单招考试复习资料

一．选择题（共31小题）

1．已知集合A={x|x≥0，x∈R}，B={x|x2+2x﹣3≥0，x∈R}，则（∁RA）∩B=（ ） A．（﹣∞，0）∪[1，+∞） B．（﹣∞，﹣3] 2．函数f（x）=+的定义域是（ ） A．[﹣2，2] 2]

3．已知定义在R上函数f（x）满足f（x）+f（﹣x）=0，且当x＜0时，f（x）=2x2﹣2，则f（f（﹣1））+f（2）=（ ） A．﹣8 B．﹣6 C．4

D．6

B．（﹣1，2]

C．[﹣2，0）∪（0，2]

D．（﹣1，0）∪（0，

C．[1，+∞） D．[﹣3，0）

4．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且在[﹣1，0]上单调递减，设a=f（﹣），b=f（﹣），c=f（），则a，b，c大小关系是（ ） A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．a＞c＞b

5．已知硒数f（x）=则函数y=f（x）+3x的零点个数是（ ） A．0

B．1

C．2

D．3

6．若a=，b=，c=，则（ ）

A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a

7．已知函数f（x）=ln（﹣x2﹣2x+3），则f（x）的增区间为（ ） A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣3，﹣1）

C．[﹣1，+∞）

D．[﹣1，1）

8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A． B． C．1+π D．2+π

9．直线（m+2）x+3my+7=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣5=0相互垂直，则m的值（ ）

A． B．﹣2 C．﹣2或2 D．或﹣2

10．直线l经过点P（﹣3，4）且与圆x2+y2=25相切，则直线l的方程是（ ） A．y﹣4=﹣（x+3） B．y﹣4=（x+3） C．y+4=﹣（x﹣3） D．y+4=（x﹣3） 11．某校高三年级10个班参加合唱比赛得分的茎叶图如图所示，若这组数据的

平均数是20，则+的最小值为（ ）

A．1 B． C．2 D．

12．某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间（30，150]内，其频率分布直方图如图．则获得复赛资格的人数为（ ）

A．0 B．520 C．280 D．240

13．已知函数，以下命题中假命题是（ ） A．函数f（x）的图象关于直线对称 B．是函数f（x）的一个零点

C．函数f（x）的图象可由g（x）=sin2x的图象向左平移个单位得到 D．函数f（x）在上是增函数

14．已知，且，则向量与向量的夹角是（ ） A． B． C． D．

15．已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx，则（ ） A．f（x）的最小正周期为2π B．f（x）的最大值为2 C．f（x）在（，）上单调递减 D．f（x）的图象关于直线对称

16．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=a（cosC﹣sinC），a=2，c=，则角C=（ ） A． B． C． D．

17．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2+a8=10，则S9=（ ） A．20 B．35 C．45 D．90

18．若{an}是等差数列，首项a1＞0，a4+a5＞0，a4•a5＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n的值为（ ） A．4

B．5

C．7

D．8

19．在等比数列{an}中，若a2=，a3=，则=（ ） A． B． C． D．2

20．下列有关命题的说法正确的是（ ）

A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1” B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件

C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0” D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题 21．在△ABC中，“C=”是“sinA=cosB”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

22．已知F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，过F1的直线与椭圆交于M、N两点，则△MNF2的周长为（ ） A．8

B．16 C．25 D．32

23．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（3，），则双曲线的离心率为（ ） A． B．2

C．或2 D．或2

24．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点M（2，m）满足|MF|=6，则抛物线C的方程为（ ） A．y2=2x

B．y2=4x

C．y2=8x

D．y2=16x

25．设函数f（x）=ex+a•e﹣x的导函数是f′（x），且f′（x）是奇函数，则a的值为（ ） A．1

B．﹣ C． D．﹣1

26．设函数f（x）=xex+1，则（ ） A．x=1为f（x）的极大值点

B．x=1为f（x）的极小值点

C．x=﹣1为f（x）的极大值点 D．x=﹣1为f（x）的极小值点 27．复数z满足z（1﹣2i）=3+2i，则z=（ ） A． B． C． D．

28．若有5本不同的书，分给三位同学，每人至少一本，则不同的分法数是（ ） A．120 B．150 C．240 D．300 29．展开式中的常数项为（ ） A．﹣20

