第５期 高中数学教与学 高三数学综合测试 一、填空题（本大题共ｌ４小题，每小题５分，计 ７０分． １．曲线Ｙ＝ 一２ｘ在点（１，一１）处的切线方 程是——． ２．若 ：ｏ＋６ｉ（。，ｂ∈Ｒ，ｉ为虚数单位）， ．）一１ 则ａｂ＝ ． ３．命题“若实数ａ满足ａ≤２，则ｎ ＜４”的否 命题是——命题（填“真”、“假”之－一）． ４．把一个体积为２７ｃｍ 的正方体木块表面涂 上红漆，然后锯成体积为１ ｅｍ 的２７个小正 方体，现从中任取一块，则这一块至少有一 面涂有红漆的概率为——． ５．某教师出了一份三道题的测试卷，每道题１ 分，全班得３分、２分、１分和０分的学生所占 比例分别为３０％、５０％、１０％和１０％，则全 班学生的平均分为——分． ６．设Ｍ＝｛ａ Ｉ ａ＝（２，０）＋ｍ（０，１），ｍ∈Ｒ 和Ｎ＝｛ｂ Ｉ ６＝（１，１）＋ｎ（１，一１），ｎ∈ Ｒ｝都是元素为向量的集合，则 ｎ Ｎ＝ ● ７．在如图所示的算法流程图中，若输入ｍ＝ ４，ｎ：３，则输出的ａ＝——一． 第７题图 ８．设等差数列｛ａ ｝的公差为正数，若ａ ＋ｎ：＋ ｎ ＝１５，ａ１ａ２ａ３ ＝８０，贝４ ａｌｌ＋ｎＩ２＋Ⅱｌ ： ９．设０ｌ， 是空间两个不同的平面，ｍ，ｎ是平面 及 外的两条不同直线．从“①ｍ上ｎ；② Ｏ／ｊ＿ ；③ｎ上 ；④ｍ＿Ｌ ｏｔ”中选取三个作为 条件，余下一个作为结论，写出你认为正确 的一个命题：——一（用代号表示）． １Ｏ．定义在Ｒ上的函数＿厂（ ）满足 ）＝ ｆ（ ＋２），当 ∈ｆ３，５］时 （ ）＝２一 ｌ 一４ Ｉ．下列四个 等关系： ｓｉｎ， ＂ＩＴ）＜，／４１ ＣＯＳ詈） ｓｉｎ １）＞ ｃ。ｓ １）； ｆｉ（ＣＯＳ ）＜ｆ（ｓｉｎ ） ｃｏｓ ２）＞ Ｉ１２）． 其中正确的个数是—— ｌ１．在平面直角坐标系ｘＯｙ中，已知Ａ、曰分别 是双曲线 一 ＝１的左、右焦点，ＡＡＢＣ 的顶点ｃ在双曲线的右支上，则 ｓｉｎ Ｃ＿＿＿— 的值是 … ～ １２．在平面直角坐标系ｘＯｙ中，设点Ｐ（ ，Ｙ。）、 Ｑ（ ２，Ｙ２），定义：ｄ（Ｐ，Ｑ）＝Ｉ ｌ—Ｘ２ ｌ＋Ｉ Ｙ１ 一）， １．已知点Ｂ（１，０），点 为直线 一２） ＋２＝０ 的动点，则使ｄ（Ｂ，Ｍ）取最小值 时点 的坐标是 １３．若实数 ，Ｙ，Ｚ，ｔ满足１≤ ≤Ｙ≤ｚ≤ｔ≤ １０ ０００，则 ＋÷的最小值为——．Ｌ １４．在平面直角坐标系ｘＯｙ中，没Ａ、 、Ｃ是圆 ＋ｙ２＝１上相异三点．若存在正实数Ａ， ， 使得 ：Ａ ＋ 测Ａ ＋（ 一３） 的 取值范围是 ． 二、解答题（本大题共６小题，共计９０分，解答 时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） １５．