杭州市2020-2020学年度八年级数学下册期末试卷(含答案解析)

一、仔细选一选（本题有 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．已知二次根式 A．

B．

，则 a 的取值范围是（ C．

D．

）

）

2．下列图形是中心对称图形的个数有（

A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个

3．为了比较甲、乙两块地的小麦哪块长得更整齐，应选择的统计量为（ A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差

）

4．矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线平分一组对角

5．用下列哪种方法解方程 3x2=16x 最合适（ ）

A．开平方法 B．配方法 C．因式分解法 D．公式法

6．如图，等腰三角形 ABC 的顶点 A 在原点，顶点 B 在 x 轴的正半轴上，顶点 C 在函数 y=的图象上运动，且 AC=BC，则△ABC 的面积大小变化情况是（

）

（x＞0）

A．一直不变 B．先增大后减小 C．先减小后增大 D．先增大后不变7 ．已知（﹣3，y1），（﹣15，

y2），在反比例函数 y=﹣A．y1＞y2＞y3

上，则 y1，y2，y3 的大小关系为（

C．y3＞y2＞y1

D．y3＞y1＞y2

）

B．y1＞y3＞y2

8．用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于 45°”时，首先应该假设这个三角形中（ A．有一个内角小于 45° B．每一个内角都小于 45° C．有一个内角大于等于 45° D．每一个内角都大于等于 45°

）

9．直线

与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点，把△AOB 绕着 A 点旋转 180°得到△AO′B′，

C．（

，2） D．（

，﹣2）

则点 B′的坐标为（ ） A．（4，2） B．（4，﹣2）

10．如图，以▱ABCD 的四条边为边，分别向外作正方形，连结 EF，GH，IJ，KL．如果▱ABCD 的 面积为 8，则图中阴影部分四个三角形的面积和为（ ）

A．8 B．12 C．16 D．20

二、认真填一填（本题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．在

、 、 、

、

中，是最简二次根式的是

．

12．已知多边形的内角和等于外角和的三倍，则内角和为

；边数为 ．

．

13．已知

=0 是关于 x 的一元二次方程，则 k 为 14．如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC=8，BD=6，E，F 分别是 AB，AD 的中点，连接 EO 并延长交 CD 于 G 点，连接 FO 并延长交 CB 于 H 点，△OEF 与△OGH 组成的图形称为蝶形，则蝶 形的周长为 ．

15．如图，将边长为 6 的正方形 ABCD 沿其对角线 AC 剪开，再把△ABC 沿着 AD 方向平移，得到 △A′B′C′，当两个三角形重叠部分为菱形时，则 AA′为 ．

16．如图，一个正方形内两个相邻正方形的面积分别为 4 和 2，它们都有两个顶点在大正方形的边 上且组成的图形为轴对称图形，则图中阴影部分的面积为 ．

三、全面答一答（本题有 7 个小题，共 66 分．要求写出文字说明、证明过程或推演步骤） 17．计算： （1）

（3）

．

18．如图，AC 是▱ABCD 的一条对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为 E，F． （1）求证：△ADF≌△CBE； 求证：四边形 DFBE 是平行四边形．

19．如图，将表面积为 550cm2 的包装盒剪开，铺平，纸样如图所示，包装盒的高为 15cm，请求出 包装盒底面的长与宽．

20．某初中要调查学校学生（总数 1000 人）双休日课外阅读情况，随机调查了一部分学生，调查得 到的数据分别制成频数直方图（如图 1）和扇形统计图（如图 2）．

（1）请补全上述统计图（直接填在图中）； 试确定这个样本的中位数和众数； （3）请估计该学校 1000 名学生双休日课外阅读时间不少于 4 小时的人数．

21．已知方程：x2﹣2x﹣8=0，解决一下问题：

（1）不解方程判断此方程的根的情况； 请按要求分别解这个方程：①配方法；②因式分解法．

（3）这些方法都是将解 转化为解 ； （4）尝试解方程：x3+2x2+x=0．

22．在矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4，E，F 是对角线 ACS 行的两个动点，分别从 A，C 同时出发 相向而行，速度均为 1cm/s，运动时间为 t 秒，当其中一个动点到达后就停止运动． （1）若 G，H 分别是 AB，DC 中点，求证：四边形 EGFH 始终是平行四边形． 在（1）条件下，当 t 为何值时，四边形 EGFH 为矩形． （3）若 G，H 分别是折线 A﹣B﹣C，C﹣D﹣A 上的动点，与 E，F 相同的速度同时出发，当 t 为何 值时，四边形 EGFH 为菱形．

