学科教育 ・理论研究 浅谈函数值域的求法 丁书召 （平顶山工业职业技术学院，河南平顶山４６７００１） 摘要：函数的值域是数学学习中的难点，因此在学习中必须引起我们重视。同时要想学好该知识点，必须掌握一定的方法．本 文一共总结了十种求函数值域的方法． 关键词：函数；值域；方法 函数的值域是数学学习中的难点， 而高考题中又经常考察该点知识，因此 在学习中必须引起我们重视．下面谈一些 求函数值域常用的方法： 一、观察法 函数的定义域和对应法则直接约束 着函数的值域，对于一些比较简单的函数 可通过观察法求函数值域． 例１求函数Ｙ＝３＋、／ 丁的值域． 解：・．・Ｘ／—ｘ￣＋—ｌ≥１ ．・．该函数值域 为［４，＋∞）． 二、配方法 ’ 当所给函数是二次函数或可化为二 次函数的复合函数时，可以利用配方法 求函数值域． 例２求函数Ｙ＝、／ 二 的值域． 解：・．・３＋２ｘ－ｘ２１＞０．・．该函数的定义 域为卜１，３】 Ｙ＝、 ｒ＝Ｖ＇—－（ｘ－１—）２＋４ 当ｘ＝ｌ时，ｙｍ￣＝２，当 一１或则Ｘ＝３ 时ｙｍ＝Ｏ ・．．该函数的值域为［０，２］ 三、反解法 用Ｙ来表达 ，根据 取值范围，通 过解不等式求ｙ取值范围． 例３求函数ｙ＝斋的值域． 解：由），＝斋得，３ ＝ ＞０ 则０＜Ｙ＜１ ・．．该函数值域为（０，１） 四、换元法 以新变量代替函数式中的某些量， 使函数转化为以新变量为自变量的函数 形式，进而求出值域． 代人端点可得原函数的值域为ｆ１， 例４求函数ｙ＝ 一、／Ｔ二乏 的值域． 、／ 】． 解：定义域为 ∈（一 ， １］，令ｔ＝ 七、数形结合法 （￡≥０），则 ：乓生， 函数图象是掌握函数的重要手段， 于是Ｙ＝一 １（￡＋１）。＋１，由ｔ≥０，故 运用数形结合的方法，根据函数的图象 求得函数的值域． 函数值域为（一ｏ。， 】． ＼ ＼ｊ ／ ．．．．．．．．．．．．．．＿／ 五、判别式法 分子、分母中含有二次项的有理函 ｌ ｏ． 。 ． － 数，其定义域为Ｒ，可用判别式法求函数 一ｌ Ｉ ２ ３ 值域． 例７求函数ｙ＝ｌｘ＋ｌｌ＋、／ 二 的 例５ 求函数ｙ： 的值域． 值域． 解：‘．‘ｘ２＋３ｘ＋６＞０恒成立 ．Ｙ（冉 分析：可将函数化为分段函数，逐段 ３ｘ＋６）＝ｘ＋２， 确定函数值的范围． 整理得 １＋（３ １） ＋６ｙ一２＝０ 解：原函数可化为ｙ＝ｌｘ＋ｌｌ＋ｌｘ一２１，利 当ｙ＃Ｏ时，△＝（３ｙ一１） （ 一２） 用零点分段的方法． ≥０ 当 ≤一１时， 一１ ＋２＝一 ＋１； 解得一｝≤ｙ≤｝ 当一１＜ ＜２时，ｙ＝ｘ＋ｌ－－－ｘ－＋２＝３；当 ≥ 当ｙ＝Ｏ时， 一２有意义，故ｙ＝Ｏ ２时， ＋１＋ 一２＝２ｘ一１． 它的图象如图所示．显然该函数的值 ・．．该函数的值域为【一 １，｝］ 域为［３，＋∞）． 六、利用函数的单调性 八、不等式法 单调函数可利用函数的单调性求函 有的函数可拆配成重要的不等式的 数值域． 形状，利用重要的不等式求函数值域． ‘例６求函数 、／ 一、／ 的值 例８求函数ｙ＝、／ —Ｘ／Ｔ￣ｌ－ｘ的值 域． 域． 解：‘．。原函数可变形为 解：函数的定义域为［０，１】，两边平 ｙ＝Ｘ／ｌ＋２￣一 方得 ． ・．．原函数的单调性与函数 慨 ）， １＋２Ｎ／ｘ（１－ｘ）≤ｌ＋（１一 帆）＝２ （０≤ ≤１）一致 ・．．函数值域为【ｌ，、／ ］ 当 ∈［０， 】时，原函数单调递增； 九、导数法 当 ｅ【 ，１］时，原函数单调递减． 例９求函数 、／ 一、／Ｔ二 的值域． 搬‘ ｅ），中．理论研究 ．Ｓ ｝口 ０ 謦 挚０≯ 嚣霜《国际贸易实务》双语教学模式的思考 杨楚欣 （湖南对外经济贸易职业学院，湖南长沙４１０１１４） 摘要：本文分析了《国际贸易实务》双语教学面临的问题，并从实施阶段、教材选择、参与式的教学方式、实践操作和教师ＦＡ４￣－ 建设等方面提出了《国际贸易实务》课程双语教学模式的相关建议。 