（本小题满分１４分）如图，平面ＰＡＣ上平 面ＡＢＣ，点Ｅ、Ｆ、０分别为线段ＰＡ、ＰＢ、ＡＣ的 ・３９． 高中数学教与学 中点，点Ｇ是线段ＣＯ的中点，ＡＢ＝ＢＣ＝ ＡＣ＝４，ＰＡ＝ＰＣ＝２√２．求证： （１） 上平面ＥＢＯ； （２）ＦＧ／／平面ＥＢＯ． Ｃ 第１５题图 １６．（本小题满分１４分）已知函数 ）＝ ２ｃｏｓ寺（ ｃ。ｓ詈一ｓｉｎ詈）． （１）设 ∈［一詈，詈】，Ｋｆ（ｏ）＝ ＋１， 求 的值； （２）在ＡＡＢＣ中，ＡＢ＝１ Ｃ）＝ ＋１，且 ＡＡＢＣ的面积为 ，求ｓｉｎ Ａ＋ｓｉｎ Ｂ的值． １７．（本小题满分ｌ４分）在平面直角坐标系 Ｄ），中，如图，已知椭圆Ｅ：ｘ＋ ＝１（ｏ＞ ｂ＞０）的左、右顶点分别为Ａ 、Ａ ，上、下顶 点分别为Ｂ。、Ｂ ．设直线Ａ Ｂ 的倾斜角的正 弦值为÷，圆Ｃ与以线段ＯＡ 为直径的圆关 于直线Ａ Ｂ 对称． （１）求椭圆Ｅ的离心率； （２）判断直线Ａ。Ｂ 与圆Ｃ的位置关系，并 说明理由； （３）若圆Ｃ的面积为 ，求圆Ｃ的方程． Ｌ ／。～ ７ 占． ＜ —／ Ｂ 第ｌ７题图 １８．（本小题满分１６分）如图，实线部分的月 牙形公园是由圆Ｐ上的一段优弧和圆Ｑ上 ・４０・ ２０１１年 的一段劣弧围成．圆Ｐ和圆Ｑ的半径都是 ２ｋｉｎ，点Ｐ在圆Ｑ上．现要在公园内建一块顶 点都在圆Ｐ上的多边形活动场地． （１）如图甲，要建的活动场地为ＡＲＳＴ，求 场地的最大面积； （２）如图乙，要建的活动场地为等腰梯形 ＡＢＣＤ，求场地的最大面积． ｓ 甲 乙 第１８题图 １９．（本小题满分１６分）设定义在区间［ ．， ：］上的函数Ｙ＝ ）的图象为ｃ，Ｍ是ｃ 上的任意一点，０为坐标原点，设向量Ｏ ＝ （ 。√＾（ ，）），ＯＢ：（ ，厂（ ）），ＯＭ＝（ ， Ｙ），当实数Ａ满足 ＝Ａ ＋（１一Ａ） ：时， 记向量０ ＝Ａ ＯＡ ＋（１一Ａ）Ｏ百．定义“函数 Ｙ＝ ）在区间［ ， ：］上可在标准ｋ下线 性近似”是指“ｌ肘Ⅳｌ≤ｋ恒成立”，其中ｋ 是一个确定的正数． （１）设函数 ）＝ 在区间［０，１］上可在 标准ｋ下线性近似，求ｋ的取值范围； （２）求证：函数ｇ（ ）＝Ｉｎ 在区问［ｅ ， １ ｅ ］（ｍ∈Ｒ）上可在标准ｋ＝÷下线性近 Ｏ 似． （参考数据：ｅ ２．７１８，Ｉｎ（ｅ一１） ０．５４１） ２０．（本小题满分１６分）已知数列｛ｎ ｝满足０ ＋ｎ２＋…＋０ ＝ｎ （ｎ∈Ｎ ）． （１）求数列｛ｏ ｝的通项公式； （２）对任意给定的ｋ Ｅ Ｎ ，是否存在Ｐ，ｒ Ｅ Ｎ （ｋ＜Ｐ＜ｒ）使 ， ， 成等差数列？ Ⅱ Ｏ，Ⅱｐ ， 若存在，用ｋ分别表示Ｐ和ｒ（只要写出一 组）；若不存在，请说明理由； （３）证明：存在无穷多个三边成等比数列 第５朝 高中数学教与学 ２２．在正方体ＡＢＣＤ—Ａ。Ｂ。Ｃ。Ｄ。中，０是ＡＣ的 中点，Ｅ是线段Ｄ．０上一点，且Ｄ。