中考数学压轴专题_翻折类整理

1、如图10，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则折痕EF的长是_______ .

F D C 2、如图11，□ABCD中，点E在边AD上，以FBE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的ADE 点F，若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为_______ . A A处，E3、如图，在直角坐标系中，将矩形OABC沿OB对折，使点A落在点已知OA＝1

CBAB＝1，则点A1的坐标是（ ） A.（

图10

图11

B ，

3333331，） B.（，3） C.（，） D.（，） 2222222F C E A B ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的F点D

处．若△AFD的周长为9，△ECF的周长为3，则矩形ABCD的周长为________．

4、（06临汾）如图，将矩形纸片

5、（2010上海金山）如图2，在△ABC中，AD是BC上的中线，BC=4，∠ADC=30°，把△ADC沿AD所在直线翻折后点C落在点C′的位置，那么点D到直线BC′的距离是 ．

4、（08十堰）如图，把一张矩形的纸

B D 图2

EA C/ C

ABCD沿对角线BD折叠，

使点C落在点E处，BE与AD交于点F． （1）求证：ΔABF≌ΔEDF；

（2）若将折叠的图形恢复原状，点F与BC边上的点M正好重合，连接DM，试判断四边形BMDF的形状，并说明理由．

解：

……1分 ED，EC．在矩形ABCD中，ABCD，AC， ⑴证明：由折叠可知，CD∴ABED,AE． ∵∠AFB＝∠EFD， ∴△AFB≌△EFD． ……………………４分

⑵四边形BMDF是菱形． ………………………５分 理由：由折叠可知：BF＝BM，DF＝DM． …………６分 由⑴知△AFB≌△EFD，∴BF＝DF．∴BM＝BF＝DF＝DM． ∴四边形BMDF是菱形． …………………7分

AFDBM第22题图C1、（08枣庄）如图，在直角坐标系中放入一个边长OC为9的矩形纸片ABCO．将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上，记为B′，折痕为CE，已知tan∠OB′C＝（1）求B′ 点的坐标；

（2）求折痕CE所在直线的解析式． 解：

O 3． 4y C B E B′ A x （1）在Rt△B′OC中，tan∠OB′C＝∴

3，OC＝9， 493． ………………………………………………………………………2分 OB4解得OB′＝12，即点B′ 的坐标为（12，0）． ………………………………………３分 （2）将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上的B′ 点，CE为折痕， ∴ △CBE≌△CB′E，故BE＝B′E，CB′＝CB＝OA． 由勾股定理，得 CB′＝

OB2OC2＝15． … …………………………………４分

设AE＝a，则EB′＝EB＝9－a，AB′＝AO－OB′＝15－12=3． 由勾股定理，得 a2+32＝(9－a)2，解得a＝4．

∴点E的坐标为（15，4），点C的坐标为（0，9）． ··········································· ５分 设直线CE的解析式为y＝kx+b，根据题意，得

9b, …………… ６分 415kb.b9,1解得 ∴CE所在直线的解析式为 y＝－x+9． …………………13k.3８分

2、（09益阳）如图11，△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝2，DC＝3，求AD的长.

小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题. 请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：

(1)分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，证明四边形AEGF是正方形； (2)设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值. 解析：

(1)证明：由题意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF ················································· 1分 ∴∠DAB＝∠EAB ，∠DAC＝∠FAC ，又∠BAC＝45°，

∴∠EAF＝90° ········································································································· 3分 又∵AD⊥BC

∴∠E＝∠ADB＝90°∠F＝∠ADC＝90° ······································································· 4分 又∵AE＝AD，AF＝AD

∴AE＝AF ················································································································ 5分 ∴四边形AEGF是正方形 ···························································································· 6分 (2)解：设AD＝x，则AE＝EG＝GF＝x ········································································· ７分 ∵BD＝2，DC＝3 ∴BE＝2 ，CF＝3

∴BG＝x－2，CG＝x－3 ···························································································· ９分 在Rt△BGC中，BG2＋CG2＝BC2

∴( x－2)2＋(x－3)2＝52 ······························································································ 11分

图11

G B D F E C A 化简得，x2－5x－6＝0 解得x1＝6，x2＝－1（舍）

所以AD＝x＝6 ········································································································ 12分 3、已知如图，矩形OABC的长OA=3，宽OC=1，将△AOC沿AC翻折得△APC. （1）填空：∠PCB=_ ___度，P点坐标为（ ， ）； （2）若P，A两点在抛物线y=－

物线上；

（3）在（2）中的抛物线CP段（不包括C，P点）上，是否存在一点M，使得四边形MCAP的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时M点的坐标；若不存在，请说明理由．

3、（06临安）如图，△OAB是边长为23的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点B在y轴正方向上，将△OAB 折叠，使点A落在边OB上，记为A′，折痕为EF.

（1）当A′E//x轴时，求点A′和E的坐标； （2）当A′E//x轴，且抛物线y42

x+bx+c上，求b，c的值，并说明点C在此抛312xbxc经过点A′和E时，求抛物线与6x轴的交点的坐标；

(3)当点A′在OB上运动，但不与点O、B重合时，能否使△A′EF成为直角三角形？若能，请求出此时点A′的坐标；若不能，请你说明理由.

解：

（1）由已知可得∠AOE=60 , AE=AE由A′E//x轴,得△OAE是直角三角形，设A的坐标为（0，b）

AE=A，E=3b,OE=2b3b2b23

所以b=1，A，、E的坐标分别是（0，1）与（3，1）因为A，、E在抛物线上，所以

c11c123yxx1 所以，函数关系式为132661(3)3bcb66，

o

，

，

，

由x2163x10得x13,x223与x轴的两个交点坐标分别是（3，0）6与（23，0）

不可能使△A′EF成为直角三角形.

