北京西城区育才中学2022年高一上数学期末综合测试试题含解析

请考生注意：

1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。 2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.） 1．若幂函数f（x）=xa图象过点（3，9），设ma2， n()，t=-loga3，则m，n，t的大小关系是（ ） A.mtn C.tmn

B.ntm D.mnt

123a2．设alog37，b21.1，c0.83.1，则（） A.bac C.cab

B.cba D.acb

23．已知函数f(x)满足∶当x1时，f(x)3x1， 当x1时，f(x)x1， 若nm，且f(n)f(m)，设

tnm，则( )

A.t没有最小值 C.t的最小值为

B.t的最小值为51

4 3D.t的最小值为

17 124．下列四个函数中，与函数yx相等的是 A.yx2 B.y2log2x

x2C.y

xD.y3x3

lg(x1),x05．已知函数f(x)，且ab0，bc0，ca0，则f(a)f(b)f(c)的值 1lg,x01xA.恒为正 C.恒为0

B.恒为负 D.无法确定

，，4，916，，集合A1,4，B4,9，则CUA6．设全集U01A.{4} C.{0,9,16}

B.{0,1,9,16} D.{1,9,16}

CUB

7．半径为

，圆心角为2弧度的扇形的面积为（） 2B.

A.

24

22

C.

 2D.

8．若点A1,1关于直线ykxb的对称点是B3,3，则直线ykxb在y轴上的截距是 A.1 C.3

B.2 D.4

9．yfx的图像是端点为0,4且分别过1,0和4,0两点的两条射线，如图所示，则fxlog3x的解集为

A.,12, B.1,00,2 C.1,3 D.1,00,3

2 2sin22D. 2cos2B.

10．若扇形圆心角的弧度数为2，且扇形弧所对的弦长也是2，则这个扇形的面积为

1 2sin11C. 2cos1A.

二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）

11．已知定义在区间[a2023,2024]上的奇函数f(x)满足：f(2x)f(x)，且当x[1,0]时，

f(x)alog2(bx)，则f(2021)f(2022)____________.

12．函数f（x）=2x+x-7的零点在区间（n，n+1）内，则整数n的值为______

13．若函数f（x）=x2axa的定义域为R，则实数a的取值范围是：_____________. 14．命题“xR，f(x)1”的否定形式为__________________________.

2ax2a,x115．若函数fx的值域为R，则a的取值范围是__________

1lnx,x1三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16．已知函数fxxax2，aR.

2（1）若不等式fx0的解集为1,2，求不等式fx1x的解集；

2（2）若函数gxfxx1在区间1,2上有两个不同的零点，求实数a的取值范围

217．已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P3,6. （1）求tan；

sin24cos2（2）求的值.

3sincos18．△ABC的顶点坐标分别为A(1,3)，B(5,7)，C(10,12)，求BC边上的高所在的直线的方程

19．已知函数yfx的图象与gxlogaxa0,a1的图象关于x轴对称，且gx的图象过点4,2. （1）若f3x1fx5成立，求x的取值范围； （2）若对于任意x1,4，不等式f2xgxm0恒成立，求实数m的取值范围. 4∣∣02xa3，Bx20．设全集UR，集合Ax（1）当a1时，求CUBA； （2）若AB，求实数a的取值范围

1x2 221．已知函数fxasinxbxR的部分图象如图所示，其中a0,0,,. 22

（1）求,,a,b值；

（2）若角C是ABC的一个内角，且cosCfC1，求sinC的值. 2 参考答案

一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.） 1、D

【解析】由幂函数的图象过点（3，9）求出a的值，再比较m、n、t的大小 【详解】幂函数f（x）=xa图象过点（3，9）， ∴3a=9，a=2；

442ma2,n,tloga3log230,2log23，

993∴m＞n＞t 故选D

【点睛】本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，是基础题 2、C

【解析】根据指数函数和对数函数的单调性判断a，b，c的范围即可比较的大小. 【详解】因为1log33alog37log392，即1a2，

12ab21.1212，即b2，

0c0.83.10.801，即0c1，

所以cab， 故选：C. 3、B

【解析】根据已知条件，首先利用n表示出m，然后根据已知条件求出n的取值范围，最后利用一元二次函数并结合n的取值范围即可求解.

