零 霄零 浅谈函数值域的求法 ◆冯晓文 （河北省滦平县第一中学） 【摘要１函数是中学数学的核心内容，它不仅与方程和不等式有着本质的内在联系，而且作为一种重要的思想方法，在所有内容当中都能 够看到它的作用，这就决定了在高考当中的重要地位，函数的值域经常穿插于高考的大小试题中． 【关键词】函数值域方法 ４．判别式法——把函数转化成关于 的二次方程 （ ，， ）＝０，通过万 其实，函数的值域就是函数值的取值范围，它虽然由函数的定义域及 对应法则完全确定，但是确定值域仍是较为困难的，这些使函数的值域成 为历年高考必考的重点之一。而如何求函数的值域却令大多数同学头疼， 程有实根，判别式△ （），从而求得原函数的值域 形如ｙ： ｔｌ、ｘ ｆＪ、ｘ十ｔ 、 因为函数千变万化，各不相同，对函数值域的求法也各种各样。求值域的 问题有时比求定义域问题难，实践证明，如果加强了对值域求法的研究和 讨论，有利于对定义域内涵的理解，从而深化对函数本质的认识。本文旨 在对求函数值域问题做一个系统性的小结，不妥之处，请不吝指正。 １直接法——从自变量ｘ的取值范围出发，推出函数Ｙ＝＿厂（ ）的取值 范围。 例１．求函数Ｙ＝（÷） 的值域 解：’．Ｉ ｌ耋０ ．．０＜（÷） 三】 ‘．．值域为（０．】］ ２．配方法——是求“二次函数类”值域的基本方法，形如Ｆ（ｘ）＝ （ ）＋ ）＋ｃ的函数的值域问题均可使用配方法。 例２．求下列函数的值域 （１）Ｙ＝２ｘ ＋ （２）Ｙ＝４一￣／３＋２ — 解－（１ ＝２ ２＋ ＝２（ ＋÷） 一÷至一÷ ．．．函数的值域是［～÷，＋ｏ。） （２）由３＋２ｘ— 兰０得一１曼 三３ ．＿ ＿Ｙ＝４一 一（ 一１） ＋４ ．当 ＝１时，Ｙ ．…４ ２ ２ 当 ＝一ｌ或３时，Ｙ……４ ０ ４ ‘．．函数值域为［２，４］ ３．反函数法——利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系， 通过求反函数的定义域，得到原函数的值域，形如函数Ｙ＝ （ｎ≠０）的 ｎ 十Ｄ 值域。均可使用反函数法。此外，这种类型的函数值域也可以使用“分离常 数法”求解。 例３．求ｙ＝去若的值域 解法一：反函数法 由 ＝ 解 得 ： ．＿ ｌ２ｙ＋１≠Ｏ ．函数的值域为｛ ｙ≠一÷且Ｙ∈Ｒ｝ 解法二：分离常数法 一— ｃ ＋÷ ＋÷ 一 ÷ ・ ７ 而 ≠。 ．・，，≠一÷，即函数的值域为｛ ，∈Ｒ且， ≠一÷｝ ４６ ０３／２０１４ （ｎ．，ｎ 不同时为０）的函数值域常用此法求解。 注意：（１）函数的定义域为Ｒ，（２）分子，分母无公因式 例４．求函数 的值域 解：由Ｙ＝ 得，ｙｘ 一３ｘ＋４ｙ＝０ 十斗 当Ｙ＝０时． ＝０ 当ｙ≠ｏ时，由△至。得，一÷ ｙ三÷且ｙ≠０ ‘．函数定义域为Ｒ 。．．函数 ＝ 的值域为［一÷，÷］ ５．换无法——运用代数或三角代换，将所给的函数化成值域容易确定 的另一函数，从而得到原函数的值域 例５．求下列函数的值域 （１）Ｙ＝２ｘ＋４ ／ （２）Ｙ＝ —ｖ／】一 ！ 解：（１）设ｔ＝ｖ／ 三０，则 ＝ｔ—ｔ ，于是，Ｙ＝一２ｔ ＋４￡＋２ ＝一２（ 一１） ＋４（￡兰０） 故可知Ｙ∈（一。。．４】 （２） ．‘Ｉ ｌ １ ‘．．设 ＝ＣｏｓＯ，０∈［０， ］ 则Ｙ＝Ｃｏ ０一ｓｉｎＯ＝／２Ｃｏｓ（０＋孚） ’．０ Ｅ［０， ］ ・．．子三 ＋詈 ｝ ．