2022-2023学年上海市静安区八年级(下)期末数学试卷(含解析)

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列方程中，属于无理方程的是( )A.

𝑥2−

2=0

B. 2𝑥=1

C.

2=1𝑥D. 2𝑥=0

2. 下列事件中，是随机事件的是( )A. 直线𝑦=2𝑥−1与直线𝑦=𝑥+2有公共点B. 10位学生分3组，至少有一组人数超过3C. 任取一个实数，它的平方小于零D. 打开电视时正在播放广告

3. 如果关于𝑥的方程(𝑚+2)𝑥=1无解，那么𝑚的取值范围是( )A. 𝑚=−2

B. 𝑚≠−2

C. 𝑚>−2

D. 𝑚<−2

4. 下列方程中，𝑥=1是它的根的方程为( )

−1=0A. 𝑥𝑥−12B. 2𝑥3−6=0C. 𝑥+1=0

=D. 𝑥𝑥+1𝑥+1215. 下列判断中，不正确的是( )A. 𝐴𝐵+𝐵𝐴=0C. 如果|𝐴𝐵|=|𝐶𝐷|，那么𝐴𝐵=𝐶𝐷B. 𝑎+𝑏+𝑐=𝑐+𝑏+𝑎D. 𝑎+(𝑏+𝑐)=(𝑎+𝑏)+𝑐6. 已知四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴=90°，𝐴𝐵//𝐶𝐷，∠𝐵=∠𝐷，如果添加一个条件，即可推出该

四边形是正方形，那么这个条件可以是( )

A. ∠𝐷=90°B. 𝐴𝐵=𝐶𝐷C. 𝐵𝐶=𝐶𝐷

第II卷（非选择题）

D. 𝐴𝐶=𝐵𝐷

二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）

7. 方程𝑥3−27=0的根是______．

8. 判断点(2,3)是否在函数𝑦=2𝑥−7的图象上．______ (填“是”或“否”)

9. 已知一次函数𝑦=2𝑥+𝑏的图象经过第一、二、三象限，则𝑏的取值范围是______ ．10. 方程(𝑥+1) 𝑥−1=0的根是______ ．

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11. 用换元法解分式方程𝑥的方程是______．

2𝑥2𝑥+1−2=3时，如果设𝑥2+1=𝑦，那么原方程可以化为关于𝑦𝑥+1𝑥12. 如果一个多边形的每一个内角都等于120°，那么这个多边形的边数是______．

13. 在4张卡片的正面分别画上等边三角形、平行四边形、矩形和菱形，卡片的质地、大小、

背面完全相同，现把它们正面向下随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，这张卡片上的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是______ ．

14. 已知𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90°，点𝐸、𝐹分别是边𝐴𝐶、𝐴𝐵的中点，如果𝐴𝐵长为26，𝐴𝐶：𝐶

𝐵=12：5，那么中位线𝐸𝐹的长为______ ．

15. 某款新能源车在两年内价格从25万元降至16万元.如果设每年降价的百分率均为𝑥(𝑥>0

)，则由题意可列方程：______ ．

16. 已知𝑓(𝑥)=𝑘𝑥+𝑏(𝑘≠0)，如果𝑓(−1)>𝑓(2)，且𝑓(2)=0，那么不等式𝑘𝑥+𝑏>0的解

集是______ ．

17. 如果将矩形沿一内角的平分线对折，折痕将矩形一边分为1厘米和3厘米两部分，那么这

个矩形的面积为______ 平方厘米．

18. 在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，对于𝑃、𝑄两点给出如下定义：如果点𝑃到𝑥、𝑦轴的距离中的

最小值等于点𝑄到𝑥、𝑦轴的距离中的最小值，那么称𝑃、𝑄两点为“坐标轴等距点”，例如点𝑃(2,2)与点𝑄(−2,−3)为“坐标轴等距点”.已知点𝐴的坐标为(−3,2)，如果点𝐵在直线𝑦=𝑥−1上，且𝐴、𝐵两点为“坐标轴等距点”，那么点𝐵的坐标为______ ．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

8𝑥+219. 解方程：𝑥+2+𝑥−2=𝑥2−4．

𝑥四、解答题（本大题共7小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20. (本小题7.0分)

𝑥2+𝑥𝑦=0①

解方程组：𝑥2−2𝑥𝑦−1+𝑦2=0②．

{21. (本小题7.0分)

如图，已知𝐴𝐸//𝐵𝐹，𝐴𝐶平分∠𝐵𝐴𝐸交𝐵𝐹于点𝐶，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐹，交𝐴𝐸于点𝐷，𝐴𝐶、𝐵𝐷交于点𝑂，联结𝐶𝐷．

