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高三数学综合测试

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第5期 高中数学教与学 高三数学综合测试 一、填空题(本大题共l4小题,每小题5分,计 70分. 1.曲线Y= 一2x在点(1,一1)处的切线方 程是——. 2.若 :o+6i(。,b∈R,i为虚数单位), .)一1 则ab= . 3.命题“若实数a满足a≤2,则n <4”的否 命题是——命题(填“真”、“假”之-一). 4.把一个体积为27cm 的正方体木块表面涂 上红漆,然后锯成体积为1 em 的27个小正 方体,现从中任取一块,则这一块至少有一 面涂有红漆的概率为——. 5.某教师出了一份三道题的测试卷,每道题1 分,全班得3分、2分、1分和0分的学生所占 比例分别为30%、50%、10%和10%,则全 班学生的平均分为——分. 6.设M={a I a=(2,0)+m(0,1),m∈R 和N={b I 6=(1,1)+n(1,一1),n∈ R}都是元素为向量的集合,则 n N= ● 7.在如图所示的算法流程图中,若输入m= 4,n:3,则输出的a=——一. 第7题图 8.设等差数列{a }的公差为正数,若a +n:+ n =15,a1a2a3 =80,贝4 all+nI2+Ⅱl : 9.设0l, 是空间两个不同的平面,m,n是平面 及 外的两条不同直线.从“①m上n;② O/j_ ;③n上 ;④m_L ot”中选取三个作为 条件,余下一个作为结论,写出你认为正确 的一个命题:——一(用代号表示). 1O.定义在R上的函数_厂( )满足 )= f( +2),当 ∈f3,5]时 ( )=2一 l 一4 I.下列四个 等关系: sin, "IT)<,/41 COS詈) sin 1)> c。s 1); fi(COS )<f(sin ) cos 2)> I12). 其中正确的个数是—— l1.在平面直角坐标系xOy中,已知A、曰分别 是双曲线 一 =1的左、右焦点,AABC 的顶点c在双曲线的右支上,则 sin C___— 的值是 … ~ 12.在平面直角坐标系xOy中,设点P( ,Y。)、 Q( 2,Y2),定义:d(P,Q)=I l—X2 l+I Y1 一), 1.已知点B(1,0),点 为直线 一2) +2=0 的动点,则使d(B,M)取最小值 时点 的坐标是 13.若实数 ,Y,Z,t满足1≤ ≤Y≤z≤t≤ 10 000,则 +÷的最小值为——.L  14.在平面直角坐标系xOy中,没A、 、C是圆 +y2=1上相异三点.若存在正实数A, , 使得 :A + 测A +( 一3) 的 取值范围是 . 二、解答题(本大题共6小题,共计90分,解答 时应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分14分)如图,平面PAC上平 面ABC,点E、F、0分别为线段PA、PB、AC的 ・39. 高中数学教与学 中点,点G是线段CO的中点,AB=BC= AC=4,PA=PC=2√2.求证: (1) 上平面EBO; (2)FG//平面EBO. C 第15题图 16.(本小题满分14分)已知函数 )= 2cos寺( c。s詈一sin詈). (1)设 ∈[一詈,詈】,Kf(o)= +1, 求 的值; (2)在AABC中,AB=1 C)= +1,且 AABC的面积为 ,求sin A+sin B的值. 17.(本小题满分l4分)在平面直角坐标系 D),中,如图,已知椭圆E:x+ =1(o> b>0)的左、右顶点分别为A 、A ,上、下顶 点分别为B。、B .设直线A B 的倾斜角的正 弦值为÷,圆C与以线段OA 为直径的圆关 于直线A B 对称. (1)求椭圆E的离心率; (2)判断直线A。