23．如图 1，正方形 ABCD 的边长为 4，以 AB 所在的直线为 x 轴，以 AD 所在的直线为 y 轴建立平 面直角坐标系．反比例函数

的图象与 CD 交于 E 点，与 CB 交于 F 点．

（1）求证：AE=AF； 若△AEF 的面积为 6，求反比例函数的解析式； （3）在的条件下，将△AEF 以每秒 1 个单位的速度沿 x 轴的正方向平移，如图 2，设它与正方形 ABCD 的重叠部分面积为 S，请求出 S 与运动时间 t（秒）的函数关系式（0＜t＜4）．

八年级下学期期末数 学试卷

参与试题解析

一、仔细选一选（本题有 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．已知二次根式 A．

B．

，则 a 的取值范围是（ C．

D．

）

【考点】二次根式有意义的条件．

【分析】直接利用二次根式的性质得出 a 的取值范围． 【解答】解：∵二次根式

有意义，

∴2a﹣1≥0，

解得：a≥ ，

则 a 的取值范围是：a≥．

故选：D．

【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的性质是解题关键．

2．下列图形是中心对称图形的个数有（

）

A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【考点】中心对称图形．

【分析】根据 把一个图形绕某一点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个 图形就叫做中心对称图形进行分析．

【解答】解：第一、四个图形是中心对称图形，第二、三个图形不是中心对称图形， 故选：B． 【点评】此题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重 合．

3．为了比较甲、乙两块地的小麦哪块长得更整齐，应选择的统计量为（ ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【考点】统计量的选择．

【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这 组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．

【解答】解：为了比较甲、乙两块地的小麦哪块长得更整齐，应选择的统计量为方差． 故选：D． 【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据 偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各 数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．

4．矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线平分一组对角 【考点】矩形的性质；菱形的性质． 【专题】推理填空题．

【分析】根据矩形的对角线互相平分、相等和菱形的对角线互相平分、垂直、对角线平分一组对角， 即可推出答案．

【解答】解：A、对角线互相平分是菱形矩形都具有的性质，故 A 选项错误； B、对角线互相垂直是菱形具有而矩形不具有的性质，故 B 选项错误； C、矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故 C 选项正确； D、对角线平分一组对角是菱形具有而矩形不具有的性质，故 D 选项错误； 故选：C．

【点评】本题主要考查对矩形的性质，菱形的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地根据矩形和菱 形的性质进行判断是解此题的关键．

5．用下列哪种方法解方程 3x2=16x 最合适（ ）

A．开平方法 B．配方法 C．因式分解法 D．公式法 【考点】解一元二次方程-因式分解法． 【专题】计算题；一次方程（组）及应用． 【分析】观察方程特点确定出适当的解法即可．

【解答】解：方程 3x2=16x 最合适因式分解法． 故选 C

【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解法是解本题的关键．

6．如图，等腰三角形 ABC 的顶点 A 在原点，顶点 B 在 x 轴的正半轴上，顶点 C 在函数 y=的图象上运动，且 AC=BC，则△ABC 的面积大小变化情况是（