＿＿＿ｌ Ｃｏｓ（０＋予） 孚 故 一 Ｙ三１即ＹＥ【＿ ，Ｉ］ ６．单调性法——确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调 性，求出函数的值域。 例６．求ｙ…２ｘ １ 了＝石的值域 解：因为函数在其定义域（一ｏ。，孚］内单调递增，所以当 ：孚时， Ｙ ＝２ｘ罢一 故函数的值域为｛ｙ／ｙ ｝ ７．求导法——当一个函数在定义域上可导时，可据其导数求最值 例７．求函数Ｙ＝ 一５ｘ ＋５ｘ ＋２， ∈【一１，２］的值域 解：Ｙ’＝５ｘ 一２０ｘ ＋１５ｘ 今Ｙ’＝Ｏ 得５ 一２０ ＋１５ ：０ （下转第３０页） 帮 一群 辫 礴 试论创新教育对中学政治教师的要求 ◆黄文 （黑龙江省大庆市第四卜七中学） 【摘要】创新教育的精髓在于对学生全面实施素质教育，政治教师在教学中应该创新教学方法，培养学生的创新能力，使学生善于利用感 官能力全方位地感知和发现问题，善于利用已有的知识和经验理顺多种事物之间相互关系，善于利用新思想新思维解决问题． 【关键词ｌ创新教育个性素质 ２ｌ世纪是知识更新社会经济快速发展的世纪。创新教育是２ｌ世纪的 新。在中学政治课堂教学中，教师要体现自身的优秀的个性素质和个性品 教育。中学政治课教学，教师要充分针对学生的思想实际，更新教育思想， 质。做到教学有个性，教学内容有个性。教学方法有个性，逐步形成自己独 转变教育观念，实施创新教育。创新教育能够最有效地开发学生的创新潜 特的充满创造力想象力的教学风格。没有创新的教学，就无法培养和发展 力，能够把学生培养成勇于挑战，勇于创新的高素质人才。 学生的个性和创造力。 当前的创新教育极力提倡重视学生的独立个性，要求教育者从学生的 个性出发考虑学生的发展。培养学生的独立人格，发展学生的个性才能，从 而能更自觉更充分更主动地全面提高学生自身的整体素质。在中学政治 课堂教学活动中，教师要承认每个学生的个别差异，高度重视学生的个性 创新教育的精髓在于对学生全面实施素质教育，把培养学生具备创新 能力作为新课程的教学目标。因此，需要教师打破常规，创新教学方法，把 教材知识真正转化为学生的知识和能力。创新能力是民族进步的灵魂，是 国家兴旺发达的不竭动力。因此说，创新能力的培养是创新教育的关键， 创新能力主要包括以下三个方面： 研究个性，引导个性 教师必须改变高谈阔论的空洞 １．善于利用感官能力全方位地感知和发现问题的能力。世界是不断 发展，善于发现个性。深入细致地了解学生的思想和独特的个性思维，给予 发展和变化的，充满了许多新奇和未知的东西需要我们去寻找和挖掘。创 说教式的教学方法，新能力要求我们具有敏锐的观察能力，善于发现别人没有注意的问题的能 学生申述，辩解和表达自己对知识的理解和看法的自由。变封闭式的教学 力和为之积极努力解决问题的能力。 为开放式的教学。真正将教师的主导作用和学生的主体作用有机结合起 ２．善于利用已有的知识和经验理顺多种事物之间相互关系的能力。 来。坚持教学方法的个别化，多样化，灵活化。因材施教发掘每个学生的 世间万物既存在差异又存在联系。善于理顺不同的事物之间的相互关系 特点和闪光点，为他们的真正成才提供有力条件。 有利于认识世界和改造世界。因此，必须具备渊博的知识，极强的逻辑分 析和判断能力 教师富有创新精神，才能在学生中培养出创新人才，那么政治教师应 当如何创新昵？