Ｅ＝ＡＥＯ． 且互不相似的三角形，其边长为ａ ａ ａ 附加题 ２１．（选做题）（本题包括 ， ，Ｃ，Ｄ四小题，请 选定其中两题作答，每小题ｌ０分，共计２０ 分，解答时应写出文字说明，证明过程或演 （１）若 ＝１，求异面直线ＤＥ与ＣＤ 所成 角的余弦值； （２）若平面ＣＤＥ上平面ＣＤ。０，求Ａ的值． 算步骤．） Ａ．（选修４一ｌ：几何证明选讲）自圆０外一点 Ｐ引圆的一条切线 ，切点为Ａ， 为 的 中点，过点 引圆０的割线交该圆于曰、Ｃ两 点，且／＿＿＿ＢＭＰ＝１００。， ＢＰＣ＝４０。，求 ＭＰＢ的大小． Ｃ 第２１～Ａ题图 Ｂ．（选修４～２：矩阵与变换）已知二阶矩阵 ，４：［：：】，矩阵Ａ属于特征值Ａ ：一１的 一个特征向量为 。＝［一ｌ１】，属于特征值Ａ ＝４的一个特征向量为ｄ ＝【：］．求矩阵Ａ． Ｃ．（选修４＿＿４：坐标系与参数方程）在平面直 角坐标系ｘＯｙ中，已知曲线Ｃ的参数方程为 ｛－ ２ｃ０。 ，（ 为参数）．以直角坐标系原 ｔｙ ｓｉｎ 点０为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐 标系， 直线ｌ的极坐标方程为 ｐｃｏｓ ０一子）：２厄点Ｐ为衄线Ｃ上的动 点，求点Ｐ到直线ｚ距离的最大值． Ｄ．（选修４—５：不等式选讲）若正数ａ，ｂ，ｃ满 足ｎ＋６＋ｃ＝・，求 ＋ ＋ 的最小值． （必做题）（第２２题、第２３题，每题ｌ０分，共 计２０分．解答时应写出文字说明，证明过程 或演算步骤．） Ｄ１ Ｃ． Ｃ Ａ Ｂ 第２２题图 ２３．一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币， 每次正面向上得１分，反面向上得２分． （１）设抛掷５次的得分为 ，求 的分布列 和数学期望 ； （２）求恰好得到 （ ∈Ｎ ）分的概率． 参 一、填空题 １． —ｙ一２＝０；２．一 ８；３．真； ４．万２６；５．２；６．｛（２，０）｝； ７．１２；８．１０５； ９．①③④ ②（或②③④ ①）； １０．１；１１．一 １；１２．（１，手）； １３．亩；１４・（２， ）・ １５．由题意可知，ＡＰＡＣ为等腰直角三角形， ＡＡＢＣ为等边三角形． （１）因为０为边ＡＣ的中点，所以ＢＯ上ＡＣ．因 为平面ＰＡＣ Ｊ－平面ＡＢＣ，平面ＰＡＣ ｆ３平面ＡＢＣ＝ ＡＣ，ＢＯ Ｃ平面ＡＢＣ，所以ＢＯ上平面ＰＡＣ． 因为ＰＡ Ｃ平面ＰＡＣ，所以ＢＯ上 ． 在等腰三角形ＰＡＣ内，０，Ｅ为所在边的中点， 所以ＯＥ上ＰＡ，又ＢＯ ｎ ＯＥ＝０，所以 上平面 ＥＢＯ； （２）连ＡＦ交ＢＥ于点Ｑ，连Ｑｏ．． 因为Ｅ、Ｆ、０分别为边ＰＡ、ＰＢ、ＰＣ的中点，所以 ・４ｌ・ 高中数学教与学 Ａ Ｏ每 ２０１１ ＝２，且Ｑ是△ＰＡ曰的重心， 因为直线Ａ －的倾斜角的正弦值为÷，所以 于是 ＝２：Ａ Ｏ，所以ＦＧ＃Ｑｏ． 