(1)设𝑂𝐴=𝑎，𝑂𝐷=𝑏.试用向量𝑎、𝑏表示下列向量：𝑂𝐵= ______ ，𝑂𝐶= ______ ，𝐴𝐵= ______ ，𝐵𝐶= ______ ．

(2)如果∠𝐵𝐴𝐷=120°，|𝐴𝐵|=1，那么|𝐵𝐷|= ______ ．

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22. (本小题8.0分)

某公司先从甲地用9000元购买了一批商品，后发现乙地同一商品每件比甲地便宜，因此又用12000元从乙地补购了一批同样的商品.公司按每件200元售完这两批商品后，共赚了11000元．(1)设该公司从甲地购进𝑥件商品，请用含字母𝑥的代数式表示从乙地购进的商品件数是______ ；

(2)如果乙地同一商品每件比甲地便宜30元，求该公司分别从甲乙两地购进这种商品各多少件．

23. (本小题8.0分)

如图1，矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐸是对角线𝐴𝐶上一个动点(不与点𝐴重合)，作𝐸𝐹⊥𝐵𝐶，交𝐵𝐶于点𝐹，联结𝐵𝐸，如果设𝐶𝐹=𝑥，△𝐴𝐵𝐸面积为𝑦，那么可得𝑦关于𝑥的函数图象(如图2所示)．(1)求𝑦关于𝑥的函数解析式，并写出其定义域；(2)求△𝐴𝐵𝐶的面积及矩形对角线𝐴𝐶的长．

24. (本小题8.0分)

已知：如图，梯形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷//𝐵𝐶，∠𝐵=∠𝐶，𝐸、𝐹、𝐺、𝐻分别是𝐴𝐵、𝐵𝐶、𝐶𝐷、𝐷𝐴的中点，联结𝐸𝐹、𝐹𝐺、𝐺𝐻、𝐻𝐸．(1)求证：四边形𝐸𝐹𝐺𝐻是菱形；

(2)如果𝐴𝐷=3，𝐵𝐶=5，且𝐸𝐹⊥𝐹𝐺，求四边形𝐸𝐹𝐺𝐻的面积．

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25. (本小题10.0分)

如图，在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，直线𝑦=𝑥−6与𝑥轴和𝑦轴分别相交于点𝐴和点𝐵，∠𝑂𝐵𝐴的平分线𝐵𝑃交𝑂𝐴于点𝐶，点𝐶坐标(𝑚,0)，点𝑃与点𝐵关于点𝐶对称．(1)求𝑚的值；

(2)求图象经过点𝑃的反比例函数解析式；

(3)已知点𝐷是坐标平面内一点，如果四边形𝐴𝐷𝐵𝑃是平行四边形，那么点𝐷的坐标是______ .(请将点𝐷的坐标直接填写在空格内)

3426. (本小题12.0分)

(1)如图1，梯形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷//𝐵𝐶，𝐴𝐷=4，𝐴𝐵=3，𝐵𝐶=7，∠𝐵=60°.求证：四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是等腰梯形；

(2)点𝑀是直线𝐴𝐵上的一点，直线𝐷𝑀交直线𝐵𝐶于点𝑁．

①当点𝑀在线段𝐴𝐵的延长线上时(如图2)，设𝐵𝑀=𝑥，𝐷𝑀=𝑦，求𝑦关于𝑥的函数解析式并写出定义域；

②如果△𝐴𝑀𝐷是等腰三角形，求△𝐵𝑀𝑁的面积．

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答案和解析

1.【答案】𝐵

【解析】解：𝐴属于一元二次方程，所以不是无理方程，不符合题意；𝐵属于无理方程，符合题意；

𝐶属于分式方程，所以不是无理方程，不符合题意；𝐷属于一元一次方程，所以不是无理方程，不符合题意．故选：𝐵．

根据方程的相关知识对四个选项进行判断．

本题主要考查了一元二次方程的定义、无理方程的知识、分式方程的定义、一元一次方程的定义．

2.【答案】𝐷

【解析】解：𝐴、直线𝑦=2𝑥−1与直线𝑦=𝑥+2不平行，所以它们有公共点，是必然事件，不符合题意；

B、10位学生分3组，至少有一组人数超过3，是必然事件，不符合题意；C、任取一个实数，它的平方小于零，是不可能事件，不符合题意；D、打开电视时正在播放广告，是随机事件，符合题意；故选：𝐷．

根据事件发生的可能性大小判断．

本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

3.【答案】𝐴

【解析】解：由题意，∵(𝑚+2)𝑥=1无解，∴𝑚+2=0．∴𝑚=−2．故选：𝐴．

依据题意，由一次方程无解，从而𝑚+2=0，故可得解．

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本题主要考查了一元一次方程的解，解题时要能熟练掌握并理解．

