2015江苏高考数学卷

绝密★启用前

2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数学Ⅰ

注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页，均为非选择题（第1题-第20题，共20题）。本卷满分为160分。考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 2.答题前请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。 5.如需作图，须用2B铅笔绘，写清楚，线条，符号等须加黑加粗。 参考公式： 球的体积公式：V43R. 3 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置上. ．．．．．．．．1．已知集合A1，，23，B2，，45，则集合AB中元素的个数为 ▲ ．

2．已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为 ▲ ． 3．设复数z满足z234i（i是虚数单位），则z的模为 ▲ ． 4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为 ▲ ．

5．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 ▲ ． 6．已知向量a2，1，a1，2，若manb9，8mnR，则mn的值为 ▲ ． 7．不等式2x2xS←1 I←1 While IS S←S＋2 I←I＋3 End While Print s （第4题图）

4的解集为 ▲ ．

1，则tan的值为 ▲ ． 78．已知tan2，tan9. 现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 ▲ ．

10．在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mxy2m10(mR)相切的所有 圆中，半径最大的圆的标准方程为 ▲ ．

*11．数列{an}满足a11，且an1ann1（nN），则数列{1}的前10项和为 ▲ ． an1

12．平面直角坐标系xOy中，P为双曲线xy1右支上的一个动点。若点P到直线xy10的距离大于c恒成立，则是实数c的最大值为 ▲ ．

220,0x113．已知函数f(x)|lnx|，g(x)2，则方程|f(x)g(x)|1实根的个数为 |x4|2,x1▲ ．

12kkk14．设向量ak(cos,sincos)(k0,1,2,,12)，则(akak1)的值为 ▲ ．

666k0二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、．．．．．．．．．证明或演算步骤. 15．（本小题满分14分）

在VABC中，已知AB2,AC3,A60. (1)求BC的长；

(2)求sin2C的值． 16．（本小题满分14分）

如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ACBC,BCCC1.设AB1的中点为D，

oB1CIBC1E.

求证：(1)DE//平面AA1CC1；

(2)BC1AB1．

17．（本小题满分14分）

某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接

l2，山区边界曲线为C，计划修建两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2的距离分别为5千米和40千米，的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l1，l2所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角点N到l1，2

坐标系xOy，假设曲线C符合函数ya（其中a，b为常数）模型. 2xb(1)求a，b的值；

(2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.

①请写出公路l长度的函数解析式ft，并写出其定义域； ②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.

18．（本小题满分16分）

x2y22

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0) 的离心率e＝，右焦点F到

ab2左准线l的距离为3．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过F的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程．

19．（本小题满分16分）

已知函数f(x)x3ax2b(a,bR)； (1)试讨论f(x)的单调性；

(2)若bca（实数c是与a无关常数），当函数f(x)有三个不同零点时，a的取值范围恰好是（,3)33,求c的值．

21,2y l1 C M l P N O l2 x 20．（本小题满分16分）

设a1,a2,a3,a4是各项为正数且公差为d(d0)的等差数列． (1)证明：21,22,23,24依次成等比数列；

3

aaaa

234(2)是否存在a1,d，使得a1,a2,a3,a4依次成等比数列，并说明理由；

nnkn3k,a4n5k依次成等比数列，并说明理由． (3)是否存在a1,d及正整数n,k，使得a1,a2,a3

附加题

21.（选择题）本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A、选修4-1：几何证明选讲

（本小题满分10分）

如图，在ABC中，ABAC，ABC的外接圆圆O的弦AE交BC于点D． 求证：ABDAEB．

A

O B D E 第21A图

B、选修4-2：矩阵与变换已知x,yR，向量它的另一个特征值．

C

（本小题满分10分）

x11A是矩阵的属性特征值2的一个特征向量，矩阵A以及1y0C、[选修4-4：坐标系与参数方程]

已知圆C的极坐标方程为222sin()40，求圆C的半径.

4D、[选修4-5：不等式选讲] 解不等式x|2x3|3．

22.如图，在四棱锥PABCD中，已知PA平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，ABCBAD,PAAD2,ABBC1． 2(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；

(2)点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成角最小时，求线段BQ的长．

4

23.已知集合X{1,2,3},Yn{1,2,3,,n}(nN*)，设

Sn{(a,b)|a整除b或除a,aX,bYn}，令f(n)表示集合Sn所含元素个数.

(1)写出f(6)的值；

(2)当n6时，写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明．

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