B 与圆C的位置关系,并 说明理由; (3)若圆C的面积为 ,求圆C的方程. L /。~ 7  占. < —/ B 第l7题图 18.(本小题满分16分)如图,实线部分的月 牙形公园是由圆P上的一段优弧和圆Q上 ・40・ 2011年 的一段劣弧围成.圆P和圆Q的半径都是 2kin,点P在圆Q上.现要在公园内建一块顶 点都在圆P上的多边形活动场地. (1)如图甲,要建的活动场地为ARST,求 场地的最大面积; (2)如图乙,要建的活动场地为等腰梯形 ABCD,求场地的最大面积. s 甲 乙 第18题图 19.(本小题满分16分)设定义在区间[ ., :]上的函数Y= )的图象为c,M是c 上的任意一点,0为坐标原点,设向量O = ( 。√^( ,)),OB:( ,厂( )),OM=( , Y),当实数A满足 =A +(1一A) :时, 记向量0 =A OA +(1一A)O百.定义“函数 Y= )在区间[ , :]上可在标准k下线 性近似”是指“l肘Ⅳl≤k恒成立”,其中k 是一个确定的正数. (1)设函数 )= 在区间[0,1]上可在 标准k下线性近似,求k的取值范围; (2)求证:函数g( )=In 在区问[e , 1 e ](m∈R)上可在标准k=÷下线性近 O 似. (参考数据:e 2.718,In(e一1) 0.541) 20.(本小题满分16分)已知数列{n }满足0 +n2+…+0 =n (n∈N ). (1)求数列{o }的通项公式; (2)对任意给定的k E N ,是否存在P,r E N (k<P<r)使 , , 成等差数列? Ⅱ O,Ⅱp , 若存在,用k分别表示P和r(只要写出一 组);若不存在,请说明理由; (3)证明:存在无穷多个三边成等比数列 第5朝 高中数学教与学 22.在正方体ABCD—A。B。C。D。中,0是AC的 中点,E是线段D.0上一点,且D。E=AEO. 且互不相似的三角形,其边长为a a a 附加题 21.(选做题)(本题包括 , ,C,D四小题,请 选定其中两题作答,每小题l0分,共计20 分,解答时应写出文字说明,证明过程或演 (1)若 =1,求异面直线DE与CD 所成 角的余弦值; (2)若平面CDE上平面CD。0,求A的值. 算步骤.) A.(选修4一l:几何证明选讲)自圆0外一点 P引圆的一条切线 ,切点为A, 为 的 中点,过点 引圆0的割线交该圆于曰、C两 点,且/___BMP=100。, BPC=40。,求 MPB的大小. C 第21~A题图 B.(选修4~2:矩阵与变换)已知二阶矩阵 ,4:[::】,矩阵A属于特征值A :一1的 一个特征向量为 。=[一l1】,属于特征值A =4的一个特征向量为d =【:].求矩阵A. C.(选修4__4:坐标系与参数方程)在平面直 角坐标系xOy中,已知曲线C的参数方程为 {- 2c0。 ,( 为参数).以直角坐标系原 ty sin 点0为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐 标系, 直线l的极坐标方程为 pcos 0一子):2厄点P为衄线C上的动 点,求点P到直线z距离的最大值. D.(选修4—5:不等式选讲)若正数a,b,c满 足n+6+c=・,求 + + 的最小值. (必做题)(第22题、第23题,每题l0分,共 计20分.解答时应写出文字说明,证明过程 或演算步骤.) D1 C. C A B 第22题图 23.一种抛硬币游戏的规则是:抛掷一枚硬币, 每次正面向上得1分,反面向上得2分. (1)设抛掷5次的得分为 ,求 的分布列 和数学期望 ; (2)求恰好得到 ( ∈N )分的概率. 参 一、填空题 1. —y一2=0;2.一 8;3.真; 4.万26;5.2;6.{(2,0)}; 7.12;8.105; 9.①③④ ②(或②③④ ①); 10.1;11.一 1;12.(1,手); 13.亩;14・(2, )・ 15.