4.【答案】𝐷

2【解析】解：𝐴．𝑥−1=0，

𝑥−1𝑥2−1=0，解得：𝑥=±1，

经检验𝑥=1是增根，𝑥=−1是方程的解，即𝑥=1不是方程的解，故本选项不符合题意；B.2𝑥3−6=0，2𝑥3=6，𝑥3=3，

解得：𝑥=33，即𝑥=1不是方程的解，故本选项不符合题意；C. 𝑥+1=0，

𝑥=−1，

不论𝑥为何值，𝑥的算术平方根不能为负数，

所以此方程无解，即𝑥=1不是方程的解，故本选项不符合题意；

21D.𝑥=，

𝑥+1𝑥+1方程两边都乘𝑥+1，得𝑥2=1，解得：𝑥=±1，

经检验𝑥=−1不是方程的解，𝑥=1是方程的解，故本选项符合题意；故选：𝐷．

选项A和选项D把分式方程化成整式方程，求出方程的解，再进行检验即可；选项B求出𝑥3=3，再求出方程的解即可；选项C求出 𝑥=−1，再求出方程无解即可．

本题考查了方程的解，解无理方程和解分式方程等知识点，能求出方程的解是解此题的关键．

5.【答案】𝐶

【解析】解：∵𝐴𝐵+𝐵𝐴=0，𝑎+𝑏+𝑐=𝑐+𝑏+𝑎，𝑎+(𝑏+𝑐)=(𝑎+𝑏)+𝑐，∴𝐴、𝐵、D正确，∵|𝐴𝐵|=|𝐶𝐷|，∴𝐴𝐵=𝐶𝐷或𝐴𝐵=𝐷𝐶，第7页，共23页

故C错误，故选：𝐶．

根据平面向量的加减运算法则计算即可．

本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解题的关键．

6.【答案】𝐶

【解析】解：∵𝐴𝐵//𝐶𝐷，

∴∠𝐴+∠𝐷=180°，∠𝐵+∠𝐶=180°，∵∠𝐵=∠𝐷，∴∠𝐴=∠𝐶，

∴四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形，∵∠𝐴=90°，

∴四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是矩形，∴添加𝐵𝐶=𝐶𝐷，∴四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形，故选：𝐶．

根据平行线的性质得到∠𝐴=∠𝐶，根据平行四边形的判定，矩形的判定以及正方形的判定定理即可得到结论．

本题考查了正方形的判定，矩形的判定，平行四边形的判定，熟练掌握各判定定理是解题的关键．

7.【答案】𝑥=3

【解析】解：𝑥3−27=0，𝑥3=27，𝑥=327=3，故答案为：𝑥=3．先移项，再开立方即可．

本题考查了解高次方程，能把高次方程转化成低次方程是解此题的关键．

8.【答案】否

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【解析】解：当𝑥=2时，𝑦=2𝑥−7=−3，所以(2,3)不在函数𝑦=2𝑥−7的图象上．故答案为：否．

把点坐标代入解析式通即可判断点是否在函数图象上．

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，点的坐标一定适合函数的解析式是解题的关键．

9.【答案】𝑏>0

【解析】解：∵一次函数𝑦=2𝑥+𝑏的图象经过一、二、三象限，∴𝑏>0．故答案为𝑏>0．

根据一次函数图象与系数的关系得到𝑏>0，然后对选项进行判断．

本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏(𝑘、𝑏为常数，𝑘≠0)是一条直线，当𝑘>0，图象经过第一、三象限，𝑦随𝑥的增大而增大；当𝑘<0，图象经过第二、四象限，𝑦随𝑥的增大而减小；图象与𝑦轴的交点坐标为(0,𝑏)．

10.【答案】1

【解析】解：将方程左右两边同时平方，得(𝑥+1)2(𝑥−1)=0．解得：𝑥=−1或𝑥=1．

检验：当𝑥=−1时，𝑥−1=−2<0，二次根式 𝑥−1在实数范围内无意义，∴𝑥=1．故答案为：1．

𝑥+1=0或𝑥−1=0，并要求𝑥−1≥0(即𝑥≥1)，直接解答即可．

本题考查如何解无理方程，特别需要注意要使二次根式的被开方数大于等于零．

11.【答案】2𝑦2+3𝑦−1=0

【解析】解：∵𝑦=𝑥2+1，∴原方程化为𝑦−2𝑦=3，整理得，2𝑦2+3𝑦−1=0．故答案为：2𝑦2+3𝑦−1=0．

1𝑥第9页，共23页

根据换元法，把𝑥2+1换成𝑦，然后整理即可得解．

本题考查了换元法解分式方程，换元法是解分式方程常用的方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．

𝑥12.【答案】6

【解析】解：∵多边形的每一个内角都等于120°，∴多边形的每一个外角都等于180°−120°=60°，∴边数𝑛=360°÷60°=6．故答案为：6．

先求出这个多边形的每一个外角的度数，再用360°除即可得到边数．本题主要考查了多边形的内角与外角的关系，求出每一个外角的度数是关键．

13.【答案】2 【解析】解：既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是矩形、菱形，概率是：=．故答案为：．