首先，要创新教学观念，政治教师要变“传授知识”为“传授 ３．善于利用新思想新思维解决问题的能力。任何新的思想和新的观 念必须应用到实践中才能发挥理论指导作用，才能产生创造的火花。 方法”．认识到学生才是课堂的主体，自觉地做精神的引领者，这样才能以 饱满的热情投入到课改当中。其次，要改变施教观念，创新教学能力，这就 当代中学生的突出特点是思想上的开放和追求人格的平等，他们的观 念、能力以及他们的性格都需要教师精心的指导和培养。他们是思想敏锐 要求政治教师提高自己的业务水平，做到“教在书外，理在书中”，不要搞 言堂”，而要让学生动起来。再次，转变知识结构，创新教学手段，要调 的一代，视野的触角延伸到校园以外的广阔世界。他们能够运用已学的中 “一 学政治课内容与现实相对照提出自己的观点和主张，甚至相当一部分学生 动多种教学手段，充分利用多媒体教学，把网络、新媒体等运用到教学中，对教材里的某些知识产生怀疑，因而要求教师因势利导进一步激发学生学 激发学生强烈的求欲望，增加课堂学习的兴奋点。最后，运用情感进行教 习政治的兴趣和热情。 学，创设学生乐学的情境，激发学习兴趣，讲活思想政治课，教师的情感对 创新能力依赖于个性的发展。个性包括人的需要、动机、兴趣和信念， 学生的影响是多方面的，当学生受到鼓励时，就会产生积极的情感反应，这 决定了人对现实的态度、倾向和选择；也包括人的能力、气质和性格，它决 种反应会促进学生生理结构的正常运转，使学生记忆力增强，思想反应敏 定了人的行为方式和个人特征。这两个方面的有机结合，会造就优秀的人 才。因此，没有个性发展就没有创新能力培养，就无从谈起创新教育。创 新教育需要具有突出个性的教师，有突出个性的教师培养有突出个性的学 捷。在教学中。教师要能够运用情感进行教学，要认真做好课前的情感备 课，调节好进教室时的情感状态，授课时，要能够恰当地利用语言、表情展 生。在个性倾向性上，具有独立个性的教师应当坚定执着，有革新开拓精 神，具有强烈的好奇心，丰富的想象力和创新意识。在个性心理特征上，要 示自己的情感，营造一种和谐、平等、融洽的课堂氛围 中学政治教师要勇于面对挑战，站在新课程改革的前沿。在教学实践 善于独立思考，对事物持有发展的态度，永不满足现状，不断进取，不断创 中，努力把知识传授与育人相结合，是每个学生都成为社会的栋梁之才。 ～、Ｉ ～ 一 、 、～ ～ ～ ～ 一 ～ 一 … 。 （上接第４６页）即５ｘ （ｘ一３１（ｘ—１）＝０ ．又 ＋ 至一２ ｘ１＝０ ！＝１ ｘ ＝３ ．．． 由于ｘ ｃ一１，２］，所以只要比较Ｆ（０），Ｆ（１），Ｆ（一１）， ＋—＿＋１Ｉ 一１ ＜ｏ，￣ｐ－３－＜ｙ＜＜Ｏ －｝ （２）。由解析式可知： （ｘ）的最大值为３，最小值为～９。 故Ｙ∈【一９，３］ ８．不等式法——利用基本不等式：ａ＋ｂ ２ ｖ／ｎ６（ａ，ｂ∈Ｒ ），求函数 ３ 值域。用不等式求值域时，要注意均值不等式的使用条件“一正、二定、三 相等”。 故函数值域为［一３，０］。 综上，只要教师能够引导学生对此类题目进行分析，特别是通过灵活 变形，确定该题目是属于上述哪种类型，然后选择合适的方法进行求解，那 么求函数值域的问题将迎刃而解。最后通过类型题目的加强，举一反三， 例８．求ｙ＝＿『 ＋ 十＿＿－（ ＜０）的值域 Ｉ ， ３０ ０３／２０ｌ４ ＿ｊ ‘ 使学生熟练掌握解题的方法，必将提高学生在高考中的数学成绩。