因为ＦＧ 平面ＥＢＯ，ＱＤ ｃ平面ＥＢＯ，所以 ＦＧ／／平面ＥＢＯ． ｃ Ｂ ．第１５题图 注 第（２）小题亦可通过取ＪＰＥ中点Ｈ，利用 平面ＦＧＨ／／平面ＥＢＯ证得． １６．（１ ）＝２ ｃ。ｓ 寺一２ｓｉｎ寺ｃ。ｓ寺＝ （１＋ｃ。ｓｘ）一ｓｉｎｘ＝２ｃ。ｓ（ ＋詈）＋ ． 由２ｃｏｓ（ ＋詈）＋．３－＝ ＋ｌ，得 ｃ。ｓ（ ＋詈）＝寺， 于是 ｏ，ｆ ＝２ 盯±｛（ｋ∈ｚ），因为 ∈ ｊ ［一号，丁，ｆ】，所以 ：一 ，ｆ域 ，ｆ・ （２）因为Ｃ ｅ（０，１Ｔ），由（１）知Ｃ＝詈． 因为△Ａ Ｇ的面积为 ，所以 １ ２： ｎ ｎ詈，于是ｎ６＝２ ． ① 在ＡＡＢＣ中，设内角Ａ、Ｂ的对边分别是口，ｂ． 由余弦定理得１＝ ＋６ 一２ａ６ｃ。ｓ詈＝ ＋ ６ 一６。所以 Ⅱ ＋ｂ。：７．（ 由①②可得｛Ｌ 二或｛。ｂ ７＝√３．二或ｆ Ｌｂ＝２．。＝√”一 ’ ， 于是。＋ｂ于是ｎ ＝２＋ ． 由正弦定理得 ＝ ＝ ＝号， 所以ｓｉｎ Ａ＋ｓｉｎ Ｂ：—１ （Ⅱ＋６）＝１＋ ． １７．（１）设椭圆Ｅ的焦距为２ｃ（ｃ＞０）， 一 一３ 于是ａ。＝８ｂ ，即ｄ ＝８（ａ 一ｃ ），所以椭圆Ｅ 脯 ＝ ＝ ＝孚 （２）由ｅ： ４ 可设ｎ：４ｋ（ｋ＞０），ｃ＝ ￣－ｆｋ，则６： ， 于是Ａ１Ｂ．的方程为： 一２西＋４ｋ＝０， 故０Ａ 的中点（２ｋ，０）到直线 曰。的距离 ｄ： 竺 ＝———— ——一：２ｋ＝ ． ． 又以ｏＡ 为直径的圆的半径ｒ＝２ｋ，即有ｄ＝ ｒ’． 所以直线Ａ。曰。与圆Ｃ相切． （３）由圆Ｃ的面积为 知，圆半径为ｌ，从而ｋ ’ 设ＯＡ 的中点（１，０）关于直线Ａ．Ｂ。： 一２√２，， ＋２＝０的对称点为（ｍ，Ｆ／，），则 ｆ ．鱼：一ｌＩ ｍ一１ ４ ， 【ｍ丁＋ｌ一２ ・号＋２：０， 解得 ｍ＝÷，ｎ：竽． 所以，圆ｃ的方程为（ 一÷） ＋（，，一 ３） ＝１． １８．（１）过点Ｓ作ＳＨ上Ｒ ，垂足为Ｈ，则 Ｓ ： ｓＨ・ＲＴ． 由题意，ＡＲＳＴ在月牙形公园里， ＲＴ与圆Ｑ只能相切或相离； ＲＴ左边的部分是一个大小不超过半圆的弓 形， 则有 ≤４，ＳＨ≤２， 当且仅当ＲＴ切圆Ｑ于Ｐ时（如图甲），上面两 个不等式中等号同时成立． 此时，场地面积的最大值为５△昭 ： １×４×２ ：４（ｋｍ ）． 第５期 Ｒ Ｍ Ｔ ．～ Ｉ＿｝Ｉ 乙 第ｌ８题【刳 （２）同（１）的分析，如图乙，要使得场地丽积 大，ＡＤ左边的部分是一个大小不超过半圆的弓 形， ＡＤ必须切圆Ｑ于点Ｐ，ｆｊ＿｛＝设 ＢＰＡ＝０，则有 １ ｌｌｕ， Ｉ （ ，Ｊ＝ ×２×２×ｓｉｎ０ ｘ ２ Ｉ ＋÷×２×２ ｘ ｓｉｎ（盯一２ ）Ｅ ：４㈧ ＋ｓ；ｒ帅 （令 ＾ ０＜ｅ ＜子）． ） ” ＋ 令ｖ＝ｓｉｎ ０＋ｓｉｎ ‘１： ＯＳ ，］贝０ ｌ （ Ｊ ＝ｃｏｓ ０＋【 ｏｓ ０ｃｏｓ ０＋ｓｉｎ 疗 ｎ ０（～ｓｉｎ ０） ＝２（・ｏｓ。