《椭圆及其性质》专题(学生版)

《椭圆及其性质》专题

2019年（ ）月（ ）日 班级 姓名 1．椭圆的定义

平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数 2a(2a＞|F1F2|)的动点P的轨迹叫做椭圆，这两个 定点F1，F2叫做椭圆的焦点. 2．椭圆的标准方程

(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆 x2y2

的标准方程为2＋2＝1(a＞b＞0)．

ab(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的椭圆 y2x2

的标准方程为2＋2＝1(a＞b＞0)．

ab3．椭圆的几何性质 标准方程 范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率 a，b，c的关系 ❶长轴与短轴的交点叫做椭圆的中心．

❷离心率表示椭圆的扁平程度．当e越接近于1时，c越接 近于a，从而b＝a2－c2越小，因此椭圆越扁．

2b2

(1)过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为a，过焦点最长弦为长轴．

1

2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是线段F1F2；2a＜|F1F2|时，动点的轨迹不存在. 焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的分母较大；焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的分母较大. x2y2＋＝1(a＞b＞0) a2b2|x|≤a，|y|≤b y2x2＋＝1(a＞b＞0) a2b2|x|≤b，|y|≤a 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称 (a,0)，(－a,0)， (0，b)，(0，－b) (c,0)，(－c,0) (b,0)，(－b,0)， (0，a)，(0，－a) (0，c)，(0，－c) 长半轴长为a，短半轴长为b，a＞b❶ e＝c❷ aa2＝b2＋c2 鸡西市第十九中学高三数学组

(2)过原点最长弦为长轴长2a，最短弦为短轴长2b.

x2y2x2y2

(3)与椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)有共焦点的椭圆方程为2＋2＝1(λ＞－b2)．

aba＋λb＋λ(4)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形．若x2y2

r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)

ab中：①当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大；

1

②S＝|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大

2值为bc；

③△PF1F2的周长为2(a＋c)． x2y2

1．椭圆＋＝1的离心率为( )

89

1111A. B. C. D. 2534

1

2．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则椭圆C的方程是( )

2

x2y2

A.＋＝1 34x2y2

C.＋＝1 42

x2y2

B.＋＝1 43x2y2

D.＋＝1 43

x2y2

3．(2018·全国卷Ⅰ)已知椭圆C：2＋＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为( )

a4

1A. 3C.2 2

1B. 222D.

3

x2y23

4．若椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴长为4，则椭圆的方程为________．

ab2x2y2

5．若方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是________．

5－kk－3

考点一 椭圆的标准方程

[典例] (1)已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的标准方程为( )

2

鸡西市第十九中学高三数学组

xy

A.＋＝1 64x2y2

C.＋＝1 3616

22x2y2B.＋＝1 1636x2y2

D.＋＝1 499

5

，则椭圆的标准方程3

(2)已知中心在坐标原点的椭圆过点A(－3,0)，且离心率e＝为________．

[解题技法] 求椭圆标准方程的两种方法

(1)定义法．根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程． (2)待定系数法．一般步骤如下：

[提醒] 求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0)．

[题组训练]

x2y2

1．(2018·济南一模)已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长

ab轴三等分，则此椭圆的标准方程为( )

x2y2

A.＋＝1 3632x2y2

C.＋＝1 95

x2y2

B.＋＝1 98x2y2

D.＋＝1 1612

1

2．椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，若椭圆C的离心率等于，且它的一个顶点恰

2好是抛物线x2＝83y的焦点，则椭圆C的标准方程为______________．

3

鸡西市第十九中学高三数学组 3．已知椭圆中心在原点，且经过A(3，－2)和B(－23，1)两点，则椭圆的标准方程为________．

考点二 椭圆的定义及其应用

x2y2

[典例] (1)(2019·郑州第二次质量预测)已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦

ab2

点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为12，

3则椭圆C的标准方程为( )

x22

A.＋y＝1 3x2y2

C.＋＝1 94

x2y2

B.＋＝1 32x2y2

D.＋＝1 95

x2y2

(2)已知点P(x，y)在椭圆＋＝1上，F1，F2是椭圆的两个焦点，若△PF1F2的面

36100积为18，则∠F1PF2的余弦值为________． [变透练清]

x2y2

1．已知椭圆＋＝1上一点P到椭圆一个焦点F1的距离为3，则P到另一个焦点F2

2516的距离为( )

A．2 C．5

B．3 D．7

2.变结论若本例(2)条件不变，则△PF1F2的内切圆的面积为________． [解题技法]