由等边三角形、平行四边形、矩形、菱形中既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是矩形、菱形，利用概率公式即可求得答案．

此题考查了概率公式的应用．注意概率=所求情况数与总情况数之比．

122412114.【答案】5

【解析】解：设𝐴𝐶=12𝑥，则𝐶𝐵=5𝑥，

由勾股定理得：𝐴𝐶2+𝐶𝐵2=𝐴𝐵2，即(12𝑥)2+(5𝑥)2=262，解得：𝑥=2(负值舍去)，∴𝐶𝐵=5𝑥=10，

∵点𝐸、𝐹分别是边𝐴𝐶、𝐴𝐵的中点，∴𝐸𝐹是△𝐴𝐵𝐶的中位线，∴𝐸𝐹=𝐶𝐵=5，故答案为：5．

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根据勾股定理求出𝐶𝐵，再根据三角形中位线定理计算，得到答案．

本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．

15.【答案】25(1−𝑥)2=16

【解析】解：依题意得：25(1−𝑥)2=16．故答案为：25(1−𝑥)2=16．

由”新能源车在两年内价格从25万元降至16万元“，即可得出关于𝑥的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

16.【答案】𝑥<2

【解析】解：当𝑥=2时，𝑦=0，

根据题意可以知道函数值𝑦随𝑥的增大而减小，故不等式𝑘𝑥+𝑏>0的解集是𝑥<2．故答案是：𝑥<2．

根据“𝑓(𝑥)=𝑘𝑥+𝑏(𝑘≠0)，𝑓(−1)>𝑓(2)”可以推断该函数值是随𝑥的增大而减小，再得出𝑦=0时，对应的𝑥的值即可．

此题考查了一次函数与一元一次不等式，认真体会一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联系．理解一次函数的增减性是解决本题的关键．

17.【答案】4或12

【解析】解：设矩形𝐴𝐵𝐶𝐷的内角∠𝐴𝐵𝐶的平分线交𝐴𝐷于点𝐸， ∵∠𝐴=∠𝐴𝐵𝐶=90°，𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，∴∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐶𝐵𝐸=∠𝐴𝐵𝐶=45°，∴∠𝐴𝐸𝐵=∠𝐴𝐵𝐸=45°，∴𝐴𝐵=𝐴𝐸，

如图1，𝐴𝐸=1厘米，𝐷𝐸=3厘米，

∴𝐴𝐵=𝐴𝐸=1厘米，𝐴𝐷=𝐴𝐸+𝐷𝐸=1+3=4(厘米)，∴𝑆矩形𝐴𝐵𝐶𝐷=𝐴𝐷⋅𝐴𝐵=4×1=4(平方厘米)；

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如图2，𝐷𝐸=1厘米，𝐴𝐸=3厘米，

∴𝐴𝐵=𝐴𝐸=3厘米，𝐴𝐷=𝐴𝐸+𝐷𝐸=3+1=4(厘米)，∴𝑆矩形𝐴𝐵𝐶𝐷=𝐴𝐷⋅𝐴𝐵=4×3=12(平方厘米)，综上所述，矩形的面积为4平方厘米或12平方厘米，故答案为：4或12．

设矩形𝐴𝐵𝐶𝐷的内角∠𝐴𝐵𝐶的平分线交𝐴𝐷于点𝐸，先证明𝐴𝐵=𝐴𝐸，再分两种情况讨论，一是𝐴𝐸=1厘米，𝐷𝐸=3厘米，则𝐴𝐵=𝐴𝐸=1厘米，𝐴𝐷=𝐴𝐸+𝐷𝐸=4厘米，所以𝑆矩形𝐴𝐵𝐶𝐷=𝐴𝐷⋅𝐴𝐵=4平方厘米；二是𝐷𝐸=1厘米，𝐴𝐸=3厘米，则𝐴𝐵=𝐴𝐸=3厘米，𝐴𝐷=𝐴𝐸+𝐷𝐸=4厘米，所以𝑆矩形𝐴𝐵𝐶𝐷=𝐴𝐷⋅𝐴𝐵=12平方厘米，于是得到问题的答案．

此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定、矩形的面积公式等知识，证明矩形的一个内角的平分线在该矩形上截得的三角形是等腰三角形是解题的关键．

18.【答案】(−2,−3)或(3,2)

【解析】解：∵点𝐴的坐标为(−3,2)，∴点𝐴到𝑥、𝑦轴的距离中的最小值为2，∵𝐴、𝐵两点为“坐标轴等距点”，∴点𝐵到𝑥、𝑦轴的距离中的最小值为2．当𝑥=−2时，𝑦=−2−1=−3，|−3|>|−2|，∴点𝐵到𝑥、𝑦轴的距离中的最小值为2，∴点𝐵的坐标为(−2,−3)；