０＋（・ｏｓ ０—１一 ． ∈ 符 ｖ ＝ 刚：÷，ｍ Ｒ 一 一一｝ ｅ ＝詈， 又 （０，号）时，ｙ ｅ（了＇ｉＴ，詈）时，ｙ ＜０， 蛹数）一ｓｉｎ ０＋ｓｉｎ ０ｃｏｓ ０在０＝＿＂＿＿ＩＴ处取到极 大值也是最火ｆｃ｛， 敞０＝。了＂ＩＴ时，场地面积取得最大值为 ３ （ｋｌＩｌ！）． １９．（１）…Ｏ—Ｎ：Ａ ＋（１一Ａ） ，得到 ： Ａ／３．４ ． 所以 ， Ｖ，Ａ三点共线， 艾｝｝Ｉ ＝Ａ 。＋（１一Ａ） 与向 耐：Ａ ＋（１～Ａ） ．得点Ｎ 点Ｍ的横坐畅 ｆＩ］ｆ川． 埘＿ｊ ｏ，１ Ｌ的幽数Ｊ： ：，Ａ（０，０）， （１， Ｉ），则自 ，＝ Ｘ２＝一（ 一÷） ＋＿｝． 故｝Ｍ—Ｎ Ｉ ｅ［（）＇＊ 所以 的取值范Ｉ书Ｉ足［－＿１，＋。。）． 高中数学教与学 （２）对＿ｊ： Ｐ ， …ｊ【 的函数＝ｌＩｌ』， ． Ａ（ｃ ，ｍ），Ｂ（ｃ ｍ １）． 线Ａ 的疗张，一，ｎ： ｒ一１一 （ 一Ｐ ）， １一 （ —ｅ ）．其Ｉ１】 于 ㈩＝ 列表如下 ｅ （ｃ ． ｅ Ｉ ｔｃｔ＋ｌ—Ｐｍ ｅｍ＋１ ｅ Ｉ— ” １ —Ｐｍ ｅ ¨） ｈｆ ） （） Ｉｔ（ ’ ｈｆ ） （】 增 减 （） ｅ ‘１ 则ｌ Ｍ—Ｎ Ｉ：ｈ（叫，目．在 ：ｅｍ＋ｌ一 处 取得最大值． 又ｈ（ｅ ’一ｅ ）：Ｉｎ（Ｐ一１）一 一手 ０・１２３＜寺，从而命题成 ・ ２０．（１）当ｎ＝１时，Ⅱ。：１； 当九≥２，ｎ∈Ｎ 时，ｎｌ＋ｏ２＋…＋Ⅱ 一ｌ： （砚一１） ， 所以，ｒＪ ＝ｎ 一（ｎ一１） ＝２ｎ一１； 综上所述，ｎ ＝２ｎ一１（ｒＪ∈Ｎ ）． （２）当 ：１时，若存在ｐ， 使 ， ， “ Ⅱｎ Ｈ 成等差数列删 ＝言一Ⅱ ｎ Ⅱ 一Ｊ ， 因为Ｐ≥２，所以“，＜０，与数列；ｎ 为Ｊ 数相矛盾， 此，当 ＝１时不存在； 当后≥２时，没Ⅱ ＝ ，Ⅱ ＝，，Ⅱ ＝。，则 ÷＋一戈 ０｝＝÷， ’ 所以 ＝Ｚ：：Ｖ ，一Ｖ 令，一２ｘ—ｌ，得 ＝ｘｙ＝ （２Ｘ一１），此 时“ ＝ ＝２ｋ—ｌ，“ ＝，＝２ｘ一１＝２（２ｋ一 １）一１， 所以Ｐ＝２ｋ一１，ｔｌ，＝。＝（２ｋ—１）（４ｋ一 ３）＝２（４ 一５ ＋２）一ｌ， 所以ｒ：４ｋ 一５ｋ＋２： 综上所述，当Ｉｉ＝＝ｌ时，不存在Ｐ，ｒ；当ｋ≥ ・４３・ 高中数学教与学 ２时，存在Ｐ＝２ｋ一１，ｒ：４ｋ 一５ｋ＋２满足题 设． ２０１１聋 因为ＬＢＭＰ：ＬＰＭＣ，所以ＡＢＭＰ ｐＭＣ． （３）作如下构造－ａ ＝（２ｋ＋３） ，ａ ，＝ ．