均值不等式专题3
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．若 则的最小值是__________．
2．若,且 则 的最大值为______________.
3．已知，且，则的最小值为______．
4．已知正数满足，则的最小值是_______.
5．若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则+的最小值是______．
6．设正实数满足，则的最小值为________
7．已知，且，则 的最小值是________
8．已知正实数x，y满足，则的最小值是______
9．已知________．
，函数的值域为，则的最小值为
10．已知，，且，则的最小值为__________．
试卷第1页，总2页
11．若正数x，y满足，则的最小值是______．
12．已知正实数x，y满足，则的最小值为______．
13．若，，，则的最小值为______．
14．若，则的最小值为________.
15．已知a，b都是正数，满足，则的最小值为______．
16．已知，且，则的最小值为______．
17．已知点在圆上运动，则的最小值为___________．
18．若函数____．
的单调递增区间为，则的最小值为
19．已知正实数，满足，则的最大值为______.
20．已知，，则的最小值为____．
试卷第2页，总2页
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参考答案
1．
【解析】
【分析】
根据对数相等得到，利用基本不等式求解的最小值得到所求结果.
【详解】
则
，即
由题意知
，则
，
则
当且仅当，即时取等号
本题正确结果：
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【点睛】
本题考查基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够利用对数相等得到系，从而构造出符合基本不等式的形式.
的关
2．
【解析】
【分析】
先平方，再消元，最后利用基本不等式求最值.
【详解】
当时，，，所以最大值为1，
当时，因为，当且仅当时取等号，
所以，即最大值为，
综上 的最大值为
【点睛】
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本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.
3．4.
【解析】
【分析】
直接利用代数式的恒等变换和利用均值不等式的应用求出结果．
【详解】
∵，
∴，
∴，
当且仅当，时取等号，
故答案为：4.
【点睛】
本题考查的知识要点：代数式的恒等变换，均值不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
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4．
【解析】
【分析】
由题得可求出答案．
，所以，再根据基本不等式即
【详解】
正数，满足，则，
则
，
当且仅当时，即，时取等号，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了条件等式下利用基本不等式求最值，考查了变形的能力，考查了计算能力，属于中档题．
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5．4
【解析】
【分析】
由题意可得式求得它的最小值．
经过圆心，可得，再+利用基本不等
【详解】
圆，即，表示以为圆心、半径等于2的圆．
再根据弦长为4，可得经过圆心，
故有，
求得，则，
当且仅当时，取等号，
故则的最小值为4，
故答案为：4
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【点睛】
本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，属于基础题．
6．8
【解析】
【分析】
根据基本不等式求最小值.
【详解】
令，
则
当且仅当时取等号.即的最小值为8.
【点睛】
在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等
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式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
7．
【解析】
【分析】
根据基本不等式求最小值.
【详解】
因为的最小值是
,当且仅当时取等号，所以
【点睛】
在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
8．
【解析】
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【分析】
由已知分离解．
，然后进行1的代换后利用基本不等式即可求
【详解】
正实数x，y满足，则
当且仅当
且
即
，
时取得最小值是
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行分离后利用1的代换，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
9．
【解析】
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【分析】
由函数本不等式可得结果.
的值域为，可得，化为，利用基
【详解】
的值域为，
，
，
，
，
当，即是等号成立，
所以的最小值为，
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故答案为.
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象与性质，以及基本不等式的应用，属于中档题. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.
10．
【解析】
【分析】
由已知将化为一次式，运用 “1”的变换，再利用基本不等式可得.
【详解】
因为，所以，
=（当且仅当，即，时取等号），
所以的最小值为，
故答案为.
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【点睛】
本题考查基本不等式及利用基本不等式求最值,将所求式运用“1”的变换，化为积为常数的形式是关键，属于中档题.
11．
【解析】
【分析】
利用乘“1”法，借助基本不等式即可求出．
【详解】
正数x，y满足，则，
，
当且仅当时取等号，
故的最小值是12，
故答案为：12
【点睛】
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本题考查了基本不等式及其应用属基础题．
12．2
【解析】
【分析】
利用“1”的代换，求合题意求解即可
得最值，再对直接利用基本不等式求得最值，再结
【详解】
正实数x，y满足，
，
，
当且仅当，即，时，取等号，
的最小值为2．
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故答案为：2．
【点睛】
本题考查基本不等式的应用，熟记不等式应用条件，多次运用基本不等式要注意“=”是否同时取到，是中档题
13．9
【解析】
【分析】
由条件可得小值．
，即有，由基本不等式可得所求最
【详解】
若，，，即，
则
，
当且仅当取得最小值9，
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故答案为：9．
【点睛】
本题考查基本不等式的运用，注意运用“1”的代换，考查化简运算能力，属于基础题．
14．
【解析】
【分析】
由基本不等式，可得到，然后利用
，可得到最小值，要注意等号取得的条件。
【详解】
由题意，，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时取等号，
所以当时，取得最小值．
【点睛】
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利用基本不等式求最值必须具备三个条件：
①各项都是正数；
②和（或积）为定值；
③等号取得的条件。
15．3
【解析】
【分析】
由已知可知，，整理结合基本不等式可求.
【详解】
解：，b都是正数，满足，
则，
当且仅当且，即时，取得最小值3，
故答案为：3．
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【点睛】
本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解答本题的关键是进行1的代换配凑基本不等式的应用条件，属于基础题.
16．15
【解析】
【分析】
对变形可得原式，由，利用
，利用基本不等式求最值即可。
【详解】
解：，且，，
故
时取“=”）.
．（当且仅当
故答案为：15．
【点睛】
答案第16页，总20页
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本题考查了求代数式的最值问题，利用基本不等式是解决本题的一个常见方法，考查了转化思想的应用，是一道中档题。
17．1
【解析】
【分析】
由题意可知，点在椭圆上运动，得，则，构造基
本不等式，即可求出结果.
【详解】
∵点在椭圆上运动，即，
则
，当且仅当时，取等号，
即所求的最小值为.
【点睛】
答案第17页，总20页
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本题主要考查了利用椭圆的方程，利用基本不等式求解最小值，解题的关键是利用了
的代换，从而把所求的式子变形为积为定值的形式，根据基本不等式即可求
出结果.
18．4
【解析】
【分析】
利用二次函数的单调增区间求得不等式可求最小值．
，再利用，利用基本
【详解】
的对称轴为，故，
又
小值为，填．
，当且仅当时等号成立，从而的最
【点睛】
应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.
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19．3；
【解析】
【分析】
将原式子变形得到再由均值不等式可得到最值.
【详解】
已知正实数，满足立的条件为：x=2y+2.
，根据均值不等式得到 等号成
故答案为：3.
【点睛】
这个题目考查了均值不等式的应用，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
20．2
【解析】
【分析】
答案第19页，总20页
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将分子分母同时除以得到，换元令然后＝t，t＞0，根据基本不等式求解即可
得到最小值．
【详解】
∵x，y＞0，则＝，
设＝t，t＞0，
则＝（t+1）+﹣2≥2﹣2＝4﹣2＝2，
当且仅当t+1＝，即t＝1时取等号，此时x＝y，
故的最小值为2，
故答案为：2
【点睛】
本题考查利用换元的方法转为利用基本不等式求最值问题，属于中档题
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