B．﹣15

C．15 D．20

30．甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人的能荣获一等奖

的概率分别为和，甲、乙两人是否获得一等奖相互，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为（ ） A． B． C． D．

31．如表是某单位1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据： 月份x 用水量y

1 4

2 5

3 a

4 7

由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其回归方程是，则a等于（ ） A．6

二．解答题（共8小题） 32．已知．求： （1）函数的定义域；

（2）判断函数f（x）的奇偶性； （3）求证f（x）＞0．

33．如图，在三棱锥D﹣ABC中，DA=DB=DC，E为AC上的一点，DE⊥平面ABC，F为AB的中点．

（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面DEF；

（Ⅱ）若AD⊥DC，AC=4，∠BAC=45°，求四面体F﹣DBC的体积．

B． C． D．

34．已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx． （1）当x∈[0，]时，求f（x）的值域；

（2）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=，a=4，b+c=5，求△ABC的面积．

35．已知向量（x∈R），设函数f（x）=﹣1． （1）求函数f（x）的单调增区间；

（2）已知锐角△ABC的三个内角分别为A，B，C，若f（A）=2，B=，边AB=3，求边BC．

36．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an﹣2（n∈N*）．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ） 求数列{Sn}的前n项和Tn．

37．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，左顶点为A，若|F1F2|=2，椭圆的离心率为e=

（Ⅰ）求椭圆的标准方程．

（Ⅱ）若P是椭圆上的任意一点，求•的取值范围．

38．已知函数f（x）=x3+bx2+cx﹣1当x=﹣2时有极值，且在x=﹣1处的切线的斜率为﹣3．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）求函数f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值与最小值．

39．某次有600人参加的数学测试，其成绩的频数分布表如图所示，规定85分及其以上为优秀． 区间

[75，80） [80，85） [85，90） [90，95）

[95，100]

人数

36

114

244

156

50

（Ⅰ）现用分层抽样的方法从这600人中抽取20人进行成绩分析，求其中成绩为优秀的学生人数；

（Ⅱ）在（Ⅰ）中抽取的20名学生中，要随机选取2名学生参加活动，记“其中成绩为优秀的人数”为X，求X的分布列与数学期望．

2018年单招考试复习资料

参与试题解析

一．选择题（共31小题）

1．已知集合A={x|x≥0，x∈R}，B={x|x2+2x﹣3≥0，x∈R}，则（∁RA）∩B=（ ） A．（﹣∞，0）∪[1，+∞） B．（﹣∞，﹣3]

C．[1，+∞） D．[﹣3，0）

【分析】化简集合B，根据交集与补集的定义计算即可． 【解答】解：集合A={x|x≥0，x∈R}，

B={x|x2+2x﹣3≥0，x∈R}={x|x≤﹣3或x≥1，x∈R}=（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）， ∴∁RA={x|x＜0，x＜R}=（﹣∞，0）， ∴（∁RA）∩B=（﹣∞，﹣3]． 故选：B．

【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．

2．函数f（x）=+的定义域是（ ） A．[﹣2，2] 2]

【分析】f（x）=+有意义，可得，解不等式即可得到所求定义域． 【解答】解：f（x）=+有意义， 可得， 即为，

解得﹣1＜x＜0或0＜x≤2， 则定义域为（﹣1，0）∪（0，2]． 故选D．

【点评】本题考查函数的定义域的求法，注意运用偶次根式被开方式非负，对数真数大于0，以及分式分母不为0，考查运算能力，属于基础题．

3．已知定义在R上函数f（x）满足f（x）+f（﹣x）=0，且当x＜0时，f（x）

B．（﹣1，2]

C．[﹣2，0）∪（0，2]

D．（﹣1，0）∪（0，

=2x2﹣2，则f（f（﹣1））+f（2）=（ ） A．﹣8 B．﹣6 C．4

D．6

【分析】根据条件得到函数f（x）是奇函数，结合函数奇偶性的性质进行转化求解即可．

【解答】解：由f（x）+f（﹣x）=0得f（﹣x）=﹣f（x），得函数f（x）是奇函数，

∵当x＜0时，f（x）=2x2﹣2，

∴f（﹣1）=2﹣2=0，f（f（﹣1））=f（0）=0， f（﹣2）=2（﹣2）2﹣2=2×4﹣2=8﹣2=6=﹣f（2）， 则f（2）=﹣6，

则f（f（﹣1））+f（2）=0﹣6=﹣6， 故选：B

【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性的性质进行转化求解是解决本题的关键．

4．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且在[﹣1，0]上单调递减，设a=f（﹣），b=f（﹣），c=f（），则a，b，c大小关系是（ ） A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．a＞c＞b

