海南省文昌中学2014-2015学年高二数学下学期期中段考试题 文

完成时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷 选择题（共60分）

－－

xiyi－nxy

附：参考公式：1. 回归系数 b ＝

i＝1n

－－

， a ＝ y－bx －

n

i－nx2x2

i＝1

2. 附：K2 ＝

nad－bc2

a＋bc＋da＋cb＋d0.40 0.708 0.25 1.323 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 P（K2k） 0.50 k 0.455 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，下列每小题有且只有一个正确答案，

请把正确答案的代号，涂在答题卡上）

1．“a＝0”是“复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2. 四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：

^

① y与x负相关且y＝2.347x－6.423； ^

③ y与x正相关且y＝5.437x＋8.493；

^

② y与x负相关且y＝－3.476x＋5.648； ^

④ y与x正相关且y＝－4.326x－4.578.

其中一定不正确的结论的序号是( ) A．①② B．②③ C．③④ D．①④

3. 二维空间中圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2，观察发现S′＝l；三维空间4

中球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝3πr3，观察发现V′＝S.则由四维空间中“超球”的三维测度V＝8πr3，猜想其四维测度W＝（ ） A．4πr4 B．4πr2 C．2πr4 D．πr4 4. 若1＋2ai＝(1－bi)i，其中a、b∈R，i是虚数单位，则 |a＋bi|＝( ) 1

A．2＋i

B．5

5

C．2

5D．4 5. 已知f1(x)＝sinx，f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，f4(x)＝f3′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)，则f2015(x)等于( ) A．cosx B．－cosx C．sinx D．－sinx

6. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序， 则输出n的值为( ) A．7 B．6

- 1 -

C．5 D．4

7．观察数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…的特点，则 第100项为( ) A．10 B．14 C．13 D．100

8．下面用“三段论”形式写出的演绎推理：因为指数函数y＝ax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函11

数，y＝(2)x是指数函数，所以y＝(2)x在(0，＋∞)上是增函数．该结论显然是错误的，其原因是( )

A．大前提错误 C．推理形式错误

B．小前提错误 D．以上都可能

ii2i3i4i91i9．已知复数z＝

对应的点位于( )

A．第一象限

B．第二象限

，(i为虚数单位),则复数z在复平面内

D．第四象限

C．第三象限

x2y21

10．设椭圆a2＋b2＝1 (a>b>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为2，则此椭圆的方程为( ) x2y2

A．12＋16＝1

x2y2

B．16＋12＝1

x2y2

C．48＋64＝1

x2y2D．64＋48＝1

x2y2→→→

11．设F1、F2分别是双曲线5－4＝1的左右焦点。若P点在双曲线上，且PF1·PF2＝0，|PF1→

＋PF2|等于( ) A．6

B．8 x2

12．函数f(x)＝( )．

x－1A．在(0，2)上单调递减 C．在(0，2)上单调递增

C．10

D．12

B．在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增 D．在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递减

第Ⅱ卷 非选择题（共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案写在答卷上） 2－i

13．若复数z＝，则复数z的虚部为__________．

1＋2i

14．在2015年春节期间，某市物价部门，对本市五个商场销售的某商品一天的销售量及其价格进行调查，五个商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：

价格x 销售量y 9 11 9.5 10 10 8 10.5 6 11 5 ^

通过分析，发现销售量y对商品的价格x具有线性相关关系，且b＝－3.2，则销售量y对商品的价格x的回归直线方程为______ __．

- 2 -

15．定义运算

a bz 1

＝ad－bc，则对复数z符合条件＝3＋2i的复数z等于

c dz 2i

__________．

16．已知点A(x1，x21)，B(x2，x22)是抛物线y＝x2上任意不同的两点，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的上方，因此有结论

x21＋x22x1＋x22>22成立，运用类比的方法可知，若点

A(x1，sinx1)，B(x2，sinx2)是函数y＝sinx(x∈(0，π))图象上不同的两点，线段AB总是位于A，B两点之间函数y＝sinx(x∈(0，π))图象的下方，则类似地有结论 ．

三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）。 17．（本小题满分10分）在2008年北京奥运会上，游泳项目的世界记录在水立方屡屡被打破，充满了神奇色彩．据有些媒体的报道，这可能与运动员身上的新式泳衣有关系．为此有人进行了调查统计，对某游泳队的96名运动员的成绩进行了调查，其中使用新式泳衣成绩提高的有12人，没有提高的有36人；没有使用新式泳衣成绩提高的有8人，没有提高的有40人．请根据该游泳队的成绩判断：成绩提高与使用新式泳衣是否有关系？ 18．（本小题满分12分）已知1＋i是实系数方程x2＋ax＋b＝0的一个根. （1）求a，b的值；

（2）试判断1－i是否也是这个方程的根．

1111

19．（本小题满分12分）设Sn＝1×2＋2×3＋3×4＋…＋，求出S1，S2，S3，S4的值，

n×n＋1归纳并猜想出结果．并证明所猜想出结果的正确性。

13

20. (本小题满分12分) 设w＝－2＋2i， i为虚数单位， （1）求证：1＋w＋w2＝0；

（2）计算：(1＋w－w2)(1－w＋w2)．

x2y22

21． (本小题满分12分) 已知椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的一个顶点为A(0，1)，离心率为2，过点B(0，－2)及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为F2. （1）求椭圆的方程； （2）求△CDF2的面积．

