吉林省长春市名校调研 届九年级上学期期中数学试卷
一、选择题：每小题 3 分，共 24 分。
1．下列式子中，属于最简二次根式的是（ A． B． C．
D．
）
2．方程 x2=2x 的解是（ ） A．x=2 B． C．x=0 D．x=2 或 x=0
3．下列各组中得四条线段成比例的是（ ） A．4cm、2cm、1cm、3cm B．1cm、2cm、3cm、5cm C．3cm、4cm、5cm、6cm D．1cm、2cm、2cm、4cm
4．若将方程 x2﹣8x=9 化为（x﹣k）2=25，则 k 的值是（ A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8
）
5．已知△ABC 如图，则下列 4 个三角形中，与△ABC 相似的是（
）
A．
B． C． D．
6．等式 • = 成立的条件是（ ）
A．x＞1 B．x＜﹣1 C．x≥1 D．x≤﹣1
7．如果一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）满足 a+b+c=0，则方程 ax2+bx+c=0（a≠0）两个根中，有一 个根是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3
8．如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、BC 上的点，且 DE∥AC，若 S△BDE：S△CDE=1：4，则 S△BDE：S△BAC=（ ）
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A．1：16 B．1：18 C．1：20 D．1：25
二、填空题：每小题 3 分，共 18 分。 9．化简：（+2）（﹣2）=
．
10．已知 x2m1+10x+m=0 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值为
﹣
．
11．如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，对角线 AC，BD 相交于点 O．若 AD=1，BC=3，则值为
的
．
12．如果 = = ，xyz≠0，则
=
．
13．若正数 a 是一元二次方程 x2﹣5x+m=0 的一个根，﹣a 是一元二次方程 x2+5x﹣m=0 的一个根， 则 a 的值是 ．
14．如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是边 CD 的中点，将△ADE 沿 AE 折叠后得到△AEF，且点 F 在 矩形 ABCD 内部．延长 AF 交 BC 于点 G，若
= ，则 =
．
三、解答题：本大题共 10 小题，共 78 分。 15．计算：
．
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16．解方程：2x2﹣5x﹣1=0．
17．已知直角三角形的两条直角边的长分别是 3
cm、4
cm，求这个直角三角形的周长．
18．据媒体报道，我国 年公民出境旅游总人数约 5000 万人次， 年公民出境旅游总人数约 7200 万人次，若这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率相同，求年平均增长率．
19．如图，小华在地面上放置一个平面镜 E 来测量铁塔 AB 的高度，镜子与铁塔的距离 EB=20m， 镜子与小华的距离 ED=2m 时，小华刚好从镜子中看到铁塔顶端点 A．已知小华的眼睛距地面的高度 CD=1.5m，求：铁塔 AB 的高度．
20．如图，在 6×8 网格图中，每个小正方形边长均为 1，点 0 和△ABC 的顶点均为小正方形的顶点． （1）以 O 为位似中心，在网络图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC 位似，且位似比为 1：2； 连接（1）中的 AA′，求四边形 AA′C′C 的周长．（结果保留根号）
21．等腰三角形的底和腰是方程 x2﹣7x+10=0 的两根，求这个三角形的面积．
22．如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，点 E 是边 AO 的中点，连接 BE，BE 的延长线交 CD 的 延长线于点 F，求证：
．
23．在△ABC 中，AC=BC，∠ACB=120°，点 D 在 AB 边上，∠EDF=60°．
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（1）当点 D 为 AB 中点时，且∠EDF 的两边分别交线段 AC、BC 于点 E、F，连接 CD，过点 D 作 DG⊥AC 于点 G，DH⊥BC 于点 H，如图（1），求证：DE=DF； 过 C 作 BC 的垂线交 AB 恰好为 D，若∠EDF 的两边分别交线段 AC、BC 于点 E，F，如图，求值．
的
24．如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点 P 从点 B 出发，在 BA 边上以每秒 5cm 的速度向点 A 匀速运动，同时动点 Q 从点 C 出发，在 CB 边上以每秒 4cm 的速度向点 B 匀速 运动，运动时间为 t 秒（0＜t＜2），连接 PQ． （1）用含 t 的代数式表示 BP、BQ； 是否存在某一时刻 t 的值，使△BPQ 的面积是△BAC 面积的； （3）若以 B、P、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，求 t 的值．
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吉林省长春市名校调研 届九年级上学期期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：每小题 3 分，共 24 分。 1．下列式子中，属于最简二次根式的是（ A． B． C．