当𝑥=2时，𝑦=2−1=1，|1|<|2|，

∴点𝐵到𝑥、𝑦轴的距离中的最小值为1，不符合题意，舍去；当𝑦=−2时，𝑥−1=−2，解得：𝑥=−1，∵|−1|<|−2|，

∴点𝐵到𝑥、𝑦轴的距离中的最小值为1，不符合题意，舍去；当𝑦=2时，𝑥−1=2，解得：𝑥=3，∵|3|>|2|，

∴点𝐵到𝑥、𝑦轴的距离中的最小值为2，

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∴点𝐵的坐标为(3,2)．

综上所述，点𝐵的坐标为(−2,−3)或(3,2)．故答案为：(−2,−3)或(3,2)．

由点𝐴的坐标，可得出点𝐴到𝑥、𝑦轴的距离中的最小值为2，结合𝐴、𝐵两点为“坐标轴等距点”，可得出点𝐵到𝑥、𝑦轴的距离中的最小值为2，再结合点𝐵在直线𝑦=𝑥−1上，即可得出点𝐵的坐标．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据“坐标轴等距点”的定义及一次函数图象上点的坐标特征，找出点𝐵的坐标是解题的关键．

19.【答案】解：方程两边都乘(𝑥+2)(𝑥−2)，得

𝑥(𝑥−2)+(𝑥+2)2=8，𝑥2−2𝑥+𝑥2+4𝑥+4=8，整理得𝑥2+𝑥−2=0．解得𝑥1=−2，𝑥2=1．

经检验，𝑥2=1为原方程的根，𝑥1=−2是增根(舍去)．∴原方程的根是𝑥=1．

【解析】本题的最简公分母是(𝑥+2)(𝑥−2).方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．结果需检验．

(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解；

(2)解分式方程一定注意要代入最简公分母验根．

20.【答案】解：由①，得𝑥(𝑥+𝑦)=0，

∴𝑥=0或者𝑥+𝑦=0．

由②，得(𝑥2−2𝑥𝑦+𝑦2)−1=0，∴(𝑥−𝑦)2−1=0．∴(𝑥−𝑦+1)(𝑥−𝑦−1)=0．∴𝑥−𝑦+1=0或者𝑥−𝑦−1=0．

𝑥=0𝑥=0𝑥+𝑦=0𝑥+𝑦=0

所以原方程组可变形为𝑥−𝑦+1=0或𝑥−𝑦−1=0或𝑥−𝑦−1=0或𝑥−𝑦+1=0．

{{{{第13页，共23页

1𝑥=−4𝑥1=0𝑥2=022解得𝑦1=1，𝑦2=−1，𝑦=−1，𝑦=1．

43{{{𝑥3=12{21𝑥=−4𝑥1=0𝑥2=022所以原方程组的解为𝑦1=1，𝑦2=−1，𝑦=−1，𝑦=1．

43{{{𝑥3=12{2【解析】先把组中各方程化为几个一次方程，构造二元一次方程组，求解即可．

本题主要考查了由高次方程组成的方程组的解法，掌握整式的因式分解方法和二元一次方程组的解法是解决本题的关键．

21.【答案】−𝑏 −𝑎 −𝑏−𝑎 𝑏−𝑎 3 【解析】解：(1)∵𝐴𝐶平分∠𝐵𝐴𝐸，∴∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐶𝐴𝐷，∵𝐴𝐸//𝐵𝐹，∴∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐴𝐶𝐵，∴∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐴𝐶𝐵，∴𝐴𝐵=𝐵𝐶，同理可得，𝐴𝐵=𝐴𝐷 ∴𝐵𝐶=𝐴𝐷，∵𝐴𝐷//𝐵𝐶，

∴四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形，∵𝐴𝐵=𝐵𝐶，∴▱𝐴𝐵𝐶𝐷是菱形，∴𝑂𝐴=𝑂𝐶，𝑂𝐵=𝑂𝐷，∵𝑂𝐴=𝑎，𝑂𝐷=𝑏，∴𝑂𝐵=−𝑏，𝑂𝐶=−𝑎，∴𝐴𝐵=𝑂𝐵−𝑂𝐴=−𝑏−𝑎，𝐵𝐶=𝑂𝐶−𝑂𝐵=−𝑎−(−𝑏)=𝑏−𝑎，故答案为：−𝑏；−𝑎；−𝑏−𝑎；𝑏−𝑎；(2)由(1)知，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是菱形，∴𝐴𝐶⊥𝐵𝐷，∵∠𝐵𝐴𝐷=120°，∴∠𝐵𝐴𝑂=60°，

