2020-2021学年吉林省白城市高二(下)期末数学试卷(理科)

2020-2021学年吉林省白城市高二（下）期末数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）已知（3+2i）z＝2+i3，则复数z在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

2．（5分）为比较相关变量的线性相关程度，5位同学各自研究一组数据，并计算出变量间的相关系数r如表所示：

相关系数

r

则由表可知（ ）

A．乙研究的那组数据线性相关程度最低，戊研究的那组数据线性相关程度最高 B．甲研究的那组数据线性相关程度最低，丁研究的那组数据线性相关程度最高 C．乙研究的那组数据线性相关程度最低，丁研究的那组数据线性相关程度最高 D．甲研究的那组数据线性相关程度最低，丙研究的那组数据线性相关程度最高 3．（5分）函数f（x）＝xlnx的图象在x＝e处的切线方程为（ ） A．2x﹣y﹣e＝0

B．x﹣2y+e＝0

C．2x+y﹣3e＝0

D．x+2y﹣3e＝0

同学甲 0.45

同学乙 ﹣0.69

同学丙 0.74

同学丁 ﹣0.98

同学戊 0.82

4．（5分）三个班分别从六个风景点中选择一处游览，不同选法的种数是（ ） A．729

B．18

C．216

D．81

5．（5分）（2+）（1﹣x）10展开式中的常数项为（ ） A．12

B．8

C．﹣8

D．﹣12

6．（5分）已知定义在R上的函数f（x）恰有3个极值点，则f（x）的导函数的图象可能为（ ）

A． B．

第1页（共16页）

C． D．

7．（5分）现有下面四个命题： ①若＝2﹣3i，则|z+i|＝2

；

②若X～N（1，4），P（1＜X＜3）＝m，则P（X＜﹣1）＝0.5﹣m； ③如果今天是2021年6月22日（星期二）那么两百天后是星期六；

④若数列{an}满足a1＝3，an+1+n2＝2an+2n+1，则由数学归纳法可证明an＝n2+2n． 其中所有真命题的序号是（ ） A．②④

B．②③④

C．②③

D．①③

8．（5分）设0＜a＜1．随机变量X的分布列是

X P

0

a

1

则当a在（0，1）内增大时，（ ） A．D（X）先减小后增大 C．D（X）先增大后减小

B．D（X）减小 D．D（X）增大

＝（ ） D．27

9．（5分）设（1﹣x3）（1+x）7＝a0+a1x+…+a10x10，则A．﹣36

B．6

C．﹣29

10．（5分）已知z的共轭复数＝1+3i，且A．

B．

C．

＝|z﹣i|，则|z0|的最大值为（ ）

D．

11．（5分）某电影院的一个放映室前3排的位置如图所示，甲和乙各自买了一张同一个场次的电影票，已知他们买的票的座位都在前3排，则他们观影时座位不相邻（相邻包括左右相邻和前后相邻）的概率约为（ ）

第2页（共16页）

A．0.87

B．0.

C．0.91

D．0.92

12．（5分）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》书里出现了如图所示的图，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就在“杨辉三角”中，已知第n行的所有数字之和为2n1，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，

﹣

则此数列的前37项和为（ ）

A．1040

B．1014

C．1004

D．1024

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．（5分）（4﹣3i）（﹣5﹣4i）的虚部为 ．

14．（5分）某种旅行箱的密码锁由三个数字组成（每个位置上的数字可从0～9这10个数字中任选一个）．小张购买一个旅行箱后，打算设置密码，自上而下第一个位置的数字设置为质数，第二个位置的数字设置为奇数，第三个位置的数字设置为偶数，则他可选择的不同密码的个数为 ．

15．（5分）（3x﹣y）n展开式中的二项式系数和为，则n＝ ，展开式中x3y3的系数是 ．

16．（5分）某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．元件1，元件2，元件3正常工作的概率分别为

，则这个部件能正常工作的概率为 ．

第3页（共16页）

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）在直角坐标系中，曲线C的方程为x2+y2＝9，曲线C上所有点的横坐标不变，纵坐标缩小到原来的，得到曲线C′，以原点为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，射线l的极坐标方程为θ＝

