钢绞线伸长量计算方法的探讨-1

摘要：实际工程中遇到的钢绞线布置形式是多种多样的，本文对后张法钢绞线的伸长量计算的方法做一个统一的探讨，并指出实际电算的方法和注意事项。

关键词：摩阻力，曲率，空间向量，一阶导数，二阶导数，向量积，行列式，曲线方程，向量模，辛普生公式

在实际施工过程中，遇到的结构形式是各种各样的。按照梁板的制作方法来讲，

有预制和现浇。其中的钢绞线布置也各种各样，按布置的曲线形式，有圆弧布置、抛物线布置、悬链线布置和直线布置等；按照钢绞线线形分为平面布置和空间布置。按照施工规范的规定，实际张拉钢绞线的伸长量与理论伸长量的误差不能超过6％。因此，为了保证钢绞线伸长量的准确性，不仅要保证测量的精度，还要保证理论计算的正确性。

《公路桥涵施工技术规范》（JTJ041－2000）的附录G－8提供了预应力钢筋平均张拉力的计算公式。但是在实际应用此公式时候，带来许多不便。首先，它不能计算在一束钢绞线中有好几个曲线的每个曲线的平均力；它的计算公式仅对曲线是圆弧和直线是正确的。为了应对工程中碰到的各种各样情况，为了正确的计算钢绞线的伸长量，本文从建立计算公式的基本假设条件出发，建立一种计算各种情况的统一计算公式。由于伸长量的计算跟受力密切相关，因此，首先从讨论计算钢绞线的有效力着手。 一、 考虑摩阻力损失后的钢绞线有效力的计算公式的建立

如图：假设有一段钢绞线，取微段ds，由于曲率影响，该微段受到压力N，微段两端受力F，F+dF，兩力夹角d F N dsd

F+dF

把上述各力向N方向投影，由力平衡，得：NFsin(d/2)(FdF)sin(d/2) 考虑微段ds，sin(d/2)d/2，略去二阶微量d×dF。得： N＝Fd

摩阻力dF主要由二部分组成，一部分跟N成正比，另一部分与F、曲线长度ds成正比。

摩阻力方向与F相反。因此：

dF(NkFds)FdkFds

（1）

1

(,k为比例系数，意义同《公路桥涵施工技术规范》附录G－8) 解微分方程（1）

得考虑摩阻力损失后钢绞线有效力为：

FF0e(ks) （2）

（F0为起始端的力）

二、 曲线为任意空间曲线时，钢绞线有效力的计算公式的建立

从建立公式（2）的过程中可见，建立过程中并没有牵涉曲线的类型。因此公式（2）适用于曲线为任意空间曲线（包括平面曲线）时的情形。但是，对于任意曲线，和弧长s的计算有必要导出计算公式。

设曲线方程由参数方程表示：

xx(t)x(t)，引入空间向量ry(t) yy(t) （t为参变量）

zz(t)z(t)x(t)dry(t) （3） 空间向量r的一阶导数rdtz(t)x(t)dry(t) （4） 空间向量r的二阶导数r2dtz(t)2（x(t),x(t),y(t),y(t),z(t),z(t)分别为x(t),y(t),z(t)的一阶导数和二阶导数） 因此曲线的曲率为：

1rrr3 （5）

（表示曲率半径，表示两个向量的向量积，

T2 表示向量的模）

弧长： sdsrdt （6）

T1因此，夹角 dT21dsrrr3rdtrrr2dt （ds为弧微段）

因此 T1rrr2dt （7）

（参变量的变量范围为T1－T2）

以上公式中相应向量的模的计算公式为：

r[x(t)][y(t)][z(t)] （8）

222 2

irr ＝x(t)jy(t)y(t)kz(t)z(t)y(t)y(t)z(t)z(t)ix(t)x(t)z(t)z(t)jx(t)x(t)y(t)y(t)k

x(t)

