03-高三一轮复习函数专题1---函数的基本性质

高三一轮复习函数专题1、函数的基本性质

复习提问：

1、如何判断两个函数是否属于同一个函数。

2、如何求一个函数的定义域（特别是抽象函数的定义域问题） 3、如何求一个函数的解析式。（常见方法有哪些） 4、如何求函数的值域。（常见题型对应的常见方法）

5、函数单调性的判断，证明和应用（单调性的应用中参数问题） 6、函数的对称性（包括奇偶性）、周期性的应用

7、利用函数的图像求函数中参数的范围等其他关于图像问题 知识分类

一、函数的概念：函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f.当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定.因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数. 1、试判断以下各组函数是否表示同一函数？

3（1）f（x）=x2，g（x）=x3；

（2）f（x）=

x0,1|x|，g（x）=

1x0;x2n1（3）f（x）=

x2n1，g（x）=（2n1x）2n－1（n∈N*）；

（4）f（x）=xx1，g（x）=x2x；

（5）f（x）=x2－2x－1，g（t）=t2－2t－1.

二、函数的定义域（请牢记：凡是说定义域范围是多少，都是指等式中变量x的范围） 1、求下列函数的定义域：

112x2yx2xx(1)ｙ＝－2＋１(2)ｙ＝x4(3) (4)ｙ＝x14x2

1111x

4x2(5)ｙ＝

1x3x31(3x1) (6)ｙ＝x1(7)ｙ＝

1(6) (8)ｙ＝ax3（ａ为常数）

2、（1）已知f(x)的定义域为 [ 1，2 ] ，求f (2x-1)的定义域； （2）已知f (2x-1)的定义域为 [ 1，2 ]，求f(x)的定义域；

word格式-可编辑-感谢下载支持

11yf(x)f(x)44的定义域 3、若函数yf(x)的定义域为[ 1，1]，求函数

例 2、（1）已知函数fx的定义域为a,b，且ab0，求fx2的定义域； 4、

（ 2）已知函数f2x的定义域为1,2，求flog2x的定义域；

（ 3）已知函数fx的定义域为0,1，gxfxafxa，求函数gx的定义域；

（ 4）若a0且a1，求函数ylnax2x1的定义域．

5、已知函数ykx28xk6的定义域为R，求实数k的取值范围。

三、函数的解析式

求函数解析式常用的几种方法：待定系数法、换元法（代换法）、解方程法、 1、换元（或代换）法：

1xx211),求f(x). 1、已知f(2xxx

2、已知ｆ（

x＋１）＝ｘ＋２x，求ｆ(ｘ)的解析式

1133、已知ｆ（ｘ＋x）＝ｘ３＋x，求ｆ(ｘ)的解析式

4、已知函数f(x1)x4x，求函数f(x)，f(2x1)的解析式。

2word格式-可编辑-感谢下载支持

2、待定系数法

1、已知函数ｆ（ｘ）是一次函数，且满足关系式3ｆ（ｘ＋1）－２ｆ（ｘ－1）＝２ｘ＋１７，求ｆ(ｘ)的解析式

2、已知f(x)是二次函数，且f(x1)f(x1)2x4x，求f(x)的解析式。

2

3、解方程法

(1)、已知函数f(x)满足f(x)2f()3x，求f(x)

（2）、已知函数f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且f(x)+g(x)=求f(x)、g(x)

3、已知函数f(x)满足2f(x)f(x)3x4，则f(x)= 。 4、设f(x)是R上的奇函数，且当x[0,)时， f(x)x(1_

f(x)在R上的解析式为

5、设f(x)与g(x)的定义域是{x|xR,且x1}，f(x) 是偶函数，g(x)是奇函数，且

31x1 x1x)，则当x(,0)时f(x)=____

f(x)g(x)

1，求f(x)与g(x) 的解析表 x1四、函数值域的求法

word格式-可编辑-感谢下载支持

21、配方法：对于求二次函数yaxbxc(a0)或可转化为形如f(x)ag(x)bg(x)c(a0)的

2函数的值域（最值）一类问题，我们常常可以通过配方法来进行求解. 例1：求二次函数yx4x2（x1,4）的值域.

2

例2：求函数yex4x3的值域.

xx例3：求函数y421,x[3,2]的最大值与最小值。

例4：求函数ylog2

2xxlog2(x[1,8])的最大值和最小值。 242、换元法：通过引入一个或多个新变量或代数式代替原来的变量或代数式或超越式，通过换元，我们

常常可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式等，这样我们就能将比

较复杂的函数转化成易于求值域的函数进行求解. 例6：（整体换元） 已知x0,2，求函数f(x)4

例7：（整体换元） 求函数y3x25x的值域.