（ρ≥0），l与曲线C，C′分别交于A，B两点．

（1）求曲线C′的直角坐标方程和极坐标方程； （2）求|AB|的值．

18．（12分）某企业研制出一款疫苗后，招募了100名志愿者进行先期接种试验，其中50岁以下50人，50岁及以上50人．第一次接种后10天，该企业又对志愿者是否产生抗体进行检测，共发现75名志愿者产生了抗体，其中50岁以下的有45人产生了抗体．

有抗体 没有抗体 合计

50岁以下

50岁及以上

合计

填写上面的2×2列联表，并判断能否有99.9%的把握认为该款疫苗是否产生抗体与接种者年龄有关． 参考公式：K2＝P（K2≥k0）

k0

0.15 2.072

0.10 2.706

，其中n＝a+b+c+d．

0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828

19．（12分）已知函数f（x）＝2x3+3x2﹣12x． （1）求f（x）的单调区间； （2）求f（x）在[0，3]上的最值．

20．（12分）现有6位老师（含甲、乙）随意排成一排拍照留念． （1）求甲、乙不相邻的概率；

（2）设甲、乙之间所隔人数为X，例如，当甲、乙相邻时，X＝0，求X的数学期望． 21．（12分）某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个零件，测量其内径的数据如下（单

第4页（共16页）

位：cm）：

87 87 88 92 95 97 98 99 103 104 设这10个数据的平均值为μ，标准差为σ． （1）求μ与σ．

（2）假设这批零件的内径Z（单位：cm）服从正态分布N（μ，σ2）

（ⅰ）从这批零件中随机抽取5个，设这5个零件中内径大于107cm的个数为X求D（2X+1）；

（ⅱ）若该车间又新购一台新设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径分别为76，85，93，99，108（单位：cm），以原设备生产性能为标准试问这台设备是否需要进一步调试，说明你的理由．

参考数据：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）＝0.997，取0.9974＝0.99．

22．（12分）已知函数f（x）＝（x﹣a）lnx． （1）若f（x）存在极值，求a的取值范围； （2）当a＝2时，证明：f（x）＞﹣

．

第5页（共16页）

2020-2021学年吉林省白城市高二（下）期末数学试卷（理科）

参与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）已知（3+2i）z＝2+i3，则复数z在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

【解答】解：∵（3+2i）z＝2+i3， ∴

＝

＝

，

）位于第四象限．

∴复数z在复平面内对应的点（故选：D．

2．（5分）为比较相关变量的线性相关程度，5位同学各自研究一组数据，并计算出变量间的相关系数r如表所示：

相关系数

r

则由表可知（ ）

A．乙研究的那组数据线性相关程度最低，戊研究的那组数据线性相关程度最高 B．甲研究的那组数据线性相关程度最低，丁研究的那组数据线性相关程度最高 C．乙研究的那组数据线性相关程度最低，丁研究的那组数据线性相关程度最高 D．甲研究的那组数据线性相关程度最低，丙研究的那组数据线性相关程度最高 【解答】解：根据题意，分析可得甲研究的那组数据线的相关系数的绝对值最小，其研究数据线性相关程度最低，

丁研究的那组数据线的相关系数的绝对值最大，其研究数据线性相关程度最高， 故选：B．

3．（5分）函数f（x）＝xlnx的图象在x＝e处的切线方程为（ ） A．2x﹣y﹣e＝0

B．x﹣2y+e＝0

C．2x+y﹣3e＝0

D．x+2y﹣3e＝0

同学甲 0.45

同学乙 ﹣0.69

同学丙 0.74

同学丁 ﹣0.98

同学戊 0.82

【解答】解：由f（x）＝xlnx，得f′（x）＝lnx+1，

第6页（共16页）

则f′（e）＝lne+1＝2，又f（e）＝elne＝e，

∴函数f（x）＝xlnx的图象在x＝e处的切线方程为y﹣e＝2（x﹣e）， 即2x﹣y﹣e＝0． 故选：A．

4．（5分）三个班分别从六个风景点中选择一处游览，不同选法的种数是（ ） A．729

B．18

C．216

D．81

【解答】解：每个班级都有6种选法，由分步乘法计数原理，得不同选法的种数是6×6×6＝216． 故选：C．

5．（5分）（2+）（1﹣x）10展开式中的常数项为（ ） A．12

B．8

C．﹣8

+×

D．﹣12

×（﹣x）＝2﹣10

【解答】解：（2+）（1﹣x）10展开式中的常数项为2×＝﹣8， 故选：C．

6．（5分）已知定义在R上的函数f（x）恰有3个极值点，则f（x）的导函数的图象可能为（ ）

A． B．

C． D．

【解答】解：对于处处可导的函数，函数的极值点要满足两个条件，一个是该点的导数为0，另一个是该点左、右两边的导数值异号． 故A与C对应的函数f（x）只有2个极值点；

