厦门市2019-2020学年九(上)期末数学卷及答案

2019-2020学年(上)厦门市初三年质量检测

数 学

一、选择题(本大题有10小题，每小题4分，共40分) 1.用求根公式计算方程x2－3x+2=0的根，公式中b的值为

3A.3 B.－3 C.2 D.－

22.方程(x－1)2=0的根是

A. x1=x2=1 B. x1=1，x2=0 C.x1=－1，x2=0 D. x1=1，x2=－1 3.如图1，四边形ABCD的顶点A、B、C在圆上，且边CD与该圆交于点E，

AFBC（图1）

DE⌒ 所对的圆周角是 AC、BE交于点F.下列角中，AE

A.∠ADE B.∠AFE C.∠ABE D.∠ABC

4.下列事件中，是随机事件的是 A.画一个三角形，其内角和是180°

B.在只装了红色卡片的袋子里，摸出一张白色卡片 C.投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数小于7 D.在一副扑克牌中抽出一张，抽出的牌是黑桃6 5.图2中的两个梯形成中心对称，点P的对称点是

A.点A B.点B C.点C D.点D 6.抛物线C1向右平移4个单位长度后与抛物线C2重合.若点(－1，3) 在抛物线C1上，则下列点中，一定在抛物线C2上的是

A. (3，3) B. (3，－1) C. (－1，7) D. (－5，3)

ADPBC（图2）

7.如图3，将命题“在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”改写成“已知… 求证…”的形式，下列正确的是

⌒ =CD⌒ ，求证：AB=CD A.已知：在⊙O中，∠AOB=∠COD，AB

⌒ =BC⌒ ，求证：AD=BC B.已知：在⊙O中，∠AOB=∠COD，AD

⌒ =BC⌒ ，AD=BC C.已知：在⊙O中，∠AOB=∠COD，求证：AD

AOBDC⌒ =CD⌒ ，AB=CD （图3） D.已知：在⊙O中，∠AOB=∠COD，求证：AB

8.一个不透明的盒子里只装有白色和红色两种颜色的球，这些球除颜色外没有其他不同.若从盒子

里随机摸取一个球，有三种可能性相等的结果，设摸到红球的概率为P，则P的值为 A.

111112 B. C. 或 D. 或 323233⌒ ，下列结论正确的是 9.如图4，已知∠BAC=∠ADE=90°，AD⊥BC，AC=DC.关于优弧CAD

A.经过点B和点E B.经过点B，不一定经过点E C.经过点E，不一定经过点B D.不一定经过点B和点E 10.已知二次函数y=ax2+bx+c，当x=2时，该函数取最大值8.设该函数图 象与x轴的一个交点的横坐标为x，若x1>4，则a的取值范围是 A.－3ABED（图4）

C

二、填空题(本大题有6小题，每小题4分，共24分) 11.抛物线y=(x－1)2+3的对称轴是_________.

12.半径为2的圆中，60°圆心角所对的弧长是_________. 13.计算：(

Aaa1+a)·2＝_________. a1aBD（图5）

C⌒ 上，记∠BAC－∠BCD= 14.如图5，△ABC内接于圆，点D在BC

则图中等于的角是_________.

15.某工厂的产品每50件装为一箱，现质检部门对100箱产品进行质量检查，每箱中的次品 数见表一： 次品数 箱数 0 50 1 14 2 20 3 10 4 4 5 2 该工厂规定：一箱产品的次品数达到或超过6%，则判定该箱为质量不合格的产品箱.若在这 100箱中，随机抽取一箱，抽到质量不合格的产品箱的概率为_________.

16.某日6时至10时，某交易平台上一种水果的每千克售价、每千克成本与交易时间之间的关系 分别如图6、图7所示(图6、图7中的图象分别是线段和抛物线，其中点P是抛物线的顶点) . 在这段时间内，出售每千克这种水果收益最大的时刻是_________. 此时每千克的收益是_________.