D．
）
【考点】最简二次根式． 【专题】计算题．
【分析】判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观 地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数 2，且被开方数中不含有分母，被开 方数是多项式时要先因式分解后再观察． 【解答】解：A、 =3，故 A 错误； B、 是最简二次根式，故 B 正确； C、 =2 ，不是最简二次根式，故 C 错误； D、 =
，不是最简二次根式，故 D 错误；
故选：B．
【点评】本题考查了最简二次根式的定义．在判断最简二次根式的过程中要注意： （1）被开方数不含分母； 被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2．方程 x2=2x 的解是（ ） A．x=2 B． C．x=0 D．x=2 或 x=0 【考点】解一元二次方程-因式分解法． 【专题】计算题．
【分析】方程移项后，分解因式利用两数相乘积为 0，两因式中至少有一个为 0 转化为两个一元一 次方程来求解．
【解答】解：方程 x2=2x， 移项
得：x2﹣2x=0， 分解因式得：x（x﹣2）=0， 可得 x=0 或 x﹣2=0， 解得：x1=0，x2=2． 故选 D
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
3．下列各组中得四条线段成比例的是（ ）
A．4cm、2cm、1cm、3cm B．1cm、2cm、3cm、5cm C．3cm、4cm、5cm、6cm D．1cm、2cm、2cm、4cm 【考点】比例线段．
【分析】四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边 两项的积，相等即成比例．
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【解答】解：A、从小到大排列，由于 1×4≠2×3，所以不成比例，不符合题意； B、从小到大排列，由于 1×5≠2×3，所以不成比例，不符合题意； C、从小到大排列，由于
3×6≠4×5，所以不成比例，不符合题意； D、从小到大排列，由于 1×4=2×2，所以成比例，符合题意． 故选 D．
【点评】本题考查线段成比例的知识．解决本类问题只要计算最大最小数的积以及中间两个数的积， 判断是否相等即可，相等即成比例，不相等不成比例．
4．若将方程 x2﹣8x=9 化为（x﹣k）2=25，则 k 的值是（ A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8 【考点】解一元二次方程-配方法．
【分析】根据完全平方公式配方，即可得出答案． 【解答】解：x2﹣8x=9， x2﹣8x+16=9+16，
（x﹣4）2=25， k=4， 故选 A．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能正确配方是解此题的关键．
）
5．已知△ABC 如图，则下列 4 个三角形中，与△ABC 相似的是（
）
A． B． C． D．
【考点】相似三角形的判定．
【分析】△ABC 是等腰三角形，底角是 75°，则顶角是 30°，看各个选项是否符合相似的条件． 【解答】解：∵由图可知，AB=AC=6，∠B=75°， ∴∠C=75°，∠A=30°， A、三角形各角的度数分别为 75°，52.5°，52.5°， B、三角形各角的度数都是 60°， C、三角形各角的度数分别为 75°，30°，75°， D、三角形各角的度数分别为 40°，70°，70°， ∴只有 C 选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等， 故选：C．
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理和相似三角形的判定的理解和掌握， 此题难度不大，但综合性较强．
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6．等式 • = 成立的条件是（ ）
A．x＞1 B．x＜﹣1 C．x≥1 D．x≤﹣1 【考点】二次根式的乘除法．
【分析】根据二次根式有意义的条件，即可得出 x 的取值范围． 【解答】解：∵
、
有意义，
∴ ，
∴x≥1．
故选 C．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，解答本题的关键是掌握二次根式有意义：被开方数为 非负数．
7．如果一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）满足 a+b+c=0，则方程 ax2+bx+c=0（a≠0）两个根中，有一 个根是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【考点】一元二次方程的解． 【专题】计算题． 【分析】把 x=0、1、2、3 分别代入方程，只有 x=1 时得到 a+b+c=0，于是可判断方程的有一个根是 1．
【解答】解：把 x=1 代入 ax2+bx+c=0（a≠0）得 a+b+c=0， 所以方程的一个根为 1． 故选 B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次 方程的解．
8．如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、BC 上的点，且 DE∥AC，若 S△BDE：S△CDE=1：4，则 S△BDE：S△BAC=（ ）
A．1：16 B．1：18 C．1：20 【考点】相似三角形的判定与性质．
D．1：25
【分析】由 S△BDE：S△CDE=1：4，于是得到 BE：CE=1：4，从而推出 BE：BC=1：5，根据 DE∥AC， 得到△BDE∽△CBA，然后根据相似三角形的性质得到结论． 【解答】解：∵S△BDE：S△CDE=1：4， ∴BE：CE=1：4， ∴BE：BC=1：5， ∵DE∥AC，