例10：已知函数f(x)的值域为3,5，求函数yf(x)12f(x)的值域。



3、不等式法： 例11：求函数

x1232x5的值域.

x5x2f(x)x1（x1）的值域.

例13：求函数y

例14：求函数y

x2x1的值域.

x22x2x1的值域.

word格式-可编辑-感谢下载支持

4、单调性法：对于形如f(x)axbcxd（a、b、c、d为常数，ac0）或者形如

1f(x)g(x)而使用不等式法求值域却未能凑效的函数，我们往往可以考虑使用单调性法.

g(x)例15：求函数y2x3

例16：求函数f(x)

例17：求函数y2x5log3

例18：求函数y

例19：求函数y

2x1的值域.

x25x4（xR）的值域.

x1(2x10)的值域。

3x68x 的值域.

x1x1的值域。

例20：求函数yx12x的值域。

5、判别式法：一般地，形如f(x)axbcx2dxe、f(x)axbcxd、ax2bxc2的函数，我们可以将其转化为p(y)xq(y)xr(y)0（p(y)0）的形式，f(x)2dxexf再通过q(y)4p(y)r(y)0求得y的范围.但当函数为指定区间上的函数时，用判别式法求出

2y的范围后，应将端点值代回到原函数进行检验，避免发生错误.

5x28x5例21：求函数y的值域. 2x1

例22：求函数

yx1x2x2的值域.

2word格式-可编辑-感谢下载支持

ax28xb例23：已知函数

f(x)log3x21的定义域为(,)，值域为[0,2]，求a,b的值.

【例20】设函数 yfx

axb的值域为 1,5，求a,b .

x222x2bxcb0 的值域为[1,3],求实数b,c的值. 【例21】已知函数y=f(x)=2x1

6、方程法：用方程法求解函数值域是指利用方程有解的条件求函数值的取值范围即值域的方法，其理论依据是：定理1：函数yf(x)（定义域为Df）的值域是使关于x的方程f(x)y有属于Df的解

的y值的集合. 定理2：若

f(x)f(x)为最简有理分式，则函数y的值域是使关于x的方程g(x)g(x)yg(x)f(x)有解的y值的集合.

ex1例24：求函数yx的值域。

e1

cosx例25：求函数y的值域。

sinx3

1x例26：求函数y的值域。

2x5

例27：求函数y

12cosx1的值域。（答案：,3,）

53cosx2word格式-可编辑-感谢下载支持

例28：求函数y

2sinx1的值域。（答案：,3）

2sinx37、数形结合法：

例29：求函数yx1x3的值域.

例30：求函数yx3x1的值域。（答案：4,4

例32：求函数y

x24x5x24x8的值域。

例33：求函数fx

题型补充：

x22x5x22x2的最大值

1．求下列函数的值域：

1y3x2x2； 2yx26x5；3y4y2x34x13；5y2x5log323x1； x2x1x2,10；

13x6yx1x；7y|x1||x4|； 8yx；

132x2x22x2x111sinx； 9yx2x1；10y2x1(x2)；11y2cosx12

yx24x22x10；

word格式-可编辑-感谢下载支持

五、函数的单调性

1．函数单调性的定义：

2. 证明函数单调性的一般方法:

①定义法：设x1,x2A且x1x2；作差f(x1)f(x2)（一般结果要分解为若干个因式的乘积，且每一个因式的正或负号能清楚地判断出）；判断正负号。

（xA) ②用导数证明： 若f(x)在某个区间A内有导数，则f(x)0，(x)0，（xA)f(x)在A内为减函数。 f(x)在A内为增函数；f’3. 求单调区间的方法：定义法、导数法、图象法。 4.复合函数yfg(x)在公共定义域上的单调性： ①若f与g的单调性相同，则fg(x)为增函数； ②若f与g的单调性相反，则fg(x)为减函数。 注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集。 5．一些有用的结论：

①奇函数在其对称区间上的单调性相同； ②偶函数在其对称区间上的单调性相反； ③在公共定义域内：

增函数f(x)增函数g(x)是增函数； 减函数f(x)减函数g(x)是减函数； 增函数f(x)减函数g(x)是增函数； 减函数f(x)增函数g(x)是减函数。

’word格式-可编辑-感谢下载支持

④函数yax上是单调递减。

bbbbb,0或0，上单调递增；在,或,(a0,b0)在aaaax1、函数f(x)x4ax2在区间(,6)为减函数，则实数a的取值范围是（ ） A．a3 B．a3 C．a3 D．a3 2、函数f(x)x2ax与函数f(x)22a在区间[1，2]上都是减函数，则实数a的取值范围是（ ） x1A．(1,0)(0,1) B．(1,0)(0,1] C．(0,1) D． (0,1]