（x＞0）

）

A．一直不变 B．先增大后减小 C．先减小后增大 D．先增大后不变 【考点】反比例函数系数 k 的几何意义． 【专题】探究型．

【分析】根据三角形 ABC 的面积是点 C 的横坐标与纵坐标的乘积除以 2，和点 C 在函数 y= （x＞0） 的图象上，可以解答本题．

【解答】解：∵等腰三角形 ABC 的顶点 A 在原点，顶点 B 在 x 轴的正半轴上，顶点 C 在函数 y= （x

＞0）的图象上运动，且 AC=BC，设点 C 的坐标为（x，），

∴（k 为常数）．

即△ABC 的面积不变． 故选 A．

【点评】本题考查反比例函数系数 k 的几何意义，解题的关键是将反比例的系数 k 与三角形的面积 联系在一起．

7．已知（﹣3，y1），（﹣15，y2），在反比例函数 y=﹣

上，则 y1，y2，y3 的大小关系为（

）

A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．

【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再由各点横坐标的值 即可得出结论．

【解答】解：∵反比例函数 y=﹣

中 k=﹣a2＜0，

∴此函数图象的两个分支分别位于二四象限，并且在每一象限内，y 随 x 的增大而增大． ∵（﹣3，y1），（﹣15，y2），在反比例函数 y=﹣

上，

∴（﹣3，y1），（﹣15，y2）在第二象限，点在第四象限，

∴y3＜y2＜y1． 故选 A．

【点评】本题考查的是反比例函数函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一 定适合此函数的解析式是解答此题的关键．

8．用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于 45°”时，首先应该假设这个三角形中（ ） A．有一个内角小于 45° B．每一个内角都小于 45° C．有一个内角大于等于 45° D．每一个内角都大于等于 45° 【考点】反证法．

【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立． 【解答】解：用反证法证明“钝角三角形中必有一个内角小于 45°”时， 应先假设这个三角形中每一个内角都不小于或等于 45°，即每一个内角都大于 45°． 故选：D．

【点评】此题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意 考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必 须一一否定．

9．直线 与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点，把△AOB 绕着 A 点旋转 180°得到△AO′B′，

则点 B′的坐标为（ ）

A．（4，2） B．（4，﹣2） C．（，2） D．（，﹣2） 【考点】坐标与图形变化-旋转；一次函数图象上点的坐标特征． 【专题】计算题．

【分析】先根据一次函数图象上点的坐标特征求出 A 点和 B 点坐标，则可得到 OA=2，OB=2， 再根据旋转的性质得到 AO′=AO=2，O′B′=OB=2，∠AO′B′=∠AOB=90°，然后根据第二象限点的 坐标特征写出点 B′的坐标． 【解答】解：当 y=0 时，﹣当 x=0 时，

x+2=0，解得 x=2

，则 A，所以 OA=2

，

=2，则 B（0，2），所以 OB=2，

因为△AOB 绕着 A 点旋转 180°得到△AO′B′， 所以 AO′=AO=2，O′B′=OB=2，∠AO′B′=∠AOB=90°， 所以点 B′的坐标为（4，﹣2）． 故选 D．

【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性 质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．也考查了一次 函数图象上点的坐标特征．

10．如图，以▱ABCD 的四条边为边，分别向外作正方形，连结 EF，GH，IJ，KL．如果▱ABCD 的 面积为 8，则图中阴影部分四个三角形的面积和为（ ）

A．8 B．12 C．16 D．20

【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；正方形的性质． 【分析】过 D 作 DN⊥AB 于 N，过 E 作 EM⊥FA 交 FA 延长线于 M，连接 AC，BD，求出∠EAM=∠BAD， 根据锐角三角形函数定义求出 EM=DN，求出△AEF 和△ABD 面积相等，同理求出理 S△BHG=S△ABC，

S△CIJ=S△CBD，S△DLK=S△DAC，代入 S=S△AEF+S△BGH+S△CIJ+S△DLK 得出 S=2S 平行四边形 ABCD，代入 求出即可．

【解答】解：过 D 作 DN⊥AB 于 N，过 E 作 EM⊥FA 交 FA 延长线于 M，连接 AC，BD， ∵四边形 ABGF 和四边形 ADLE 是正方形， ∴AE=AD，AF=AB，∠FAB=∠EAD=90°， ∴∠EAF+∠BAD=360°﹣90°﹣90°=180°， ∵∠EAF+∠EAM=180°， ∴∠EAM=∠DAN，

∴sin∠EAM= ∵AE=AD， ∴EM=DN，

，sin∠DAN= ，

∵S△AEF= AF×EM，S△ADB= AB×DN， ∴S△AEF=S△ABD，

同理 S△BHG=S△ABC，S△CIJ=S△CBD，S△DLK=S△DAC，

∴阴影部分的面积 S=S△AEF+S△BGH+S△CIJ+S△DLK=2S 平行四边形 ABCD=2×8=16． 故选 C

【点评】本题考查了平行四边形的性质，锐角三角函数的定义，三角形的面积等知识点的应用，关 键是根据 S△BHG=S△ABC，S△CIJ=S△CBD，S△DLK=S△DAC，进行计算解答即可．

