一、选择题（每小题3分共24分） 1．计算sin45°＝（ ） A．
2
B．1 C． D．
2．方程2x+5＝7x根的情况是（ ） A．有两个不等的实数根 C．有一个实数根
B．有两个相等的实数根 D．没有实数根
3．若数a在数轴上对应的点的位置在原点的左侧，则下列各式中有意义的是（ ） A．
B．
C．
D．
4．如图，在四个4×4的正方形网格中，三角形相似的是（ ）
A．①和②
B．②和④
C．②和③
D．①和③
5．如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为M（，2），那么cosα的值是（ ）
A．6．将A．
B．
化简，正确的结果是（ ）
B．
C．
D．
C．
D．
7．如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的，则AO：AD的值为（ ）
A．2：3
B．2：5
C．4：9
D．4：13
8．为宣传“扫黑除恶”专项行动，社区准备制作一幅宣传版面，喷绘时为了美观，要在矩形图案四周外围增加一圈等宽的白边，已知图案的长为2米，宽为1米，图案面积占整幅宣传版面面积的90%，若设白边的宽为x米，则根据题意可列出方程（ ）
A．90%×（2+x）（1+x）＝2×1 C．90%×（2﹣2x）（1﹣2x）＝2×1 二、填空题（每小题3分，共18分） 9．已知
，则锐角α的度数是 ．
B．90%×（2+2x）（1+2x）＝2×1 D．（2+2x）（1+2x）＝2×1×90%
10．如图是一块等腰三角形空地ABC，已知点D、E分别是边AB、AC的中点，量得AC＝10米，AB＝BC＝6米，若用篱笆围成四边形BCED来放养小鸡，则需要篱笆的长是 米．
11．若关于x的方程x+（m﹣2）x﹣15＝0有一个根是x＝3，则m的值是 ． 12．能使
与
是同类二次根式的x的最小正整数是 ．
2
2
13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，AD平分∠BAC，点E为AC的中点连结DE，若△CDE的周长为21，则BC＝ ．
14．如图，△ABC是面积为27cm的等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等份，则图中阴影部分的面积为 cm．
2
2
三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15．计算：
﹣
÷
+（2﹣
2
）（2+）．
16．选用适当方法解方程：x+4x﹣2＝0． 17．计算：2tan60°+tan45°﹣4cos30°．
18．关于x的一元二次方程x+2mx+m+m﹣2＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，且方程的根都是负整数，求m的值． 19．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝
．求cosA，sinB，tanB的值．
2
2
20．如图，△ABC在平面直角坐标系中，网格中每个小正方形的边长均为1，三个顶点的坐标分别为A（0，2），B（4，0），C（4，6）．
（1）画出△ABC向左平移2个单位长度得到的△A1B1C1，并写出点B1的坐标； （2）以点O为位似中心，在第三象限画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且相似比为1：2，直接写出点C2的坐标．
21．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，以AC为边作△ACE，∠ACE＝90°，AC＝CE，延长BC至点D，使CD＝5，连接DE．求证：△ABC∽△CED．
22．如图，某校宣传栏BC后面12米处种有一排与宣传栏平行的若干棵树，即BC∥ED，且相邻两棵树的间隔为2米，一人站在距宣传栏前面的A处正好看到两端的树干，其余的树均被宣传栏挡住．已知AF⊥BC，AF＝3米，BC＝10米，求该宣传栏后DE处共有多少棵树？（不计宣传栏的厚度）．
23．先阅读下列材料，然后解答问题．
材料：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线例如：如图①，AD把△ABC分成△ABD与△ADC，若△ABD是等腰三角形，且△ADC∽△BAC，那么
AD就是△ABC的完美分割线．
解答下列问题：
（1）如图②，在△ABC中，∠B＝40°，AD是△ABC的完美分割线，且△ABD是以AD为
底边的等腰三角形， 则∠CAD＝ 度．
（2）在△ABC中，∠B＝42°，AD是△ABC的完美分割线，且△ABD是等腰三角形，求∠
BAC的度数．
24．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ． （1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值； （2）试探究t为何值时，△BPQ是等腰三角形； （3）试探究t为何值时，CP＝CQ； （4）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题） 1．计算sin45°＝（ ） A．
B．1
C．
D．
【分析】根据特殊锐角的三角函数值求解可得． 【解答】解：sin45°＝故选：C．
