2019全国2卷理科数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
1.设集合A={x|x2−5x+6>0},B={x|x−1<0},则A∩B=( A ) A. (−∞,1) B.(−2,1) C.(−3,−1) D. (3,+∞) 2.设z=−3+2i,则在复平面𝑧̅对应的点位于( 𝐶 ) A. 第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3),𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,𝑡),|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,则𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ∙𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =( 𝐶 ) 3.已知𝐴𝐵
A.−3 B.−2 C. 2 D. 3
4.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天 事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探 测器的通讯联系。为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”。鹊桥沿着围绕地月 拉格朗日𝐿2点的轨道运行，𝐿2点是平衡点，位于地月连线的延长线上，设地球质量为𝑀1 ，月球质量为𝑀2，地月距离为𝑅，𝐿2点到月球的距离为𝑟,根据牛顿运动定理和万有引力 定律，𝑟满足方程：
𝑟
𝑀1(𝑅+𝑟
+)2
𝑀2𝑟2
=(𝑅+𝑟)
𝑀1𝑅3
≈3𝛼3,则𝑟的近似值为( 𝐷 )
3
设α=𝑅,由于𝛼的值很小，因此在近似计算中
𝑀
𝑀
3
1
1
3𝛼3+3𝛼4+𝛼5
(1+𝛼)222
A. √𝑀2𝑅 B. √2𝑀𝑅 C. √𝑀2𝑅 D. √3𝑀𝑅
1
1
3𝑀𝑀
5.演讲比赛共有9为评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个 原始评分中去掉1个最高分、一个最低分，得到7个有效评分。7个有效评分与9个 原始评分相比，不变的数字特征是( A )
A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D.极差 6.若a>b,则( C )
A.ln(a−b)>0 B.3𝑎<3𝑏 C. 𝑎3−𝑏3>0 D. |a|>|b|
7.设α，β为两个平面，则α∥β的 充要条件是( B )
*-
A.α内有无数条直线与β平行 B.α内有两条相交直线与β平行 C.α，β平行于同一条直线 D.α，β垂直于同一平面 8.若抛物线𝑦2=2px(p>0)的焦点是椭圆
𝑥23𝑝
+
𝑦2𝑝
=1的一个焦点，则𝑝=( 𝐷 )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 8
9.下列函数中，以2为周期且在区间(4,2)单调递增的是( A )
A.f(x)=|cos2x| B. f(x)=|sin2x| C. f(x)=cos|x| D. f(x)=sin |x| 10.已知α∈(0,2),2sin2α=cos2α+1,则sinα=( B ) A. B.
51
√5 5π
π
𝜋𝜋
C.
𝑥2
𝑦2
√3 3
D.
2√5 5
11.设F为双曲线C：𝑎2−𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的右焦点，𝑂为坐标原点，以𝑂𝐹为直径 的圆与圆𝑥2+𝑦2=𝑎2交于𝑃，𝑄两点.若|𝑃𝑄|=|𝑂𝐹|,则𝐶的离心率为( 𝐴 ) A. √2 B. √3 C. 2 D. √5
12.设函数f(x)的定义域为R，满足f(x+1)=2f(x),且当x∈(0,1]时，f(x)=x(x−1). 若对任意x∈(−∞,m],都有f(x)≥−,则𝑚的取值范围是( 𝐵 )
98
A. (−∞,] B. (−∞,] C.(−∞,] D. (−∞,]
4
3
2
3
9758
二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分。
13.我国高铁发展迅速，技术先进。经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的 正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经 停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为
14.已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)=−𝑒𝑎𝑥,若𝑓(𝑙𝑛2)=8,则𝑎= 15.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=,则△ABC
3π
的面积为
16.中国有悠久的金石文化，印信时金石文化的代表之一。印信的形状多为长方体、 正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员孤独信的印信形状是“半正多面体”(图1). 半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体。半正多面体体现了数
*-
学的对称美。图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一正方 体的表面上，且此正方体的棱长为1，则该半正多面体共有 个面，其棱长 为 （本题第一空2分，第二空3分。） 三
、
解答题：共70分。第17~21题为必考题。第22、23题为选考题。 （一）必考题：共60分
17.（12分） 如图，长方体ABCD−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的底面𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形、 点E在棱A𝐴1上，𝐵𝐸⊥𝐸𝐶1. (1)证明：BE⊥平面E𝐵1𝐶1;
(2)若AE=𝐴1𝐸,求二面角B−EC−𝐶1的正弦值.