3．已知函数f(x)(2a1)xa.......x1..........是R上的减函数，则实数a的取值范围是（logax........x1A．(0,1) B． (1,1) C．[1,1) D． [122323,1)

4、若函数f(x)axb2在0,上为增函数,则实数a、b的范围是 5、写出函数y1x22x3的单调区间，并指出在相应的区间上函数的单调性；

6、写出函数ylog1x22x3的单调区间，并指出在相应区间上函数的单调性．

2 7、

8、函数fxaxb是定义在1,1f11x2上的奇函数，且225． （1）确定函数fx的解析式；

（2）用定义证明：fx在1,1上是增函数． 9、

）

word格式-可编辑-感谢下载支持

10、已知函数fx11． （a0，x0）

ax（1）求证：fx在0,上递增；

（2）若fx在m,n上的值域是m,n（mn），求a的取值范围，并求相应的m、n的值

11、已知函数f(x)＝x＋＋∞)上是增函数．

a有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在(0，a]上是减函数，在[xa，

2b（1）如果函数f(x)＝x＋（x＞0）的值域为[6，＋∞)，求b的值；

xc（2）求函数f(x)＝x＋(c＞0)在区间[1,2]上的最小值；

xc2（3）研究函数f(x)＝x＋2（常数c＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；

xaa2（4）对函数f(x)＝x＋和f(x)＝x＋2（常数a＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的

xx特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明）．

12、．已知f(x)xc，且f[f(x)]f(x1)。（1）设g（x）=f[f（x）]，求g（x）的解析式；

（2）设(x)g(x)f(x)，试问是否存在实数λ，使(x)在（-∞，-1）递减，且在（-1，0）上递增？

22word格式-可编辑-感谢下载支持

六、对称性和周期性

函数的对称性

(1).函数f(x)关于直线x=a成轴对称的充要条件是：fxf2ax或faxf(a-x)(与函数的周期性区分开).

(2)..函数f(x)关于点(a,b)对称的充要条件是：f(x)f(2ax)2b或f(ax)f(ax)2b (3)..与函数yf(x)关于直线xa对称的函数解析式为：yf(2ax). (4). 与函数yf(x)关于点（a,b）对称的函数解析式为：y2bf(2ax). 函数周期性

1．周期函数的定义:对于函数f(x)(xD),若存在一个不为零的常数T,使得xD的每一个 值都有

f(xT)f(x)成立,则称f(x)为周期函数,常数T叫做f(x)的最小正周期.若所有的周期中存在一个

最小的周期,则这个最小的正数称为这个函数的最小正周期. 注:1).其定义域一定为无限集,可以有间断点.

2)周期不止一个,若果T为周期，则kT(kZ,k0)也是周期，最小正周期不一定有。

3)周期函数的图像特征是：整个函数的图像是其中任意一个周期内的图像不断向左，右 两边平移拓展的结果。

2．根据函数的对称性判断函数的周期

1）.若函数f(x)关于直线x=a,x=b都对称，则称f(x)是周期函数，T=2b-2a. 2).若函数关于点（a,c）,(b,c)都对称，则函数f(x)为周期函数，T=2b-2a.

3).若函数f(x)的图像关于直线x=a和点（b,c）都对称，则函数f(x)是周期函数，T=4b-4a. 3.若f(cxa)f(cxb)(ab)，则函数f(x)是周期函数，b-a是它的一个周期。 4．若f(xa)f(x)，则函数f(x)是周期函数，2a是它的一个周期。 5．若f(xa)k，(k0),则函数f(x)是周期函数，2a是它的一个周期。 f(x)word格式-可编辑-感谢下载支持

6．若f(xa)1f(x),则f(x)是周期函数，2a是它的一个周期。

1f(x)1f(x)f(x)-1或f(xa)，则函数f(x)是周期函数，4a是它的一个周期。

1f(x)1f(x)7．若f(xa)一、对称性练习 1． 已知

2． 已知

是奇函数，当

时，

,求

的解析式.

是偶函数，当时，,求的解析式.

3． 已知函数的式。

图象与函数的图象关于原点成中心对称, 求的解析

4． 设函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，若当x＜1时，y=x2＋1，求当x>1时, ,f(x)

的解析式. 5． 设

, 求

关于直线

对称的曲线的解析式.