交易时间/时 10 8 6 3 0 5 6 7 每千克售价/元

（图6）

每千克成本/元 7 0 6 （图7）

10 交易时间/时

三、解答题(本大题有9小题，共86分) 17. (本题满分8分)解方程x2－4x－7=0

18. (本题满分8分)

如图，在□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点O的直线分别 与AD、BC交于点E，F.求证：OE=OF.

19. (本题满分8分)

已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A(0，3)，B(－1，0) （1）求该二次函数的解析式； （2）画出该函数的图象.

20. (本题满分8分)

AOBEDyFCOx

如图，在△ABC中，AB=AC.

（1）若以点A为园心的圆与边BC相切于点D，请在图中作出点D；

(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；

（2）在（1）的条件下，若该圆与边AC相交于点E，连接DE，

当∠BAC=100°时，求∠AED的度数.

21. (本题满分8分)

ABC梭梭树因其顽强的生命力和防风固沙的作用，被称为“沙漠植被之王”，北部某沙漠 2016年有16万亩梭梭树，经过两年的人工种植和自然繁殖，2018年达到25万亩.按这两 年的年平均增长率，请估计2019年该沙漠梭校树的面积.

22. (本题满分10分)

如图，在□ABCD中，AE⊥BC于点E.若一个三角形模板与△ABE完全重合地叠放在一 起，现将该模板绕点E顺时针旋转.要使该模板旋转60°后，三个顶点仍在□ABCD的边 上，请探究□ABCD的角和边需要满足的条件.

23. (本题满分10分) 阅读下列材料：

ADADBECBEC（备用图）

小辉和小乐一起在学校寄宿三年了，毕业之际，他们想合理分配共同拥有的三件“财产”：一个 电子词典、一台迷你唱机、一套珍藏版小说.他们本着“在尊重各自的价值偏好基础上进行等值均分”的原则，设计了分配方案，步骤如下(相应的数额如表二所示)：

①每人各自定出每件物品在心中所估计的价值；

②计算每人所有物品估价总值和均分值(均分：按总人数均分各自估价总值) ③每件物品归估价较高者所有；

④计算差额(差额：每人所得物品的估价总值与均分值之差) ； ⑤小乐拿225元给小辉，仍“剩下”的300元，每人均分.

依此方案，两人分配的结果是：小辉拿到了珍藏版小说和375元钱，小乐拿到了电子词典和迷你唱机，但要付出375元钱.

（1）甲、乙、丙三人分配A、B、C三件物品，三人的估价如表三所示，依照上述方案，请直接

写出分配结果；

（2）小红和小莉分配D、E两件物品，两人的估价如表四所示(其中0表二 物品 品迷你唱机 珍藏版小说 所有物品 估价总值 均分值 所得物品 估价总值 差额 电子词典 小辉 500 300 350 小乐 700 550 200

表三 物品 A B C 甲 500 500 350 乙 400 500 150 丙 700 550 250

表四 物D 品 E 所有物品 小红 m n 小莉 m-10 n+20 1150 1450 575 350 725 1250

估价总值 均分值 所得物品 估价总值 差额 -225

525

24. (本题满分12分)

已知正方形ABCD的边长为2，中心为M，⊙O的半径为r，圆心O在射线BD上运动，⊙O与边 CD仅有一个公共点E.

（1）如图1，若圆心O在线段MD上，点M在⊙O上，OM=DE，判断直线AD与⊙O的位置关 系，并说明理由；

（2）如图2，⊙O与边AD交于点F，连接MF，过点M作MF的垂线与边CD交于点G，若r=

10DF(DF≤1)，设点O与点M之间的距离为x，EG=y，当x>2时，求y与x的函数解析式. 2

25. (本题满分14分)

OAOMC（图1）

DEAMFDEGBB（图2）

C已知抛物线y=x2－2mx+m2+2m－2，直线l1：y=x+m，直线l2：y=x+m+b. （1）当m=0时，若直线l2经过此抛物线的顶点，求b的值； （2）将此抛物线夹在l1与l2之间的部分(含交点)图象记为C，若－①判断此抛物线的顶点是否在图象C上，并说明理由；

②图象C上是否存在这样的两点：M(a1，b1)和N(a2，b2)，其中a1≠a2，b1= b2? 若存在，求相应的m和b的取值范围；若不存在，请说明理由.