∴△BDE∽△CBA，
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∴S△BDE：S△BAC=（ ）2= ，
故选 D．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用形似三角 形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答．
二、填空题：每小题 3 分，共 18 分。 9．化简：（+2）（﹣2）= 1 ． 【考点】二次根式的混合运算． 【专题】计算题．
【分析】根据平方差公式计算．
【解答】解：原式=（ ）2﹣22 =5﹣4 =1． 故答案为 1．
【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除 运算，然后合并同类二次根式．
10．已知 x2m1+10x+m=0 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值为
﹣
．
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程的定义列出关于 m 的方程，求出 m 的值即可． 【解答】解：∵ x2m1+10x+m=0 是关于 x 的一元二次方程，
﹣
∴2m﹣1=2，解得 m=
． 故答案为： ．
【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．
11．如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，对角线 AC，BD 相交于点 O．若 AD=1，BC=3，则值为 ．
的
【考点】梯形；相似三角形的判定与性质．
【分析】由在梯形 ABCD 中，AD∥BC，可得△AOD∽△COB，然后由相似三角形的对应边成比例 求得答案．
【解答】解：∵在梯形 ABCD 中，AD∥BC，
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∴△AOD∽△COB， ∴ = ， ∵AD=1，BC=3，
∴ = ． 故
答案为： ．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及梯形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合 思想的应用．
12．如果 = = ，xyz≠0，则
= ﹣14 ．
【考点】比例的性质．
【分析】根据等式的性质，可得 y、z 用 x 表示的式子，根据分式的性质，可得答案． 【解答】解：由 = = ，得 y=
，z=
．
则 = = =﹣14，
故答案为：﹣14．
【点评】本题考查了比例的性质，利用了等式的性质，分式的性质．
13．若正数 a 是一元二次方程 x2﹣5x+m=0 的一个根，﹣a 是一元二次方程 x2+5x﹣m=0 的一个根， 则 a 的值是 5 ．
【考点】一元二次方程的解． 【专题】计算题．
【分析】把 x=a 代入方程 x2﹣5x+m=0，得 a2﹣5a+m=0①，把 x=﹣a 代入方程方程 x2+5x﹣m=0， 得 a2﹣5a﹣m=0②，再将①+②，即可求出 a 的值． 【解答】解：∵a 是一元二次方程 x2﹣5x+m=0 的一个根，﹣a 是一元二次方程 x2+5x﹣m=0 的一个 根，
∴a2﹣5a+m=0①，a2﹣5a﹣m=0②， ①+②，得 2（a2﹣5a）=0， ∵a＞0， ∴a=5． 故答案为：5．
【点评】本题主要考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等 的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所 以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
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14．如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是边 CD 的中点，将△ADE 沿 AE 折叠后得到△AEF，且点 F 在 矩形 ABCD 内部．延长 AF 交 BC 于点 G，若
= ，则 =
．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】根据中点定义可得 DE=CE，再根据翻折的性质可得 DE=EF，AF=AD，∠AFE=∠D=90°， 从而得到 CE=EF，连接 EG，利用“HL”证明 Rt△ECG 和 Rt△EFG 全等，根据全等三角形对应边相 等可得 CG=FG，设 CG=a，表示出 GB，然后求出 BC，再根据矩形的对边相等可得 AD=BC，从而 求出 AF，再求出 AG，然后利用勾股定理列式求出 AB，再求比值即可． 【解答】解：连接 EG， ∵点 E 是边 CD 的中点， ∴DE=CE，
∵将△ADE 沿 AE 折叠后得到△AFE， ∴DE=EF，AF=AD，∠AFE=∠D=90°， ∴CE=EF， 在 Rt△ECG 和 Rt△EFG 中，
，
∴Rt△ECG≌Rt△EFG（HL）， ∴CG=FG， 设 CG=a， ∵ = ，
∴GB=7a，
∴BC=CG+BG=a+7a=8a， 在矩形 ABCD 中，AD=BC=8a， ∴AF=8a，
AG=AF+FG=8a+a=9a，
在 Rt△ABG 中，AB=
=
=4 a，
∴ = = ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，以及翻折变换的性 质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
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三、解答题：本大题共 10 小题，共 78 分。 15．计算：