【分析】由条件可得函数的周期为2，再根据a=f（﹣）=f（﹣），b=f（﹣）=f（）=f（﹣），c=f（）=f（﹣），﹣＜﹣＜﹣，且函数f（x）在[﹣1，0]上单调递减，可得a，b，c大小关系

【解答】解：∵偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），∴函数的周期为2． 由于a=f（﹣）=f（﹣）， b=f（﹣）=f（）=f（﹣）， c=f（）=f（﹣），

﹣＜﹣＜﹣，且函数f（x）在[﹣1，0]上单调递减， ∴a＞c＞b， 故选：D

【点评】本题主要考查函数的单调性、奇偶性、周期性的应用，体现了转化的数

学思想，属于中档题．

5．已知硒数f（x）=则函数y=f（x）+3x的零点个数是（ ） A．0

B．1

C．2

D．3

【分析】画出函数y=f（x）与y=﹣3x的图象，判断函数的零点个数即可． 【解答】解：函数f（x）=， 函数y=f（x）+3x的零点个数， 就是函数y=f（x）与y=﹣3x 两个函数的图象的交点个数： 如图：

由函数的图象可知，零点个数为2个． 故选：C．

【点评】本题考查函数的图象的画法，零点个数的求法，考查计算能力．

6．若a=，b=，c=，则（ ）

A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出． 【解答】解：a=＞1，b=∈（0，1），c=＜0， 则c＜b＜a． 故选：D．

【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

7．已知函数f（x）=ln（﹣x2﹣2x+3），则f（x）的增区间为（ ） A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣3，﹣1）

C．[﹣1，+∞）

D．[﹣1，1）

【分析】根据二次函数以及对数函数的性质求出函数的递增区间即可． 【解答】解：由﹣x2﹣2x+3＞0， 解得：﹣3＜x＜1，

而y=﹣x2﹣2x+3的对称轴是x=﹣1，开口向下，

故y=﹣x2﹣2x+3在（﹣3，﹣1）递增，在（﹣1，1）递减， 由y=lnx递增，根据复合函数同增异减的原则， 得f（x）在（﹣3，﹣1）递增， 故选：B．

【点评】本题考查了复合函数的单调性问题，考查二次函数以及对数函数的性质，是一道基础题．

8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A． B． C．1+π D．2+π

【分析】由根据三视图可得该几何体为一个长方体和半个圆柱组合所成，由此求出几何体的体积，

【解答】解：根据三视图可得该几何体为一个长方体和半个圆柱组合所成， 所以体积V=1×1×2+×π×12×2=2+π， 故选：D

【点评】本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．

9．直线（m+2）x+3my+7=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣5=0相互垂直，则m的值（ ）

A． B．﹣2 C．﹣2或2 D．或﹣2

【分析】利用直线与直线垂直的性质直接求解．

【解答】解：∵直线（m+2）x+3my+7=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣5=0相互垂直，

∴（m+2）（m﹣2）+3m（m+2）=0， 解得m=或m=﹣2． ∴m的值为或2．

故选：D．

【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线与直线平行的性质的合理运用．

10．直线l经过点P（﹣3，4）且与圆x2+y2=25相切，则直线l的方程是（ ） A．y﹣4=﹣（x+3） B．y﹣4=（x+3） C．y+4=﹣（x﹣3） D．y+4=（x﹣3） 【分析】显然已知点在圆上，设过已知点与圆相切的直线方程的斜率为k，利用点到直线的距离公式，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，由k的值及已知点的坐标写出切线方程即可．

【解答】解：显然点（﹣3，4）在圆x2+y2=25上，

设切线方程的斜率为k，则切线方程为y﹣4=k（x+3），即kx﹣y+3k﹣4=0， ∴圆心（0，0）到直线的距离d==5，解得k=， 则切线方程为y﹣4=（x+3）． 故选：B．