第7页（共16页）

B对应的函数f（x）有4个极值点； D对应的函数f（x）有3个极值点． 故选：D．

7．（5分）现有下面四个命题： ①若＝2﹣3i，则|z+i|＝2

；

②若X～N（1，4），P（1＜X＜3）＝m，则P（X＜﹣1）＝0.5﹣m； ③如果今天是2021年6月22日（星期二）那么两百天后是星期六；

④若数列{an}满足a1＝3，an+1+n2＝2an+2n+1，则由数学归纳法可证明an＝n2+2n． 其中所有真命题的序号是（ ） A．②④

B．②③④

C．②③

D．①③ ，故①错误；

【解答】解：对于①若＝2﹣3i，所以z＝2+3i，则|z+i|＝2

②若X～N（1，4），P（1＜X＜3）＝m，则P（X＜﹣1）＝P（X＞3）＝0.5﹣m，则P（X＜﹣1）＝0.5﹣m，故②正确；

③如果今天是2021年6月22日（星期二）那么两百天后，满足200＝28×7+4，所以是星期六，故③正确；

④若数列{an}满足a1＝3，an+1+n2＝2an+2n+1，则当n＝1时，满足假设当n＝k时，即当n＝k+1时，故选：B．

8．（5分）设0＜a＜1．随机变量X的分布列是

X P

0

a

1

，则

也成立，故④为真命题．

＝（k+1）2+2k+1，

，

则当a在（0，1）内增大时，（ ） A．D（X）先减小后增大 C．D（X）先增大后减小 【解答】解：∵∴D（X）＝

+

第8页（共16页）

B．D（X）减小 D．D（X）增大

，

＝

，结

合二次图像可知，

当a∈（0，）时，D（X）单调递减，当a∈（，1），D（X）单调递增． 故选：A．

9．（5分）设（1﹣x3）（1+x）7＝a0+a1x+…+a10x10，则A．﹣36

B．6

C．﹣29

＝（ ） D．27

【解答】解：∵（1﹣x3）（1+x）7＝a0+a1x+…+a10x10， ∴令x＝1，可得a0+a1+•+a10＝0，令x＝0，可得a0＝1， ∵a4＝

，

∴故选：C．

＝0﹣1﹣28＝﹣29．

10．（5分）已知z的共轭复数＝1+3i，且A．

B．

C．

＝|z﹣i|，则|z0|的最大值为（ ）

D．

【解答】解：∵＝1+3i， ∴z＝1﹣3i，则z﹣i＝1﹣4i，∴

，

为半径的圆，

，

设z0＝x+yi（x，y∈R），则点P（x，y）的轨迹以C（2，﹣1）为圆心，故|z0|＝故选：A．

的最大值为

．

11．（5分）某电影院的一个放映室前3排的位置如图所示，甲和乙各自买了一张同一个场次的电影票，已知他们买的票的座位都在前3排，则他们观影时座位不相邻（相邻包括左右相邻和前后相邻）的概率约为（ ）

A．0.87

B．0.

C．0.91

第9页（共16页）

D．0.92

【解答】解：若他们的座位左右相邻，则有13×3×2＝78种可能， 若他们的座位前后相邻，则有14×2×2＝56种可能， 故他们观影时座位不相邻的概率为： P＝1﹣

＝1﹣

＝

≈0.92．

故选：D．

12．（5分）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》书里出现了如图所示的图，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就在“杨辉三角”中，已知第n行的所有数字之和为2n1，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，

﹣

则此数列的前37项和为（ ）

A．1040

B．1014

C．1004

D．1024

【解答】解：没有去掉“1”之前，第1行的和为20，第2行的和为21，第3行的和为22，

以此类推，即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，其前n项和为Sn＝＝2n﹣1，

每一行的个数为1，2，3，4，...，可以看成是一个首项为1，公差为1的等差数列， 则前n项总个数为Tn＝

，当n＝10时，T10＝55，

去掉两端的“1”，可得55﹣19＝36，

则去掉两端的“1”后，此数列的前36项和为S10﹣19＝210﹣1﹣19＝1004， 所以第37项为第11行去掉“1”后的第一个数，第一个数为10， 所以该数列的前37项和为1004+10＝1014． 故选：B．