3一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 题号 选项 1 B 2 A 3 C 4 D 5 C 6 A 7 D 8 D 9 B 10 B

二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分）

2π

11. x＝1. （只写“1”得0分） 12. . 13. 1.

3

14.∠DAC. （写“∠CAD”得4分；写“∠A”、“∠CBD”、“∠DBC”均得0分）

416

15. . （写等值的数值均可得4分，如：0.16，） 25100

9

16. 9时；元.（未写单位不扣分）

4

三、解答题（本大题有9小题，共86分）

17.（本题满分8分）

解：a＝1，b＝－4，c＝－7.

因为△＝b2－4ac＝44＞0. ……………………………4分 所以方程有两个不相等的实数根： －b±b2－4acx＝

2a4±44＝

4

＝2±11. ……………………………6分

即x1＝2＋11，x2＝2－11． ……………………………8分

18.（本题满分8分）

证明：在□ABCD中，AO＝CO，AD∥CB. ………………………3分

AE ∴ ∠OAE＝∠OCF，∠AEO＝∠CFO. ………………………5分

∴ △AOE≌△COF. ………………………7分

O ∴ OE＝OF. ………………………8分

BF19.（本题满分8分）

解：（1）（本小题满分4分）

把 (0，3)，(－1，0)分别代入y＝x2＋bx＋c，得 c＝3，b＝4. …………………3分

所以二次函数的解析式为：y＝x2＋4x＋3. …………………4分 （2）（本小题满分4分） 由（1）得y＝(x＋2)2－1 列表得：

－4 －3 －2 －1 0

3 0 －1 0 3

如图即为该函数图象：

…………………8分

20.（本题满分8分）

（1）（本小题满分3分）

解：如图点D即为所求.…………………3分 解法一（作线段BC的垂直平分线）：

DC

解法二（作线段BC的垂线）：

解法三（作∠BAC的角平分线）：

（2）（本小题满分5分）

解（对应（1）中的解法三）：

1

由（1）得∠DAC＝∠BAC＝50°.……………………4分

2

在⊙A中，AD＝AE， ……………………5分 ∴ ∠ADE＝∠AED. B1

∴ ∠AED＝（180°－∠DAC）＝65°. ……………………8分

2

21.（本题满分8分）

解：设这两年的年平均增长率为x，依题意得： ……………………1分 16(1＋x)2＝25. ……………………4分

91

解方程，得：x1＝－(不合题意，舍去)，x2＝． ……………………6分

44

1

所以2019年该沙漠梭梭树的面积为25×(1＋)＝31.25（万亩）．

4

答：2019年该沙漠梭梭树的面积约为31.25万亩． …………………………8分

22.（本题满分10分） 解法一：

解：当三角形模板绕点E旋转60°后，E为旋转中心，位置不变． 设A，B的对应点分别为G，F，分别连接EF，EG，FG. 则有：EB＝EF，EA＝EG，∠BEF＝∠AEG＝60°，△AEB≌△GEF．

F 所以∠1＝∠2，AB＝GF． …………………3分

因为∠BEF＝60°，

又因为AE⊥BC，即∠BEA＝90°，

B 所以∠BEF＜∠BEA.

所以要使点B的对应点F仍在□ABCD边上，即要使点F在AB边上. ……………4分 因为∠BEF＝60°，EB＝EF， 所以△BEF为等边三角形，

所以要使点F在AB边上，只要使∠ABC＝60°. ……………5分 因为在□ABCD中，AD∥BC， 又因为∠AEB＝90°， 所以∠EAD＝90°，

若点G在AD上，则EG＞EA，与EG＝EA矛盾. ……………6分 又因为∠AEG＝60°＜∠AEC，

所以要使点A的对应点G仍在□ABCD边上，即要使点G在CD边上. 因为当∠ABC＝60°时，在Rt△AEB中，∠1＝90°－∠B＝30°，

AEDCA12ECGD

所以∠2＝30°.

