苏州大学2001年数学分析试题解答

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苏州大学2001年数学分析试题解答

1.(15)设f(x)在a,上连续（）若1limf(x)存在且有极限，证明：f(x)在a,上一致连续x（2）若f(x)在a,上一致连续,limf(x)存在吗？回答并说明理由。x证明：（1）由于limf(x)存在且有极限，设limf(x)A(A有限）xx所以存在M,当xM时，有f(x)A2x,xM,且xx,则f(x)f(x)f(x)Af(x)A从而f(x)在M,上一致连续，由f(x)在a,M上一致连续所以f(x)在a,上一致连续（2）不一定。例如：f(x)=x,显然f(x)在a,上一致连续但limf(x)limx不存在xx22

2.(10)设f是a,b上的连续函数，且f(a,b)a,b证明：存在x0a,b,使得f(x0)x0证明：令F(x)=f(x)-x,F(x)在a,b上连续由于f(a,b)a,b且f在a,b上连续则f(a)a,f(b)b因此F(a)f(a)a0,F(b)f(b)b0从而由连续函数的介值定理知，存在x0a,b,使得F(x0)0即f(x0)x0

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1在（1，）内无穷可微xn1n证明：a1,b且a0,S(x)(1)xn1n(k)klnnlnna(a1)xnnlnkn(k)k用上所证，S(x)(1)x在（1，）上一致收敛nn1从而S(x)在（1，）内无穷可微x[a,b],有kk

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4.(10)求曲面积分Ix2dydzy2dzdxz2dxdy,其中S为锥面z2x2y2在S0zh部分的下侧。2y2h2x解：令S1{且方向向上，取向上为正zh则令SS1,他方向向外并且封闭，由高斯公式得222xdydzydzdxzdxdy2x2y2zdxdydz2xyzdxdydzVSS1令{x=rcos,02y=rsin,0rh2xyzdxdydz2ddrr2sinr2coszrdzSS100022224xdydzydzdxzdxdyhdxdyhS1S12hr2h4IxdydzydzdxzdxdyxdydzydzdxzdxdyhS122222242h42h4

5.(15)在（0，1）上把f(x)=(x-1)展成余弦级数并且求212n1n解：把f(x)进行周期延拓（偶延拓）a02(x-1)2dx0101234(n)2an2(x-1)2cosnxdx 14从而f(x)cosnx23n1(n)令x0,则f(0)1141cosnx23n1(n)1226n1n

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6.(10)设f(x,y)是R上的连续函数，试交换累次积分dx2f(x,y)dy的积分次序1x121x1解：{1x1x21yx11y2从而{y1xy1从而交换后的累次积分为dy1fx = x2+1gx = x+132y1y1f(x,y)dx2.5y=g(x)21.5y=f(x)10.5-3-2-1123-0.5 第 4 页 共 6 页

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7.(15)设f(x)x3bxc,b和c为参数(1)求出f(x)有极值的充要条件(2)根据(1)与f(x)的草图，求出f(x)有三个相异零点的充要条件解：(1)f(x)=3x2b2要f(x)有极值,则f(x0)3x20b0b3x00即f(x)有极值的充要条件为b0（2）由（）知道1f(x)有极值，且极值点为-b3b2bb4bf(0)c,f(-)b-c,f(-)b-c,333333bbbbf(x)6x,f(-)0,f(-)0,所以-为极小值点，-极大值点3333bb从而当f(x)有三个相异零点时，f(-)0且f(-)0332b4b即b-c0且b-c033334b2b即-b-cb-且b03333

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8.(10)设f(x)是[0，上的连续函数，1]f(x)>0,m=minf(x),Mmaxf(x),x[0，1]，证明：1f(x)dx0110dx(mM)2f(x)4mM1dx)21f(x)证明：由希瓦兹不等式知111122（f(x))dx（)dx(00f(x)0f(x)即f(x)dx010110dx1f(x)10下证f(x)dxdx(mM)2f(x)4mM由于f(x)00mf(x)M(f(x)m)(Mf(x))构造F(x),F(x)0f(x)mM展开有(M+m)>f(x)+,两边积分f(x)11mM(M+m)dxf(x)+dx00f(x)即有(M+m)>f(x)dx010110mMdx2f(x)1010f(x)dx10mMdx f(x)从而(M+m)24mMf(x)dx即有f(x)dx01101dxf(x)dx(mM)2f(x)4mM第 6 页 共 6 页