18.（12分）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多 得2分的一方获胜，该局比赛结束。甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的 概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立。在某局双方10:10后， 甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束。 (1)求P(X=2); (2)求事件“X=4且甲获胜”的概率。
*-
19.（12分）已知数列{𝑎𝑛}和{𝑏𝑛}满足𝑎1=1,𝑏1=0,4𝑎𝑛+1=3𝑎𝑛−𝑏𝑛+4,4𝑏𝑛+1=3𝑏𝑛−𝑎𝑛−4. (1)证明：{𝑎𝑛+𝑏𝑛}是等比数列，{𝑎𝑛−𝑏𝑛}是等差数列; (2)求{𝑎𝑛}和{𝑏𝑛}的通项公式.
20.(12分)已知函数f(x)=lnx−
𝑥+1𝑥−1
(1)讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点;
(2)设𝑥0是𝑓(𝑥)的一个零点，证明曲线𝑦=𝑙𝑛𝑥在点𝐴(𝑥0,𝑙𝑛𝑥0)处的切线也是曲线𝑦=𝑒𝑥的切线。
21．（12分）已知点A(−2,0)，B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−2. 记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程，并说明C是什么曲线;
(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E， 连结QE并延长交C与点G. (𝑖)证明：△PQG是直角三角形; (ii)求△PQG面积的最大值.
二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22.【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分） 在极坐标系中，O为极点，点M(𝜌0,𝜃0)(𝜌0>0)在曲线C：ρ=4sinθ上.直线𝑙过点 A(4,0)且与OM垂直，垂足为P. (1)当𝜃0=3时，求𝜌0及𝑙的极坐标方程;
(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.
23.【选修4-5：不等式选讲】(10分) 已知f(x)=|x−a|x+|x−2|(x−a).
𝜋
1
*-
(1)当a=1时，求不等式f(x)<0的解集; (2)若x∈(−∞,1)时，f(x)<0,求a的取值范围.
参考答案：2019全国2卷理科数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
1.设集合A={x|x2−5x+6>0},B={x|x−1<0},则A∩B=( A ) A. (−∞,1) B.(−2,1) C.(−3,−1) D. (3,+∞)
解析：∵A={x|x2−5x+6>0}={𝑥|𝑥<2或𝑥>3},𝐵={𝑥|𝑥<1}, ∴A∩B={x|x<1},选A
2.设z=−3+2i,则在复平面𝑧̅对应的点位于( 𝐶 ) A. 第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限
解析：∵z=−3+2i，∴𝑧̅=−3−2𝑖,对应点(−3,−2)位于复平面第三象限，选𝐶 ⃗ =(2,3),𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,𝑡),|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,则⃗⃗⃗⃗⃗ ∙𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =( 𝐶 ) 3.已知⃗⃗⃗⃗𝐴𝐵𝐴𝐵 A.−3 B.−2 C. 2 D. 3
⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ −𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,𝑡−3),∴|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1+(𝑡−3)2=1,∴𝑡=3 解析：∵𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0),∴𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ∙𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =2，选𝐶 ∴𝐵𝐶