又因为∠GEC＝∠AEC－∠AEG＝90°－60°＝30°， 所以∠2＝∠GEC. 所以FG∥BC.

又因为在□ABCD中，AB∥CD，

所以要使点G在CD边上，只要使BF∥CG.

即只要使四边形BCGF是平行四边形. ………………8分 也即只要使FG＝BC. ………………9分 又因为AB＝GF，

所以要使FG＝BC，只要使AB＝BC. 所以要使该模板旋转60°后，三个顶点仍在□ABCD的边上，□ABCD的角和边需要满足的条件是：∠ABC＝60°，AB＝BC. ……………10分

【说明】本题重点在探究.如果考生以“三角形模板旋转后顶点仍在□ABCD边上”为条件，推理得到角和边的正确结论，也可以得分.具体如下： 当三角形模板绕点E旋转60°后，E为旋转中心，位置不变．

DA 设A，B的对应点分别为G，F，分别连接EF，EG，FG.

则有：EB＝EF，EA＝EG，∠BEF＝∠AEG＝60°，△AEB≌△GEF．

F1 所以∠1＝∠2，AB＝GF． …………………3分 G2 若三角形模板旋转后顶点仍在□ABCD边上， ∵ ∠BEF＝60°， CBE 又∵ AE⊥BC，即∠BEA＝90°， 即∠BEF＜∠BEA.

∴ 点F在AB边上. ………………………………4分 ∵ ∠BEF＝60°，EB＝EF， ∴ △BEF为等边三角形． ∴ ∠ABC＝60°． ………………………………5分 ∵ 在□ABCD中，AD∥BC， 又∵ ∠AEB＝90°， ∴ ∠EAD＝90°．

若点G在AD上，则EG＞EA，与EG＝EA矛盾. ……………………6分 又∵ ∠AEG＝60°＜∠AEC， ∴ 点G在CD边上. ∵ 在Rt△AEB中，∠1＝90°－∠B＝30°， ∴ ∠2＝30°.

又∵ ∠GEC＝∠AEC－∠AEG＝90°－60°＝30°， ∴ ∠2＝∠GEC. ∴ FG∥BC.

又∵ 在□ABCD中，AB∥CD，

∴ 四边形BCGF是平行四边形． ……………………8分 ∴ FG＝BC． ……………………9分 又∵ AB＝GF， ∴ AB＝BC.

所以要使该模板旋转60°后，三个顶点仍在□ABCD的边上，□ABCD的角和边需要满足的条件是：∠ABC＝60°，AB＝BC. ……………………10分

解法二：

解：要使该模板旋转60°后，三个顶点仍在□ABCD的边上，□ABCD的角和边需要满足的条件是：∠ABC＝60°，AB＝BC. …………1分 理由如下：

三角形模板绕点E旋转60°后，E为旋转中心，位置不变，仍在边BC上，过点E分别作射线EM，EN，使得∠BEM＝∠AEN＝60°，

∵ AE⊥BC，即∠AEB＝∠AEC＝90°， ∴ ∠BEM＜∠BEA.

DA ∴ 射线EM只能与AB边相交.记交点为F. …………2分

M N 在△BEF中，

1 ∵ ∠B＝∠BEF＝60°， FG ∴ ∠BFE＝180°－∠B－∠BEF＝60°． ∴ ∠B＝∠BEF＝∠BFE＝60°．

CBE ∴ △BEF为等边三角形． ……………3分

∴ EB＝EF．

∴ 当三角形模板绕点E旋转60°后，点B的对应点为F，此时点F在边AB上. ………4分 ∵ ∠AEC＝90°， ∴ ∠AEN＝60°＜∠AEC.