由题意可知,APAC为等腰直角三角形, AABC为等边三角形. (1)因为0为边AC的中点,所以BO上AC.因 为平面PAC J-平面ABC,平面PAC f3平面ABC= AC,BO C平面ABC,所以BO上平面PAC. 因为PA C平面PAC,所以BO上 . 在等腰三角形PAC内,0,E为所在边的中点, 所以OE上PA,又BO n OE=0,所以 上平面 EBO; (2)连AF交BE于点Q,连Qo.. 因为E、F、0分别为边PA、PB、PC的中点,所以 ・4l・ 高中数学教与学 A O每 2011 =2,且Q是△PA曰的重心, 因为直线A -的倾斜角的正弦值为÷,所以 于是 =2:A O,所以FG#Qo. 因为FG 平面EBO,QD c平面EBO,所以 FG//平面EBO. c B  .第15题图 注 第(2)小题亦可通过取JPE中点H,利用 平面FGH//平面EBO证得. 16.(1 )=2 c。s 寺一2sin寺c。s寺= (1+c。sx)一sinx=2c。s( +詈)+ . 由2cos( +詈)+.3-= +l,得 c。s( +詈)=寺, 于是 o,f =2 盯±{(k∈z),因为 ∈ j [一号,丁,f】,所以 :一 ,f域 ,f・ (2)因为C e(0,1T),由(1)知C=詈. 因为△A G的面积为 ,所以 1 2: n n詈,于是n6=2 . ① 在AABC中,设内角A、B的对边分别是口,b. 由余弦定理得1= +6 一2a6c。s詈= + 6 一6。所以 Ⅱ +b。:7.( 由①②可得{L 二或{。b 7=√3.二或f Lb=2.。=√”一 ’ , 于是。+b于是n  =2+ . 由正弦定理得 = = =号, 所以sin A+sin B:—1 (Ⅱ+6)=1+ . 17.(1)设椭圆E的焦距为2c(c>0), 一 一3 于是a。=8b ,即d =8(a 一c ),所以椭圆E 脯 = = =孚 (2)由e: 4 可设n:4k(k>0),c=  ̄-fk,则6: , 于是A1B.的方程为: 一2西+4k=0, 故0A 的中点(2k,0)到直线 曰。的距离 d: 竺 =———— ——一:2k= . . 又以oA 为直径的圆的半径r=2k,即有d= r’. 所以直线A。曰。与圆C相切. (3)由圆C的面积为 知,圆半径为l,从而k ’ 设OA 的中点(1,0)关于直线A.B。: 一2√2,, +2=0的对称点为(m,F/,),则 f .鱼:一lI m一1 4 , 【m丁+l一2 ・号+2:0, 解得 m=÷,n:竽. 所以,圆c的方程为( 一÷) +(,,一 3) =1. 18.(1)过点S作SH上R ,垂足为H,则 S : sH・RT. 由题意,ARST在月牙形公园里, RT与圆Q只能相切或相离; RT左边的部分是一个大小不超过半圆的弓 形, 则有 ≤4,SH≤2, 当且仅当RT切圆Q于P时(如图甲),上面两 个不等式中等号同时成立. 此时,场地面积的最大值为5△昭 : 1×4×2 :4(km ). 第5期 R M T .~ I_}I 乙 第l8题【刳 (2)同(1)的分析,如图乙,要使得场地丽积 大,AD左边的部分是一个大小不超过半圆的弓 形, AD必须切圆Q于点P,fj_{=设 BPA=0,则有 1 llu, I ( ,J= ×2×2×sin0 x 2 I +÷×2×2 x sin(盯一2 )E  :4㈧ +s;r帅 (令 ^ 0<e  <子). ) ” + 令v=sin 0+sin ‘1:  OS ,]贝0  l ( J =cos 0+【 os 0cos 0+sin 疗 n 0(~sin 0) =2(・os。0+(・os 0—1一 . ∈ 符 v = 刚:÷,m R  一 一一} e  =詈, 又 (0,号)时,y e(了'iT,詈)时,y <0, 蛹数)一sin 0+sin 0cos 0在0=_"__IT处取到极 大值也是最火fc{, 敞0=。了"IT时,场地面积取得最大值为 3 (klIl!). 