【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有直线的点斜式方程，点到直线的距离公式以及直线的一般式方程，若直线与圆相切，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．

11．某校高三年级10个班参加合唱比赛得分的茎叶图如图所示，若这组数据的平均数是20，则+的最小值为（ ）

A．1 B． C．2 D．

【分析】根据这组数据的平均数得出a+b=8，再利用基本不等式求出+的最小值． 【解答】解：根据茎叶图知，这组数据的平均数是 [12+13+15+19+17+23+（20+a）+25+28+（20+b）]=20， ∴a+b=8， ∴+=（+）（a+b）

=（1+9++）≥（10+2）=2，

当且仅当b=3a=6时取“=”， ∴+的最小值为2． 故选：C．

【点评】本题考查了平均数与基本不等式的应用问题，是基础题．

12．某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间（30，150]内，其频率分布直方图如图．则获得复赛资格的人数为（ ）

A．0 B．520 C．280 D．240

【分析】由频率分布直方图得到初赛成绩大于90分的频率，由此能求出获得复赛资格的人数．

【解答】解：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参加了初赛，

所有学生的成绩均在区间（30，150]内，

由频率分布直方图得到初赛成绩大于90分的频率为：1﹣（++）×20=． ∴获得复赛资格的人数为：×800=520． 故选：B．

【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

13．已知函数，以下命题中假命题是（ ） A．函数f（x）的图象关于直线对称 B．是函数f（x）的一个零点

C．函数f（x）的图象可由g（x）=sin2x的图象向左平移个单位得到 D．函数f（x）在上是增函数

【分析】根据正弦函数的图象与性质，对选项中的命题分析、判断真假性即可． 【解答】解：对于A，当x=时，函数f（x）=sin（2×+）=1为最大值， ∴f（x）的图象关于直线对称，A正确；

对于B，当x=﹣时，函数f（x）=sin（﹣2×+）=0， ∴x=﹣是函数f（x）的一个零点，B正确； 对于C，函数f（x）=sin（2x+）=sin2（x+），

其图象可由g（x）=sin2x的图象向左平移个单位得到，∴C错误； 对于D，x∈[0，]时，2x+∈[，]，

∴函数f（x）=sin（2x+）在上是增函数，D正确． 故选：C．

【点评】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，是基础题．

14．已知，且，则向量与向量的夹角是（ ） A． B． C． D．

【分析】由，且，知==1﹣1×=0，由此能求出向量与向量的夹角． 【解答】解：∵， ∴==0， ∵， ∴， ==1×=， ∴1﹣=0， ∴cos＜＞=， ∴． 故选A．

【点评】本题考查数量积判断两个平面向量的垂直关系的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．

15．已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx，则（ ） A．f（x）的最小正周期为2π B．f（x）的最大值为2 C．f（x）在（，）上单调递减 D．f（x）的图象关于直线对称

【分析】利用二倍角公式及辅助角公式f（x）=sin（2x﹣）+，根据正弦函数的性质分别判断，即可求得答案．

【解答】解：f（x）=sin2x+sinxcosx=+sin2x=sin（2x﹣）+， 由T==π，故A错误，

f（x）的最大值为1+=，故B错误；

令2kπ+＜2x﹣＜2kπ+，解得：kπ+＜x＜kπ+，k∈Z， 当k=0时，则f（x）在（，）上单调递减，故C正确， 令2x﹣=kπ+，解得：x=+，故D错误， 故选C．

【点评】本题考查三角恒等变换，正弦函数的性质，考查转化思想，属于基础题．

16．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=a（cosC﹣sinC），a=2，c=，则角C=（ ） A． B． C． D．

【分析】由已知及正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式可得tanA=﹣1，进而可求A，由正弦定理可得sinC的值，进而可求C的值．

【解答】解：∵b=a（cosC﹣sinC），

∴由正弦定理可得：sinB=sinAcosC﹣sinAsinC，

可得：sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC﹣sinAsinC， ∴cosAsinC=﹣sinAsinC，由sinC≠0，可得：sinA+cosA=0， ∴tanA=﹣1，由A为三角形内角，可得A=， ∵a=2，c=，