2n2【详解】∵f(n)f(m)且nm， 则m1，且n1，∴ 3m1n1， 即m

32n11n5， 由20n14n221213217tnmn(n3n2)(n)， ∴333212又∵1n∴当n5，

5时，tnm51，

451， 3当n1时，tnm故t有最小值51. 故选：B. 4、D

【解析】分别化简每个选项的解析式并求出定义域，再判断是否与yx,xR相等. 【详解】A选项：解析式为yB选项：解析式为y2log2xx2x，定义域为R，解析式不相同；

x，定义域为(0,)，定义域不相同；

x2C选项：解析式为yx，定义域为x|x0，定义域不相同；

xD选项：解析式为y3x3x，定义域为R，符合条件，答案为D.

【点睛】函数相等主要看：（1）解析式相同；（2）定义域相同.属于基础题. 5、A

【解析】根据题意可得函数fx是奇函数，且在R上单调递增．然后由ab0,bc0,ca0， 可得ab,bc,ca，结合单调性可得fafb,fbfc,fcfa，所以

fafb0,fbfc0,fcfa0，以上三式两边分别相加后可得结论 lgx1,x0lgx1,x0【详解】由题意得fx， 1lg1x,x0lg1x,x0当x0时，x0，于是fxlg1xfx 同理当x0时，可得fxfx， 又f00，

所以函数fx是R上的奇函数

又根据函数单调性判定方法可得fx在R上为增函数 由ab0,bc0,ca0， 可得ab,bc,ca，

所以fafb,fbfc,fcfa， 所以fafb0,fbfc0,fcfa0， 以上三式两边分别相加可得fafbfc0， 故选A.

【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断及应用，考查函数性质的应用，具有一定的综合性和难度，解题的关键是结合题意得到函数的性质，然后根据单调性得到不等式，再根据不等式的知识得到所求 6、B

【解析】根据集合的补集和交集的概念得到结果即可.

，，4，916，，集合【详解】全集U01A1,4，B4,9, CUA0，916，; CUB0,1,16,CUACUB0,1,9,16?

故答案为B .

【点睛】高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识．纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查具体集合的关系判断和集合的运算．解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的含义，弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪些元素．二是考查抽象集合的关系判断以及运算 7、A

【解析】由扇形面积公式计算

12【详解】由题意S2， 224故选：A 8、D

【解析】∵点A（1，1）关于直线y=kx+b的对称点是B（﹣3，3）， 由中点坐标公式得AB的中点坐标为1,2，

2代入y=kx+b得2kb ① 直线AB得斜率为

311.，则k=2. 312代入①得， b4. ．

∴直线y=kx+b为y2x4 ，解得：y=4． ∴直线y=kx+b在y轴上的截距是4． 故选D． 9、D

【解析】作出g(x)=f(x)log3x图象，它与f(x)的图象交点为(1,0)和(3,1)，由图象可得 10、A

【解析】分析：求出扇形的半径，然后利用扇形的面积公式求解即可. 详解：由题意得扇形的半径为：

1 sin1又由扇形面积公式得该扇形的面积为：故选：A.

11122. 22sin1sin1点睛：本题是基础题，考查扇形的半径的求法、面积的求法，考查计算能力，注意扇形面积公式的应用.

二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上） 11、1

【解析】由函数已知的奇偶性可得a、b，再由对称性进而可得周期性得解. 【详解】因为f(x)在区间[a2023,2024]上是奇函数， 所以a202320240，a1，

f00，得b1，f(x)log2(1x),1x0

因为f(2x)f(x)，f(x)f2xfx2fx4， 所以f(x)的周期为4.

f(2021)f(2022)f1f2f1f0101.

故答案为：1. 12、2

【解析】因为函数f(x)的图象是连续不断的一条曲线，又f(0)＝20＋0－7＝－6<0，f(1)＝21＋1－7＝－4<0，f(2)＝22＋2－7＝－1<0，f(3)＝23＋3－7＝4>0所以f(2)·f(3)<0，故函数f(x)的零点所在的一个区间是(2,3)，所以整数n的值为2.

13、0,4 【解析】

根据题意，有x2axa0在R上恒成立，则a24a0，即可得解. 【详解】若函数f（x）=x2axa的定义域为R， 则x2axa0在R上恒成立， 则a24a0， 解得：0a4， 故答案为：0,4.