4.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天 事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探 测器的通讯联系。为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”。鹊桥沿着围绕地月 拉格朗日𝐿2点的轨道运行，𝐿2点是平衡点，位于地月连线的延长线上，设地球质量为𝑀1 ，月球质量为𝑀2，地月距离为𝑅，𝐿2点到月球的距离为𝑟,根据牛顿运动定理和万有引力 定律，𝑟满足方程：
1
(𝑅+𝑟+)2
𝑀
𝑀2𝑟2
1
=(𝑅+𝑟)𝑅3
𝑀
*-
3𝛼3+3𝛼4+𝛼5
(1+𝛼)23
设α=,由于𝛼的值很小，因此在近似计算中
𝑅𝑀
𝑀
3
𝑟
≈3𝛼3,则𝑟的近似值为( 𝐷 )
𝑀
22
A. √𝑀2𝑅 B. √2𝑀𝑅 C. √𝑀2𝑅 D. √3𝑀𝑅
1
1
1
1
3𝑀
解析：∵(
𝑀1
𝑅+𝑟
+)2
𝑀2𝑟2
=(𝑅+𝑟)
1
𝑀1
1
，𝑟=𝑅𝛼,∴ (1)2+22=(𝑅+𝑅𝛼)3 3𝑅𝑅+𝑅𝛼(𝑅𝛼)𝑅
𝑀𝑀𝑀
∴𝑀2=𝑀1∙(1+𝛼−(1+𝛼)2)𝛼2=𝑀1∙ ∴𝑟3≈
𝑀23𝑀1
3𝛼3+3𝛼4+𝛼5
(1+𝛼)2≈𝑀1∙3𝛼3=3𝑀1∙𝑅3,
𝑟3
𝑅3,∴𝑟≈√2𝑅,选𝐷
3𝑀
1
3
𝑀
5.演讲比赛共有9为评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个 原始评分中去掉1个最高分、一个最低分，得到7个有效评分。7个有效评分与9个 原始评分相比，不变的数字特征是( A )
A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D.极差
解析：不妨把9个原始评分从小到大排序记作：𝑥1,𝑥2,⋯,𝑥9,去掉𝑥1,𝑥9,剩余7个 有效评分为，𝑥2,𝑥3,⋯,𝑥8,由数字特征定义知，不变的数字特征是中位数，选𝐴 6.若a>b,则( C )
A.ln(a−b)>0 B.3𝑎<3𝑏 C. 𝑎3−𝑏3>0 D. |a|>|b|
解析：由函数y=lnx,y=3𝑥,𝑦=𝑥3,𝑦=|𝑥|的基本性质知，当𝑎>𝑏时，只有𝑎3−𝑏3 >0成立，选C
7.设α，β为两个平面，则α∥β的 充要条件是( B )
A.α内有无数条直线与β平行 B.α内有两条相交直线与β平行 C.α，β平行于同一条直线 D.α，β垂直于同一平面 解析：由面面平行的判定定理知，B正确，选B 8.若抛物线𝑦2=2px(p>0)的焦点是椭圆
𝑥23𝑝
+
𝑦2𝑝
=1的一个焦点，则𝑝=( 𝐷 )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 8
解析：抛物线𝑦2=2px(p>0)的焦点为𝐹(2,0),所以椭圆焦点在x轴上，由题知， 3𝑝=p+(2)2,∴𝑝2=8𝑝,又𝑝>0，∴𝑝=8,选𝐷
𝑝
𝑝
*-
9.下列函数中，以2为周期且在区间(4,2)单调递增的是( A )
A.f(x)=|cos2x| B. f(x)=|sin2x| C. f(x)=cos|x| D. f(x)=sin |x| 解析：由y=|cos2x|,y=|sin2x|,y=cos|x|,y=sin|x|的函数图象可知，周期为2且 在区间(4,2)单调递增的函数是y=|cos2x|，选𝐴 10.已知α∈(0,2),2sin2α=cos2α+1,则sinα=( B ) A. B.
51
√5 5π
𝜋𝜋
π
π𝜋𝜋
C.
√3 3
D.
2√5 5
12
解析：∵2sin2α=cos2α+1，∴4sinαcosα=2𝑐𝑜𝑠2𝛼,𝑠𝑖𝑛𝛼=𝑐𝑜𝑠𝛼, ∴𝑠𝑖𝑛2𝛼=(1−𝑠𝑖𝑛2𝛼),∴𝑠𝑖𝑛2𝛼=，又α∈(0,)，∴𝑠𝑖𝑛𝛼=
452
𝑥2
𝑦2
1
1
π
√5，选𝐵 5
11.设F为双曲线C：𝑎2−𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的右焦点，𝑂为坐标原点，以𝑂𝐹为直径 的圆与圆𝑥2+𝑦2=𝑎2交于𝑃，𝑄两点.若|𝑃𝑄|=|𝑂𝐹|,则𝐶的离心率为( 𝐴 ) A. √2 B. √3 C. 2 D. √5 解析：由题知，|𝑃𝑄|=|𝑂𝐹|，∴2
4
22
4
2