关键词：《国际贸易实务》；双语教学；模式 ’ 缺乏案例与实训练习，综合性和灵活 《国际贸易实务》课程的主要内容是 板，订合同—合同履行，英语的应用贯穿于 识与实际联系起来。 每一环节。熟练地应用英语，成为顺利完 ２．语言的障碍 一一些高校的双语教学还是沿用黑板 以进出口业务为中心，从交易前准备一商 性不够。导致大多数学生很难将书本知 板书加口头翻译的老式方式，教学信息 负载少，教学设施满足不了双语教学发 展的需要。即使可以使用多媒体上课，由 成进出口业务的关键。从其课程的内容、 性、涉外性，又强调其英语应用的熟练性。 般的国内的高校生源来源于国内 于某些老师们制作课件的能力有限，只 ｄ文档或ＰＩＴ文档代替人工书 性质和任务来看。我们要既注重它的实践 各个地区，像农村等不发达地区的学生 是用ｗｏｒ英语听力基础差，再加上国际贸易专业 写。由于缺乏先进的教学手段，教师无法 为提高学生专业知识运用能力，以适应 信息量大，在课堂上进行双语教学，无疑 在双语授课的同时通过大量真实的鲜活 新形势下国际贸易发展的需要，《国际贸 对他们理解专业知识造成了很大的障 的国际贸易案例来对现有知识进行巩 易实务》课程在英语教学的基础上应该 碍，影响了部分学生学习的积极性，这就 ＷＴＯ世界经济一体化的需要，也是国际 高校普遍以大班授课为主，而学生的水 经济与贸易专业的教学要求，更是现代教 平不齐，领会程度不一，就会为双语教学 育理念和素质教育的需要。 一固、加深和扩容，因此课堂缺乏活力，学 逐步实施双语教学，这不仅仅是中国加入 制约了教学进度，影响了教学效果。而且 生学习兴趣不高，影响了教学效果。 带来困难。 ３．师资水平的欠缺 二、《国际贸易实务》双语教 学模式 １．《国际贸易实务》双语教学的分阶 由于学生的英文基础存在差异，主 （１）双语过渡阶段（ｔｒａｎｓｉｔｉｏｎａｌ 、《国际贸易实务》双语教 学面临的问题 １．缺乏合适的教材 双语教师都存在这样或那样的不 段实施模式 足，不完全符合双语教学师资的要求。有 分层次、分阶段教学。 的教师英语水平不够，不能实现全英语 张因材施教，选用合适的教材是双语教学中举足 教学；有的则是国际贸易专业知识不够 轻重的问题。《国际贸易实务》双语教学 扎实，理论知识不够系统，不能系统地给 ｓｔａｇｅ），其教学重点与方法为：逐步提高学 必须使用英文原版的教材，没有原版教 学生讲授专业知识。有一些条件稍好的 生听力水平。培养学生双语思维；可以选 材，双语教学就成了无源之水。一方面， 国际贸易的规则与知识在不断变化，而 教材一般以理论教学为主，内容比较死 学校聘请了外教，外教的语音、语调标准 择一些学生已经理解的学科知识与部分 自然，口语地道，原汁原味，但他们的教 新的学习内容相结合，教师在上课时可 教材知识更新速度太慢。另一方面，双语 学方法使中国学生有些不适应。 ４．教学的手段有待提高 以用英语讲述重要贸易术语和概念等， 让学生适应英语思维与理解的学习方 解：函数的定义域为［Ｏ，１１，函数 一 、／ 一、／Ｔ＝ 在［０，１］上连续，由Ｙ ＝ 一 ． ． Ｖ２， ｌ 由函数的连续性知函数的值域为［１， ｘ／ｇ－］． ３ ＋１ ・．‘１＜３ ｌ，．‘．０＜ ＜ｌ’． ．０＜ｌ一 ：０ ２、／ ２ 二 得、／ ＝、／Ｔ＝ 解得 ＝ （检验是 方程根） 当ｘ－－Ｏ时，ｙ＝ｌ；当ｘ＝ｌ时，ｙ＝ｌ；当 ＝ 十、分离常数法 ・＜ 例１０求函数ｙ＝斋的值域． 解：原函数可变形为ｙ＝ ．．该函数的值域为（Ｏ，１） 以上十种方法是我们求函数值域时 时，ｙ＝、／ 除此之外还有构造法、最值 ＝１一 常用的方法，法等方法，这里不再详细介绍． 作者简介：杨楚欣（１９７２一），硕士研究生，经济师，国际商务师，研究方向：国际贸易。