2．方程2x+5＝7x根的情况是（ ） A．有两个不等的实数根 C．有一个实数根
B．有两个相等的实数根 D．没有实数根
2
，
【分析】先把方程化为一般式，然后计算判别式的值后判断方程根的情况． 【解答】解：方程化为2x﹣7x+5＝0， 因为△＝（﹣7）﹣4×2×5＝9＞0， 所以方程有两个不相等的实数根． 故选：A．
3．若数a在数轴上对应的点的位置在原点的左侧，则下列各式中有意义的是（ ） A．
B．
C．
2
3
2
2
D．
【分析】根据数轴确定a的符号，根据乘方法则得到﹣a＜0，a＜0，根据二次根式有意义的条件判断即可．
【解答】解：∵数a在数轴上对应的点的位置在原点的左侧， ∴a＜0，
∴﹣a＜0，a＜0， ∴
、
、
无意义，
有意义，
2
3
故选：B．
4．如图，在四个4×4的正方形网格中，三角形相似的是（ ）
A．①和②
B．②和④
C．②和③
D．①和③
、
，然
【分析】根据网格结构以及勾股定理可得所给图形的三条边长分别是2、后利用相似三角形的判定方法选择答案即可． 【解答】解：如图①，该三角形的三条边长分别是：如图②，该三角形的三条边长分别是：
、
、3 、2
． 、2、
．
如图③，该三角形的三条边长分别是：2、2如图④，该三角形的三条边长分别是：3、
、5．
只有图③中的三角形的三条边与图①中的三条边对应成比例， 故选：D．
5．如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为M（
，2），那么cosα的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】如图，作MH⊥x轴于H．利用勾股定理求出OM，即可解决问题． 【解答】解：如图，作MH⊥x轴于H．
∵M（∴OH＝
，2）， ，MH＝2，
∴OM＝∴cosα＝故选：D． 6．将A．
＝
＝3， ，
化简，正确的结果是（ ）
B．
C．
D．
【分析】根据二次根式的性质化简即可． 【解答】解：故选：A．
7．如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的，则AO：AD的值为（ ）
＝
＝10
，
A．2：3
B．2：5
C．4：9
D．4：13
【分析】由△ABC经过位似变换得到△DEF，点O是位似中心，根据位似图形的性质得到
AB：DO═2：3，进而得出答案．
【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的， ∴∴∴
＝，AC∥DF， ＝
＝，
＝．
故选：B．
8．为宣传“扫黑除恶”专项行动，社区准备制作一幅宣传版面，喷绘时为了美观，要在矩形图案四周外围增加一圈等宽的白边，已知图案的长为2米，宽为1米，图案面积占整幅宣传版面面积的90%，若设白边的宽为x米，则根据题意可列出方程（ ）
A．90%×（2+x）（1+x）＝2×1 C．90%×（2﹣2x）（1﹣2x）＝2×1
B．90%×（2+2x）（1+2x）＝2×1 D．（2+2x）（1+2x）＝2×1×90%
【分析】设白边的宽为x米，则整幅宣传版面的长为（2+2x）米、宽为（1+2x）米，根据矩形的面积公式结合图案面积占整幅宣传版面面积的90%，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设白边的宽为x米，则整幅宣传版面的长为（2+2x）米、宽为（1+2x）米， 根据题意得：90%（2+2x）（1+2x）＝2×1． 故选：B．
二．填空题（共6小题） 9．已知
，则锐角α的度数是 30° ．
【分析】先求出sinA的值，然后根据sinA的值可得出A的度数． 【解答】解：由题意得，tanα＝∴α＝30°． 故答案为：30°．
10．如图是一块等腰三角形空地ABC，已知点D、E分别是边AB、AC的中点，量得AC＝10米，AB＝BC＝6米，若用篱笆围成四边形BCED来放养小鸡，则需要篱笆的长是 17 米．
＝
，
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出DE的长，利用四边形的周长得到即可．
【解答】解：∵点E，D分别是边AB，AC的中点，BC＝6米， ∴DE＝3米，
∴DB＝3米，EC＝5米，
∴篱笆的长＝DE+BC+CE+DB＝3+6+3+5＝17米．
故答案为：17．
11．若关于x的方程x+（m﹣2）x﹣15＝0有一个根是x＝3，则m的值是 2或﹣2 ． 【分析】把x＝3代入x+（m﹣2）x﹣15＝0得9﹣3m﹣6﹣15＝0，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：把x＝3代入x+（m﹣2）x﹣15＝0得9﹣3m﹣6﹣15＝0， 整理得m＝4，解得m＝±2． 故答案为2或﹣2． 12．能使
与
是同类二次根式的x的最小正整数是 4 ．
2
2
2
2
2
2
2
2
2
【分析】根据同类二次根式的概念即可求出答案． 【解答】解：由于x+2＞0， ∴x＞﹣2， ∵
与
是同类二次根式，
＝
，
∴当x＝4时，故答案为：4．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，AD平分∠BAC，点E为AC的中点连结DE，若△CDE的周长为21，则BC＝ 12 ．
【分析】根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，再根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得答案．