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∴𝐵𝑂=

33𝐴𝐵=，22∴𝐵𝐷= 3，∴|𝐵𝐷|= 3，故答案为： 3．(1)根据平行线的性质以及角平分线的定义推出四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是菱形，再根据平面向量三角形运算法则即可求解；

(2)根据含30°角的直角三角形的性质求出𝐵𝑂的长即可求解．

本题考查了菱形的判定与性质，平面向量，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．

22.【答案】160−𝑥

【解析】解：(1)设从乙地购进的商品件数是𝑦，则：200(𝑥+𝑦)=11000+9000+12000，解得：𝑦=160−𝑥，故答案为：160−𝑥；(2)由题意得：

900012000−30=，160−𝑥𝑥解得：𝑥=60或𝑥=800(不合题意，舍去)，经检验：𝑥=60是原分式方程的解，∴160−𝑥=100，

答：公司从甲地购进商品80件，从乙两地购进商品100件．(1)根据题意列方程求解；(2)根据题意列方程求解．

本题考查了方程的应用，理解题意找出相等关系是解题的关键．

23.【答案】解：(1)设𝑦关于𝑥的函数解析式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏，

∴将(0,24)，(4,8)，代入得，=24

{𝑏4𝑘+𝑏=8，

𝑏=24

∴解得{𝑘=−4，∴𝑦=−4𝑥+24；

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当𝑥=0时，即−4𝑥+24=0，解得𝑥=6，∵点𝐸不与点𝐴重合，∴定义域为0≤𝑥<6；(2)当𝑥=0时，点𝐸与点𝐶重合，∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=𝑆△𝐴𝐵𝐸=24，∴△𝐴𝐵𝐶的面积为24；

由(1)可得，当𝑦=0时，解得𝑥=6，∴𝐵𝐶=𝐹𝐶=6，

∵𝑆△𝐴𝐵𝐶=24，四边形是矩形，∴⋅𝐴𝐵⋅𝐵𝐶=24，即⋅𝐴𝐵×6=24，∴𝐴𝐵=8，

在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，由勾股定理可得，𝐴𝐶=10． 【解析】(1)利用待定系数法求解即可；

(2)首先根据题意得到当𝑥=0时，点𝐸于点𝐶重合，进而得到△𝐴𝐵𝐶的面积为24；然后由𝑦=0，解得𝑥=6，最后利用三角形面积公式求解即可．

此题考查了一次函数与几何结合，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．

121224.【答案】(1)证明：连接𝐴𝐶，𝐵𝐷，

∵梯形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷//𝐵𝐶，∠𝐵=∠𝐶，∴梯形𝐴𝐵𝐶𝐷是等腰梯形，∴𝐴𝐶=𝐵𝐷，

∵𝐸、𝐹分别是𝐴𝐵、𝐵𝐶中点，∴𝐸𝐹是△𝐵𝐴𝐶的中位线，∴𝐸𝐹=𝐴𝐶，

同理：𝐹𝐺=𝐵𝐷，𝐺𝐻=𝐴𝐶，𝐸𝐻=𝐵𝐷，∴𝐸𝐹=𝐹𝐺=𝐺𝐻=𝐸𝐻，∴四边形𝐸𝐹𝐺𝐻是菱形；

12121212第16页，共23页

(2)解：连接𝐸𝐺，

∵𝐸、𝐺分别是𝐴𝐵、𝐶𝐷的中点，∴𝐸𝐺是梯形的中位线，

∴𝐸𝐺=(𝐴𝐷+𝐵𝐶)=×(3+5)=4，∵𝐸𝐹⊥𝐹𝐺，∴∠𝐸𝐹𝐺=90°，∵四边形𝐸𝐹𝐺𝐻是菱形，∴四边形𝐸𝐹𝐺𝐻是正方形，∴𝐸𝐹=𝐹𝐺，

∵𝐸𝐹2+𝐹𝐺2=𝐸𝐺2=42=16，∴𝐸𝐹2=8，

∴四边形𝐸𝐹𝐺𝐻的面积=𝐸𝐹2=8．

【解析】(1)由等腰梯形的性质得到𝐴𝐶=𝐵𝐷，由三角形中位线定理推出𝐸𝐹=𝐹𝐺=𝐺𝐻=𝐸𝐻，即可证明四边形𝐸𝐹𝐺𝐻是菱形；

(2)由梯形中位线定理得到𝐸𝐺的长，可以证明四边形𝐸𝐹𝐺𝐻是正方形，由勾股定理求出𝐸𝐹2的值，即可得到四边形𝐸𝐹𝐺𝐻的面积．

本题考查菱形的判定，正方形的判定，梯形，中点四边形，勾股定理，关键是掌握菱形的判定方法．

121225.【答案】(2,−12)

