维普资讯 http://www.cqvip.com ８—３毒 数学教学 ２００８年第８期 另证一个不等式的再推广 ０５００６１河北省河北经贸大学数学与统计学学院王亚辉 文【１】对人教版教材高中数学第二册（上）第 ３０页的一道习题：已知ａ、ｂ、ｃ＞０，求证：÷ ≥ ２ｋ ．１彳， ａ —Ｕ １ １ ＋ 二＿＿＋— ＞０，指导学生进行了探充将 ｕ—ｃ ｃ一Ⅱ 这个不等式加强为— １ ＋ １ ＋＿二＿≥０， ０一Ｄ Ｄ—ｃ ・ ｃ一０１ １ 进一步当０＞ｂ＞ｃ＞ｄ时，则有— ＋ ＋ １ Ｃｌ Ｕ—Ｕ Ｕ—Ｃ ÷＋÷≥０． 文【２】又将上述不等式推广为： 已知ｎｌ＞０２＞…＞ａｎ—ｌ＞ａｎ， ∈ ，则 扫＋瓦扫 ．．＋ ≥０．．．…………………（１） 作者应用“一个猜想的结论”（详见文【３】）证 明了（１）式．笔者觉得这样的证法似欠一般化（注： 文【３】用凸函数（ｃｏｎｖｅｘ ｆｕｎｃｔｉｏｎ）理论，即应用 Ｊｅｎｓｅｎ不等式证明了“猜想”． 本文应用ＡＭ— ＧＭ不等式作出证明． 证：不等式（１）等价于不等式： ≥ ．… 记Ａ为不等式（２）的左端， Ｂ＝∑（ａｉ—ａｉ＋１）＝ａｌ—ａｎ． 由ＡＭ—ＧＭ不等式得以下ｎ一１个不等式： １ ２ｋ—１个 Ａ ＋ 。 Ｂ ＋．．．＋ 。 。Ｂ 同理 １ 三翌 Ａ ＋ ＋．．．＋ ≥ ２ｋ ．１彳， １ Ａ ＋ 。 ２ｋ—１个 ａｎ－ｌ—ａｎ ａｎ－ｌ—ａｎ、 ２ｋ・１ —— 一十…十—— 一 ｌｌ 一￣｛／ＡＢ２ｋ－１’ 将上述ｎ一１不等式相加，得 ＋（２ｋ－１）百Ｂ≥ ． 约去２ ，两边２ 次方，整理，得 ≥ ＝ ， （２）式得证，即（１）式得证． 参考文献 【１】许金松．对一道习题的探究性学习．数学 通报．２００４．９． 【２】戍健君．一个不等式的推广．数学通报． ２００７．５． 【３】俞武扬．一个猜想的证明．数学通报． ２００２．２．