𝑎𝑏𝑐
=𝑐,∴𝑐4=4𝑎2𝑏2=4𝑎2(𝑐2−𝑎2), =0,∴𝑐−2𝑎=0，∴
2
2
𝑐2𝑎2 ∴𝑐−4𝑎𝑐+4𝑎=0,∴(𝑐−2𝑎2)2=2,∴
𝑐𝑎
=√2,选𝐴
12.设函数f(x)的定义域为R，满足f(x+1)=2f(x),且当x∈(0,1]时，f(x)=x(x−1). 若对任意x∈(−∞,m],都有f(x)≥−,则𝑚的取值范围是( 𝐵 )
98
A. (−∞,] B. (−∞,] C.(−∞,] D. (−∞,]
4
3
2
3
9758
解析：∵f(x+1)=2f(x)，∴𝑓(𝑥)=2𝑓(𝑥−1),𝑓(𝑥)=2𝑓(𝑥+1) ∵x∈(0,1]时，f(x)=x(x−1)≥−4，
∴x∈(1,2]时，f(x)=2f(x−1)=2(𝑥−1)(𝑥−2)≥− 21
1
1
x∈(2,3]时，f(x)=2f(x−1)=22(𝑥−2)(𝑥−3)≥−1
⋯,𝑥∈(𝑛,𝑛+1](𝑛∈𝑁)时, 𝑓(𝑥)=2𝑛(𝑥−𝑛)(𝑥−𝑛−1)≥−2𝑛−2, 𝑥∈(−1,0]时,𝑓(𝑥)=2𝑓(𝑥+1)=2(𝑥+1)𝑥≥−8,
x∈(−2,−1]时，𝑓(𝑥)=2𝑓(𝑥+1)=22(𝑥+2)(𝑥+1)≥−16
1
1
1
1
1
1
*-
⋯，𝑥∈(−𝑛−1,−𝑛](𝑛∈𝑁)时，f(x)=
2
()()𝑛+1x+n+1x+n≥−
89
73
83
112𝑛+3,
故当x∈(2,3]时，令f(x)=22(𝑥−2)(𝑥−3)=−，得𝑥=,𝑥=，结合图象 ∴x∈(−∞,3]时，都有都有f(x)≥−9，∴m≤3,选𝐵 二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分。
13.我国高铁发展迅速，技术先进。经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的 正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经 停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 解析：平均正点率估计值为0.97×
1040
7
8
7
+0.98×
2040
+0.99×
1040
=0.98，填0.98
14.已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)=−𝑒𝑎𝑥,若𝑓(𝑙𝑛2)=8,则𝑎= 解析：∵已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)=−𝑒𝑎𝑥， ∴f(ln2)=−f(−𝑙𝑛2)=𝑒
−𝑎𝑙𝑛2
=𝑒
𝑙𝑛()
1𝑎
2=()=8,∴𝑎=−3,填−3
2
π3
1𝑎
15.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=,则△ABC 的面积为
解析：∵b=6,a=2c,B=3，由余弦定理𝑏2=𝑎2+𝑐2−2𝑎𝑐𝑐𝑜𝑠𝐵,知 36=4𝑐2+𝑐2−2∙2𝑐∙𝑐∙2=3𝑐2,∴𝑐=2√3,𝑎=4√3 ∴△ABC的面积S=2𝑎𝑐𝑠𝑖𝑛𝐵=2∙4√3∙2√3∙
1
1
√32
1π
=6√3,填6√3 16.中国有悠久的金石文化，印信时金石文化的代表之一。印信的形状多为长方体、 正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员孤独信的印信形状是“半正多面体”(图1). 半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体。半正多面体体现了数 学的对称美。图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一正方 体的表面上，且此正方体的棱长为1，则该半正多面体共有 个面，其棱长 为 （本题第一空2分，第二空3分。）
*-
解析：由图知，该半正多面体的面数为26，设所求棱长为a,则由题知a+√2𝑎=1,∴𝑎=√2−1， 第一空填26，第二空填√2−1
三、解答题：共70分。第17~21题为必考题。第22、23题为选考题。 （一）必考题：共60分 17.（12分）
如图，长方体ABCD−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的底面𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形、 点E在棱A𝐴1上，𝐵𝐸⊥𝐸𝐶1. (1)证明：BE⊥平面E𝐵1𝐶1;
(2)若AE=𝐴1𝐸,求二面角B−EC−𝐶1的正弦值.