二、认真填一填（本题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．在

、 、 、

、

中，是最简二次根式的是

．

【考点】最简二次根式．

【分析】直接利用最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因 数或因式，分析得出答案． 【解答】解：在

、 、 、

、

中，只有 是最简二次根

式． 故答案为： ．

【点评】此题主要考查了最简二次根式，正确把握定义是解题关键．

12．已知多边形的内角和等于外角和的三倍，则内角和为 1080° ；边数为 8 ． 【考点】多边形内角与外角．

【分析】首先设边数为 n，由题意得等量关系：内角和=360°×3，根据等量关系列出方程，可解出 n 的值，然后再利用内角和公式计算内角和． 【解答】解：设边数为 n，由题意得： 180（n﹣2）=360×3，

解得：n=8， 内角和为：180°×（8﹣2）=1080°， 故答案为：1080°；8． 【点评】此题主要考查了多边形的内角与外角，关键是掌握多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3） 且 n 为整数），多边形的外角和等于 360 度．

13．已知

=0 是关于 x 的一元二次方程，则 k 为 ﹣2 ．

【考点】一元二次方程的定义．

【分析】根据一元二次方程：未知数的最高次数是 2；二次项系数不为 0；是整式方程；含有一个未 知数，可得答案． 【解答】解：由

=0 是关于 x 的一元二次方程，得

k2﹣2=2，且 1﹣k≥0，

解得 k=﹣2， 故答案为：﹣2．

【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整 式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是 2．

14．如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC=8，BD=6，E，F 分别是 AB，AD 的中点，连接 EO 并延长交 CD 于 G 点，连接 FO 并延长交 CB 于 H 点，△OEF 与△OGH 组成的图形称为蝶形，则蝶 形的周长为 16 ．

【考点】菱形的性质．

【分析】利用菱形的性质结合三角形中位线的性质得出 GE=BC，HF=AB，进而得出答案． 【解答】解：∵四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC=8，BD=6， ∴BO=DO=3，CO=AO=4，BD⊥AC， ∴BC=CD=AD=AB=5， ∵E，F 分别是 AB，AD 的中点，

∴EF= BD=3，

∵E 是 AB 的中点，O 是 AC 的中点， ∴EO∥BC， ∴GO∥BC，

则 EG=BC=5，

同理可得：HF=5，HG=3， 故蝶形的周长为：5+5+3+3=16． 故答案为：16．

【点评】此题主要考查了菱形的性质以及三角形中位线的性质，根据题意得出 EG=BC=5 是解题关 键．

15．如图，将边长为 6 的正方形 ABCD 沿其对角线 AC 剪开，再把△ABC 沿着 AD 方向平移，得到 △A′B′C′，当两个三角形重叠部分为菱形时，则 AA′为 12﹣6 ．

【考点】菱形的性质；正方形的性质；平移的性质．

【分析】利用菱形的性质结合正方形的性质得出 A′D=DF，AA′=A′E，进而利用勾股定理得出答案． 【解答】解：如图所示：∵四边形 A′ECF 是菱形， ∴A′E=EC=FC=A′F， ∵边长为 6 的正方形 ABCD 沿其对角线 AC 剪开，再把△ABC 沿着 AD 方向平移， ∴∠A=∠ACD=45°，

∴AD=DC，则 A′D=DF，AA′=A′E，

∴设 A′E=x，则 A′D=DF=6﹣x，A′F=x， 故在 Rt△A′DF 中， x2=（6﹣x）2+（6﹣x）2，

解得：x1=12﹣6 ，x2=12+6 ＞6（不合题意舍去）， 故 AA′为：12﹣6 ． 故答案为：12﹣6 ．

【点评】此题主要考查了菱形的性质和正方形的性质、勾股定理等知识，得出 A′D=DF，AA′=A′E 是解题关键．

16．如图，一个正方形内两个相邻正方形的面积分别为 4 和 2，它们都有两个顶点在大正方形的边 上且组成的图形为轴对称图形，则图中阴影部分的面积为 + ．

【考点】正方形的性质；轴对称图形． 【分析】连接 AC；由正方形的性质和已知条件得出 EF= ，GH=2，∠EAF=∠GCH=90°，由轴对 称图形的性质得出 AE=AF，CG=CH，得出 AM=EF=