1, 求当x∈(－∞,－2)时, 求x6． 已知函数

的解析式.

7． 已知函数在

是偶函数，且x∈(0,+∞)时有f(x)=

是偶函数，当时，

满足的值.

又的图象关于直线

且当

时,

对称，求

.

的解析式. 定义在上的偶函数

的单调区间;（2）求

（1）求

二、周期性练习

word格式-可编辑-感谢下载支持

1、已知函数yfx对任意实数x,都有fxafx,则yfx是以 为周期的函数；

2、已知函数yfx对任意实数x,都有fax=函数；

3、已知函数yfx对任意实数x,都有fax=-的函数.

4、已知函数yfx对任意实数x,都有faxfxb，则yfx是以 为周期的函数

5、已知函数yfx对任意实数x,都有f(x＋m)＝f(x－m),则 是yfx的一个周期.

6、已知函数yfx对任意实数x,都有f(x＋m)＝

1f(x),则 是f(x)的一个周期.

1f(x)1

,则yfx是以 为周期f(x)

1,则yfx是以 为周期的f(x)7、设f(x)是定义在区间(－∞,＋∞)上以2为周期的函数,对k∈Z,用表示区间(2k－

1,2k+1],已知x∈I0时, 8．设

, 求f(x)在Ik上的解析式.

是定义在（-∞,+∞）上的函数，对一切∈R均有求当

时，函数

的解析式。

，当＜1时，

三、真题模拟

1、设f(x)是定义在R上的偶函数，对任意xR，都有f(x2)f(x2),且当x[2,0]时，

1f(x)()x1．若在区间(2,6]内关于x的方程f(x)loga(x2)0(a1)恰有3个不同的实数

2根，则实数a的取值范围是

A．(1,2)

B．(2,)

C．(1,34)

D．(34,2)

2、设函数f(x)是定义在R上周期为3的奇函数，且f(1)2，则f(2011)f(2012) 3、设f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)22xb（b为常数），则f(1)

xword格式-可编辑-感谢下载支持

4、已知fx是以2为周期的偶函数，当x0,1时，fxx，且在x1,3内，关于x的方程

fxkxk1（kR，k1）有四个根，求k的取值范围．

七、函数零点

１．下列函数中在［１，２］上有零点的是（ ）

A.f(x)3x4x5 C.f(x)lnx3x6

22

B.f(x)x5x5 D.f(x)e3x6

x3２．若方程2axx10在(0,1)内恰有一个实根，则a的取值范围是（ ）

word格式-可编辑-感谢下载支持

A.(,1)

2 B.(1,) C.(1,1)

D.0,1

３．函数f(x)axbxc，若f(1)0,f(2)0，则f(x)在(1,2)上零点的个数为

（ ）

D.一个也没有

A.至多有一个

x B.有一个或两个 C.有且只有一个

4．函数f(x)log3x3零点所在大致区间是（ ）

A.(0,1)

5．已知函数yf(x)是Ｒ上的奇函数，其零点x1，x2……x2007，则x1x2x2007＝ 6．一次函数f(x)mx1m在［０，１］无零点，则m取值范围为

2B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

。

7．函数f(x)x(m2)x5m有两个零点，且都大于２，求m的取值范围。

8．判断x3＋3x－1＝0在（0，1）内是否有解。

9．函数f(x)axx1仅有一个零点，求实数a的取值范围。

10.关于x的二次方程x2mx2m10，若方程式有两根，其中一根在区间(1,0)内，另一根在

22m222m2(1,2)内，求m的范围。6.解f(2)0m55m4

(m2)24(5m)0m4或m4

八、函数的图像

1．作图方法：描点法和利用基本函数图象变换作图；作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；④描点连线，画出函数的图象。

2．三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等； 3．识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面．

word格式-可编辑-感谢下载支持

4．平移变换：（1）水平平移：函数yf(xa)的图像可以把函数yf(x)的图像沿x轴方向向左

(a0)或向右(a0)平移|a|个单位即可得到；

（2）竖直平移：函数yf(x)a的图像可以把函数yf(x)的图像沿x轴方向向上(a0)或向下

(a0)平移|a|个单位即可得到．

① y=f(x)y=f(x+h); ② y=f(x) y=f(xh); ③y=f(x) y=f(x)+h; ④y=f(x) y=f(x)h.

