

xxyyxy1(xy)zz1. 所以xy2xy2xy214. 设zf(xy)yg(xy),,其中f,g具有二阶连续偏导数,则z .

xxyy解：z12f(xy)f'(xy)yg'(xy),

xxxy2z11f'(xy)f'(xy)f''(xy)xg'(xy)yg''(xy) xyxxx yf''(xy)g'(xy)yg''(xy).

5. 函数f(x,y)eA B C D

x2y4在点(0,0)处的偏导数存在的情况是( C ).

fx(0,0)，fy(0,0)都存在 fx(0,0)存在，fy(0,0)不存在

fx(0,0)不存在，fy(0,0)存在 fx(0,0)，fy(0,0)都不存在

2x2f(0x,0)f(0,0)e1x解：fx(0,0)limlim=lim不存在, x0x0x0xxxy4f(0,0y)f(0,0)ey1fy(0,0)limlim=lim=0.

x0x0x0yyy46. 设f(x,y),g(x,y)均为可微函数，且gy(x,y)≠0，已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件

g(x,y)=0下的一个极值点，下列结论正确的是( D ) A 若fx(x0,y0)=0,则fy(x0,y0)=0 B 若fx(x0,y0)=0,则fy(x0,y0)≠0 C 若fx(x0,y0)≠0,则fy(x0,y0)=0 D 若fx(x0,y0)≠0,则fy(x0,y0)≠0

解：作拉格朗日函数L(x,y,)f(x,y)g(x,y)，则有 Lx(x,y,)fx(x0,y0)gx(x0,y0)0， Ly(x,y,)fy(x0,y0)gy(x0,y0)0.

由于gy(x,y)≠0，所以当fx(x0,y0)≠0，0,因此gy(x0,y0)0，从而fy(x0,y0)≠0. 7. 设函数u=f(x,y,z)有连续偏导数，且z=z(x,y)是由xex－yey=zez所确定的隐函数，求du.

yyzzzexxexzeyexxzzxyz

解：由xe－ye=ze可得exeeze. .故,同理zxxxezzezyezez因此dufxdxfydyfzdz

xxeyyeyexe fxdxfydyfz(zdxzdy)

ezezezezeyyeyexxex

(fxfzz)dx(fyfzz)dy.

ezezezez8. 设函数u=f(x,y,z)有连续偏导数，且y=y(x),z=z(x)分别由下列两式确定：

xzexyxy2,exsintdt，

0t - 15 -

求

du. dxxyxydydydyexyyyy解：由exy2,可得e(yx)(yx)0,因此，. xydxdxdxxexxxzsintsin(xz)ex(xz)dzdzxx由e. dt,可得e(1)，因此10txzdxdxsin(xz)dyyex(xz)dudz故fxfyfzfxfyfz[1]. dxdxdxxsin(xz)9. 设z=z(x,y)由方程x2+y2－z=g(x+y+z)所确定，其中g具有二阶连续偏导数且g′≠－1. (1) 求dz;

(2) u(x,y)1xy(zxzy),求ux.

解：(1)由x2y2－zgxyz,两边分别同时对x、y求偏导得

2xzzzzxg'xyz(1x),2yyg'xyz(1y). 因此z2xg'xyzz2ygxg'xyz1,y'xyzg'xyz1. dz2xg'xyz2yg'xg'xyz1dxyzg'xyz1dy.

(2) u(x,y)1xy(zxzy)12x2y2xyg'xyz1g'xyz1, zu2g''(xyz)(12g''(xyz)[12xg'xyz)g'xyz1]xx[g'(xyz)1]2[g'(xyz)1]2. 10. 求函数u=x2+y2+z2在约束条件z=x2+y2和x+y+z=4下的最大值和最小值.

解：由z=x2y2,xyz4可得x2y24xy.因此，问题转化为求 u4xy(4xy)2在约束条件x2y24xy下的极值问题. 令L(x,y,)4xy(4xy)2(x2y24xy), Lx(x,y,)12(4xy)2x0， Ly(x,y,)12(4xy)2y0.

x2y24xy0,

解得: x2,y2或x1,y1.因此, z=8或z=2. 又f(2,2,8)72,f(1,1,2)6. 所以最大值为72，最小值为6.

- 16 -