∴ 射线EN只可能与边AD或边CD相交. 若射线EN与边AD相交，记交点为P， ∵ 在□ABCD中，AD∥BC， 又∵ ∠AEB＝90°， ∴ ∠EAD＝90°． 则EP＞EA.

所以三角形模板绕点E旋转60°后，点A不会与点P重合. 即点A的对应点不会在边AD上.

……………5分 若射线EN与边CD相交，记交点为G． 在Rt△AEB中，∠1＝90°－∠B＝30°，

1

∴ BE＝AB．

2

∵ AB＝BC＝BE＋EC，

1

∴ EC＝AB． ……………7分

2

∵ △BEF为等边三角形，

1

∴ BE＝EF＝BF＝AB．

2

1

∴ AF＝AB.

2

∵ ∠GEC＝∠AEC－∠AEG＝90°－60°＝30°， ∵ 在□ABCD中，AB∥CD， ∴ ∠C＝180°－∠ABC＝120°． 又∵ ∠EGC＝180°－120°－30°＝30°， ∴ EC＝GC ．

1

即AF＝EF＝EC＝GC＝AB，且∠1＝∠GEC＝30°．

2

∴ △EAF≌△GEC. ∴ EA＝GE . ……………9分 ∴ 当三角形模板绕点E旋转60°后，点A的对应点为G，此时点G在边CD上.

……………10分

∴ 只有当∠ABC＝60°，AB＝BC时，三角形模板绕点E顺时针旋转60°后，三个顶点仍在□ABCD的边上.

所以要使该模板旋转60°后，三个顶点仍在□ABCD的边上，□ABCD的角和边需要满足的条件是：∠ABC＝60°，AB＝BC.

23.（本题满分10分）

（1）（本小题满分4分） 解：分配结果如下：

甲：拿到物品C和200元. 乙：拿到450元.

丙：拿到物品A，B，付出650元. ……………4分 （2）（本小题满分6分） 小红 D m 物 E n 品

所有物品估价总 m＋n 值

m＋n

均分值 2 所得物品估价总m 值 m－n 差额 2小莉 m－10 n＋20 m＋n＋10 m＋n＋10 2n＋20 n－m＋30 2 ……………3分 方法一：

解：因为0＜m－n＜15，

m－n 1515n－m＋30

所以0＜＜， ＜＜15.

2222n－m＋30 m－n 所以 ＞．

22

即分配物品后，小莉获得的“价值”比小红高．高出的数额为： n－m＋30 m－n

－＝n－m＋15 ． ……………5分 22

n－m＋15

所以小莉需拿元给小红.

2

n－m＋15n－m＋15

所以分配结果为：小红拿到物品D和元钱，小莉拿到物品E并付出元钱.

22

……………6分

方法二：

1 m－n n－m＋30 15

解：两人差额的平均数为：（＋）＝．……………5分

2222

因为0＜m－n＜15， m－n 15 所以＜. 22

也即分配物品后，小红获得的“价值”低于两人的平均数. 15 m－n n－m＋15 －＝， 222

n－m＋15

所以小莉需拿元给小红.

2

n－m＋15n－m＋15

所以分配结果为：小红拿到物品D和元钱，小莉拿到物品E并付出元钱．

22

……………6分

24.（本题满分12分）

（1）（本小题满分5分） FD 解：直线AD与⊙O相切.理由如下： A 连接OE，过点O作OF⊥AD于F， OE 在正方形ABCD中，BC＝DC，∠C＝∠ADC＝90°， M180°－∠C

∴ 在△DCB中，∠BDC＝∠DBC＝＝45°.………1分

2

∵ 点M是中心， BC

∴ M是正方形对角线的交点． ∵ 在⊙O中，OM＝OE， 又∵ OM＝DE，

∴ OE＝DE． ……………………2分 ∴ ∠DOE＝∠ODE＝45°． ∴ ∠ADB＝45°，

∠DEO＝90°. ……………………3分 即OE⊥DE.

