CAPM证明的方法

对于市场上的每一个投资者而言，在单期决策中需要实现期望效用的最大化，即

~max Eui(Wi)

根据最优化条件，需要满足

~Eui(Wi)(~rjrf)0, i,jN ~i~where WiW0(1rfwij(rjrf))j1利用协方差定义，上式可以写成

~~Eui(Wi)E(~rjrf)Cov(ui(Wi),~rj) 两个符合联合正态分布的变量满足

Cov(g(X),Y)Eg(X)Cov(X,Y)

据此，上式可以化简为

~~~Eui(Wi)E(~rjrf)Eui(Wi)Cov(Wi,~rj) 定义投资者i的绝对风险厌恶系数为：

~Eui(Wi)i~

Eui(Wi)将式子Eui(Wi)E(~rjrf)Eui(Wi)Cov(Wi,~rj)变换得到

~~~1i~E(~rjrf)Cov(Wi,~rj)，对i求和，得到 I1~~E(rjrf)()1Cov(M,~rj)i1iI Wm0(i11i)1Cov(~rm,~rj)

I~~MWiWm0(1~rm)i1式中

Wm0(i1I1i)1可以视为经济均衡时的综合相对风险厌恶系数。

把上式中的j换成m，可以得到

I1~E(rmrf)Wm0()1Var(~rm)代入上式，可以得到

i1i

~~Cov(r,rm)~jE(~rjrf)E(rmrf) ~Var(r)m

在二次效用函数条件下证明CAPM 假设二次效用函数为

ui(z)aizbi2z 2

对于市场上的每一个投资者而言，在单期决策中需要实现期望效用的最大化，即

~max Eui(Wi)

根据最优化条件，需要满足

~Eui(Wi)(~rjrf)0, i,jN ~i~where WiW0(1rfwij(rjrf))j1利用协方差定义，上式可以写成

~~Eui(Wi)E(~rjrf)Cov(ui(Wi),~rj) 将效用函数代入，可得

Iai~~~~E(rjrf)E(M)bWm0Cov(rm,rj)

i1iI~~其中MWiWm0(1~rm)。

i11将j换成m，可得

Iai~~~E(rmrf)E(M)WVar(rm) m0bi1i结合上面两个式子，可以得到

1Cov(~rj,~rm)~~E(rjrf)E(rmrf) ~Var(rm)