19.(1)…O—N:A +(1一A) ,得到 : A/3.4 . 所以 , V,A三点共线, 艾}}I =A 。+(1一A) 与向 耐:A +(1~A) .得点N 点M的横坐畅 fI]f川. 埘_j o,1 L的幽数J: :,A(0,0), (1, I),则自 ,= X2=一( 一÷) +_}. 故}M—N I e[()'* 所以 的取值范I书I足[-_1,+。。). 高中数学教与学 (2)对_j: P , …j【 的函数=lIl』, . A(c ,m),B(c m 1). 线A 的疗张,一,n: r一1一 ( 一P ), 1一 ( —e ).其I1】 于 ㈩= 列表如下 e (c . e I tct+l—Pm em+1 e I— ” 1 —Pm e ¨) hf ) () It( ’ hf ) (】 增 减 () e ‘1 则l M—N I:h(叫,目.在 :em+l一 处 取得最大值. 又h(e ’一e ):In(P一1)一 一手 0・123<寺,从而命题成 ・ 20.(1)当n=1时,Ⅱ。:1; 当九≥2,n∈N 时,nl+o2+…+Ⅱ 一l: (砚一1) , 所以,rJ =n 一(n一1) =2n一1; 综上所述,n =2n一1(rJ∈N ). (2)当 :1时,若存在p, 使 , , “ Ⅱn H 成等差数列删 =言一Ⅱ n Ⅱ  一J , 因为P≥2,所以“,<0,与数列;n 为J 数相矛盾, 此,当 =1时不存在; 当后≥2时,没Ⅱ = ,Ⅱ =,,Ⅱ =。,则 ÷+一戈 0}=÷, ’ 所以 =Z::V  ,一V  令,一2x—l,得 =xy= (2X一1),此 时“ = =2k—l,“ =,=2x一1=2(2k一 1)一1, 所以P=2k一1,tl,=。=(2k—1)(4k一 3)=2(4 一5 +2)一l, 所以r:4k 一5k+2: 综上所述,当Ii==l时,不存在P,r;当k≥ ・43・ 高中数学教与学 2时,存在P=2k一1,r:4k 一5k+2满足题 设. 2011聋 因为LBMP:LPMC,所以ABMP pMC. (3)作如下构造-a =(2k+3) ,a ,= .于是LMPB=/MCP. (2尼+3)(2J}+5),n ,=(2k+5) ,其中k∈ N’. 在MCP中,由LMPB+LMCP+LBPC +/BMP=180。,得 MPB:20。. 它们依次为数列{a }中的第2 +6J}+5 B.由特征值、特征向量定义可知,Aot.= 项,第2后 +8 +8项,第2 +10k+13项, 显然,它们成等比数列,且a <a <n ,a +8 >a 所以它们能组成三角形. 由k∈N 的任意性,这样的三角形有无 穷多个. 下面用反证法证明其中任意两个三角形 A1B1Cl和A2B2C2不相似: 若△AlB c 和△A2 2 相似,且k1≠k , 则 (2 1+3)(2k。+5) (2k。+3) (2 2+3)(2 :+5) (2k,+3) ’ 整理得 = ,所 条 件k。≠k 相矛盾, 因此,任意两个三角形不相似. 故命题成立. 注 (1)第(2)小题当a 不是质数时,P, r的解不唯一; (2)第(3)小题构造的依据如下:不妨设 n1<//,2</7,3,且0 ,,0n,'口 符合题意,则公比q >1,因口 .<口 <a ,又o +口 >a ,则1 +g>q ,所以1<q< .因为三项均为 整数,所以g为(1, )内的既约分数,且 口 含平方数因子.经验证,仅含1 或3 时不 合,所以口 .=(2k+3) P(k,P∈N ); (3)第(3)小题的构造形式不唯一. 附加题 21.A.因为MA为圆0的切线,所以 MA =MB.MC 又肘为 的中点,所以 :MB・MC. ・44・ A1 l,即 [: 。卜- ×r_1], fa—b:一1, . 一 ic—d:1. 同理可得f3。+26= 2,解得。:2,6 L3c 4-2d=8. =3,c=2, = .因此矩阵A=【 】. c.pc。