∵ DB平分∠ADC，且OF⊥FD， ∴ OE＝OF．……………………4分 即d＝r．

∴ 直线AD与⊙O相切.……………………5分

（2）（本小题满分7分）

解法一： Q OM解：连接MC.

1F由（1）得，MC＝MD＝BD，∠ADB＝∠DCM＝45°. 2ADNP∵ FM⊥MG，即∠FMG＝90°， E且在正方形ABCD中，∠DMC＝90°， M∴ ∠FMD＋∠DMG＝∠DMG＋∠CMG． G∴ ∠FMD＝∠CMG． ∴ △FMD≌△CMG． BC∴ DF＝CG. ……………………6分

过点O分别作ON⊥AD，OQ⊥CD，分别交AD，CD的延长线于点N，Q，连接OF，OE. ∴ ∠Q＝∠N＝∠QDN＝90°． 又∵ ∠ADB＝∠ODN＝45°， ∴ ∠DON＝45°＝∠ODN． ∴ DN＝ON．

∴ 四边形OQDN为正方形． ∴ DN＝ON＝OQ＝QD． 又∵ OE＝OF，

∴ Rt△ONF≌Rt△OQE． ∴ NF＝QE．

又∵ DF＝NF－DN，DE＝QE－QD，

∴ DF＝DE. ……………………7分 ∵ DC＝DE＋EG＋CG＝2，即2DF＋EG＝2， ∴ 2DF＋y＝2. ……………………8分 设EF交DB于P，DP＝a， ∵ DF＝DE，DB平分∠ADC， ∴ DP⊥EF，即∠FPO＝90°．

在Rt△OPF中，r2＝（OD＋a）2＋a2． ……………………9分

10DF

∵ 在Rt△DPF中，DF＝2DP＝2a，且r＝，

2

∴ r＝5a．

∴ 5a2＝（OD＋a）2＋a2． ∴ OD＋a＝2a． ∴ OD＝a．

又∵ OD＝OM－DM，即OD＝x－2，

∴ a＝ x－2． ……………………10分 又∵ 2DF＋y＝2，

∴ 22a＋y＝2．

∴ 22（x－2）＋y＝2．

∴ y＝－22x＋6． ……………………11分 ∵ DF≤1，且2DF＋EG＝2， ∴ EG≥0，即y≥0． ∴ －22x＋6≥0．

32

∴ x≤．

2

32

∴ 2＜x≤．

2

32

∴ y与x的函数解析式为y＝－22x＋6（2＜x≤）. ……………12分

2

解法二：

解：连接MC.

由（1）得，MC＝MD＝1

2

BD，∠ADB＝∠DCM＝45°.

