资本资产定价模型CAPM详细数学推导过程

识别出在均衡时刻，切点资产组合就是市场证券组合，正是夏普-林特纳分析的所做出的重要贡献。

为了进一步理解CML，我们有必要给出CML的具体方程：

ErPrfCML的推导过程： ErMrfMP

假设市场组合的风险和预期收益率的期望为M,ErM，无风险证券的风险和预期收益率的期望为f,rf（其中：f0），投资者持有市场组合与无风险证券的权重分别为x和(1x)，无风险证券与市场组合组成的投资组合P的预期收益率期望为ErP，方差为2P。那么这个新组合的预期收益率的期望和方差为： ErPxErM1xrf P2x2M2(1x)2f22x(1x)MfMfx2M2 即： PxM，可知：xP，代入新组合P的期望公式，得到： MErPxErM1xrf PPErM1MMErMPrfrfrf P MMErMrfMPrf 故：ErPErMrfMPr 可见：CML的斜率为

ErMrfM，它在纵轴上的截距为rf。

任何在资本市场线上资产组合，都是具有均值方差效率的资产组合，而单一证券和无效率的证券组合必然位于该线的下方。处在均衡状态下的证券市场有两个特征：

（1）资本市场线的截距被视为等待（时间）的报酬（无风险证券收益率）； （2）资本市场线的斜率就是承受每一单位风险的所得到的报酬。 CML也可以表示为：

ErPrfErMrfMP

我们把资本市场上任何一只证券的预期收益率高过无风险收益率的部分称为风险溢价（Risk Premium）,证券组合的风险溢价为ErPrf，市场组合的风险溢价为ErMrf，而市场组合的风险溢价除以市场组合的风险水平就是CML的斜率，这个斜率被定义为风险的市场均衡价格。

风险的市场均衡价格乘以组合的风险水平，就是组合的风险溢价，即是：

ErPrfErMrfMP

其实这也是刚才所说的CML的另外一种表述。它把组合收益、组合风险水平、风险的市场均衡价格之间的关系准备地揭示出来。

风险的市场均衡价格是追求高收益、低风险的投资者，通过完善的资本市场交易最终形成的结果，但是，对于每一个投资者而言，他是这个价格的接受者（假设4）。我们也假设投资者总是持有无风险证券和市场组合（市场组合又是风险被充分分散化后的组合或者说市场组合仅仅含有不可分散风险而不再包含可分散风险了），因此，资本市场线告诉我们：

（1）持有充分分散的市场组合时，我们可以用P表示其风险水平，否则用P表示组合的风险不一定适当；

（2）仅仅当投资者持有市场组合和无风险证券的某种组合时，才能用资本市场线来确定组合的预期收益率，但是此时，资本市场线并不能给我们提供每一个证券的预期收益率。 9.3 证券市场线（Security Market Line，简称SML）

为了推导出最终的CAPM模型，我们还要再构造一个特殊的投资组合。这个投资组合由某一个证券i和市场组合M形成的组合。这个证券i和市场组合M在这个特殊组合中的

权重分别为x和1x，其中，0x1中，可以知道：

当x0时，证券市场是均衡的（因为i证券可以代表市场中的任何一只证券，如果对任何一个证券都不存在过度需求，那此时证券市场是均衡的。）；

当x0时，证券市场是不均衡的，也就是说市场上存在着对于这个i证券的过度需求；

这个特殊组合的预期收益率的期望和标准差分别为ErP和P，且这个i证券与市场组合M预期收益率之间的协方差为Covri,rM，那么，我们可以得到：

ErPxEri1xErM

Px2i2(1x)2M22x(1x)Covri,rM

这个方程表示的是证券i和市场组合M形成的特殊组合的投资可行集，它们所组成的有效前沿是可行集的一个子集。

如图9-2所示：

EF-Ⅰ是包含全部风险证券的有效前沿，EF-Ⅱ是证券i和市场组合M形成的特殊组合的有效前沿，因为，i与M的组合的可行集是全部风险证券可行集的一个子集，那么EF-Ⅱ肯定位于EF-Ⅰ的右下方，当且仅当x0时，i和M的组合过M点，即EF-Ⅱ过M点，那么EF-Ⅱ必然与EF-Ⅰ相切，且切点为M。

