北京2022-2023学年高一上学期期中考试数学试题(解析版)

一、选择题（本大题共8道小题，每小题4分，满分32分.） 1．若a，b是实数，则“a2”是“a24”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

【解析】由a，b是实数，知：“a2”  “a24”， “a24”  “a2或a2”，

 “a2”是“a24”的充分不必要条件．

【答案】A

2．下列各组函数是同一函数的是( ) A．y|x|与y1 x

B．y(x1)2与yx1

x2C．y与yx

xx3xD．y2与yx

x1【解析】针对选项A:y故错误．

|x|的定义域为{x|x0}，函数y1的定义域为xR， x对于选项B:y(x1)2|x1|和函数yx1不相等，故错误．

x2对于选项C:y的定义域为{x|x0}，函数yx的定义域为xR，故错误．

xx3x对于选项D:y2的定义域为xR，函数yx的定义域为xR，故正确．

x1【答案】D

3．命题“对任意xR，都有x20”的否定为( ) A．对任意xR，都有x20

20 C．存在x0R，使得x0

B．不存在xR，都有x20

20 D．存在x0R，使得x0

【解析】因为全称命题的否定是特称命题，

20． 所以命题“对任意xR，都有x20”的否定为．存在x0R，使得x0【答案】D

4．向一个圆台形的容器（如图所示）中倒水，且任意相等的时间间隔内所倒的水体积相等，记容器内水面的高度y随着时间t变化的函数为yf(t)，则以下函数图像中，可能是

yf(t)的图像的是( )

A． B．

C． D．

【解析】由圆台形的容器形状可知，其下底半径比上底半径小，则函数的变化率越来越慢，由选项可知，只有选项A符合题意． 【答案】A

5．已知实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是( )

A．baca

B．c2ab

C．

cc ba D．|b|c|a|c

【解析】（法1)根据数轴可得cba0且|c||b||a|，

对于A：因为cb，a0，所以cac，bab，则cacba， 即caba，故A错误；

对于B：因为cba0，|c||b||a|，所以c2b2a2，且b2ab， 所以c2b2ab，则c2ab，故B错误； 对于C：因为ba0，所以

11cc，则，故C错误； baba对于D：因为|b||a|，且c0，所以|b|c|a|c，故D正确， （法2)不妨令c5，b4，a1，

则ca6ba3，故A错误；c225ab4，故B错误；故C错误．

c5c5， b4a【答案】D

6．已知定义域为R的奇函数f(x)在(,0)单调递减，且f（2）0，则满足xf(x)0的

x的取值范围是( )

A．(，2][2，) C．[2，0)(0，2]

B．[2，2] D．[2，0)[2，)

【解析】定义域为R的奇函数f(x)在(,0)单调递减， 可得f(x)f(x)，且f(x)在(0,)上是减函数， 因为f（2）0，所以f(2)f（2）0，且f(0)0， 由xf(x)0，可得x0时成立；

当x0时，f(x)0f（2），解得0x2； 当x0时，f(x)0f(2)，解得2x0． 综上可得，2x2． 【答案】B

(a3)x5,x17．已知函数f(x)2a是R上的减函数，则实数a的取值范围是( )

,x1xA．(0,2)

B．(0，2]

C．(0,3)

D．(0，3]

【解析】因为f(x)为R上的减函数， 所以x1时，f(x)递减，即a30①，

x1时，f(x)递减，即a0②，且(a3)152a③，

联立①②③解得，0a2． 【答案】B

8．设函数f(x)在(,)上有意义，且对于任意的x，yR，有|f(x)f(y)||xy|并且函数f(x1)的对称中心是(1,0)，若函数g(x)f(x)x，则不等式

g(2xx2)g(x2)0的解集是( ) A．(，1)(2，) C．(，1](2,)

B．(1,2) D．(1,2)

【解析】由函数f(x1)的对称中心是(1,0)，可得f(x)的图象关于(0,0)对称即f(x)为奇函数，f(x)f(x)，

g(x)f(x)x，g(x)f(x)x，g(x)f(x)xf(x)xg(x)，

对于任意的x，yR，有|f(x)f(y)||xy|， |g(x)g(y)(xy)||xy|，

|g(x)g(y)(xy)|1，

|xy|即|g(x)g(y)g(x)g(y)2，即g(x)0，g(x)单调递增， 1|1，0xyxyg(2xx2)g(x2)0，g(2xx2)g(x2)g(2x)，2xx22x， 整理可得，x23x20， 解可得x2或x1． 【答案】A

二、填空题（本大题共4道小题，每小题5分，共20分.）

9．已知集合A{x|x1}，B{x|xa}，若AB，则实数a的取值范围是 ． 【解析】集合A{x|x1}，B{x|xa}，若AB，则a1． 【答案】(，1]

10．某班“数学兴趣小组”对函数yx22|x|a(a为常数）的图象和性质进行了探究，探究的部分过程如下，请补充完整．

（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：

x   3 5 22 m 1 2 0 1 1 2 2 1 5 23   y 2 1 41 42 其中，m ．

（2）根据如表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．

观察函数图象发现：函数的值域为 ．

【解析】（1）由对应值列表可知，当x3时，y2，则(3)22|3|a2， 解得a1，则yx22|x|1，当x2时，m(2)22|2|11； （2）图象如下：

函数的值域为(，2]．

【答案】（1）1；（2）图象见解答；(，2]

x1a211．若关于x的不等式组解集不是空集，则实数a的取值范围是 ．

x42ax1a2【解析】解得：a21x2a4；

x42a不等式的解集不是空集；a212a4；解得1a3；

实数a的取值范围是(1,3)．

【答案】(1,3)