∵ FM⊥MG，即∠FMG＝90°， 且在正方形ABCD中，∠DMC＝90°． ∴ ∠FMD＋∠DMG＝∠DMG＋∠CMG． ∴ ∠FMD＝∠CMG． ∴ △FMD≌△CMG．

∴ DF＝CG. ……………………6分

过点E作EP⊥BD于P，过点F作FH⊥BD于H， 设DP＝a，DH＝b．

由（1）得，△DHF与△DPE都是等腰直角三角形， ∴ EP＝DP＝a，FH＝DH＝b．

∵ x＝OM＞2，且由（1）得MD＝1

2

BD＝2，

∴ 点O在正方形ABCD外．

∴ OP＝OD＋DP，OH＝OD＋DH． 在Rt△OPE与Rt△OHF中，

r2＝（OD＋a）2＋a2，① ……………………7分 r2＝（OD＋b）2＋b2．②

①－②得：（a－b）（OD＋a＋b）＝0． ∴ a＝b．

即点P与点H重合．也即EF⊥BD，垂足为P（或H）

∵ DP＝a，DH＝b，

∵ 在Rt△DPE中，DE＝2DP＝2a， 在Rt△DHF中，DF＝2DH＝2b，

∴ DF＝DE. ……………………8分 ∵ DC＝DE＋EG＋CG＝2，即2DF＋EG＝2， ∴ 2DF＋y＝2. ……………………9分

∵ 在Rt△DPF中，DF＝2DP＝2a，且r＝10DF

2

，

∴ r＝5a．

∴ 由①得5a2＝（OD＋a）2＋a2． ∴ OD＋a＝2a． ∴ OD＝a．

又∵ OD＝OM－DM，即OD＝x－2，

∴ a＝ x－2． ……………………10分 又∵ 2DF＋y＝2，

OAFHPDMEGBC

∴ 22a＋y＝2．

∴ 22（x－2）＋y＝2．

∴ y＝－22x＋6 ． ……………………11分 ∵ DF≤1，且2DF＋EG＝2， ∴ EG≥0，即y≥0． ∴ －22x＋6≥0．

32

∴ x≤．

2

32

∴ 2＜x≤．

2

32

∴ y与x的函数解析式为y＝－22x＋6（2＜x≤）. ……………12分

2

25.（本题满分14分）

（1）（本小题满分3分）

解：当m＝0时，抛物线为：y＝x2－2， ……………1分 则顶点坐标为（0，－2）． ……………2分

把（0，－2）代入l2：y＝x＋b，可得b＝－2.……………3分 （2）①（本小题满分4分）

解：因为y＝x2－2mx＋m2＋2m－2 ＝（x－m）2＋（2m－2）， 所以抛物线顶点为（m，2m－2）． ……………4分 当x＝m时，对于l1：y＝2m，对于l2：y＝2m＋b. ……………5分

3

因为－＜b＜0，

2

所以2m－2＜2m＋b＜2m．……………6分 即顶点在l1，l2的下方．

所以抛物线的顶点不在图象C上.……………7分 ②（本小题满分7分）

解：设直线l1与抛物线交于A，B两点，且yA＜yB， x2－2mx＋m2＋2m－2＝x＋m．

解得x1＝m－1，x2＝m＋2． ……………8分 因为yA＜yB，且对于l1，y随x的增大而增大， 所以xA＜xB．

所以xA＝m－1，此时yA＝2m－1． ……………9分 设直线l2与抛物线交于C，D两点，且yC＜yD． x2－2mx＋m2＋2m－2＝x＋m＋b． ＝4b＋9．

3

因为b＞－，

2

所以4b＋9＞0，即＞0．

2m＋1±4b＋9

所以x＝．

2

因为yC＜yD，且对于l2，y随x的增大而增大， 所以xC＜xD．

2m＋1＋4b＋92m＋1＋4b＋9

所以xD＝，此时yD＝＋m＋b.……………10分

22－3－2b－4b＋9

因为yA－yD＝，

2

3

又因为－＜b＜0，

2

所以－3－2b＜0， 又因为4b＋9＞0．

所以yA－yD＜0，即yA＜yD.． ……………12分

因为xA＜m，即点A在抛物线对称轴左侧，则在抛物线对称轴的右侧，必存在点A的对称点A’（xA‘，yA’），其中yA’＝yA．

所以yA’＜yD． ……………13分 因为 抛物线开口向上，

所以 当x＜m时，y随x的增大而减小．

因为抛物线顶点在l2的下方，故点C也在抛物线对称轴左侧．

设（x0，y0）是抛物线上A，C两点之间的任意一点，则有xA＜x0＜m． 所以y0＜yA.

又因为在抛物线上必存在其对称点（x0’，y0‘），其中y0‘＝y0． 所以 y0‘＜yA．

也即抛物线上A，C两点之间的任意点的对称点都在点D下方．

同理，抛物线上B，D两点之间的部分所有点的对称点都在点A上方.

所以图象C上不存在这样的两点：M(a1，b1)和N (a2，b2)，其中a1≠a2，b1＝b2 ．

……………14分