那么， EF-Ⅱ在M点切线的导数（

dErP）和EF-Ⅰ在M点的导数相同，由前面

dPx0ErMrf，那么：

的讨论我们知道EF-Ⅰ在M点的导数即是CML的斜率

MErMrfdErP dPx0M所以我们要先求导出

dErP。 dP由前面的讨论，可知：

ErPxEri1xErM

Px2i2(1x)2M22x(1x)Covri,rM

xi(1x)M2x(1x)Covri,rM222212

那么，

dErPdErPdx

dPdPdx2EriErM2xx22i(1x)2M2x(1x)Covri,rM222i2x1M24xCovri,rM

推导过程： dErPdErPdx dPdPdxEriErM1222xi(1x)2M2x(1x)Covri,rM22x1122i2x1M24xCovri,rM2 EriErM11222222xi(1x)M2x(1x)Covri,rM22xi2x1M24xCovri,rM2 EriErM11222xi2x1M24xCovri,rM222x2i(1x)2M2x(1x)Covri,rM 2EriErM2xx22i(1x)2M2x(1x)Covri,rM222i2x1M24xCovri,rM 将x0代入上式，可知：

EriErMMErMrf dErP2dPx0MCovri,rMM化简这个公式：

ErirfCovri,rMCovri,rM2MErr

Mf设i2M，那么：

任何一个证券i的预期收益率的期望可以表达为：

ErirfiErMrf

这就是我们千呼万唤的CAPM模型。它有时候也可以表示成为：

ErirfiErMrf

图9-2 资本市场线（CML）

从CAPM模型，我们可以看到，任一证券的期望收益率可分成两部分：一部分是无风险利率 ，另一部分是由于风险存在而增加的利率补偿 ，风险越大，则第二部分也就越大，亦即对该证券的期望收益率就越大，这是与我们的生活常理相符合的。

在CAPM模型中，我们发现是一个非常重要的变量。所以在这里非常有必要对多解释一下，从CAPM模型中我们很显然可以看出，i在那里实际上已成为证券风险大小的衡量标志了，因为ErM和rf是给定的。事实上，如果i1，则说明证券i的风险大于市场证券组合M的风险，因而Eri当然应大于市场证券组合收益率的期望值ErM；反之若

CML EF-Ⅰ EF-Ⅱ i1，很显然，我们同样得到EriErM。

我们知道：i写成：

Covri,rM2MiMiMiMi，于是，我们可以把CAPM模型改2MMErirfiErMrfrf即：

iMiErMrf MErirfErrMfMiMi

，可以这样理解： ）

对于上式右侧的风险补偿的第二个部分（

ErrMfMiM由于整个市场存在风险，那么对它给予的风险补偿应是ErMrf，注意到市场风险的大小是用M来表征的，于是

ErMrfM就可理解为“平均单位市场风险”给予的补偿，

现在证券i的风险为i，将它“折算”成市场风险，则其折算值即是iMi，将“平均单位

市场风险”

ErMrfM与证券i的市场风险iMi相乘，那么他们的乘积

ErMrfMiMi当然就是证券i的风险补偿了。

这样我们利用资本资产定价模型（ErirfiErMrf）就可以对任一证券的预期收益率的作出期望（估计），但是这里的关键因素是要估算出，现实中，如果证券市场的发展是平稳、有秩序的，我们就可以利用有关历史数据来作回归分析，从而得到的估计值。

这样我们又可以作出一张图，只不过这张图的横轴与纵轴不是之前资本市场线（CML）所处在的那个

,Er平面上了，而是处在,Er平面上的证券市场线（SML），就是如

SML 图9-3所示。

图9-3 证券市场线（SML）

9.4 关于的进一步讨论

系数的一个重要性质是具有线性可加性，即在一个包含n项证券（资产）的投资组

合里，各项证券（资产）的比重是i，系数是i，则组合的系数为ii1ni。

一项资产的风险补偿应当是它的系数乘以有风险资产的市场组合的风险补偿。 9.4.1 当0时

当0时，该证券（资产）的收益率变化与市场同向。

（1）1时，该证券（资产）的价格波动大于市场的平均价格波动，风险补偿大于市场组合的风险补偿，若市场收益率上升，该资产的收益率上升的幅度比市场平均水平高；若市场收益率下降，其收益率下降的幅度也比市场平均水平高。