∴由正弦定理可得：sinC===， ∴由c＜a，可得C=． 故选：B．

【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．

17．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2+a8=10，则S9=（ ）

A．20 B．35 C．45 D．90

【分析】由等差数列的性质得，a1+a9=a2+a8=10，S9=． 【解答】解：由等差数列的性质得，a1+a9=a2+a8=10，S9=． 故选：C．

【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

18．若{an}是等差数列，首项a1＞0，a4+a5＞0，a4•a5＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n的值为（ ） A．4

B．5

C．7

D．8

【分析】由已知结合等差数列的单调性可得a4+a5＞0，a5＜0，由求和公式可得S9＜0，S8＞0，可得结论．

【解答】解：∵{an}是等差数列，首项a1＞0，a4+a5＞0，a4•a5＜0， ∴a4，a5必定一正一负，结合等差数列的单调性可得a4＞0，a5＜0， ∴S9===9a5＜0，S8==＞0，

∴使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n的值为8 故选D

【点评】本题考查等差数列的前n项的最值，理清数列项的正负变化是解决问题的关键，属基础题．

19．在等比数列{an}中，若a2=，a3=，则=（ ） A． B． C． D．2

【分析】利用等比数列通项公式先求出公比q===，再由==，能求出结果． 【解答】解：∵在等比数列{an}中，若a2=，a3=， ∴公比q===， ∴=， ∴===． 故选：A．

【点评】本题考查等比数列中两项和与另外两项和的比值的求法，考查等比数列

的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

20．下列有关命题的说法正确的是（ ）

A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1” B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件

C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0” D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题

【分析】对于A：因为否命题是条件和结果都做否定，即“若x2≠1，则x≠1”，故错误．

对于B：因为x=﹣1⇒x2﹣5x﹣6=0，应为充分条件，故错误．

对于C：因为命题的否定形式只否定结果，应为∀x∈R，均有x2+x+1≥0．故错误．由排除法即可得到答案．

【解答】解：对于A：命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”．因为否命题应为“若x2≠1，则x≠1”，故错误．

对于B：“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件．因为x=﹣1⇒x2﹣5x﹣6=0，应为充分条件，故错误．

对于C：命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”． 因为命题的否定应为∀x∈R，均有x2+x+1≥0．故错误． 由排除法得到D正确． 故答案选择D．

【点评】此题主要考查命题的否定形式，以及必要条件、充分条件与充要条件的判断，对于命题的否命题和否定形式要注意区分，是易错点．

21．在△ABC中，“C=”是“sinA=cosB”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【分析】根据诱导公式和充要条件的定义，可得结论． 【解答】解：“C=”⇔“A+B=”⇔“A=﹣B”⇒sinA=cosB， 反之sinA=cosB，A+B=，或A=+B，“C=”不一定成立，

∴A+B=是sinA=cosB成立的充分不必要条件， 故选：A．

【点评】本题考查的知识点是充要条件的定义，难度不大，属于基础题．

22．已知F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，过F1的直线与椭圆交于M、N两点，则△MNF2的周长为（ ） A．8

B．16 C．25 D．32

【分析】利用椭圆的定义可知|F1M|+|F2M|和|F1N|+|F2N|的值，进而把四段距离相加即可求得答案．

【解答】解：利用椭圆的定义可知，|F1M|+|F2M|=2a=8，|F1N|+|F2N|=2a=8 ∴△MNF2的周长为|F1M|+|F2M|+F1N|+|F2N|=8+8=16 故选B

【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．解题的关键是利用椭圆的第一定义．

23．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（3，），则双曲线的离心率为（ ） A． B．2

C．或2 D．或2

【分析】求出双曲线的渐近线方程，推出ab关系，然后求解离心率． 【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（3，）， 可得，即，可得，解得e=． 故选：A．

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．

24．已知抛物线C：y=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点M（2，m）满足|MF|=6，则抛物线C的方程为（ ） A．y2=2x