s 0一子)=2A-,化简为pc。s + psin 0=4.则直线l的直角坐标方程为 +Y=4. 设点P的坐标为(2cos n,sin ),得P到 直线l的距离d:L 旦± 旦_ ,即 42 d: 鲁 , √Z 其中… = 1,sin : 2. 当sin(co+ )=一1时,d一=2 + 2‘ D.因为正数0,b,C满足a+b+c=1, 所以( + + )[(3n+ 2)+(3b+2)+(3c+2)]≥(1+1+1 2, 即 + 1 + 1 ≥1, 当且仅当3a+2=3b+2=3c+2,即a=b= c=÷时,原式取最小值1. 22.(1)不妨设正方体的棱长为1,以 , , 为单位正交基底建立空间直角坐标 第5朝 高中数学教与学 因为平面CDE J_平面CD。F,所以m・,l =系D一 则4(1,0,0),0( I, 1,0),c(o, 1,o),Dl(0,o,1),E( 1, 1, 1), 0,得A=2. 23.(1)所抛5次得分 的概率为P( =  一 ( ) ( :5,6,7,8,9,10),其分布列 于疋H --- +=( 1, 1, 1), =(0,一l,1). )=c如下: …( ,C—DI)= : 5 . 6 7 8 ) 9 l0 1 P l 所以,异面直线AE与CD 所成角的余弦 值为 . (2)设平面CD 0的法向量为m=( 。, ),。,z。),由m.C—O=Om. ,32 IO : ・32 l6 16 32 32 c 11) =萼(分). (2)令p 表示恰好得到n分的概率.不出现n :0,得 分的唯一情况是得到n一1分以后再掷出一次反 面.因为“不出现n分”的概率是1-p ,“恰好得到 n一1分”的概率是P ,因为“掷一次出现反面”的 J. 一一o, 【y。+ ,=0, 取 l=1,得Yl=z1=1,即m=(1,1,1). 概率是÷,所以有1一 = 1 ,即 p 一了2=由D。E=AEO,则 pn一了 一 I÷( ,一÷) ,一了 . 一E(\ (2 1 +A)’ , 2 1( +A) ’,  +A,1 ),’ 于是 一号 以p 一号=÷一 =一吉 为首项,以一 为公比的等比数列. 一 (\ A (2 1 +A) 一’, A (2  +1 A- ) 1,’  A..l  a)’ 又设平面CDE的法向量为,l=( ,Y , z2),由,1.C D:0,,1.D E:0,得 r),2=0, AX2所以Pn一了2=(一 ) ,即p = n分的概率是 ÷[2+(一÷) ]. 答: 恰好得到t2(i+a)一+_ 而  + -o,u, ÷f2+(一÷) ] _取 ,=2,得 ,=一A。即n:(一2.0.A). (上接第38页) (1一m) l+朋 l= l,于是由 >1, >1及函数 g( )的单词性可知:g(卢)≤g(x )<g(x:)≤ g( ),所以I g( )一g(13)I≥l g(x )一g( 2)I, ③当m≥l时,同理可得ol≤ 。, ≥ :,进而 可得I g( )一g(卢)l≥l g(x1)一g(x )I,与题设不 符. 因此,综合以上三种情形可得实数m的取值范 围是(O,1). 与题设不符; ②当0<m<l时, =mxl+(1一m)奶> ,n l+(1一,孔) l= l, =mxl+(1一m)x2< 2, 除上述数学思想方法外,试题中还蕴含了数形 结合、配方法等重要数学思想方法,特别是新课标 教材中一些知识的产生、发展及分析问题解决问题 的过程中所运用的数学思想方法,在试题都有涉及 和考查,体现了注重对“过程和方法”的考查. 所以d E( 1, 2).同理可得/3∈( , ).因此,由 函数g( )的单调性可知g( )、g(卢)∈(g(x ), g( z)),从而有J占( )一g( ){<J g( )一g(x2) l,符合题设; ・45・ 

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