于是ＬＭＰＢ＝／ＭＣＰ． （２尼＋３）（２Ｊ｝＋５），ｎ ，＝（２ｋ＋５） ，其中ｋ∈ Ｎ’． 在ＭＣＰ中，由ＬＭＰＢ＋ＬＭＣＰ＋ＬＢＰＣ ＋／ＢＭＰ＝１８０。，得 ＭＰＢ：２０。． 它们依次为数列｛ａ ｝中的第２ ＋６Ｊ｝＋５ Ｂ．由特征值、特征向量定义可知，Ａｏｔ．＝ 项，第２后 ＋８ ＋８项，第２ ＋１０ｋ＋１３项， 显然，它们成等比数列，且ａ ＜ａ ＜ｎ ，ａ ＋８ ＞ａ 所以它们能组成三角形． 由ｋ∈Ｎ 的任意性，这样的三角形有无 穷多个． 下面用反证法证明其中任意两个三角形 Ａ１Ｂ１Ｃｌ和Ａ２Ｂ２Ｃ２不相似： 若△ＡｌＢ ｃ 和△Ａ２ ２ 相似，且ｋ１≠ｋ ， 则 （２ １＋３）（２ｋ。＋５） （２ｋ。＋３） （２ ２＋３）（２ ：＋５） （２ｋ，＋３） ’ 整理得 ＝ ，所 条 件ｋ。≠ｋ 相矛盾， 因此，任意两个三角形不相似． 故命题成立． 注 （１）第（２）小题当ａ 不是质数时，Ｐ， ｒ的解不唯一； （２）第（３）小题构造的依据如下：不妨设 ｎ１＜／／，２＜／７，３，且０ ，，０ｎ，＇口 符合题意，则公比ｑ ＞１，因口 ．＜口 ＜ａ ，又ｏ ＋口 ＞ａ ，则１ ＋ｇ＞ｑ ，所以１＜ｑ＜ ．因为三项均为 整数，所以ｇ为（１， ）内的既约分数，且 口 含平方数因子．经验证，仅含１ 或３ 时不 合，所以口 ．＝（２ｋ＋３） Ｐ（ｋ，Ｐ∈Ｎ ）； （３）第（３）小题的构造形式不唯一． 附加题 ２１．Ａ．因为ＭＡ为圆０的切线，所以 ＭＡ ＝ＭＢ．ＭＣ 又肘为 的中点，所以 ：ＭＢ・ＭＣ． ・４４・ Ａ１ ｌ，即 ［： 。卜－ ×ｒ＿１］， ｆａ—ｂ：一１， ． 一 ｉｃ—ｄ：１． 同理可得ｆ３。＋２６＝ ２，解得。：２，６ Ｌ３ｃ ４－２ｄ＝８． ＝３，ｃ＝２， ＝ ．因此矩阵Ａ＝【 】． ｃ．ｐｃ。ｓ ０一子）＝２Ａ－，化简为ｐｃ。ｓ ＋ ｐｓｉｎ ０＝４．则直线ｌ的直角坐标方程为 ＋Ｙ＝４． 设点Ｐ的坐标为（２ｃｏｓ ｎ，ｓｉｎ ），得Ｐ到 直线ｌ的距离ｄ：Ｌ 旦± 旦＿ ，即 ４２ ｄ： 鲁 ， √Ｚ 其中… ＝ １，ｓｉｎ ： ２． 当ｓｉｎ（ｃｏ＋ ）＝一１时，ｄ一＝２ ＋ ２‘ Ｄ．因为正数０，ｂ，Ｃ满足ａ＋ｂ＋ｃ＝１， 所以（ ＋ ＋ ）［（３ｎ＋ ２）＋（３ｂ＋２）＋（３ｃ＋２）］≥（１＋１＋１ ２， 即 ＋ １ ＋ １ ≥１， 当且仅当３ａ＋２＝３ｂ＋２＝３ｃ＋２，即ａ＝ｂ＝ ｃ＝÷时，原式取最小值１． ２２．（１）不妨设正方体的棱长为１，以 ， ， 为单位正交基底建立空间直角坐标 第５朝 高中数学教与学 因为平面ＣＤＥ Ｊ＿平面ＣＤ。Ｆ，所以ｍ・，ｌ ＝系Ｄ一 则４（１，０，０），０（ Ｉ， １，０），ｃ（ｏ， １，ｏ），Ｄｌ（０，ｏ，１），Ｅ（ １， １， １）， ０，得Ａ＝２． ２３．