一、选择题（共12小题，每小题5分）
1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（ ） A．[1，2） 2．（5分）A．1+i
B．[﹣1，1] =（ ）
B．1﹣i
C．﹣1+i
D．﹣1﹣i
C．[﹣1，2）
D．[﹣2，﹣1]
3．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（ ） A．f（x）•g（x）是偶函数 C．f（x）•|g（x）|是奇函数
B．|f（x）|•g（x）是奇函数 D．|f（x）•g（x）|是奇函数
4．（5分）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（ ） A．
B．3 C．m D．3m
5．（5分）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（ ） A．
B．
C．
D．
6．（5分）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（ ）
A．
B．
第1页（共26页）
C．
D．
7．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（ ）
A．
B．
），β∈（0，
C．
D．
8．（5分）设α∈（0，A．3α﹣β=
），且tanα=C．2α﹣β=
，则（ ） D．2α+β=
B．3α+β=
9．（5分）不等式组的解集记为D，有下列四个命题：
p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2 p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1 其中真命题是（ ） A．p2，p3
B．p1，p4
C．p1，p2
D．p1，p3
10．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若A．
=4B．3
，则|QF|=（ ）
C．
D．2
11．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实
第2页（共26页）
数a的取值范围是（ ） A．（1，+∞）
B．（2，+∞）
C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣2）
12．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）
A．6
B．6 C．4
D．4
二、填空题（共4小题，每小题5分）
13．（5分）（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为 ．（用数字填写答案） 14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市； 乙说：我没去过C城市； 丙说：我们三人去过同一城市； 由此可判断乙去过的城市为 ． 15．（5分）已知A，B，C为圆O上的三点，若
=（
+
），则
与
的夹角为 ．
16．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为 ． 三、解答题
17．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an≠0，anan+1=λSn﹣1，其中λ为常数．
（Ⅰ）证明：an+2﹣an=λ
（Ⅱ）是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．
第3页（共26页）
18．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2． （i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；
（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX． 附：
≈12.2．
若Z～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544． 19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C． （Ⅰ）证明：AC=AB1；
（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．
20．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，F
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是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为（Ⅰ）求E的方程；
，O为坐标原点．
（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程． 21．（12分）设函数f（x）=aexlnx+程为y=e（x﹣1）+2． （Ⅰ）求a、b；
（Ⅱ）证明：f（x）＞1．
选修4-1：几何证明选讲
22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE． （Ⅰ）证明：∠D=∠E；
（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．
，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方
选修4-4：坐标系与参数方程 23．已知曲线C：
+
=1，直线l：
（t为参数）
（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．
（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
选修4-5：不等式选讲
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24．若a＞0，b＞0，且+=（Ⅰ）求a3+b3的最小值；
．
（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．
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2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分）
1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（ ） A．[1，2）
B．[﹣1，1]
C．[﹣1，2）
D．[﹣2，﹣1]
【考点】1E：交集及其运算． 【专题】5J：集合．
【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可． 【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≥0， 解得：x≥3或x≤﹣1，即A=（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）， ∵B=[﹣2，2）， ∴A∩B=[﹣2，﹣1]． 故选：D．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．（5分）A．1+i
=（ ）
B．1﹣i
C．﹣1+i
D．﹣1﹣i
【考点】A5：复数的运算． 【专题】5N：数系的扩充和复数．
【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果． 【解答】解：故选：D．
【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．