B．y2=4x

C．y2=8x

D．y2=16x

2

【分析】求得抛物线的准线方程，由抛物线的定义推导出2+=6，解得p，由此能求出抛物线的方程．

【解答】解：∵抛物线C：y2=2px（p＞0），

在此抛物线上一点M（2，m）到焦点的距离是6， ∴抛物线准线方程是x=﹣， 由抛物线的定义可得2+=6， 解得p=8，

∴抛物线的方程是y2=16x． 故选：D．

【点评】本题考查抛物线方程的求法，解题时要认真审题，注意抛物线的简单性质的合理运用．

25．设函数f（x）=ex+a•e﹣x的导函数是f′（x），且f′（x）是奇函数，则a的值为（ ） A．1

B．﹣ C． D．﹣1

【分析】求导数，由f′（x）是奇函数可得f′（0）=0，解方程可得a值． 【解答】解：求导数可得f′（x）=（ex+ae﹣x）′=（ex）′+a（e﹣x）′=ex﹣ae

﹣x

，

∵f′（x）是奇函数， ∴f′（0）=1﹣a=0， 解得a=1 故选：A

【点评】本题考查导数的运算，涉及函数的奇偶性，属基础题．

26．设函数f（x）=xex+1，则（ ） A．x=1为f（x）的极大值点

B．x=1为f（x）的极小值点

C．x=﹣1为f（x）的极大值点 D．x=﹣1为f（x）的极小值点

【分析】由题意，可先求出f′（x）=（x+1）ex，利用导数研究出函数的单调性，即可得出x=﹣1为f（x）的极小值点．

【解答】解：由于f（x）=xex，可得f′（x）=（x+1）ex， 令f′（x）=（x+1）ex=0可得x=﹣1，

令f′（x）=（x+1）ex＞0可得x＞﹣1，即函数在（﹣1，+∞）上是增函数

令f′（x）=（x+1）ex＜0可得x＜﹣1，即函数在（﹣∞，﹣1）上是减函数 所以x=﹣1为f（x）的极小值点． 故选：D．

【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，解题的关键是正确求出导数及掌握求极值的步骤，本题是基础题．

27．复数z满足z（1﹣2i）=3+2i，则z=（ ） A． B． C． D．

【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：由z（1﹣2i）=3+2i， 得， 故选：A．

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．

28．若有5本不同的书，分给三位同学，每人至少一本，则不同的分法数是（ ） A．120 B．150 C．240 D．300

【分析】根据题意，分2步进行分析：①、5本不同的书分成3组，②、将分好的三组全排列，对应三人，由排列数公式可得其情况数目，进而由分步计数原理计算可得答案

【解答】解：根据题意，分2步进行分析： ①，将5本不同的书分成3组，

若分成1、1、3的三组，有=10种分组方法； 若分成1、2、2的三组，有=15种分组方法； 则有15+10=25种分组方法；

②，将分好的三组全排列，对应三人，有A33=6种情况， 则有25×6=150种不同的分法； 故选：B．

【点评】本题考查排列、组合的综合应用，涉及分步计数原理，注意先依据题意分组，进而全排列，对应三人．

29．展开式中的常数项为（ ） A．﹣20

B．﹣15

C．15 D．20

【分析】利用通项公式即可得出．

【解答】解：通项公式Tr+1=x6﹣r=（﹣1）r， 令6﹣=0，解得r=4． ∴常数项=T5==15． 故选：C．

【点评】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

30．甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人的能荣获一等奖的概率分别为和，甲、乙两人是否获得一等奖相互，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为（ ） A． B． C． D．

【分析】根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得，这两种情况是互斥的，进而根据相互事件的概率公式计算可得其概率． 【解答】解：根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得，