，CN= GH=1，求出 AC 的长，得出正方

形 ABCD 的面积，由大正方形的面积减去两个小正方形的面积即可得出图中阴影部分的面积． 【解答】解：如图所示：连接 AC； ∵正方形 ABCD 内两个相邻正方形的面积分别为 4 和 2，

∴EF=

，GH=2，∠EAF=∠GCH=90°， 根据题意得：AE=AF，CG=CH，

∴AM= EF=

∴AC=

，CN= GH=1， +2+1=

+3，

+3）2=

+ ；

，

+

∴正方形 ABCD 的面积=AC2= （∴图中阴影部分的面积=

故答案为： +

+ ﹣4﹣2= +

．

【点评】本题考查了正方形的性质、轴对称图形的性质、等腰直角三角形的性质、正方形面积的计 算方法；熟练掌握正方形的性质，通过作辅助线求出对角线 AC 是解决问题的关键．

三、全面答一答（本题有 7 个小题，共 66 分．要求写出文字说明、证明过程或推演步骤） 17．计算： （1）

（3）

．

【考点】二次根式的混合运算． 【专题】计算题．

【分析】（1）分母有理化即可； 根据二次根式的性质化简即可； （3）先提（

+

），然后合并后利用平方差公式计算．

；

【解答】解：（1）原式= 原式= ×2

=3

；

（3）原式=（ + ）（3

=（ +）（ ﹣ ）

﹣2﹣2+）

=（ ）2﹣（ ）2 =3﹣2 =1．

【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除 运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式 的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

18．如图，AC 是▱ABCD 的一条对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为 E，F． （1）求证：△ADF≌△CBE； 求证：四边形 DFBE 是平行四边形．

【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题． 【分析】（1）由平行四边形的性质得出 AD∥BC，AD=BC，得出内错角相等∠DAF=∠BCE，证出 ∠AFD=∠CEB=90°，由 AAS 证明△ADF≌△CBE 即可； 由（1）得：△ADF≌△CBE，由全等三角形的性质得出 DF=BE，再由 BE∥DF，即可得出四边形 DFBE 是平行四边形． 【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴∠DAF=∠BCE， ∵BE⊥AC，DF⊥AC，

∴BE∥DF，∠AFD=∠CEB=90°，

在△ADF 和△CBE 中，

，

∴：△ADF≌△CBE（AAS）； 解：如图所示：由（1）得：△ADF≌△CBE， ∴DF=BE， ∵BE∥DF，

∴四边形 DFBE 是平行四边形．

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的 性质，证明三角形全等是解决问题的关键．

19．如图，将表面积为 550cm2 的包装盒剪开，铺平，纸样如图所示，包装盒的高为 15cm，请求出 包装盒底面的长与宽．

【考点】一元二次方程的应用． 【专题】几何图形问题．

【分析】设包装盒底面的长为 xcm，则包装盒底面的宽为积，利用表面积为 550cm2 列出方程解答即可．

【解答】解：设包装盒底面的长为 xcm，则包装盒底面的宽为

=15﹣x（cm），由题意得 =15﹣x（cm），求得包装盒的表面

2×[（15﹣x）×15+15x+（15﹣x）×x =550

解得：x1=10，整理得：x2﹣15x+50=0，

x2=5 则 10﹣x=5 或 10． 答：包装盒底面的长为 10cm，则包装盒底面的宽 5cm．

【点评】此题考查一元二次方程的实际运用，解题的关键是熟记长方体的表面积公式．

20．某初中要调查学校学生（总数 1000 人）双休日课外阅读情况，随机调查了一部分学生，调查得 到的数据分别制成频数直方图（如图 1）和扇形统计图（如图 2）．

（1）请补全上述统计图（直接填在图中）； 试确定这个样本的中位数和众数； （3）请估计该学校 1000 名学生双休日课外阅读时间不少于 4 小时的人数． 【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；中位数；众数．