解析：(1)在正方体ABCD−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝐵1𝐶1⊥平面𝐴𝐵𝐵1𝐴1 BE平面𝐴𝐵𝐵1𝐴1，∴𝐵1𝐶1⊥𝐵𝐸，又∵𝐵𝐸⊥𝐸𝐶1，𝐵1𝐶1∩𝐸𝐶1=𝐶1， 且𝐵1𝐶1，𝐸𝐶1平面E𝐵1𝐶1，∴BE⊥平面E𝐵1𝐶1
(2)∵底面𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形，若AE=𝐴1𝐸，由(1)知BE⊥平面E𝐵1𝐶1，则𝐵𝐸⊥𝐸𝐵1， ∴△ABE为等腰直角三角形，取AB=BC=1,则AE=1，𝐶𝐶1=2
以C为坐标原点，以CD，CB，C𝐶1分别为𝑥,𝑦,𝑧轴如图建立空间直角坐标系𝐶−𝑥𝑦𝑧.
*-
则C(0,0,0),B(0,1,0),E(1,1,1),𝐶1(0,0,2), ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1),𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0),𝐶𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐸1=(0,0,2) 设平面CEB的法向量𝑛⃗ =(𝑥,𝑦,𝑧),则
⃗⃗⃗⃗⃗ =0𝑥+𝑦+𝑧=0⃗ ∙𝐶𝐸 {𝑛,∴{,取𝑥=1,则𝑦=0,𝑧=−1
𝑦=0⃗⃗⃗⃗⃗ =0𝑛⃗ ∙𝐶𝐵
∴𝑛⃗ =(1,0,−1) 设平面CEC1的法向量𝑚⃗⃗ =(𝑎,𝑏,𝑐),则
⃗⃗⃗⃗ =0𝑚⃗⃗ ∙⃗𝐶𝐸𝑎+𝑏+𝑐=0
,∴{,取𝑎=1,则𝑦=−1,𝑧=0
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2𝑐=0𝑚⃗⃗ ∙𝐶𝐶=01
∴𝑚⃗⃗ =(1,−1,0) {
∴cos<𝑚⃗⃗ ,𝑛⃗ >=|⃗⃗⃗ ||𝑛=⃗ |
𝑚⃗⃗⃗ ∙𝑛⃗ 𝑚
1√2√2=
2√3
2
1
∴二面角B−EC−𝐶1的正弦值为18.（12分）
11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多 得2分的一方获胜，该局比赛结束。甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的 概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立。在某局双方10:10后， 甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束。 (1)求P(X=2);
(2)求事件“X=4且甲获胜”的概率。
̅̅表示甲发球时乙得分， 解析：(1)用甲表示甲发球时甲得分，用乙表示乙发球时乙得分，用̅甲̅̅表示乙发球时甲得分，∵甲先发球,X=2，∴甲:乙为10:12或12:10时比赛结束。 用̅乙̅̅̅)+𝑃(̅̅̅乙)=0.5×0.4+(1−0.5)×(1−0.4)=0.5 则P(X=2)=𝑃(甲乙甲 (2)∵甲先发球，𝑋=4且甲获胜，则甲：乙为13:11时比赛结束 ̅̅ ̅̅̅ 甲 ̅̅̅)+P(甲 乙 甲 ̅̅̅ ) 则P(X=4且甲获胜)=P(̅甲乙乙乙 =(1−0.5)×0.4×0.5×0.4+0.5×(1−0.4)×0.5×0.4=0.1 ∴事件“X=4且甲获胜”的概率为0.1 19.（12分）
*-
已知数列{𝑎𝑛}和{𝑏𝑛}满足𝑎1=1,𝑏1=0,4𝑎𝑛+1=3𝑎𝑛−𝑏𝑛+4,4𝑏𝑛+1=3𝑏𝑛−𝑎𝑛−4. (1)证明：{𝑎𝑛+𝑏𝑛}是等比数列，{𝑎𝑛−𝑏𝑛}是等差数列; (2)求{𝑎𝑛}和{𝑏𝑛}的通项公式.
解析：(1)∵4𝑎𝑛+1=3𝑎𝑛−𝑏𝑛+4①,4𝑏𝑛+1=3𝑏𝑛−𝑎𝑛−4②. ①+②得：4(𝑎𝑛+1+𝑏𝑛+1)=2(𝑎𝑛+𝑏𝑛)，即𝑎𝑛+1+𝑏𝑛+1=2(𝑎𝑛+𝑏𝑛) ①−②得：4(𝑎𝑛+1−𝑏𝑛+1)=4(𝑎𝑛+𝑏𝑛)+8，即𝑎𝑛+1+𝑏𝑛+1=𝑎𝑛+𝑏𝑛+2 又𝑎1=1,𝑏1=0，∴𝑎1+𝑏1=1，𝑎1−𝑏1=1
∴{𝑎𝑛+𝑏𝑛}是首项为1，公比为的等比数列，{𝑎𝑛−𝑏𝑛}是首项为1，公差为2的等差数列.