11

22. (本小题满分12分) 已知函数f(x)＝3x3＋2(a－1)x2＋bx(a，b为常数)在x＝1和x＝4处取得极值．

（1）求函数f(x)的解析式；

（2）当x∈[－2,2]时，都有2f(x)<－5x+c，求c的取值范围．

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2014—2015学年度第二学期

高二年级数学(文科)段考试题参考答案 第Ⅰ卷 选择题（共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 题号 1 答案 B 2 D 3 C 4 C 5 D 6 D 7 B 8 A 9 A 10 B 11 A 12 B 第Ⅱ卷 非选择题（共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

sinx1＋sinx2x1＋x218^

13．－1 14．y＝－3.2x＋40 15．5 － 5 i 16．17. 解：假设成绩提高与使用新式泳衣没有关系．则 ……………………………………2分 根据给出的数据可以列出下列2×2列联表： 用新式泳衣 未用新式泳衣 总计 成绩提高 12 8 20 成绩没有提高 36 40 76 总计 48 48 96 ……………………………………………………………………………………5分 96×12×40－36×82

于是K2＝≈1.011，由于1.011＜2.706， ………………8分 48×48×20×76所以我们没有理由认为成绩提高与使用新式泳衣有关系． ……………………10分

18．解：（1）∵1＋i是方程x2＋ax＋b＝0的根， ∴(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝0，即(a＋b)＋(a＋2)i＝0， ∴

a＋b＝0，a＋2＝0，

∴a＝－2，b＝2.

∴a，b的值分别为a＝－2，b＝2. …………………………………………6分 （2）方程为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程

左边＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝－2i－2＋2i＋2＝0显然方程成立．

∴1－i也是方程的一个根． ………………………………………………12分 （注：第（2）的小问的证明不唯一，如用求根公式求根方法）

19．解：当n＝1,2,3,4时，计算得原式的值分别为：

1234

S1＝2，S2＝3，S3＝4，S4＝5. …………………………………………………4分 观察这4个结果都是分数，每个分数的分子与项数对应，且分子比分母恰好小1.

n

归纳猜想：Sn＝. …………………………………………………………7分

n＋111111111

证明 ∵1×2＝1－2，2×3＝2－3，…，＝n－.

n×n＋1n＋1

- 4 -

∴Sn＝1－1＋111111

22－3＋3－4＋…＋n－n＋1

＝1－1n＋1＝n

n＋1. ………………………………………………12分

（注：证明方法不唯一）

20．解：(1) 证明：∵w＝－13

2＋2i， ∴w2＝(－131133

2＋2i)2＝4＋2(－2)(2i)＋(2i)2 ＝13i－3134－24＝－2－2i. ∴1＋w＋w2＝1－1313

2＋2i－2－2i＝0.。。。。。。(6分)

(2) 由1＋w＋w2＝0知，(w－1)(1＋w＋w2)＝0， ∴w3－1＝0，∴w3＝1.

∴(1＋w－w2)(1－w＋w2)＝(－2w2)(－2w)＝4w3＝4 ……………………(12分) （注：第（2）的小问的解法不唯一）

c21．解：(1) 由题设知b=1，a=22=a2－c22，由于b，得

a2=2 b2=1 c2=1

所以椭圆方程为x2

2＋y2＝1. ………………………………………………4分 (2) ∵F1(－1，0)，∴直线BF1的方程为y＝－2x－2，

由

y＝－2x－2，x22＋y2＝1，得9x2＋16x＋6＝0. ……………………………………7分

∵Δ＝162－4×9×6＝40>0， 所以直线与椭圆有两个公共点，

x1＋x2＝－设为C(x1，y1)，D(x2，y2)，则

169，…………………………8分

x1·x2＝2

3，∴|CD|＝1＋（－2）2|x1－x2|＝5·（x1＋x2）2－4x1x2 ＝5·

（－16）2－4×210

93＝92 ……………………………10分

又点F2到直线BF1的距离d＝45

5 ……………………………………11分 故S△CDF2＝14

2|CD|·d＝910. ………………………………………12分

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22．解析：(1) f′(x)＝x2＋(a－1)x＋b. ……………………………………………1分 由题设知

f′(1)＝1＋(a－1)＋b＝0，

f′(4)＝16＋4(a－1)＋b＝0，

…………………………3分

解得

a＝－4，b＝4.

所以f(x)＝1－5

3x32x2＋4x ……………………6分

(2) 由题设知2f(x)<－5x+c 即c > 2

3x3－5x2＋13x. ………………8分 设Q(x)＝2

3x3－5x2＋13x，x∈[－2,2]，所以c只要大于Q(x)的最大值即可． Q′(x)＝2x2－10x＋13，当x∈(－2,2)时Q′(x)>0.

所以Q(x)max＝Q(2)＝3434

3，所以c > 3. …………………………12分

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