第10页（共16页）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．（5分）（4﹣3i）（﹣5﹣4i）的虚部为 ﹣1 ．

【解答】解：（4﹣3i）（﹣5﹣4i）＝﹣20﹣16i+15i+12i2＝﹣32﹣i，故其虚部为﹣1． 故答案为：﹣1．

14．（5分）某种旅行箱的密码锁由三个数字组成（每个位置上的数字可从0～9这10个数字中任选一个）．小张购买一个旅行箱后，打算设置密码，自上而下第一个位置的数字设置为质数，第二个位置的数字设置为奇数，第三个位置的数字设置为偶数，则他可选择的不同密码的个数为 100 ．

【解答】解：根据题意，密码第一个数字为质数，有4种情况， 密码第一个数字为奇数，有5种情况， 密码第一个数字为偶数，有5种情况，

则可以有4×5×5＝100种情况，即有100个不同的密码； 故答案为：100．

15．（5分）（3x﹣y）n展开式中的二项式系数和为，则n＝ 6 ，展开式中x3y3的系数是 ﹣0 ．

【解答】解：∵（3x﹣y）n展开式中的二项式系数和为，∴2n＝，∴n＝6， （3x﹣y）n展开式中的通项公式为Tr+1＝令r＝3，则展开式中x3y3的系数为故答案为：6，﹣0．

16．（5分）某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．元件1，元件2，元件3正常工作的概率分别为

，则这个部件能正常工作的概率为

．

（3x）6r（﹣y）r＝

﹣

36r（﹣1）rx6ryr，

﹣

﹣

33（﹣1）3＝﹣0．

【解答】解：设“元件1正常工作”为事件A，“元件2正常工作”为事件B，“元件3正常工作”为事件C，

则P（A）＝，P（B）＝，P（C）＝，

第11页（共16页）

这个部件能正常工作的概率为P＝[1﹣P（）P（）]P（A）＝故答案为：．

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

．

17．（10分）在直角坐标系中，曲线C的方程为x2+y2＝9，曲线C上所有点的横坐标不变，纵坐标缩小到原来的，得到曲线C′，以原点为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，射线l的极坐标方程为θ＝

（ρ≥0），l与曲线C，C′分别交于A，B两点．

（1）求曲线C′的直角坐标方程和极坐标方程； （2）求|AB|的值．

【解答】解：（1）将曲线C上所有点的横坐标不变，纵坐标缩小到原来的， 得到曲线C′：x2+（3y）2＝9，即把即

（2）设A（则ρA＝3，

．

代入得ρ2cos2θ+9ρ2sin2θ＝9，

； ），B（

），曲线C：x2+y2＝9的极坐标方程为ρ＝3．

．

∴|AB|＝．

18．（12分）某企业研制出一款疫苗后，招募了100名志愿者进行先期接种试验，其中50岁以下50人，50岁及以上50人．第一次接种后10天，该企业又对志愿者是否产生抗体进行检测，共发现75名志愿者产生了抗体，其中50岁以下的有45人产生了抗体．

有抗体 没有抗体 合计

50岁以下

50岁及以上

合计

填写上面的2×2列联表，并判断能否有99.9%的把握认为该款疫苗是否产生抗体与接种者年龄有关．

第12页（共16页）

参考公式：K2＝P（K2≥k0）

k0

0.15 2.072

0.10 2.706

，其中n＝a+b+c+d．

0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828

【解答】解：由题目所给的数据，可得2×2列联表如下： 有抗体 没有抗体 合计 ∵

50岁以下 45 5 50

50岁及以上 30 20 50

，

合计 75 25 100

∴有99.9%的把握认为该款疫苗是否产生抗体与接种者年龄有关． 19．（12分）已知函数f（x）＝2x3+3x2﹣12x． （1）求f（x）的单调区间； （2）求f（x）在[0，3]上的最值．

【解答】解：（1）∵f（x）＝2x3+3x2﹣12x， ∴f′（x）＝6x2+6x﹣12＝6（x+2）（x﹣1）， 令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣2， 令f′（x）＜0，解得：﹣2＜x＜1，