21
1
(2)由(1)知，𝑎𝑛+𝑏𝑛=
12
12𝑛−1
,𝑎𝑛−𝑏𝑛=2𝑛−1,
12𝑛
∴𝑎𝑛=[(𝑎𝑛+𝑏𝑛)+(𝑎𝑛−𝑏𝑛)]=20.(12分)
已知函数f(x)=lnx−𝑥−1 𝑥+1
+𝑛−，𝑏𝑛=[(𝑎𝑛+𝑏𝑛)−(𝑎𝑛−𝑏𝑛)]=
2
2
1112𝑛
−𝑛+ 2
1
(1)讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点;
(2)设𝑥0是𝑓(𝑥)的一个零点，证明曲线𝑦=𝑙𝑛𝑥在点𝐴(𝑥0,𝑙𝑛𝑥0)处的切线也是曲线𝑦=𝑒𝑥的切线。 解析：(1)∵f(x)=lnx−𝑥−1=𝑙𝑛𝑥−𝑥−1−1(𝑥>0且𝑥≠1) ∴𝑓′(𝑥)=+(
𝑥
1
1
2𝑥−1)2𝑥+1
2
>0,∴𝑓(𝑥)在(0,1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递增。
2
1
𝑒2+1
1
√𝑒+1√𝑒−1 ∵f(𝑒)=−1−1−𝑒=𝑒−1>0,𝑓(𝑒2)=𝑒2−1−2<0,𝑓(√𝑒)=2−
1+𝑒
<0,𝑓(𝑒2)=2−𝑒2−1>0
𝑒2+1
∴f(x)在(0,1)和(1，+∞)上各有一个零点.∴f(x)有且仅有两个零点. (2)设𝑥0是𝑓(𝑥)的一个零点，则l𝑛𝑥0−𝑥
1
2
0−1
−1=0
1
∵y=lnx,𝑦′=𝑥，∴𝑦=𝑙𝑛𝑥在点𝐴(𝑥0,𝑙𝑛𝑥0)处的切线斜率为𝑥,
0
∴𝑦=𝑙𝑛𝑥在点𝐴(𝑥0,𝑙𝑛𝑥0)处的切线方程为：𝑦−𝑙𝑛𝑥0=𝑥(𝑥−𝑥0)，
0
1
即y=𝑥𝑥+𝑙𝑛𝑥0−1=𝑥𝑥+𝑥
0
0
112
0−1
1
1
2
设该切线与y=𝑒𝑥切于𝐵(𝑡,𝑒𝑡)，又𝑦′=𝑒𝑥,∴𝑒𝑡=𝑥,且𝑒𝑡=𝑥𝑡+𝑥
0
0
0−1
*-
∴𝑥=𝑥𝑡+𝑥
0
0
112
0
，∴𝑡=1−𝑥−1
2𝑥0
0
=−𝑥−1
2
0−1
−1=−𝑙𝑛𝑥0,
1
∴曲线𝑦=𝑙𝑛𝑥在点𝐴(𝑥0,𝑙𝑛𝑥0)处的切线也是曲线𝑦=𝑒𝑥的切线且切点为B(−ln𝑥0,𝑥)
0
21．（12分）
已知点A(−2,0)，B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.
21
记M的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程，并说明C是什么曲线;
(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E， 连结QE并延长交C与点G. (𝑖)证明：△PQG是直角三角形; (ii)求△PQG面积的最大值.
解析：(1)设直线𝐴𝑀与𝐵𝑀的斜率分别为𝑘𝐴𝑀，𝑘𝐵𝑀，∵点A(−2,0)，B(2,0),动点M(x,y) ∴𝑘𝐴𝑀∙𝑘𝐵𝑀=
𝑦𝑥+2𝑥−2
∙
𝑦
=
𝑦2𝑥2−4
=−，∴𝐶：2
1
𝑥24
+
𝑦22
=1(𝑥≠±2),∴曲线C是去掉左右顶点
A(−2,0)，B(2,0),长轴长为4,焦点为(±√2,0)的椭圆.