（2）01时，该资产的价格波动小于市场的平均价格波动，风险补偿小于市场组合的风险补偿，若市场收益率上升，该资产的收益率上升的幅度比市场平均水平低；若市场收益率下降，其收益率下降的幅度也比市场平均水平低。 9.4.2当0时

当0时，该证券（资产）的收益率变化与市场反向。

这就意味着在市场收益率上升时，投资者应当选择投资于系数大于1的资产，而当市场收益率下降时，投资者应当选择投资于系数小于1的资产，以最大化其投资收益。 以上给出的关于CAPM的推导过程其实就是Sharpe的推导方法，事实上有另外一个叫作Linter的学者和Sharpe一样在上个世纪的六十年代给出了和Sharpe完全不一样的思路的关于CAPM的证明。

9.5 放弃部分假设的CAPM模型

在前面的分析中，我们给出了CAPM模型的八个假设，事实上呢，有一些假设的提出是为了分析的方便，而并不符合实际情况，现在我们来试图放弃一些假设，看看CAPM模型能否继续存在。

9.4.1 不存在无风险证券的情形

CAPM模型的标准形式要求市场中必须有利率为rf无风险证券，而且要求在一定的限度内，人们可以自由地以rf这个利率借或贷资金。

但是，在实际生活上，这些是不存在的，其理由如下：

（1）在全球性的通货膨胀中，即使对于发行的国库券，虽然利率是不变的，但这个利率是名义利率，由于存在通货膨胀，其实际利率仍是变化的，因此也是有风险的。

（2）要求借款和贷款和利率是一样的，这在现实世界里不大可能实现。一般情况下借款利率高于贷款利率，所以不存在一个无风险投资。

基于上述的理由，如果市场中没有这样的无风险证券呢，情况又会怎样呢？布莱克（Black，1972）在没有风险资产的条件下给出了更一般形式的CAPM模型，称为零资本资产定价模型。在这一模型中，任意资产i的期望超额收益可以通过它的系数表示为市场组合收益和关于市场组合的零资产组合（与市场组合不相关的资产组合）收益的线性函数，即：

EriEr0MiMErMEr0M

其中r0M为关于市场组合的零资产组合的收益，这个组合通常定义为与市场组合不相关的所有组合中方差最小的组合。 9.4.2 借款利率高于贷款利率的情形

一般来说，借款利率要高于贷款利率，否则人人都会借款而贷出，从而获得利率差。

如图9-5所示，其中，rB为借款利率（资金借入），rL为贷款利率（资金贷出），SG曲线上的点为有效组合，我们通过rL点和rB点分别向SG曲线作切线，分别切于M1和M2点。那么我们就得到了存在两个无风险利率情况下的最小方差集，它包括：直线LM1、曲线

M1M2直线M2C，一共三个部分。

那么我们就知道：直线LM1表示投资者是贷款者；曲线M1M2表示投资者既不借款，也不贷款；直线MC’表示投资者是借款者。

这里需要注意的是，虚线部分所代表的组合是不可行的。以BM2为例，投资者总是以较高的利率贷款，例如以rB为利率贷款再投资，但是银行对他们的存款仅仅以rL付息，基于同样的道理，Mc也是不可行的。

图 9-5 借款利率高于贷款利率的情形

由于最小方差集分成了三个部分，那么描述任一证券（或组合）的期望收益率和其风险部分也分成了三部分。

（1）曲线M1M2部分，我们已经知道M1和M2所代表的组合均是有效组合，而市场证券组合M也是有效组合，它可以由M1和M2来线性表示，注意在M1M2这一段不存在无风险利率，根据我们在第一个问题中的叙述，对应于市场证券组合M，一定有一个和M线性无关的零组合Z，使得：

EriErZiErMErZ

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