．
【考点】二次根式的混合运算． 【专题】计算题．
【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可． 【解答】解：原式=3
+
﹣ ×2
=4 ﹣2．
【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除 运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式 的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
16．解方程：2x2﹣5x﹣1=0．
【考点】解一元二次方程-公式法．
【分析】求出 b2﹣4ac 的值，再代入公式求出即可． 【解答】解：2x2﹣5x﹣1=0， b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×2×（﹣1）=33， x=
，
x1=
，x2=
．
【点评】本题考查了用公式法解一元二次方程的应用，能熟记公式是解此题的关键．
17．已知直角三角形的两条直角边的长分别是 3cm、4 cm，求这个直角三角形的周长． 【考点】二次根式的应用．
【分析】由勾股定理求得直角三角形斜边的长，进一步把三边相加求得周长即可．
【解答】解：由勾股定理得：直角三角形斜边= =5 cm， 直角三角形的周长=5 +3 +4 =12 cm． 答：这个直角三角形的周长是=12 cm．
【点评】此题考查二次根式的实际运用，勾股定理，掌握直角三角形的性质是解决问题的关键．
18．据媒体报道，我国 年公民出境旅游总人数约 5000 万人次， 年公民出境旅游总人数约 7200 万人次，若这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率相同，求年平均增长率． 【考点】一元二次方程的应用． 【专题】增长率问题．
【分析】设年平均增长率为 x．根据题意 年公民出境旅游总人数为 5000（1+x）万人次， 年公民出境旅游总人数 5000（1+x）2 万人次．根据题意得方程求解． 【解答】解：设年平均增长率为 x．根据题意得 5000（1+x）2=7200，
解得 x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为 20%．
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【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件， 找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
19．如图，小华在地面上放置一个平面镜 E 来测量铁塔 AB 的高度，镜子与铁塔的距离 EB=20m， 镜子与小华的距离 ED=2m 时，小华刚好从镜子中看到铁塔顶端点 A．已知小华的眼睛距地面的高度 CD=1.5m，求：铁塔 AB 的高度．
【考点】相似三角形的应用． 【专题】跨学科；转化思想．
【分析】根据反射定律可以推出∠1=∠2，所以可得△BAE∽△DCE，再根据相似三角形的性质解答． 【解答】解：结合光的反射原理得：∠CED=∠AEB． 在 Rt△CED 和 Rt△AEB 中， ∵∠CDE=∠ABE=90°，∠CED=∠AEB， ∴Rt△CED∽Rt△AEB，
∴
即
， ，
解得 AB=15（m）． 答：铁塔 AB 的高度是 15m．
【点评】本题考查相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比 例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
20．如图，在 6×8 网格图中，每个小正方形边长均为 1，点 0 和△ABC 的顶点均为小正方形的顶点． （1）以 O 为位似中心，在网络图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC 位似，且位似比为 1：2； 连接（1）中的 AA′，求四边形 AA′C′C 的周长．（结果保留根号）
【考点】作图-位似变换．
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【专题】计算题；作图题． 【分析】（1）根据位似比是 1：2，画出以 O 为位似中心的△A′B′C′； 根据勾股定理求出 AC，A′C′的长，由于 AA′，CC′的长易得，相加即可求得四边形 AA′C′C 的周长． 【解答】解：（1）如图所示： AA′=CC′=2． 在 Rt△OA′C′中， OA′=OC′=2，得 A′C′=2； 同理可得 AC=4． ∴四边形 AA′C′C 的周长=4+6．
【点评】本题考查了画位似图形．画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长 位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接 上述各点，得到放大或缩小的图形．同时考查了利用勾股定理求四边形的周长．
21．等腰三角形的底和腰是方程 x2﹣7x+10=0 的两根，求这个三角形的面积． 【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质．
【分析】利用因式分解法解 x2﹣7x+10=0 得到 x1=2，x2=5，然后根据三角形三边的关系和等腰三角 形的性质得到三角形三边的关系得到腰为 5，底边为 2，再利用勾股定理求得高，进一步求得三角形 的面积即可．
【解答】解：x2﹣7x+10=0， （x﹣2）（x﹣5）=0， x﹣2=0 或 x﹣5=0， 解得：x1=2，x2=5， 当 2 为等腰三角形的腰时，5 为底边，此时构不成三角形； 当 5 为等腰三角形的腰时，2 为底边，此时三角形高为所以这个三角形的面积为 ×2×2 =2 ．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为 0，再把左边通过因式分 解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为 0，这就能得到两个一元一次 方程的解．以及等腰三角形的性质与三角形的面积．