(2)(i)设P(x0,𝑦0),则E(x0,0),Q(−x0,−𝑦0),由题知直线PQ斜率存在且不为0，则直线PQ的方程
𝑦0x0
𝑦02x0
𝑦02x0
𝑦02
为y=
x,直线 QE的方程为y=
(𝑥−x0)=
𝑥24
𝑦22
𝑥−
，
22且𝑥0+2𝑦0=4,𝑥0>0,𝑦0>0， 由
+
=1与y=2x0𝑥−
0
𝑦
𝑦02
，联立得
2+𝑦22𝑥00
0
,𝑦𝐺=2𝑥2+𝑦2
0
0
2(2𝑥0
+
2)2
𝑦0x
−
2
2𝑥0𝑦0𝑥22
+𝑥0𝑦0
−
2
8𝑥0=0,解得，𝑥=−𝑥0,𝑥𝐺=
2+2𝑥2)𝑥0(3𝑦00
𝑦3
∴直线PG的斜率为
𝑦30−𝑦022𝑥0+𝑦202𝑥0(3𝑦20+2𝑥0)
2−𝑥02𝑥20+𝑦0
=−𝑦0,∴𝑃𝑄⊥𝑃𝐺，∴△𝑃𝑄𝐺是直角三角形.
0
𝑥
(Ii)由(i)得|PQ|= S=2|𝑃𝑄||𝑃𝐺|= 令t=
2+𝑦2𝑥00
22√𝑥0
+2|𝑦0,𝑃𝐺|
=
2+𝑦22𝑥0𝑦0√𝑥00
2+𝑦22𝑥00
,∴△𝑃𝑄𝐺的面积
2+𝑦2)8𝑥0𝑦0(𝑥0000
0
0
1
2+𝑦2)2𝑥0𝑦0(𝑥00
2+𝑦22𝑥00
=(𝑥2+2𝑦2)(2𝑥2+𝑦2)=𝑥2𝑦2+(𝑥2+𝑦2)2
0
0
0
0
2+𝑦2)8𝑥0𝑦0(𝑥00
𝑥0𝑦0
=x0+𝑦0≥2,则𝑆=1+𝑡2在[2,+∞)单调递减，∴𝑦0=𝑥0=
0
0
𝑦𝑥8𝑡2√33
时，𝑆取得最大值，
*-
最大值为
169
.∴△𝑃𝑄𝐺面积的最大值为.
9
16
二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22.【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分） 在极坐标系中，O为极点，点M(𝜌0,𝜃0)(𝜌0>0)在曲线C：ρ=4sinθ上.直线𝑙过点 A(4,0)且与OM垂直，垂足为P. (1)当𝜃0=时，求𝜌0及𝑙的极坐标方程;
3𝜋
(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.
解析：(1)∵点M(𝜌0,𝜃0)(𝜌0>0)在曲线C：ρ=4sinθ上，当𝜃0=3时，𝜌0=4𝑠𝑖𝑛3=2√3 ∴|OP|=|OA|cos3=2.设𝑄(𝜌,𝜃)，则𝜌cos(𝜃−3)=|𝑂𝑃|=2, ∴直线l的极坐标方程为𝜌cos(𝜃−3)=2
(2)设P(ρ,θ),则|OP|=|OA|cosθ=4cosθ,即ρ=4cosθ ∵P在线段OM上，且AP⊥OM，∴θ∈[4,2], ∴点P轨迹的极坐标方程为ρ=4cosθ，θ∈[4,2]
23.【选修4-5：不等式选讲】(10分) 已知f(x)=|x−a|x+|x−2|(x−a). (1)当a=1时，求不等式f(x)<0的解集; (2)若x∈(−∞,1)时，f(x)<0,求a的取值范围.
−2(𝑥−1)2,𝑥<1
解析：(1)当a=1时，f(x)=|x−1|x+|x−2|(x−1)={
(𝑥−1)(𝑥+|𝑥−2|),𝑥≥1 ∴不等式f(x)<0的解集为(−∞,1) (2)∵f(a)=0，∴a≥1
当a≥1，且x∈(−∞,1)时，f(x)=(a−x)x+(2−x)(x−a)=2(a−x)(x−1)<0 ∴a的取值范围是[1,+∞).
ππππ
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
*-
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