【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∵点E为AC的中点， ∴DE＝CE＝AC＝， ∵△CDE的周长为21， ∴CD＝6，
∴BC＝2CD＝12． 故答案为：12．
14．如图，△ABC是面积为27cm的等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等份，则图中阴影部分的面积为 9 cm．
2
2
【分析】先证明△AEH∽△AFG∽△ABC，再根据相似三角形的面积比是相似比的平方，即可得出结果．
【解答】解：∵△ABC是面积为27cm的等边三角形， ∴S△ABC＝27cm， ∵矩形平行于BC， ∴EH∥FG∥BC，
∴△AEH∽△AFG∽△ABC， ∵AB被截成三等分， ∴AF＝2AE，AB＝3AE，
∴S△AEH：S△AFG：S△ABC＝1：4：9， ∴S△AEH：S四边形EFGH：S四边形FBCG＝1：3：5，
∴图中阴影部分的面积S四边形EFGH＝×27cm＝9cm， 故答案为：9
三．解答题（共10小题） 15．计算：
﹣
÷
+（2﹣
）（2+
）．
2
2
2
2
【分析】先根据二次根式的除法法则和平方差公式运算，然后合并即可． 【解答】解：原式＝＝
﹣
﹣1
﹣
+4﹣5
＝﹣1．
16．选用适当方法解方程：x+4x﹣2＝0． 【分析】方程移项，配方后，开方即可求出解．
2
【解答】解：方程移项得：x+4x＝2， 配方得：x+4x+4＝6，即（x+2）＝6， 开方得：x+2＝±解得：x1＝﹣2+
， ，x2＝﹣2﹣
．
2
2
2
17．计算：2tan60°+tan45°﹣4cos30°．
【分析】首先代入特殊角的三角函数值，然后再计算乘法，最后计算加减即可． 【解答】解：原式＝2＝2
+1﹣2
，
+1﹣4×
，
＝1．
18．关于x的一元二次方程x+2mx+m+m﹣2＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，且方程的根都是负整数，求m的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；
（2）由m的值得到原方程，解一元二次方程，即可得出结论． 【解答】解：（1）由题意，得△＝（2m）﹣4（m+m﹣2）≥0， ∴m≤2；
（2）∵m≤2，且m为正整数， ∴m＝1或2，
当m＝1时，方程x+2x＝0 的根x1＝﹣2，x2＝0．不符合题意； 当m＝2时，方程x+4x+4＝0 的根x1＝x2＝﹣2．符合题意； 综上所述，m＝2．
19．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝
．求cosA，sinB，tanB的值．
22
2
2
2
2
【分析】根据sinA＝
＝
设AB＝13x，BC＝12x，根据勾股定理求出AC＝5x，根据
锐角三角函数的定义求出即可．
【解答】解：∵sinA＝＝，
∴设AB＝13x，BC＝12x， 由勾股定理得：AC＝∴cosA＝
＝
， ， ．
＝
＝5x，
sinB＝cosA＝tanB＝
＝
20．如图，△ABC在平面直角坐标系中，网格中每个小正方形的边长均为1，三个顶点的坐标分别为A（0，2），B（4，0），C（4，6）．
（1）画出△ABC向左平移2个单位长度得到的△A1B1C1，并写出点B1的坐标； （2）以点O为位似中心，在第三象限画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且相似比为1：2，直接写出点C2的坐标．
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1．C1即可． （2）分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．B1（2，0）．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．C2（﹣2，﹣3）．
21．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，以AC为边作△ACE，∠ACE＝90°，AC＝CE，延长BC至点D，使CD＝5，连接DE．求证：△ABC∽△CED．
【分析】先利用勾股定理计算出AC＝2
，则CE＝2
，所以
＝
，再证明∠BAC＝∠DCE．然后根据相似三角形的判定方法可判断△ABC∽△CED． 【解答】证明：∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝2， ∴AC＝∵CE＝AC， ∴CE＝2
，
＝2
，
∵CD＝5， ∵∴
＝＝
＝，
，
＝
，
∵∠B＝90°，∠ACE＝90°，
∴∠BAC+∠BCA＝90°，∠BCA+∠DCE＝90°． ∴∠BAC＝∠DCE． ∴△ABC∽△CED．
22．如图，某校宣传栏BC后面12米处种有一排与宣传栏平行的若干棵树，即BC∥ED，且相邻两棵树的间隔为2米，一人站在距宣传栏前面的A处正好看到两端的树干，其余的树均被宣传栏挡住．已知AF⊥BC，AF＝3米，BC＝10米，求该宣传栏后DE处共有多少棵树？（不计宣传栏的厚度）．
【分析】由图中不难得出，△ABC∽△ADE，利用对应边成比例即可求解线段DE的长度，从而求得树的棵数． 【解答】解：如图由图可知， ∵BC∥ED， ∴△ABC∽△ADE， ∴