=2
，
22．如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，点 E 是边 AO 的中点，连接 BE，BE 的延长线交 CD 的 延长线于点 F，求证：
．
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【考点】相似三角形的判定与性质． 【专题】证明题．
【分析】根据 AD∥BC，推出△FED∽△FBC，由相似三角形的性质得到结论．
【解答】解：∵AD∥BC， ∴△FED∽△FBC，
，等量代换即可得 到
∴ ，
∵点 E 是边 AO 的中点，
∴AE=DE， ∴
．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，线段中点的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性 质是解题的关键．
23．在△ABC 中，AC=BC，∠ACB=120°，点 D 在 AB 边上，∠EDF=60°．
（1）当点 D 为 AB 中点时，且∠EDF 的两边分别交线段 AC、BC 于点 E、F，连接 CD，过点 D 作 DG⊥AC 于点 G，DH⊥BC 于点 H，如图（1），求证：DE=DF； 过 C 作 BC 的垂线交 AB 恰好为 D，若∠EDF 的两边分别交线段 AC、BC 于点 E，F，如图，求值．
【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）由垂直的定义得到∠DGE=∠DHF=90°根据等腰三角形的性质得到 CD 平分∠ACB， DG=DH，等量代换得到∠DFH=∠DEG，推出△DGE≌△DHF，根据全等三角形的性质得到 DE=DF； 由垂直的定义得到∠DCB=90°，由等腰三角形的性质得到∠ACD=∠A=∠B=30°，于是得到 BD=2CD， 推出∠BDC=60°，于是得到∠BDF+∠CDF=60°等量代换得到∠CDE=∠BDF，太迟△CDE∽△BDF， 根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵DG⊥AC，DH⊥BC，
的
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∴∠DGE=∠DHF=90°， ∵AC=BC，点 D 为 AB 中点， ∴CD 平分∠ACB， ∴DG=DH，
∵∠ACB=120°，∠EDF=60°， ∴∠DEC+∠DFH=180°， ∵∠DEC+∠DEG=180°， ∴∠DFH=∠DEG， 在△DGE 与△DHF 中，
，
∴△DGE≌△DHF，
∴DE=DF，
∵CD⊥BC， ∴∠DCB=90°，
∵∠ACB=120°，AC=BC， ∴∠ACD=∠A=∠B=30°， ∴BD=2CD，∴∠BDC=60°， ∴∠BDF+∠CDF=60°， ∵∠EDF=60°，
∴∠CDF+CDE=60°， ∴∠CDE=∠BDF， ∴△CDE∽△BDF， ∴
．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂直的定义，角平分线 的定义，证得△CDE∽△BDF 是解题的关键．
24．如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点 P 从点 B 出发，在 BA 边上以每秒 5cm 的速度向点 A 匀速运动，同时动点 Q 从点 C 出发，在 CB 边上以每秒 4cm 的速度向点 B 匀速 运动，运动时间为 t 秒（0＜t＜2），连接 PQ． （1）用含 t 的代数式表示 BP、BQ； 是否存在某一时刻 t 的值，使△BPQ 的面积是△BAC 面积的； （3）若以 B、P、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，求 t 的值．
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【考点】一元二次方程的应用；相似三角形的判定． 【专题】几何动点问题．
【分析】（1）直接用 t 表示出 BP、BQ 即可； 作 PD⊥BC 于 D，证得△BDF∽△BCA，进一步用 t 表示 PD，利用三角形的面积建立方程求得答案 即可；
（3）分两种情况讨论：当△BPQ∽△BAC 时，当△BPQ∽△BCA 时，再根据性质以及 BP=5t，QC=4t， AB=10cm，BC=8cm，代入计算即可． 【解答】解：（1）BP=5t，BQ=8﹣4t， 如图，
∵AC=6cm，BC=8cm， ∴AB=
=10cm，
作 PD⊥BC 于 D，
∴∠BPD=∠C=90°， ∵∠B=∠B，
∴△BPD∽△BCA， ∴ = ， ∴ = ， ∴PD=3t，
∴ ×（8﹣4t）×3t= ×8×6×
解得：t1=t2=1，
当 t=1 时，使△BPQ 的面积是△BAC 面积的；
（3）①当△BPQ∽△BAC 时，
∵ = ，BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm， ∴ =
，
∴t=1；
②当△BPQ∽△BCA 时， ∵ = ，
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∴ =
，
∴t= ， ∴t=1 或
时，△BPQ 与△ABC 相似．
【点评】本题考查了，一元二次方程的实际运用，相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等， 对应边的比相等．也考查了分类讨论的思想和利用代数法解决动点问题．
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