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==﹣（1+i）=﹣1﹣i，
3．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（ ） A．f（x）•g（x）是偶函数 C．f（x）•|g（x）|是奇函数
【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断． 【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论． 【解答】解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数， ∴f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），
f（﹣x）•g（﹣x）=﹣f（x）•g（x），故函数是奇函数，故A错误， |f（﹣x）|•g（﹣x）=|f（x）|•g（x）为偶函数，故B错误， f（﹣x）•|g（﹣x）|=﹣f（x）•|g（x）|是奇函数，故C正确． |f（﹣x）•g（﹣x）|=|f（x）•g（x）|为偶函数，故D错误， 故选：C．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键．
4．（5分）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（ ） A．
B．|f（x）|•g（x）是奇函数 D．|f（x）•g（x）|是奇函数
B．3 C．m D．3m
【考点】KC：双曲线的性质．
【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】双曲线方程化为标准方程，求出焦点坐标，一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可得结论．
【解答】解：双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）可化为∴一个焦点为（
，0），一条渐近线方程为
=
．
=0，
，
∴点F到C的一条渐近线的距离为故选：A．
【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查点到直线的距离公式，属于基础题．
第8页（共26页）
5．（5分）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（ ） A．
B．
C．
D．
【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率． 【专题】11：计算题；5I：概率与统计．
【分析】求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．
【解答】解：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24=16种情况，
周六、周日都有同学参加公益活动，共有24﹣2=16﹣2=14种情况， ∴所求概率为故选：D．
【点评】本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．
6．（5分）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（ ）
=．
A．
B．
第9页（共26页）
C．
D．
【考点】3P：抽象函数及其应用． 【专题】57：三角函数的图像与性质．
【分析】在直角三角形OMP中，求出OM，注意长度、距离为正，再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得到f（x）的表达式，然后化简，分析周期和最值，结合图象正确选择．
【解答】解：在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，则OM=|cosx|， ∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x）=OM|sinx| =|cosx|•|sinx|=|sin2x|， 其周期为T=故选：C．
【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查二倍角公式的运用．
7．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（ ）
，最大值为，最小值为0，
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A．
B． C．
D．
【考点】EF：程序框图． 【专题】5I：概率与统计．
【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，计算输出M的值． 【解答】解：由程序框图知：第一次循环M=1+=，a=2，b=，n=2； 第二次循环M=2+=，a=，b=，n=3； 第三次循环M=+=
，a=，b=
，n=4．
．
不满足条件n≤3，跳出循环体，输出M=故选：D．
【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．
8．（5分）设α∈（0，A．3α﹣β=
），β∈（0，
），且tanα=C．2α﹣β=
，则（ ） D．2α+β=
B．3α+β=
【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值． 【专题】56：三角函数的求值．
【分析】化切为弦，整理后得到sin（α﹣β）=cosα，由该等式左右两边角的关系可排除选项A，B，然后验证C满足等式sin（α﹣β）=cosα，则答案可求． 【解答】解：由tanα=
，
即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα， sin（α﹣β）=cosα=sin（∵α∈（0，∴当故选：C．
第11页（共26页）
，得：
）， ），
）=cosα成立．
），β∈（0，
时，sin（α﹣β）=sin（
【点评】本题考查三角函数的化简求值，训练了利用排除法及验证法求解选择题，是基础题．
9．（5分）不等式组
的解集记为D，有下列四个命题：
p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2 p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1 其中真命题是（ ） A．p2，p3
B．p1，p4
C．p1，p2
D．p1，p3
【考点】2K：命题的真假判断与应用；7A：二元一次不等式的几何意义． 【专题】59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑． 【分析】作出不等式组【解答】解：作出图形如下：
的表示的区域D，对四个选项逐一分析即可．
由图知，区域D为直线x+y=1与x﹣2y=4相交的上部角型区域，
p1：区域D在x+2y≥﹣2 区域的上方，故：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2成立； p2：在直线x+2y=2的右上方和区域D重叠的区域内，∃（x，y）∈D，x+2y≥2，故p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2正确；
p3：由图知，区域D有部分在直线x+2y=3的上方，因此p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3错误；
p4：x+2y≤﹣1的区域（左下方的虚线区域）恒在区域D下方，故p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1错误； 综上所述，p1、p2正确；