利用定义求方程、焦点三角形及最值的方法 求方程 通过对题设条件分析、转化后，能够明确动点P满足椭圆的定义，便可直接求解其轨迹方程 利用定义求焦点三角形的周长和面积．解决焦点三角形问题常利求焦点三角形 用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理．其中|PF1|＋|PF2|＝2a两边平方是常用技巧 抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到基本不等式求|PF1|·|PF2|的求最值 最值；利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a转化或变形，借助三角形性质求最值

4

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[口诀归纳]

椭圆定义是基础，解题过程莫疏忽； 定义等式藏图中，平几知识要活用.考点三 椭圆的几何性质

考法(一) 求椭圆离心率的值(或范围)

[典例] (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为( )

A．1－C.3

2

B．2－3 D.3－1

3－1

2

x2y2

(2)已知椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x

ab4

－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭5圆E的离心率的取值范围是( )

A.0，



3 2

30， B.43D.4，1

C.

3

2，1

[解题技法] 求椭圆离心率的方法

c

(1)定义法：根据条件求出a，c，直接利用公式e＝求解．

a

(2)方程法：根据条件得到关于a，b，c的齐次等式(不等式)，结合b2＝a2－c2转化为关于a，c的齐次等式(不等式)，然后将该齐次等式(不等式)两边同时除以a或a2转化为关于e或e2的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． 考法(二) 与椭圆性质有关的最值问题

x2y2

[典例] 已知点F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，点M是该椭圆上的一

2516―→―→

个动点，那么|MF1＋MF2|的最小值是( )

A．4 B．6 C．8 D．10

5

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[解题技法] 椭圆几何性质的应用技巧

(1)与椭圆的几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形．

(2)椭圆相关量的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b,0＜e＜1，三角形两边之和大于第三边，在求椭圆相关量的范围或最值时，要注意应用这些不等关系．

[题组训练]

x2y2

1．(2018·贵阳摸底)P是椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)上的一点，A为左顶点，F为右焦点，PF

ab1

⊥x轴，若tan∠PAF＝，则椭圆的离心率e为( )

2

A.

2231 B. C. D. 3232

x22

2．已知P在椭圆＋y＝1上，A(0,4)，则|PA|的最大值为( )

4

A.

21876

B. C．5 D．25 33

x2y2

3．已知F1，F2分别是椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P，

ab使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则椭圆C的离心率的取值范围是( )

2A.3，1 1C.3，1

A级——保大分专练

1．椭圆以x轴和y轴为对称轴，经过点(2,0)，长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程为( )

x22y2x2

A.＋y＝1 B.＋＝1 4164

x22y2x2x22y22

C.＋y＝1或＋＝1 D.＋y＝1或＋x＝1 416444

12

B.， 3210， D.3

6

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xy

2．已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围为( )

|m|－12－m

3

－∞， A.2

C．(－∞，0)∪(1,2)

B．(1,2)

3

1， D．(－∞，－1)∪2

223．已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m＞0)，则此椭圆的离心率为( )

1

A. 3C.2 2

B.3 3

1D. 2

x2y2

4．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上的点A满足AF2⊥F1F2，

43―→―→

若点P是椭圆C上的动点，则F1P·F2A的最大值为( )

A.3

2

33B.

215D. 4

9C. 4

5．以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )

A．1 C．2

B.2 D．22

x2y2

6．(2019·惠州调研)设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1

95|PF2|

的中点在y轴上，则的值为( )

|PF1|

5A. 144C. 9

5B. 95D. 13

x2y2

7．已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，

ab则椭圆的左顶点为________．

x2y2

8．过点A(3，－2)且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆方程为________．

94

7

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x2y25sin C

9．已知△ABC的顶点A(－3,0)和顶点B(3,0)，顶点C在椭圆＋＝1上，则

2516sin A＋sin B＝________.

10．点P是椭圆上任意一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，∠F1PF2的最大值是60°，则椭圆的离心率e＝________.

11．已知椭圆的长轴长为10，两焦点F1，F2的坐标分别为(3,0)和(－3,0)．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若P为短轴的一个端点，求△F1PF2的面积．

x2y21

12．已知焦点在x轴上的椭圆＋2＝1的离心率e＝，F，A分别是椭圆的左焦点和右

4b2―→―→

顶点，P是椭圆上任意一点，求PF·PA的最大值和最小值．

B级——创高分自选

b2

1．若椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)和圆x2＋y2＝2＋c有四个交点，其中c为椭圆的半焦距，则椭圆的离心率e的取值范围为( )

A.C.53

5，5B.0，



2 523

，55

D.

35 ，55

x2y2

2．(2018·南昌摸底考试)P为椭圆＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，

259过P点作PH⊥F1F2于点H，若PF1⊥PF2，则|PH|＝( )

25A. 4C．8

8B. 39D. 4

3. 2

3．已知椭圆C的两个顶点分别为A(－2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为

(1)求椭圆C的方程；

(2)点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.

8