rr(y(t)y(t)z(t)z(t))(2x(t)x(t)z(t)z(t))(2x(t)x(t)y(t)y(t))2 （9）

（i,j,k为X、Y、Z轴基本单位向量，三、

表示行列式）

由得到的公式（2），考虑曲线为任意曲线时的曲线段钢绞线的平均力

对于公式（2）FF0e(ks)，考虑任意一段钢绞线长度为L，则在此段钢绞

线内平均力为：F_F0LLe0(ks)ds （10）

由以上讨论可知，为参变量t的函数，计＝(t)，弧长s也为参变量t的

函数，计s＝s(t),由函数复合可知，也可看成s的函数，记＝f(s)。

因此平均力为：F_F0LLe0(ks)ds＝

F0LLe0(f(s)ks)ds

这个积分在一般情况下是不能用有限项初等函数表示。即所谓“积不出来”。

但是，如果考虑曲线为平面圆曲线，则此积分可以“积的出来”。

由于考虑曲线为平面圆曲线，则弧长sR（R为半径）

因此公式（2）FF0e(ks)F0e(kR) 一段弧长内（相应范围为0－）

_FF0e0(kR)dF0(1e(kR))kRF0(1e(kx))kx

（x为弧长，x=R×）

得到了与规范附录相同的平均力计算公式。

因此，规范附录的公式严格意义上来讲，只适用于曲线是平面圆曲线和直线

时的情形（考虑直线时，＝0）。

四、 对于为任意曲线时，使用电算应考虑的因素

由于对于一般情况，平均力不能用有限项初等函数表示，因此，用手算是比较麻烦的。对于计算机已经广泛普及的今天，应用电算解决是有效和必然的措施。现把以上讨论的用于计算的公式在此罗列：

FF0e(ks) 公式（2）

3

_FF0LT2Le0(ks)ds 公式（10）

T1rrrT22dt 公式（7）

sdsT1rdt 公式（6）

z(t)z(t)2rr(y(t)y(t)z(t)z(t)2)(2x(t)x(t))(2x(t)x(t)y(t)y(t))2 公式（9）

r[x(t)][y(t)][z(t)] 公式（8）

2x(t)drry(t) 公式（3） dtz(t)x(t)drry(t) 公式（4） 2dtz(t)2采用电算时的步骤及应注意的事项。

（I）、建立坐标系

进行电算时，首先应建立坐标系。对于一般的情况，建立以下坐标可以简化计算。以梁长度方向为X轴，梁宽度方向为Y轴，梁高度方向为Z轴。三者符合右手螺旋法则。

xt曲线方程：yy(t)，因此公式（9）简化为如下：

zz(t)

rr(y(t)y(t)z(t)z(t))[y(t)][z(t)]222

公式（8）简化为：

r1[y(t)][z(t)] 22（II）、从张拉端开始计算，依次计算各段的平均力

从张拉端开始计算，则第一段钢绞线的公式中的F0为锚下张拉控制力。把参变量t等分成n（偶数）段，利用公式（6），公式（7），公式（10），计算该段的平均力F。方法可以采用辛普生公式。要注意的是：当计算至第二段以上时，公式中的F0为扣除

_ 4

上一段摩阻力损失后的的拉力。其值可有公式（2）计算。公式（2）中的,s分别对应上一段钢绞线的参数。计算所得的F作为本段钢绞线计算的F0；要注意钢绞线的计算长度s，从而确定参变量t的取值范围和计算范围。

（III）、当采用两端张拉时，首先确定每端张拉力所能影响的钢绞线长度s，然后再计算

要确定每端张拉力所能影响的钢绞线长度，实际上是找出钢绞线中的某一点在其中一端开始张拉后扣除摩阻力损失后的有效力等于从另一端开始张拉后扣除摩阻力损失后的有效力。对于曲线对称，张拉力对称的钢绞线来讲，每端张拉力所能影响的钢绞线长度等于钢绞线总长度的。对于一般情况来讲，是需要计算的。方法是对

21于每一端张拉，从张拉端开始计算。把参变量t等分成n（偶数）段，应用辛普生公式，分别应用公式（6），公式（7），公式（2）进行计算。在钢绞线的某一点，当从一端开始计算的F等于从另一端开始计算的F时（设定允许的电算误差），就确定了每端张拉力所能影响的钢绞线长度s。确定了s后，再按照（II）所确定的方法计算每段钢绞线的平均力。

（IV）、要注意所计算的曲线为直线时，直接取＝0计算，避免因直线的曲率为0而导致

计算的溢出。

_（V）、根据每段钢绞线所计算的平均力F，计算每段钢绞线的伸长量l_FEAL（E,A

分别为钢绞线的弹性模量和有效截面面积，L为本段钢绞线长度）。然后累加得整条钢绞线的伸长量。

五、 结束语

本文从建立理论计算公式的基本出发，探讨了计算一般曲线情形时的伸长量计算，指出了施工规范提供的计算公式的的使用条件和使用范围。并指出采用电算的步骤及注意事项。为我们工程技术人员应付工程中碰到的各种情况提供了一个统一的基本工具。在实际计算时，采用Fortran语言编程是比较方便的，因为Fortran语言提供了大量的积分计算、微分计算的函数。但是，如果要编制通用的计算程序，则采用MatLab较好，因为MatLab提供了符号计算功能，并且符号计算和数值计算的转换是极其方便的。

本文所讨论的计算注意事项对于采用手算也是具有参考价值的。

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