第12页（共26页）
故选：C．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是关键，属于难题．
10．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若A．
=4B．3
，则|QF|=（ ）
C．
D．2
【考点】K8：抛物线的性质．
【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求得直线PF的方程，与y2=8x联立可得x=1，利用|QF|=d可求． 【解答】解：设Q到l的距离为d，则|QF|=d， ∵
=4
，
∴|PQ|=3d，
∴不妨设直线PF的斜率为﹣∵F（2，0），
∴直线PF的方程为y=﹣2与y2=8x联立可得x=1， ∴|QF|=d=1+2=3， 故选：B．
【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题．
11．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（ ） A．（1，+∞）
B．（2，+∞）
C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣2）
（x﹣2），
=﹣2
，
【考点】53：函数的零点与方程根的关系．
【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．
【分析】由题意可得f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可．
第13页（共26页）
【解答】解：∵f（x）=ax3﹣3x2+1，
∴f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1； ①当a=0时，f（x）=﹣3x2+1有两个零点，不成立；
②当a＞0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立； ③当a＜0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点； 故f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上没有零点；
而当x=时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值； 故f（）=故a＜﹣2； 综上所述，
实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）； 故选：D．
【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，同时考查了函数的零点的判定的应用，属于基础题．
12．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）
﹣3•
+1＞0；
A．6
B．6 C．4
D．4
【考点】L!：由三视图求面积、体积． 【专题】5F：空间位置关系与距离．
【分析】画出图形，结合三视图的数据求出棱长，推出结果即可．
【解答】解：几何体的直观图如图：AB=4，BD=4，C到BD的中点的距离为：4，
第14页（共26页）
∴．AC==6，AD=4，
显然AC最长．长为6． 故选：B．
【点评】本题考查三视图求解几何体的棱长，考查计算能力．
二、填空题（共4小题，每小题5分）
13．（5分）（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为 ﹣20 ．（用数字填写答案） 【考点】DA：二项式定理．
【专题】11：计算题；5P：二项式定理．
【分析】由题意依次求出（x+y）8中xy7，x2y6，项的系数，求和即可． 【解答】解：（x+y）8的展开式中，含xy7的系数是：8． 含x2y6的系数是28，
∴（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为：8﹣28=﹣20． 故答案为：﹣20
【点评】本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力．
14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市； 乙说：我没去过C城市； 丙说：我们三人去过同一城市； 由此可判断乙去过的城市为 A ． 【考点】F4：进行简单的合情推理． 【专题】5M：推理和证明．
【分析】可先由乙推出，可能去过A城市或B城市，再由甲推出只能是A，B中的一个，再由丙即可推出结论．
第15页（共26页）
【解答】解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，
但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个， 再由丙说：我们三人去过同一城市， 则由此可判断乙去过的城市为A． 故答案为：A．
【点评】本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题．
15．（5分）已知A，B，C为圆O上的三点，若【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角． 【专题】5A：平面向量及应用．
【分析】根据向量之间的关系，利用圆直径的性质，即可得到结论． 【解答】解：在圆中若即2即
+=
+
，
=（
+
），
=（
+
），则
与
的夹角为 90° ．
的和向量是过A，O的直径，
则以AB，AC为邻边的四边形是矩形， 则即
⊥与
，
的夹角为90°，
故答案为：90°
【点评】本题主要考查平面向量的夹角的计算，利用圆直径的性质是解决本题的关键，比较基础．
16．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为 【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．
【专题】11：计算题；35：转化思想；48：分析法；58：解三角形．
【分析】由正弦定理化简已知可得2a﹣b2=c2﹣bc，结合余弦定理可求A的值，由基本不等式可求bc≤4，再利用三角形面积公式即可计算得解．
第16页（共26页）
．
【解答】解：因为：（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC ⇒（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c ⇒2a﹣2b+ab﹣b2=c2﹣bc， 又因为：a=2， 所以：△ABC面积而b2+c2﹣a2=bc ⇒b2+c2﹣bc=a2 ⇒b2+c2﹣bc=4 ⇒bc≤4 所以：故答案为：
．
，即△ABC面积的最大值为
．
，
，
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
三、解答题
17．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an≠0，anan+1=λSn﹣1，其中λ为常数．
（Ⅰ）证明：an+2﹣an=λ
（Ⅱ）是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由． 【考点】83：等差数列的性质；8H：数列递推式． 【专题】54：等差数列与等比数列．
【分析】（Ⅰ）利用anan+1=λSn﹣1，an+1an+2=λSn+1﹣1，相减即可得出；
（Ⅱ）假设存在λ，使得{an}为等差数列，设公差为d．可得λ=an+2﹣an=（an+2﹣an+1）+（an+1﹣an）=2d，的充要条件是