则所求概率是（1﹣）+（1﹣）=， 故选D．

【点评】本题考查了相互事件同时发生的概率与互斥事件的概率加法公式，解题前，注意区分事件之间的相互关系，本题是一个基础题．

31．如表是某单位1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据： 月份x 用水量y

1 4

2 5

3 a

4 7

由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其回归方程是，则a等于（ ） A．6

B． C． D．

【分析】求出，，代入回归方程，求出a的值即可． 【解答】解：∵=（1+2+3+4）=，=（4+5+a+7）=4+ ∴4+=+，解得：a=， 故选：C．

【点评】本题考查了回归方程的应用，考查方程过样本点的中心，是一道基础题．

二．解答题（共8小题） 32．已知．求： （1）函数的定义域；

（2）判断函数f（x）的奇偶性； （3）求证f（x）＞0．

【分析】（1）根据题意，由函数的解析式可得2x﹣1≠0，解可得x的范围，即可得答案；

（2）由（1）的结论，进而分析f（﹣x）=f（x），结合函数奇偶性的定义即可得答案；

（3）根据题意，当x＞0时，分析易得＞0，结合函数的奇偶性分析可得答案． 【解答】解：（1）根据题意，， 则有2x﹣1≠0， 解可得x≠0，

则函数的定义域为{x|x≠0}， （2）设任意x≠0， ∵=．

∴f（x）为偶函数；

（3）根据题意，f（x）为偶函数，f（﹣x）=f（x）， 当x＞0时，2x﹣1＞0，则＞0， 又由f（x）为偶函数， 则当x＜0时，f（x）＞0， 综合可得：f（x）＞0．

【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，判定函数的奇偶性时要先分

析函数的定义域．

33．如图，在三棱锥D﹣ABC中，DA=DB=DC，E为AC上的一点，DE⊥平面ABC，F为AB的中点．

（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面DEF；

（Ⅱ）若AD⊥DC，AC=4，∠BAC=45°，求四面体F﹣DBC的体积．

【分析】（I）由DE⊥平面得出DE⊥AB，又DF⊥AB，故而AB⊥平面DEF，从而得出平面ABD⊥平面DEF；

（Ⅱ）可得线段DA、DB、DC在平面ABC的摄影EA，EB，EC满足EA=EB=EC，△ABC为直角三角形，即AB⊥BC，由AD⊥DC，AC=4，∠BAC=45°，可得S△FBC==2， 即可计算四面体F﹣DBC的体积VF﹣DBC=VD﹣FBC=．

【解答】证明：（Ⅰ）∵DE⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴AB⊥DE， 又F为AB的中点，DA=DB，∴AB⊥DF，DE，DF⊂平面DEF，DE∩DF=D， ∴AB⊥平面DEF，

又∵AB⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面DEF．

（Ⅱ）∵DA=DB=DC，E为AC上的一点，DE⊥平面ABC，

∴线段DA、DB、DC在平面ABC的摄影EA，EB，EC满足EA=EB=EC ∴△ABC为直角三角形，即AB⊥BC 由AD⊥DC，AC=4，∠BAC=45°， ∴AB=BC=2，DE=2， ∴S△FBC==2，

∴四面体F﹣DBC的体积VF﹣DBC=VD﹣FBC==．

【点评】本题考查了了面面垂直的判定，三棱锥体积的计算，属于中档题．

34．已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx． （1）当x∈[0，]时，求f（x）的值域；

（2）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=，a=4，b+c=5，

求△ABC的面积．

【分析】（1）利用倍角公式降幂，再由两角差的正弦变形，结合x的范围即可求得f（x）的值域；

（2）由f（）=求得A，结合余弦定理及已知求得bc，代入面积公式求得△ABC的面积．

【解答】解：（1）f（x）=sin2x+sinxcosx= ==．

∵x∈[0，]，∴2x﹣∈[]，

∴sin（2x﹣）∈[﹣]，则f（x）∈[0，]； （2）由f（）=，得sin（A﹣）+， ∴sin（A﹣）=0，

∵A﹣∈（﹣，），则A﹣=0，即A=．

由a=4，b+c=5，a2=b2+c2﹣2bc•cosA=（b+c）2﹣2bc﹣2bc•cosA， 得16=25﹣2bc﹣2bc×，即bc=3． ∴．

【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了余弦定理在求解三角形中的应用，是中档题．

35．已知向量（x∈R），设函数f（x）=﹣1． （1）求函数f（x）的单调增区间；

（2）已知锐角△ABC的三个内角分别为A，B，C，若f（A）=2，B=，边AB=3，求边BC．

【分析】利用向量的数量积求出函数的解析式并化简三角函数式，利用三角函数的性质解得本题．

【解答】解：由已知得到函数f（x）=﹣1=2cos2x+2sinxcosx﹣1 =cos2x+sin2x =2cos（2x﹣）；

所以（1）函数f（x）的单调增区间是（2x﹣）∈[2kπ﹣π，2kπ]，即x∈[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；