【分析】（1）根据阅读 5 小时以上频数为 6，所占百分比为 12%，求出数据总数，再用数据总数减 去其余各组频数得到阅读 3 小时以上频数，进而补全频数分布直方图，分别求得阅读 0 小时和 4 小 时的人数所占百分比，补全扇形图；

利用各组频数和总数之间的关系确定中位数和众数； （3）用 1000 乘以每周课外阅读时间不小于 4 小时的学生所占百分比即可． 【解答】解：（1）总人数：6÷12%=50（人）， 阅读 3 小时以上人数：50﹣4﹣6﹣8﹣14﹣6=12（人）， 阅读 3 小时以上人数的百分比为 12÷50=24%， 阅读 0 小时以上人数的百分比为 4÷50=8%． 图如下：

中位数是 3 小时，众数是 4 小时； （3）1000× =1000×40% =400（人） 答：该学校 1000 名学生双休日课外阅读时间不少于 4 小时的人数为 400 人．

【点评】此题主要考查了频数分布直方图、扇形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用 统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查 了利用样本估计总体．

21．已知方程：x2﹣2x﹣8=0，解决一下问题：

（1）不解方程判断此方程的根的情况； 请按要求分别解这个方程：①配方法；②因式分解法．

（3）这些方法都是将解 一元二次方程 转化为解 一元一次方程 ；

（4）尝试解方程：x3+2x2+x=0．

【考点】根的判别式；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-因式分解法． 【分析】（1）由 a=1，b=﹣2，c=﹣8，可得△=b2﹣4ac=36＞0，即可判定此方程的根的情况； ①直接利用配方法解一元二次方程；②利用十字相等法解一元二次方程； （3）利用消元法，将解一元二次方程转化为解一元一次方程； （4）利用因式分解法求解即可求得答案． 【解答】解：（1）∵a=1，b=﹣2，c=﹣8，

∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（﹣8）=36＞0， ∴此方程有两个不相等的实数根；

①配方法：∵x2﹣2x﹣8=0， ∴x2﹣2x=8，

∴x2﹣2x+1=8+1， ∴（x﹣1）2=9，

解得：∴x﹣1=±3，

x1=4，x2=﹣2；

②因式分解法：∵x2﹣2x﹣8=0， ∴（x﹣4）（x+2）=0， 解得：x1=4，x2=﹣2；

（3）答案为：一元二次方程；一元一次方程；

（4）∵x3+2x2+x=0， ∴x（x2+2x+1）=0， ∴x（x+1）2=0，

解得：x1=0，x2=x3=∴x=0，x+1=0，

﹣1． 【点评】此题考查了一元二次方程的解法以及根的判别式．注意△＞0⇔方程有两个不相等的实数根．

22．在矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4，E，F 是对角线 ACS 行的两个动点，分别从 A，C 同时出发 相向而行，速度均为 1cm/s，运动时间为 t 秒，当其中一个动点到达后就停止运动． （1）若 G，H 分别是 AB，DC 中点，求证：四边形 EGFH 始终是平行四边形． 在（1）条件下，当 t 为何值时，四边形 EGFH 为矩形． （3）若 G，H 分别是折线 A﹣B﹣C，C﹣D﹣A 上的动点，与 E，F 相同的速度同时出发，当 t 为何 值时，四边形 EGFH 为菱形．

【考点】四边形综合题．

【分析】（1）由矩形的性质得出 AB=CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B=90°，由勾股定理求出 AC=5， 由 SAS 证明△AFG≌△CEH，得出 GF=HE，同理得出 GE=HF，即可得出结论； 先证明四边形 BCHG 是平行四边形，得出 GH=BC=4，当对角线 EF=GH=4 时，平行四边形 EGFH 是矩形，分两种情况：①AE=CF=t，得出 EF=5﹣2t=4，解方程即可；②AE=CF=t，得出 EF=5﹣2 （5﹣t）=4，解方程即可； （3）连接 AG、CH，由菱形的性质得出 GH⊥EF，OG=OH，OE=OF，得出 OA=OC，AG=AH，证 出四边形 AGCH 是菱形，得出 AG=CG，设 AG=CG=x，则 BG=4﹣x，由勾股定理得出方程，解方 程求出 BG，得出 AB+BG=