．得到λSn=，解得λ即可．
，根据{an}为等差数列
【解答】（Ⅰ）证明：∵anan+1=λSn﹣1，an+1an+2=λSn+1﹣1，
第17页（共26页）
∴an+1（an+2﹣an）=λan+1 ∵an+1≠0， ∴an+2﹣an=λ．
（Ⅱ）解：假设存在λ，使得{an}为等差数列，设公差为d． 则λ=an+2﹣an=（an+2﹣an+1）+（an+1﹣an）=2d， ∴∴∴λSn=1+
．
，
， =
，解得λ=4．
，
根据{an}为等差数列的充要条件是此时可得
，an=2n﹣1．
因此存在λ=4，使得{an}为等差数列．
【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及其前n项和公式、等差数列的充要条件等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、分类讨论的思想方法，属于难题．
18．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ
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近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2． （i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；
（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX． 附：
≈12.2．
若Z～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544． 【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】11：计算题；5I：概率与统计．
【分析】（Ⅰ）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而求出P（187.8＜Z＜212.2），注意运用所给数据；
（ii）由（i）知X～B（100，0.6826），运用EX=np即可求得．
【解答】解：（Ⅰ）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为： =170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200，
2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302s2=（﹣30）2×0.02+（﹣20）2×0.09+（﹣10）
×0.02=150．
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而P（187.8＜Z＜212.2）=P（200﹣12.2＜Z＜200+12.2）=0.6826；
（ii）由（i）知一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为0.6826， 依题意知X～B（100，0.6826），所以EX=100×0.6826=68.26．
【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力．
19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C． （Ⅰ）证明：AC=AB1；
（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．
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【考点】M7：空间向量的夹角与距离求解公式；MJ：二面角的平面角及求法． 【专题】5H：空间向量及应用．
【分析】（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，可证B1C⊥平面ABO，可得B1C⊥AO，B10=CO，进而可得AC=AB1； （2）以O为坐标原点，轴的正方向，
的方向为x轴的正方向，|
|为单位长度，
的方向为y
的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，分别可得两平面的法
向量，可得所求余弦值．
【解答】解：（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO， ∵侧面BB1C1C为菱形，
∴BC1⊥B1C，且O为BC1和B1C的中点， 又∵AB⊥B1C，∴B1C⊥平面ABO， ∵AO⊂平面ABO，∴B1C⊥AO， 又B10=CO，∴AC=AB1，
（2）∵AC⊥AB1，且O为B1C的中点，∴AO=CO， 又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB， ∴OA，OB，OB1两两垂直， 以O为坐标原点，
的方向为x轴的正方向，|
|为单位长度，
的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，
∵∠CBB1=60°，∴△CBB1为正三角形，又AB=BC， ∴A（0，0，∴
=（0，
），B（1，0，0，），B1（0，，
），
=
=（1，0，
，0），C（0，
），
=
，0） =（﹣1，
，0），
设向量=（x，y，z）是平面AA1B1的法向量，
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则，可取=（1，，），
同理可得平面A1B1C1的一个法向量=（1，﹣∴cos＜，＞=
=，
，），
∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值为
【点评】本题考查空间向量法解决立体几何问题，建立坐标系是解决问题的关键，属中档题．
20．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程． 【考点】K4：椭圆的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合． 【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（Ⅰ）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程； （Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入
，利
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，F
，O为坐标原点．
用△＞0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程． 【解答】解：（Ⅰ） 设F（c，0），由条件知所以a=2
，b2=a2﹣c2=1，故E的方程
，得．…．（5分）
又
，
（Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2） 将y=kx﹣2代入
，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，
时，
当△=16（4k2﹣3）＞0，即
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从而
又点O到直线PQ的距离设
，则t＞0，
，所以△OPQ的面积
，
=，
当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，
x﹣2或y=﹣
x﹣2．…（12分）
所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y=