5．对称变换：（1）函数yf(x)的图像可以将函数yf(x)的图像关于y轴对称即可得到； （2）函数yf(x)的图像可以将函数yf(x)的图像关于x轴对称即可得到； （3）函数yf(x)的图像可以将函数yf(x)的图像关于原点对称即可得到； （4）函数yfx轴1左移h右移h上移h下移h(x)的图像可以将函数yf(x)的图像关于直线yx对称得到．

y轴①y=f(x) y= f(x); ②y=f(x) y=f(x);

直线xa③y=f(x)

y=f(2ax); ④y=f(x) y=f1(x);

直线yx⑤y=f(x) y= f(x).

6．翻折变换：（1）函数y|f(x)|的图像可以将函数yf(x)的图像的x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方，去掉原x轴下方部分，并保留yf(x)的x轴上方部分即可得到；

（2）函数yf(|x|)的图像可以将函数yf(x)的图像右边沿y轴翻折到y轴左边替代原y轴左边部分并保留yf(x)在y轴右边部分即可得到．

y原点y=f(x)yy=|f(x)|yy=f(|x|)aobcxao

bcxao

bcx

7．伸缩变换：（1）函数yaf(x)(a0)的图像可以将函数yf(x)的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(a1)或压缩（0a1）为原来的a倍得到；

（2）函数yf(ax)(a0)的图像可以将函数yf(x)的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长

1(a1)或压缩（0a1）为原来的倍得到．

aword格式-可编辑-感谢下载支持

yx①y=f(x)y=f();② y=f(x)y=ωf(x).

x以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本节的重点．

1、说明由函数y2的图像经过怎样的图像变换得到函数y2xx31的图像．

2．设函数y=f(x)定义在实数集上，则函数y=f(x1)与y= f(1x)的图象关于（ A.直线x=0 B.直线x=1 C.点(0,0) D.点(1,0) 3．在以下四个按对应图象关系式画出的略图中，不正确．．．的是（ ） A．y=|log2x| B.y=2|x| C.y=log0.5x2 D.y=|x1/3|

yyyyox

ox

ox

ox

4．已知函数y=f(x)的图象如图，则y=f(1x)的图象是 （ ）

y1Ay1ByyDy1C11-1o1x

-1o1x

-2-1ox

-1o1x

-1o1x

5．画出下列函数的图象：(1)y=lg|x+1|; (2)y2x3x2

6、.说出作出函数y=log2(1x) 的图象的过程。

7．方程|x2+2x3|=a(x2)有四个实数根，求实数a的取值范围。

8．讨论方程|1x|=kx的实数根的个数。

9、分别画出下列函数的图像：

）对称word格式-可编辑-感谢下载支持

（1）yxx2；（2）yx2x；（3）yx22x3；（4）ylgx1；（5）y

10、若函数fxlog23xa的图像关于直线x2对称，求常数a的值．

2x3． x111、已知fx是以2为周期的偶函数，当x0,1时，fxx，且在x1,3内，关于x的方程

fxkxk1（kR，k1）有四个根，求k的取值范围．

12、fx是定义在R上的函数．

（1）若fx是偶函数且周期为2．当x0,1时，fxx1，求fx在x1,2上的解析式； 1（2）若fx是奇函数，fx1fx．当x0,时，fxx，求fx在x1,2上的解析式．

2

word格式-可编辑-感谢下载支持

拓展练习：

1．设m、nR，定义在区间[m,n]上的函数f(x)log2(4|x|)的值域是[0,2]，若关于t的方程

1m10（tR）有实数解，则mn的取值范围是___________． 22．设函数yf(x)是定义在R上以1为周期的函数，若函数g(x)f(x)2x在区间[2,3]上的值域为[2,6]，则g(x)在区间[12,12]上的值域为……………………（ ） A．[2,6] B．[24,28] C．[22,32] D．[20,34]

3、已知函数f(x)xaxb(a,bR)的值域为(,0]，若关于x的不等式f(x)c1的解集为

2|t|(m4,m1)，则实数c的值为_________.

4、已知f(x)

x1,x[1,0),x1,x[0,1],2则下列函数的图像错误的是……………………（ ）

(A)f(x1)的图像 (B)f(x)的图像 (C)f(|x|)的图像 (D)|f(x)|的图像 5、已知函数 f(x)1x1x。

（1）求函数f(x)的定义域和值域； （2）设F(x)a2f(x)2，求F(x)在a0时的最大值g(a)； f(x)（a为实数）2（3）对（2）中g(a)，若m22tm2g(a)对a0所有的实数a及t[1,1]恒成立，求实数m的取值范围。