【解析】解：(1)过点𝐶作𝐶𝑀⊥𝐴𝐵与点𝑀，如图所示，

∵直线𝑦=𝑥−6与𝑥轴和𝑦轴分别相交于点𝐴和点𝐵，∴令𝑥=0，得𝑦=−6，

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令𝑦=0，得𝑥=8，∴𝐴(8,0)，𝐵(0,−6)，∴𝑂𝐵=6，𝑂𝐴=8，

∴𝐴𝐵= 𝑂𝐵2+𝑂𝐴2= 82+62=10，∵𝐵𝑃是∠𝑂𝐵𝐴的平分线，∴∠𝑂𝐵𝐶=∠𝑀𝐵𝐶，∴△𝑂𝐵𝐶≌△𝑀𝐵𝐶(𝐴𝐴𝑆)，∴𝑂𝐶=𝐶𝑀=𝑚，𝑂𝐵=𝐵𝑀=6，∵𝐴𝐵=10，

∴𝐴𝑀=𝐴𝐵−𝐵𝑀=10−6=4，𝐴𝐶=𝐴𝑂−𝑂𝐶=8−𝑚，在𝑅𝑡△𝐴𝐶𝑀中，(8−𝑚)2=𝑚2+42，解得𝑚=3．答：𝑚的值为3．(2)由(1)可得𝐶(3,0)，∵点𝑃与点𝐵关于点𝐶对称，

∴点𝑃的横坐标为2×3−0=6，纵坐标为2×0−(−6)=6，∴𝑃(6,6)，

设反比例函数为𝑦=(𝑘为常数，𝑘≠0)，∵图象经过点𝑃，∴6=，解得：𝑘=36，

∴经过点𝑃的反比例函数解析式为𝑦=

36．𝑥36．𝑥𝑘6𝑘𝑥答：经过点𝑃的反比例函数解析式为𝑦=

(3)连接𝑃𝐴，过点𝐵作𝐵𝐷//𝑃𝐴，过点𝐴作𝐴𝐷//𝑃𝐵，𝐵𝐷与𝐴𝐷交于一点𝐷，连接𝐵𝐷，𝐴𝐷，如图所示，

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由(1)(2)可得𝐴(8,0)，𝐵(0,−6)，𝑃(6,6)，∵四边形𝐴𝐷𝐵𝑃是平行四边形，∴设𝐵𝑃所在的直线为𝑦=𝑘1𝑥+𝑏1，6𝑘1+𝑏1=6∴𝑏1=−6，𝑘1=2解得𝑏1=−6，∵𝐵𝑃//𝐴𝐷，

∴设𝐴𝐷所在的直线为𝑦=2𝑥+𝑏2，将点𝐴的坐标代入可得𝑏2=−16，∴𝐴𝐷所在的直线为𝑦=2𝑥−16，设𝐴𝑃所在的直线为𝑦=𝑘2𝑥+𝑏3，8𝑘2+𝑏2=0

将点𝐴、𝑃的坐标代入得6𝑘2+𝑏2=6，𝑘2=−3解得𝑏2=24，

∵𝐴𝑃//𝐵𝐷，两直线斜率相同，∴设𝐵𝐷所在的直线为𝑦=−3𝑥+𝑏4 将点𝐵坐标代入可得𝑏4=−6，∴𝐵𝐷所在的直线为𝑦=−3𝑥−6，

{{{{{𝑥=2

解得{𝑦=−12，

∴𝐷(2,−12)．

𝑦=2𝑥−16联立𝑦=−3𝑥−6，

故答案为：(2,−12)．

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(1)作辅助线，证明△𝑂𝐵𝐶≌△𝑀𝐵𝐶(𝐴𝐴𝑆)，再根据边长之间的关系，利用勾股定理即可得到答案；(2)点𝑃与点𝐵关于点𝐶对称，据此可求出𝑃(6,6)，代入反比例函数中即可求得解析式；

(3)根据题意求出平行四边形四条边所在的直线方程，然后求出直线𝐵𝐷和直线𝐴𝐷的交点坐标即可．本题考查了反比例函数综合应用，主要考查的是角平分线的性质，勾股定理，反比例函数、平行四边形的性质，解题的关键是准确找到边长之间的关系．