，即可得出 t 的值．

【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AB=CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B=90°，

∴AC= =5，∠GAF=∠HCE，

∵G，H 分别是 AB，DC 中点， ∴AG=BG，CH=DH， ∴AG=CH， ∵AE=CF， ∴AF=CE，

在△AFG 和△CEH 中，

，

∴△AFG≌△CEH（SAS）， ∴GF=HE，

同理：GE=HF， ∴四边形 EGFH 是平行四边形． 解：由（1）得：BG=CH，BG∥CH， ∴四边形 BCHG 是平行四边形， ∴GH=BC=4，当 EF=GH=4 时，平行四边形 EGFH 是矩形，分两种情况： ①AE=CF=t，EF=5﹣2t=4， 解得：t=0.5； ②AE=CF=t，EF=5﹣2（5﹣t）=4， 解得：t=4.5；

综上所述：当 t 为 0.5s 或 4.5s 时，四边形 EGFH 为矩形． （3）解：连接 AG、CH，如图所示： ∵四边形 EGFH 为菱形，

∴GH⊥EF，OG=OH，OE=OF， ∴OA=OC，AG=AH，

∴四边形 AGCH 是菱形， ∴AG=CG， 设 AG=CG=x，则 BG=4﹣x， 由勾股定理得：AB2+BG2=AG2， 即 32+（4﹣x）2=x2，

解得：x=

，

∴BG=4﹣ = ， ∴AB+BG=3+ = ，

即 t 为

s 时，四边形 EGFH 为菱形．

【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判 定、菱形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，特别是（3）中，需要通过作 辅助线证明四边形是菱形，运用勾股定理得出方程才能得出结果．

23．如图 1，正方形 ABCD 的边长为 4，以 AB 所在的直线为 x 轴，以 AD 所在的直线为 y 轴建立平 面直角坐标系．反比例函数

的图象与 CD 交于 E 点，与 CB 交于 F 点．

（1）求证：AE=AF； 若△AEF 的面积为 6，求反比例函数的解析式； （3）在的条件下，将△AEF 以每秒 1 个单位的速度沿 x 轴的正方向平移，如图 2，设它与正方形 ABCD 的重叠部分面积为 S，请求出 S 与运动时间 t（秒）的函数关系式（0＜t＜4）． 【考点】反比例函数综合题． 【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特点可得出 DE=BF，故可得出结论； 设 DE=BF=a，则 CE=4﹣a，CF=4﹣a，再由 S△AEF=S 正方形 ABCD﹣S△ADE﹣S△ABF﹣S△ECF 即可得出 a 的值，进而可得出反比例函数的解析式；

（3）根据中 EF 两点的坐标用 t 表示出 AB，BG，CE=CK 的长，再由 S=S 正方形 ABCD﹣S△梯形 AA′ED ﹣S△ABG﹣S△ECK 即可得出结论．

【解答】（1）证明：∵点 E、F 均在反比例函数 y=（k＞0）的图象上，

∴AD•DE=AB•BF． ∵AD=AB， ∴DE=BF．

在△ADE 与△ABF 中，

，

∴△ADE≌△ABF， ∴AE=AF；

解：设 DE=BF=a，则 CE=4﹣a，CF=4﹣a， ∵△AEF 的面积为 6，

∴S△AEF=S 正方形 ABCD﹣S△ADE﹣S△ABF﹣S△ECF =4×4﹣×4a﹣×4a﹣（4﹣a）（4﹣a） =16﹣4a﹣（4﹣a）（4﹣a） =6， 解得 a=2， ∴EF=2×4=8，

∴反比例函数的解析式为 y=；

（3）解：∵由知 E，F（4，2），

∴AB=4﹣t，BG= AB=2﹣ t，CE=CK=2﹣t， ∴S=S 正方形 ABCD﹣S△梯形 AA′ED﹣S△ABG﹣S△ECK

=4×4﹣ ××4﹣ （4﹣t）•﹣ =16﹣4﹣4t﹣ t2﹣4+2t﹣2﹣ t2+2t =﹣ t2+6．

【点评】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点、正方形的性质 及梯形的面积公式等知识，在解答此题时要注意整体思想的运用。