14、x0R,f(x0)1##xR，fx1 【解析】根据全称量词命题的否定直接得出结果. 【详解】命题“xR，f(x)1”的否定为：

x0R，f(x0)1，

故答案为：x0R，f(x0)1 15、1a2

【解析】由题意得2a0,(2a)12a1ln11a2

三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16、（1）x|x1或x1；（2）(5,26) 22【解析】（1）根据二次函数与对应一元二次不等式的关系，求出a的值，再解不等式f(x)1x即可；

g(1)0g(2)0（2）根据二次函数g(x)的图象与性质，列出不等式组，求出解集即可. a1420【详解】（1）因为不等式fx0的解集为1,2， 则方程x2ax20的两个根为1和2， 由根与系数的关系可得，a(12)3，

所以fxx3x2.

2由fx1x，得1x2x23x2，

2即2x23x10，解得x21或x1， 2所以不等式fx1x的解集为x|x21或x1； 2（2）由题知函数gx2xax3，且gx在区间1,2上有两个不同的零点，

g(1)0a50g(2)02a110则，即， aa12124240a240解得5a26，

所以实数a的取值范围是(5,26)

【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，也考查了不等式(组)的解法与应用问题，综合性较强，属中档题.

17、（1）2； （2）

2. 3【解析】(1)根据任意角三角函数的定义即可求解tanθ； (2)分式分子分母同时除以cos2θ化弦为切即可. 【小问1详解】

∵角的终边经过点P3,6，由三角函数的定义知，tan【小问2详解】

62； 3sin24cos2tan242. ∵cos0，∴3sincos3tan318、xy40

【解析】设所求直线方程的斜率为k.根据以kkBC1，先求出高所在直线的斜率，进而利用点斜式即可求出； 【详解】设所求直线方程的斜率为k.

因为所求直线与直线BC垂直,所以kkBC1

kBC7121,k1 510所以垂线方程为y3x1即xy40.

【点睛】熟练掌握两条直线垂直与斜率的关系、点斜式是解题的关键 19、（1）,913m2. ；（）432【解析】利用已知条件得到a的值，进而得到gx的解析式，再利用函数的图象关于x轴对称，可得fx的解析式；（1）先利用对数函数的单调性，列出不等式组求解即可；（2）mf2xgx对于任意x1,4恒成立等价于4xmf2xg，令ulog2x，1x4，利用二次函数求解即可.

4max【详解】

g4loga42，

a24，a2，

gxlog2x；

由已知得fxlog1x，

2即fxlog2x. （1）

fxlog1x在0,上单调递减，

23x10x50， 3x1x5解得x,13， 3213x的取值范围为,.

32（2）

xf2xgm0，

4xxmf2xg对于任意x1,4恒成立等价于mf2xg，

4max4xxyf2xglog22xlog2，

441log2xlog2x2log2xlog2x2，

令ulog2x，1x4， 则u0,2，

219yu2u2u，

24当u21， 2即log2x1， 29， 4即x2时ymaxm9. 4【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数yfx,xa,b，ygx,xc,d

（1）若x1a,b，x2c,d，总有fx1gx2成立，故fxmaxgx2min； （2）若x1a,b，x2c,d，有fx1gx2成立，故fxmaxgx2max； （3）若x1a,b，x2c,d，有fx1gx2成立，故fxmingx2min； （4）若x1a,b，x2c,d，有fx1gx2，则fx的值域是gx值域的子集

∣1a1 20、（1）CUBAx|x1或x2；（2）a【解析】（1）由a1得到Ax1x1，然后利用集合的补集和交集运算求解. 2（2）化简集合Axa3ax,根据AB,分A和A两种情况求解. 221x1 2【详解】（1）当a1时，Ax1Bxx2.

21CUBx|x或x2，

2CUBAx|x1或x2.

（2）Axa3ax, 22若AB, 则当A时，a3a, 2203不成立

1a22， A3a22解得1a1，

a的取值范围是a∣1a1.

21、（1）2，4，a2，b1

（2）25 5【解析】（1）根据图象的特征，列式确定,,a,b的值；

（2）根据（1）的结果，代入解析式，得sinC2cosC，结合同角三角函数基本关系式，即可求解. 【小问1详解】

ab21由图象可知，，解得：a2，b1，

ab21213，解得：2， 2882当x332k，得2k,kZ， 时，28824因为,，所以，

4222，b1，2，综上可知，a【小问2详解】

4；

由（1）可知fx2sin2x1，

4cosC2sinCsinCcosC，即sinC2cosC,

4因为sin2Ccos2C1，解得：sinC

25 5