，
又BC＝10米，AF＝3，FG＝12米， ∴AG＝AF+FG＝15米 即
，
∴DE＝50，
50÷2＝25，25+1＝26， 答：DE处共有26棵树．
23．先阅读下列材料，然后解答问题．
材料：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线例如：如图①，AD把△ABC分成△ABD与△ADC，若△ABD是等腰三角形，且△ADC∽△BAC，那么
AD就是△ABC的完美分割线．
解答下列问题：
（1）如图②，在△ABC中，∠B＝40°，AD是△ABC的完美分割线，且△ABD是以AD为底边的等腰三角形， 则∠CAD＝ 40 度．
（2）在△ABC中，∠B＝42°，AD是△ABC的完美分割线，且△ABD是等腰三角形，求∠
BAC的度数．
【分析】（1）利用三角形的完美分割线定义可求解；
（2）分三种情况讨论，由三角形的完美分割线定义和等腰三角形的性质可求解． 【解答】解：（1）∵AD是△ABC的完美分割线， ∴△DAC∽△ABC ∴∠CAD＝∠B＝40° 故答案为：40 （2）若BD＝AD，
∵AD是△ABC的完美分割线， ∴△DAC∽△ABC ∴∠CAD＝∠B＝42° ∵AD＝BD，
∴∠ABD＝∠BAD＝42° ∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝84° 若AB＝BD，
∴∠BAD＝69°＝∠BDA ∵AD是△ABC的完美分割线， ∴△DAC∽△ABC ∴∠CAD＝∠B＝42°
∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝42°+69°＝111°
若AB＝AD， ∴∠B＝∠ADB＝42° ∵AD是△ABC的完美分割线， ∴△DAC∽△ABC ∴∠CAD＝∠B＝42°
∵∠ADB＝∠DAC+∠C＝42°+∠C≠42° ∴不存在AB＝AD，
综上所述：∠BAC的度数为84°或111°
24．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ． （1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值； （2）试探究t为何值时，△BPQ是等腰三角形； （3）试探究t为何值时，CP＝CQ； （4）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．
【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论；分两种情况：①当△BPQ∽△BAC时，BP：BA＝BQ：BC；当△BPQ∽△BCA时，BP：BC＝BQ：BA，再根据BP＝5t，QC＝4t，AB＝10cm，
BC＝8cm，代入计算即可；
（2）分三种情况：①当PB＝PQ时，如图1，过P作PH⊥BQ，则BH＝BQ＝4﹣2t，PB＝5t，根据平行线分线段成比例定理得到
，即：
解得t＝，②当PB＝BQ时，即5t＝8﹣4t，解得t＝，③当BQ＝PQ时，如图2，过Q作QG⊥AB于G，则
BG＝PB＝t，BQ＝8﹣4t，通过△BGQ∽△ACB，得到比例式
（3）先利用勾股定理表示出CP，建立方程求解即可求出时间t；
2
，解得：t＝．
（4）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB＝5t，PM＝3t，MC＝8﹣4t，根据
△ACQ∽△CMP，得出AC：CM＝CQ：MP，代入计算即可． 【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm， ∴AB＝
＝10cm；
分两种情况讨论： ①当△BPQ∽△BAC时，
，
∵BP＝5t，QC＝4t，AB＝10，BC＝8， ∴
，解得，t＝1，
， ；
②当△BPQ∽△BCA时，∴∴t＝1或
，解得，t＝
时，△BPQ∽△BCA；
（2）分三种情况：
①当PB＝PQ时，如图1，过P作PH⊥BQ， 则BH＝BQ＝4﹣2t，PB＝5t， ∴PH∥AC， ∴
，即
解得：t＝，
②当PB＝BQ时，即5t＝8﹣4t， 解得：t＝，
③当BQ＝PQ时，如图2，过Q作QG⊥AB于G， 则BG＝PB＝t，BQ＝8﹣4t， ∵△BGQ∽△ACB，
∴解得：t＝
即．
，
综上所述：△BPQ是等腰三角形时t的值为：或或
．
（3）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，如图3所示：则PB＝5t，
∵AC⊥BC
∴△PMB∽△ACB， ∴
＝
∴PM＝3t，MC＝8﹣4t，CQ＝4t，
根据勾股定理得，CP＝PM+MC＝25t﹣64t+64， ∵CP＝CQ
∴25t﹣64t+64＝16t， ∴t＝
（舍），或t＝
．
2
22
2
2
2
∴CP＝CQ时，t＝
（4）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，如图3所示 则PB＝5t，PM＝3t，MC＝8﹣4t，
∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°， ∴∠NAC＝∠PCM， ∵∠ACQ＝∠PMC， ∴△ACQ∽△CMP， ∴∴
，
，解得t＝．
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