直线与圆基础知识

（一）直线

1、 直线的斜率与倾斜角

y2y1(x2x1)x2x1

(1)斜率：两点的斜率公式：P(x1,y1),Q(x2,y2)，则

0,180(2)直线的倾斜角范围：

kPQ（3）斜率与倾斜角的关系：ktan(90)

注：（1）每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率；

（2）特别地，倾斜角为0的直线斜率为0；倾斜角为90的直线斜率不存在。

2、直线方程

(1)点斜式：yy0k(xx0)；适用于斜率存在的直线

（2）斜截式：ykxb；适用于斜率存在的直线

注：b为直线在y轴上的截距，截距不是距离，截距可正，可负，可为零

xx1yy1(x1x2,y1y2)x2x1y2y1（3）两点式：；适用于斜率存在且不为零的直线

xy1ab（4）截距式：；适用于斜率存在，且不为零且不过原点的直线

（5）一般式：AxByC0（A,B不同时为0）

（6）特殊直线方程

①斜率不存在的直线（与y轴垂直）：xx0；特别地，y轴：x0

②斜率为0的直线（与x轴垂直）：yy0；特别地，x轴：y0

③在两轴上截距相等的直线：（Ⅰ）yxb；（Ⅱ）ykx

在两轴上截距相反的直线：（Ⅰ）yxb；（Ⅱ）ykx

在两轴上截距的绝对值相等的直线：（Ⅰ）yxb；（Ⅱ）yxb；（Ⅲ）ykx

3、平面上两直线的位置关系及判断方法

（1）l1:yk1xb1;l2:yk2xb2

①平行：k1k2且b1b2（注意验证b1b2）

②重合：k1k2且b1b2

③相交：k1k2 特别地，垂直：k1k21

（2）l1:A1xB1yC10;l2:A2xB2yC20

①平行：A1B2A2B1且A1C2A2C1（验证）

②重合：A1B2A2B1且A1C2A2C1

③相交：A1B2A2B1 特别地，垂直：A1A2B1B20

（3）与直线AxByC0平行的直线可设为：AxBym0

与直线AxByC0垂直的直线可设为：BxAyn0

4、其他公式

（1）平面上两点间的距离公式：

A(x1,y1),B(x2,y2)，则

AB(x1x2)2(y1y2)2 x1x2y1y2,)A(x1,y1),B(x2,y2)A,B22（2）线段中点坐标公式：，则中点的坐标为

(（3）三角形重心坐标公式：A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，则三角形ABC的重心坐标公式

x1x2x3y1y2y3,)33为：

(（4）点

P(x0,y0)到直线l:AxByC0的距离公式：

dAx0By0CA2B2

（5）两平行线l1:AxByC10;l2:AxByC20(C1C2)间的距离：公式前要将两直线中x,y的系数统一）

dC2C1A2B2（用此（6）点A关于点P的对称点B的求法：点P为A,B中点

（7）点A关于直线l的对称点B的求法：利用直线AB与直线l垂直以及AB的中点在直线l上，列出方程组，求出点B的坐标。

（二）、圆

1、圆的方程

222(xa)(yb)r（1）圆的标准方程：，其中(a,b)为圆心，r为半径

（2）圆的一般方程：xyDxEyF0(DE4F0)，其中圆心为

1D2E24F22x,y2径为(只有当的系数化为1时才能用上述公式)

2222(DE,)22，半

注意：已知圆上两点求圆方程时，运用圆心在这两点的垂直平分线上这个条件可简化计算。

2、直线与圆的位置关系

222C:(xa)(yb)rl:AxByC0(1)直线，圆，记圆心C(a,b)到直线l的距离

dAaBbCA2B2

①直线与圆相交,则0dr或方程组的0

②直线与圆相切，则dr或方程组的0

③直线与圆相离，则dr或方程组的0

22（2）直线与圆相交时，半径r，圆心到弦的距离d，弦长l，满足：l2rd （3）直线与圆相切时，

①切线的求法：

（Ⅰ）已知切点（圆上的点）求切线,有且只有一条切线,切点与圆心的连线与切线垂直；

（Ⅱ）已知切线斜率求切线，有两条互相平行的切线，设切线方程为ykxb，利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求出b的值；

（Ⅲ）已知过圆外的点

P(x0,y0)222C:(xa)(yb)r求圆的切线，有两条切线，若切线

的斜率存在，设切线方程为：yy0k(xx0)，利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求出k的值；若切线的斜率不存在，则切线方程为xx0，验证圆心到切线距离是否等于半径。

②由圆外点

22长ldr P(x0,y0)222C:(xa)(yb)r向圆引切线，记P,C两点的距离为d，则切线

（4）直线与圆相离时，圆心到直线距离记为d，则圆上点到直线的最近距离为dr，最远距离为dr

3、两圆的位置关系

圆

C1:(xa1)2(yb1)2r12，圆

C2:(xa2)2(yb2)2r22，两圆圆心距离

d(a1a2)2(b1b2)2 (1)两圆相离，则dr1r2（2）两圆相外切，则dr1r2（3）两圆相交，则r1r2dr1r2

注：圆

C1:x2y2D1xE1yF10，圆

C2:x2y2D2xE2yF20相交，则两圆相交弦

方程为：(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0

（4）两圆相内切，则dr1r2（5）两圆内含，则0dr1r2

特别地，当d0时，两圆为同心圆