（2）已知锐角△ABC的三个内角分别为A，B，C，f（A）=2，则2cos（2A﹣）=2，所以A=，又B=，边AB=3， 所以由正弦定理得，即，解得BC=．

【点评】本题考查了向量的数量积公式、三角函数式的化简以及三角函数性质和解三角形，属于中档题．

36．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an﹣2（n∈N*）． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ） 求数列{Sn}的前n项和Tn．

【分析】（Ⅰ）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．

（Ⅱ）利用数列的通项公式，直接利用等比数列的前n项和公式求出结果． 【解答】解：（Ⅰ）列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an﹣2①． 则：Sn+1=2an+1﹣2②， ②﹣①得：an+1=2an， 即：（常数），

当n=1时，a1=S1=2a1﹣2， 解得：a1=2，

所以数列的通项公式为：， （Ⅱ）由于：， 则：， =， =2n+1﹣2． ﹣2﹣2﹣…﹣2， =2﹣4﹣2n．

【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，等比数列前n项和的公式的应用．

37．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，左顶点为A，若|F1F2|=2，椭圆的离心率为e=

n+2

（Ⅰ）求椭圆的标准方程．

（Ⅱ）若P是椭圆上的任意一点，求•的取值范围．

【分析】（Ⅰ）利用|F1F2|=2，椭圆的离心率为e=，求出几何量，即可求椭圆的标准方程．

（Ⅱ）利用数量积公式求出•，结合﹣2≤x≤2，即可求•的取值范围． 【解答】解：（I）由题意，∵|F1F2|=2，椭圆的离心率为e= ∴c=1，a=2， ∴b=，

∴椭圆的标准方程为+=1 …（4分） （II）设P（x0，y0），则 ∵A（﹣2，0），F1（﹣1，0），

∴•=（﹣1﹣x0）（﹣2﹣x0）+y02=x2+3x+5，

由椭圆方程得﹣2≤x≤2，二次函数开口向上，对称轴x=﹣6＜﹣2 当x=﹣2时，取最小值0， 当x=2时，取最大值12．

∴•的取值范围是[0，12]…（12分）

【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．

38．已知函数f（x）=x3+bx2+cx﹣1当x=﹣2时有极值，且在x=﹣1处的切线的斜率为﹣3．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）求函数f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值与最小值．

【分析】（1）根据函数f（x）在x=﹣2处有极值，且在x=﹣1处切线斜率为﹣3，列出方程组；

（2）利用导数求出函数的单调区间，即可求出函数的最大值与最小值； 【解答】（1）f'（x）=3x2+2bx+c 依题意得 解得：

∴函数f（x）的解析式为f（x）=x3+3x2﹣1．

（2）由（1）知f'（x）=3x2+6x．令f'（x）=0， 解得x1=﹣2，x2=0 列表：

x f'（x） f（x）

﹣1

（﹣1，0）

﹣

0

（0，2）

+

2

1 ﹣1 19

从上表可知，f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值是19，最小值是﹣1．

【点评】本题主要考查了利用导数求函数的单调性，切线斜率以及函数的最值问题，属基础题．

39．某次有600人参加的数学测试，其成绩的频数分布表如图所示，规定85分及其以上为优秀． 区间

[75，80） [80，85） [85，90） [90，95）

[95，100]

人数

36

114

244

156

50

（Ⅰ）现用分层抽样的方法从这600人中抽取20人进行成绩分析，求其中成绩为优秀的学生人数；

（Ⅱ）在（Ⅰ）中抽取的20名学生中，要随机选取2名学生参加活动，记“其中成绩为优秀的人数”为X，求X的分布列与数学期望．

【分析】（I）根据频数=频率×样本容量，通过抽样比，可求出优秀的学生人数； （Ⅱ）X的取值为0，1，2，然后利用排列组合的知识求出相应的概率，最后利用数学期望公式解之即可．

【解答】解：（Ⅰ）设其中成绩为优秀的学生人数为x，则，解得x=15． 所以其中成绩为优秀的学生人数为15．…（5分） （Ⅱ）依题意，随机变量X的所有取值为0，1，2． P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==．…（11分） 所以X的分布列为

X P

0

1

2

…（12分）

所以随机变量X的数学期望E（X）==…（13分）

【点评】本题主要考查了频率分布直方图，以及离散型随机变量的数学期望，同时考查了计算能力，属于基础题．