∵∠FA，E=∠FAE=60o,若△A′EF成为直角三角形,只能是∠A，EF=90o或∠A，FE=90o 若∠A，EF=90o,利用对称性,则∠AEF=90o, A，、E、A三点共线，O与A重合，与已知矛

盾；

同理若∠AFE=90也不可能

所以不能使△A′EF成为直角三角形.

2. （08

，

o

浙江衢州）已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，

四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(10，0)，B(8，23)，C(0，23)，点T在线段OA上(不与线段端点重合)，将纸片折叠，使点A落在射线AB上(记为点A′)，折痕经过点T，折痕TP与射线AB交于点P，设点T的横坐标为t，折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S；

(1)求∠OAB的度数，并求当点A′在线段AB上时，S关于t的函数关系式； (2)当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围；

(3)S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t的值；若不存在，请说明理由. y

y B B C C

O

O

x T A x T A

2. (1) ∵A，B两点的坐标分别是A(10，0)和B(8，23)， ∴tanOAB233， ∴OAB60 当点A′在线段AB上时，∵

108OAB60，TA=TA′，∴△A′TA是等边三角形，且TPTA，

∴TP(10t)sin60311(10t)，APAPAT(10t)， 222y A′ C O T E B P A x ∴SSATP13APTP(10t)2， 28234， 当A′与B重合时，AT=AB=

sin60 所以此时6t10.

(2)当点A′在线段AB的延长线，且点P在线段AB(不与B重合)上时， 纸片重叠部分的图形是四边形(如图(1)，其中E是TA′与CB的交点)， 当点P与B重合时，AT=2AB=8，点T的坐标是(2，0) 又由(1)中求得当A′与B重合时，T的坐标是(6，0) 所以当纸片重叠部分的图形是四边形时，2t (3)S存在最大值

1当6t ○

y A′ E F P B 6.

C 10时，S3(10t)2， 8O T A x 在对称轴t=10的左边，S的值随着t的增大而减小，

∴当t=6时，S的值最大是23.

2当2t○

1，重叠部分的面积SS6时，由图○ATPSAEB

∵△A′EB的高是ABsin60∴S313(10t)2(10t4)2 822 33(t24t28)(t2)243当t=2时，S的值最大是43； 882，其中E是TA′与CB的2，即当点A′和点P都在线段AB的延长线是(如图○

3当0t○

交点，F是TP与CB的交点)，

∵EFTFTPETF，四边形ETAB是等腰形，∴EF=ET=AB=4， ∴S11EFOC42343 22综上所述，S的最大值是43，此时t的值是0t2.

28．（08绵阳市）如图，矩形ABCD中，AB = 8，BC = 10，点P在矩形的边DC上由D向C运动．沿直线AP翻折△ADP，形成如下四种情形．设DP = x，△ADP和矩形重叠部分（阴影）的面积为y．

（1）如图丁，当点P运动到与C重合时，求重叠部分的面积y；

（2）如图乙，当点P运动到何处时，翻折△ADP后，点D恰好落在BC边上？这时重叠部分的面积y等于多少？

（3）阅读材料：

已知锐角≠45°，tan2 是角2 的正切值，它可以用角 的正切值tan 来表示，即 tan22tan（≠45°）．

1(tan)2根据上述阅读材料，求出用x表示y的解析式，并指出x的取值范围．（提示：在图丙中可设∠DAP =  ）

（1）由题意可得 ∠DAC =∠D′AC =∠ACE，∴ AE = CE． 设 AE = CE = m，则 BE = 10－m．

在Rt△ABE中，得 m2 = 82 +（10－m）2，m = 8.2．

11∴ 重叠部分的面积 y =2· CE · AB =2×8.2×8 = 32.8（平方单位）．

另法 过E作EO⊥AC于O，由Rt△ABC∽Rt△EOC可求得EO． （2）由题意可得 △DAP≌△D′AP， ∴ AD′ = AD = 10，PD′ = DP = x． 在Rt△ABD′ 中，∵ AB = 8，∴ BD′ =

10282= 6，于是 CD′ = 4．

在Rt△PCD′ 中，由 x2 = 42 +（8－x）2，得 x = 5．

11此时 y =2· AD · DP =2×10×5 = 25（平方单位）．

表明当DP = 5时，点D恰好落在BC边上，这时y = 25． 另法 由Rt△ABD ′∽Rt△PCD′ 可求得DP． （3）由（2）知，DP = 5是甲、丙两种情形的分界点．

1当0≤x≤5时，由图甲知 y = S△AD′P = S△ADP =2· AD · DP = 5x．

当5＜x＜8时，如图丙，设∠DAP = ，则 ∠AEB = 2，∠FPC = 2．

DPxAD10． 在Rt△ADP中，得 tan =

x1020xx2100x21()10根据阅读材料，得 tan2 =．

282(100x2)20x25x在Rt△ABE中，有 BE = AB∕tan2 =100x=．

20x(8x)2同理，在Rt△PCF中，有 CF =（8－x）tan2 =100x．

∴ △ABE的面积

112(100x2)8(100x2)5x5x S△ABE =2· AB · BE =2×8×=．

△PCF的面积

1120x(8x)10x(8x)222 S△PCF =2· PC · CF =2（8－x）×100x=100x．

而直角梯形ABCP的面积为

11 S梯形ABCP =2（PC + AB）×BC =2（8－x + 8）×10 = 80－5x．

8(100x2)10x(8x)225x故重叠部分的面积 y = S梯形ABCP－S△ABE－S△PCF= 80－5x－－100x．

经验证，当x = 8时，y = 32.8适合上式．

8(100x2)10x(8x)225x综上所述，当0≤x≤5时，y = 5x；当5＜x≤8时，y = 80－5x－－100x．