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．
21．（12分）设函数f（x）=aexlnx+程为y=e（x﹣1）+2． （Ⅰ）求a、b；
（Ⅱ）证明：f（x）＞1．
【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程． 【专题】15：综合题；53：导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）求出定义域，导数f′（x），根据题意有f（1）=2，f′（1）=e，解出即可； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，函数h（x）=
max；
，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方
，只需证明g（x）min＞h（x）max，利用导数可分别求得g（x）min，h（x）
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）， f′（x）=
+
，
由题意可得f（1）=2，f′（1）=e， 故a=1，b=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=exlnx+∵f（x）＞1，∴exlnx+
，
﹣
，
＞1，∴lnx＞
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∴f（x）＞1等价于xlnx＞xex﹣，设函数g（x）=xlnx，则g′（x）=1+lnx， ∴当x∈（0，）时，g′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0．
故g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，从而g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（）=﹣．
设函数h（x）=xe﹣x﹣，则h′（x）=e﹣x（1﹣x）．
∴当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0， 故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减， 从而h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=﹣． 综上，当x＞0时，g（x）＞h（x），即f（x）＞1．
【点评】本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值、证明不等式等，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．
选修4-1：几何证明选讲
22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE． （Ⅰ）证明：∠D=∠E；
（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．
﹣
【考点】NB：弦切角；NC：与圆有关的比例线段． 【专题】15：综合题；5M：推理和证明．
【分析】（Ⅰ）利用四边形ABCD是⊙O的内接四边形，可得∠D=∠CBE，由CB=CE，可得∠E=∠CBE，即可证明：∠D=∠E；
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（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，证明AD∥BC，可得∠A=∠CBE，进而可得∠A=∠E，即可证明△ADE为等边三角形．
【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠D=∠CBE， ∵CB=CE， ∴∠E=∠CBE， ∴∠D=∠E；
（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MN⊥BC， ∴O在直线MN上，
∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M， ∴OM⊥AD， ∴AD∥BC， ∴∠A=∠CBE， ∵∠CBE=∠E， ∴∠A=∠E，
由（Ⅰ）知，∠D=∠E， ∴△ADE为等边三角形．
【点评】本题考查圆的内接四边形性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
选修4-4：坐标系与参数方程 23．已知曲线C：
+
=1，直线l：
（t为参数）
（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．
（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值
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与最小值．
【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合；QH：参数方程化成普通方程． 【专题】5S：坐标系和参数方程．
【分析】（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；
（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以
sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值． 【解答】解：（Ⅰ）对于曲线C：故曲线C的参数方程为对于直线l：
，
+
=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，
，（θ为参数）．
由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0； （Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）． P到直线l的距离为则
．
，其中α为锐角．
． ．
当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为
【点评】本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题．
选修4-5：不等式选讲 24．若a＞0，b＞0，且+=（Ⅰ）求a3+b3的最小值；
（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由． 【考点】RI：平均值不等式． 【专题】59：不等式的解法及应用．
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．
【分析】（Ⅰ）由条件利用基本不等式求得ab≥2，再利用基本不等式求得a3+b3的最小值．
（Ⅱ）根据 ab≥2及基本不等式求的2a+3b＞8，从而可得不存在a，b，使得2a+3b=6． 【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且+=∴
=+≥2
，∴ab≥2， 时取等号． ≥2
． =2≥2
，当且仅当2a=3b时，取等号． =4
＞6，
=4
，当且仅当a=b=
时取等号， ，
当且仅当a=b=∵a3+b3 ≥2
∴a3+b3的最小值为4（Ⅱ）∵2a+3b≥2而由（1）可知，2
故不存在a，b，使得2a+3b=6成立．
【点评】本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题．
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