故f（x）在（﹣∞，﹣2）递增，在（﹣2，1）递减，在（1，+∞）递增； （2）由（1）f（x）在[0，1）递减，在（1，3]递增， 而f（0）＝0，f（1）＝﹣7，f（3）＝45， 故f（x）在[0，3]上的最小值是﹣7，最大值是45．

20．（12分）现有6位老师（含甲、乙）随意排成一排拍照留念． （1）求甲、乙不相邻的概率；

（2）设甲、乙之间所隔人数为X，例如，当甲、乙相邻时，X＝0，求X的数学期望． 【解答】解：（1）由插空法可得，甲，乙不相邻的概率为P＝（2）X的可能取值为0，1，2，3，4，

．

第13页（共16页）

P（X＝0）＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，

P（X＝3）＝，P（X＝4）＝，

故．

21．（12分）某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个零件，测量其内径的数据如下（单位：cm）：

87 87 88 92 95 97 98 99 103 104 设这10个数据的平均值为μ，标准差为σ． （1）求μ与σ．

（2）假设这批零件的内径Z（单位：cm）服从正态分布N（μ，σ2）

（ⅰ）从这批零件中随机抽取5个，设这5个零件中内径大于107cm的个数为X求D（2X+1）；

（ⅱ）若该车间又新购一台新设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径分别为76，85，93，99，108（单位：cm），以原设备生产性能为标准试问这台设备是否需要进一步调试，说明你的理由．

参考数据：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）＝0.997，取0.9974＝0.99． 【解答】解：（1）利用题中数据， μ＝σ2＝

（87+87+88+92+95+97+98+99+103+104）＝95， （++49+9+0+4+9+16++81）＝36，则σ＝6，

（2）（i）∵Z服从正态分布N（95，36）， ∴P（Z＞107）＝P（Z＞μ+2σ）＝0.5﹣

＝0.023，

则X～B（5，0.023），∴D（X）＝5×0.023×（1﹣0.023）＝0.112355， ∴D（2X+1）＝4D（X）＝0.44942． （ii）∵Z服从正态分布N（95，36），

∴P（77＜Z≤113）＝P（μ﹣3σ＜Z≤μ+3σ）≈0.997， ∴5个零件中恰有一个内径不在（μ﹣3σ＜Z≤μ+3σ）的概率为

第14页（共16页）

0.9974×（1﹣0.997）

＝0.01485，

∵76∉（77，113），所以试生产的5个零件就出现了1个不在（μ﹣3σ＜Z≤μ+3σ）内， 出现的频率是0.01458的13倍多，根据3σ原则，需要进一步调试． 22．（12分）已知函数f（x）＝（x﹣a）lnx． （1）若f（x）存在极值，求a的取值范围； （2）当a＝2时，证明：f（x）＞﹣【解答】解：（1）

．

，

令f′（x）＝0，得a＝x（1+lnx），设函数g（x）＝x（1+lnx），则g′（x）＝2+lnx． 当0＜x＜e当x＞e故

﹣2

﹣2

时，g′（x）＜0，g（x）在（0，e2）上单调递减，

﹣

﹣

时，g′（x）＞0，g（x）在（e2，+∞）上单调递增，

，当x→0时，g（x）→0，当x→+∞时，g（x）→+∞，

作出函数g（x）的大致草图， 数形结合可知当a＞﹣e

﹣2

时，f（x）存在极值，

﹣

所以a的取值范围为（﹣e2，+∞）．

（2）因为a＝2，所以f（x）＝（x﹣2）lnx，当x∈（0，1）∪（2，+∞）时，f（x）＞0＞

；

；

当x＝1或x＝2时，f（x）＝0＞当x∈（1，2）时，f（x）＜0．

先证明lnx＜x﹣1，（1＜x＜2），即证lnx﹣x+1＜0，（1＜x＜2），令

，

当0＜x＜1时，h′（x）＞0，h（x）在（0，1）上单调递增； 当x＞1时，h′（x）＜0，h（x）在（1，+∞）上单调递减，

所以h（x）max＝h（1）＝0，所以当1＜x＜2时，h（x）＜0⇔lnx＜x﹣1， 所以f（x）＞（x﹣2）（x﹣1）， 因为所以

，又

，故

，

．

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