26.【答案】(1)证明：如图1，过点𝐷作𝐷𝐸//𝐴𝐵交𝐵𝐶于点𝐸，

∵𝐴𝐷//𝐵𝐶，

∴四边形𝐴𝐵𝐸𝐷是平行四边形，

∴𝐷𝐸=𝐴𝐵=3，𝐵𝐸=𝐴𝐷，∠𝐷𝐸𝐶=∠𝐵=60°，∵𝐵𝐶=7，

∴𝐶𝐸=𝐵𝐶−𝐵𝐸=7−4=3，∴𝐷𝐸=𝐶𝐸，又∠𝐷𝐸𝐶=60°，∴△𝐷𝐸𝐶是等边三角形，∴𝐷𝐶=𝐷𝐸，∴𝐷𝐶=𝐴𝐵，∵𝐴𝐷//𝐵𝐶，

∴四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是等腰梯形；

(2)①如图2，过点𝐷作𝐷𝐹⊥𝑀𝐴的延长线于点𝐹，

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∴∠𝐷𝐹𝐴=90°，∵𝐴𝐷//𝐵𝐶，

∴∠𝐹𝐴𝐷=∠𝐴𝐵𝐶=60°，∴∠𝐴𝐷𝐹=30°，

∴𝐴𝐹=𝐴𝐷=×4=2，

由勾股定理得𝐷𝐹= 𝐴𝐷2−𝐴𝐹2= 42−22=2 3，∵𝐴𝐹=2，𝐴𝐵=3，𝐵𝑀=𝑥，∴𝑀𝐹=𝐴𝐹+𝐴𝐵+𝐵𝑀=5+𝑥，

在𝑅𝑡△𝑀𝐹𝐷中，由勾股定理得𝐷𝑀2=𝐷𝐹2+𝑀𝐹2，∵𝐷𝑀=𝑦，

∴𝑦2=(2 3)2+(5+𝑥)2，整理得𝑦2=𝑥2+10𝑥+37，

∴𝑦关于𝑥的函数解析式𝑦= 𝑥2+10𝑥+37，定义域𝑥>0；②∵△𝐴𝑀𝐷是等腰三角形，∴𝐴𝑀=𝐴𝐷或𝐴𝑀=𝐷𝑀或𝐴𝐷=𝑀𝐷，当𝐴𝑀=𝐴𝐷时，∵𝐴𝐷=4，∴𝐴𝑀=4，

∴点𝑀在𝐴𝐵的延长线上，∴𝐵𝑀=𝐴𝑀−𝐴𝐵=4−3=1，如图3，过点𝐵作𝐵𝐻⊥𝑀𝑁于点𝐻，

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∵𝐴𝐷//𝐵𝐶，

∴∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐴=180°，∵∠𝐴𝐵𝐶=60°，∴∠𝐴=120°，∵𝐴𝑀=𝐴𝐷，

∴∠𝐴𝑀𝐷=∠𝐴𝐷𝑀=30°，∴𝐵𝐻=𝐵𝑀=×1=，

31由勾股定理得𝑀𝐻= 𝐵𝑀2−𝐵𝐻2= 12−()2=，

12121222∵𝐴𝐷//𝐵𝐶，

∴∠𝐵𝑁𝑀=∠𝐴𝐷𝑀=30°，∴∠𝐴𝑀𝐷=∠𝐵𝑁𝑀=30°，∴𝐵𝑀=𝐵𝑁，∵𝐵𝐻⊥𝑀𝑁，∴𝑁𝐻=𝑀𝐻=∴𝑀𝑁= 3，1113∴𝑆△𝐵𝑀𝑁=𝑀𝑁⋅𝐵𝐻=× 3×=；

3，22224当𝐴𝑀=𝐷𝑀时，∠𝑀𝐷𝐴=∠𝐴=120°，不合题意，舍去；当𝐴𝐷=𝑀𝐷时，∠𝐷𝑀𝐴=∠𝐴=120°，不合题意，舍去；综上，△𝐵𝑀𝑁的面积为

3． 4【解析】(1)过点𝐷作𝐷𝐸//𝐴𝐵交𝐵𝐶于点𝐸，先证四边形𝐴𝐵𝐸𝐷是平行四边形，再证△𝐷𝐸𝐶是等边三角形，于是问题得证；

(2)①过点𝐷作𝐷𝐹⊥𝑀𝐴的延长线于点𝐹，先根据平行线的性质得出∠𝐹𝐴𝐷=60°，从而求出𝐴𝐹、𝐷𝐹的长，于是得出𝑀𝐴的长，最后在𝑅𝑡△𝑀𝐹𝐷

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中利用勾股定理求出𝑦与𝑥之间的关系即可；

②分三种情况讨论，若△𝐴𝑀𝐷是等腰三角形，则𝐴𝑀=𝐴𝐷或𝐴𝑀=𝐷𝑀或𝐴𝐷=𝑀𝐷，当𝐴𝑀=𝐴𝐷时，先得出𝐵𝑀=1，过点𝐵作𝐵𝐻⊥𝑀𝑁于点𝐻，求出𝐵𝐻、𝑀𝑁的长，即可求出△𝐵𝑀𝑁的面积；当𝐴𝑀=𝐷𝑀或𝐴𝐷=𝑀𝐷时，根据三角形内角和定理判断这两种情况不成立．

本题考查了等腰梯形的判定，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握分类讨论思想的运用．

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