（１）所抛５次得分 的概率为Ｐ（ ＝ 一 （ ） （ ：５，６，７，８，９，１０），其分布列 于疋Ｈ －－－ ＋＝（ １， １， １）， ＝（０，一ｌ，１）． ）＝ｃ如下： …（ ，Ｃ—ＤＩ）＝ ： ５ ． ６ ７ ８ ） ９ ｌ０ １ Ｐ ｌ 所以，异面直线ＡＥ与ＣＤ 所成角的余弦 值为 ． （２）设平面ＣＤ ０的法向量为ｍ＝（ 。， ），。，ｚ。），由ｍ．Ｃ—Ｏ＝Ｏｍ． ，３２ ＩＯ ： ・３２ ｌ６ １６ ３２ ３２ ｃ １１） ＝萼（分）． （２）令ｐ 表示恰好得到ｎ分的概率．不出现ｎ ：０，得 分的唯一情况是得到ｎ一１分以后再掷出一次反 面．因为“不出现ｎ分”的概率是１－ｐ ，“恰好得到 ｎ一１分”的概率是Ｐ ，因为“掷一次出现反面”的 Ｊ． 一一ｏ， 【ｙ。＋ ，＝０， 取 ｌ＝１，得Ｙｌ＝ｚ１＝１，即ｍ＝（１，１，１）． 概率是÷，所以有１一 ＝ １ ，即 ｐ 一了２＝由Ｄ。Ｅ＝ＡＥＯ，则 ｐｎ一了 一 Ｉ÷（ ，一÷） ，一了 ． 一Ｅ（＼ （２ １ ＋Ａ）’ ， ２ １（ ＋Ａ） ’， ＋Ａ，１ ），’ 于是 一号 以ｐ 一号＝÷一 ＝一吉 为首项，以一 为公比的等比数列． 一 （＼ Ａ （２ １ ＋Ａ） 一’， Ａ （２ ＋１ Ａ－ ） １，’ Ａ．．ｌ ａ）’ 又设平面ＣＤＥ的法向量为，ｌ＝（ ，Ｙ ， ｚ２），由，１．Ｃ Ｄ：０，，１．Ｄ Ｅ：０，得 ｒ），２＝０， ＡＸ２所以Ｐｎ一了２＝（一 ） ，即ｐ ＝ ｎ分的概率是 ÷［２＋（一÷） ］． 答： 恰好得到ｔ２（ｉ＋ａ）一＋＿ 而 ＋ －ｏ，ｕ， ÷ｆ２＋（一÷） ］ ＿取 ，＝２，得 ，＝一Ａ。即ｎ：（一２．０．Ａ）． （上接第３８页） （１一ｍ） ｌ＋朋 ｌ＝ ｌ，于是由 ＞１， ＞１及函数 ｇ（ ）的单词性可知：ｇ（卢）≤ｇ（ｘ ）＜ｇ（ｘ：）≤ ｇ（ ），所以Ｉ ｇ（ ）一ｇ（１３）Ｉ≥ｌ ｇ（ｘ ）一ｇ（ ２）Ｉ， ③当ｍ≥ｌ时，同理可得ｏｌ≤ 。， ≥ ：，进而 可得Ｉ ｇ（ ）一ｇ（卢）ｌ≥ｌ ｇ（ｘ１）一ｇ（ｘ ）Ｉ，与题设不 符． 因此，综合以上三种情形可得实数ｍ的取值范 围是（Ｏ，１）． 与题设不符； ②当０＜ｍ＜ｌ时， ＝ｍｘｌ＋（１一ｍ）奶＞ ，ｎ ｌ＋（１一，孔） ｌ＝ ｌ， ＝ｍｘｌ＋（１一ｍ）ｘ２＜ ２， 除上述数学思想方法外，试题中还蕴含了数形 结合、配方法等重要数学思想方法，特别是新课标 教材中一些知识的产生、发展及分析问题解决问题 的过程中所运用的数学思想方法，在试题都有涉及 和考查，体现了注重对“过程和方法”的考查． 所以ｄ Ｅ（ １， ２）．同理可得／３∈（ ， ）．因此，由 函数ｇ（ ）的单调性可知ｇ（ ）、ｇ（卢）∈（ｇ（ｘ ）， ｇ（ ｚ）），从而有Ｊ占（ ）一ｇ（ ）｛＜Ｊ ｇ（ ）一ｇ（ｘ２） ｌ，符合题设； ・４５・