112．函数f(x)2x24x1，g(x)2xa，若存在x1，x2[，1]，使得

2f(x1)g(x2)，则a的取值范围是 ．

【解析】因为函数f(x)2x24x12(x1)21， 11当x1[,1]时，函数单调递减，则f(x1)[1，]，

221函数g(x)2xa在[，1]上单调递增，所以g(x2)[1a，2a]，

211若存在x1，x2[，1]，使得f(x1)g(x2)，则[1，][1a，2a]，

22113当[1，][1a，2a]时，只需1a或2a1，解得a或a3，

22213所以当[1，][1a，2a]时，3a，

223即实数a的范围为[3，]．

23【答案】[3，]

2三、解答题（本大题共4道小题，每小题12分，共48分.）

13．（12分）已知UR且A{x|1x6}，B{x||x2|1}．求： （1）AB和AB；

（2）(UA)(UB)．

解：（1）B{x||x2|1}{x|x21或x21}{x|x3或x1}， 又A{x|1x6}，所以A（2）

A{x|x1或x6}，

(UB)．

B{x|1x1或3x6}，ABR．

UUB{x|1x3}，

所以(UA)14．（12分）已知二次函数f(x)的图象过原点，满足f(1x)f(1x)且最小值为1． （1）求f(x)的解析式；

（2）若函数f(x)在区间[a，a1]上单调，求实数a的取值范围．

解：（1）因为函数的图象过原点，则可设函数的解析式为f(x)ax2bx(a0)， 由f(1x)f(1x)可得函数的对称轴为x1，则即ab1， 解得a1，b2，

所以函数的解析式为f(x)x22x；

（2）因为函数f(x)在区间[a，a1]上单调，则a1或a11，解得a1或a0， 即实数a的范围为(，0][1，)．

15．（12分）一元二次方程x2mxm10有两实根x1，x2． （1）求m的取值范围； （2）求x1x2的最值．

解：（1）一元二次方程x2mxm10有两实根x1，x2，

Δ(m)24(m1)0，

b1，且f（1）1， 2a从而解得：m2，

m(，2)(2，)．

（2）一元二次方程x2mxm10有两实根x1，x2，

由根与系数关系得：x1x2m1，

m(，2)(2，)．m1(，1)(1，)，无最值．

16．（12分）已知函数f(x)x（1）判断函数f(x)的奇偶性；

4． x（2）指出该函数在区间(0，2]上的单调性，并用函数单调性定义证明；

f(x),x0（3）已知函数g(x)5,x0，当x[1，t]时g(x)的取值范围是[5，)，求实数

f(x),x0t的取值范围．（只需写出答案） 解：（1）因为函数f(x)x4的定义域为(，0)(0，)， x所以x(，0)(0，)时，x(，0)(0，)， 函数f(x)x4的定义域关于原点对称， x4f(x)，所以f(x)是奇函数． x因为f(x)x（2）函数f(x)在区间(0，2]上是减函数，

证明：任取x1，x2(0，2]，且0x1x22，f(x1)f(x2)(x1x2)(x1x24)，

x1x2因为0x1x22，所以2x20，2x10，所以4x1x2，所以x1x240， 又因x1x20，x1x20， 所以f(x1)f(x2)(x1x2)(x1x24)0，所以f(x1)f(x2)，

x1x2所以函数f(x)在区间(0，2]上是减函数． （3）实数t的取值范围为[0，1]． 四、附加题.（本小题满分14分） 17．（14分）已知数集A{a1，a2，

，an}(1a1a2an，n2)具有性质P：对任

意的k(2kn)，i，j(1ijn)，使得akaiaj成立．

（1）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；

（2）若an36，求A中所有元素的和的最小值并写出取得最小值时所有符合条件的集合

A；

（3）求证：an2a1a2an1(n2)．

（1）解：因为311，所以数集{1，3，4}不具有性质P，

因为211，312，633，所以数集{1，2，3，6}具有性质P； （2）解：由a11，a22a12，所以A的元素都是整数，

构造A{1，2，3，6，9，18，36}或A{1，2，4，5，9，18，36}具有性质P， 此时元素和为75且是最小值；

假设ai7，aj1，此时集合中至少需要一个大于等于4的元素ak，才能得到7， 所以A中所有元素的和大于76， 假设ai6，aj2，同上，

当ai5，aj3，此时集合为A{1，2，3，6，9，18，36}， 所以A中所有元素的和最小，最小值为75； 当aiaj4，此时A{1，2，4，5，9，18，36}， 所以A中所有元素的和最小，最小值为75； （3）证明：因为集合A{a1，a2，

，an}具有性质P:，

即对性质的k(2kn)，使得akaiaj成立，

又因为1a1a2an，n2，所以aiak，ajak，所以aiak1，ajak1，

所以akaiaj2ak1，即an，ai，aj，an12an2，an22an3，，a32a2，a22a1， 将上述不等式相加得：a2an1an2(a1a2an1)， 所以an2a1a2an1(n2)．