福州一中2017年高中招生(面向福州以外地区)数学试卷(含答案)

综合素质测试数学试卷

（满分100分，考试时间60分钟）

学 校： 姓 名： 准考证号： 注意：请将选择题、填空题、解答题的答案填写在答题卡上的相应位置． ．．．．．．．一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选

项中，只有一个选项是正确的．）

1.下列运算正确的是（ ）

A．2a2a23a4 B．2a2a2a4 C．2a2a22a4 D．2a2a22a

2．下列命题错误的个数是（ ） ．．① 经过三个点一定可以作一个圆；

② 三角形的外心到三角形各顶点的距离相等； ③ 对角线相等的四边形是矩形；

④ 一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形.

A．1 B．2

C．3 D．4

3. 在某次训练中，甲、乙两名射击运动员各射击10发子弹的成绩统计图如图所示，对于本次训练，有如下结论：①s甲＞s乙；②s甲＜s乙；③甲的射击成绩比乙稳定；④乙的射击成绩比甲稳定，由统计图可知正确的结论是（ ） A．①③ B．①④ C．②④ D．②③

4. 2017年5月14日，福州一中将喜迎建校两百周年华诞，当天正好是星期日，以当天作为第1天开始算起，则第366天是（ ）

2222A．星期一 B．星期二 C．星期六 D．星期日

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5.对于两个实数a,b，规定maxa,b表示a,b中的较大值，当ab时，maxa,ba，

22当ab时，maxa,bb，例如：max1,33.则函数ymaxx3x6,xx的

最小值是（ ）

A．

153133 B． C． D．

44446. 如下表，把一列互不相等的正整数按照从小到大的顺序填入下列表格，已知前两个格子填入的数分别为1和2.任取四个彼此相邻格子中的数，从小到大依次记为a、b、c、d，且满足(11 ab)(1)2，则第5个格子中的数m为( ) dc2 m ... A.5 B．6 C．7 D．8

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）

7. 《九章算术》是我国传统数学最重要的著作，奠定了我国传统数学的基本框架．它的代 数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两． 问：牛、羊各直金几何？”

译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两． 问：每头牛、每只羊各值金多少两？”

设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为 ．

8.如图，要制作一个圆锥形的烟囱帽，使底面圆的半径与母线长的比是4:5，那么所需扇形铁皮的圆心角应为 度．

9. 若函数ykxb的图象如图所示，则关于x的不等式

k(x3)b0的解集为 ．

33233323333210.观察下列等式：123，1236，1+2+3+410，„，根据上述

规律，第五个等式为________________．

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M11. 如图，AB是⊙O的直径，AB8，点M在⊙O上，

N，P是 MAB45，N是劣弧MB的三等分点（靠近点B）

APOB直径AB上的一动点，则PMN周长的最小值为__________．

12.定义二次函数的图象与直线yx交点的横坐标为二次函数的不动点.已知二次函数

yx23mnx21mn有唯一的不动点，若m3且mn0，则n的取值范围4是 .

三、解答题（本大题共3小题，满分40分．）

13. （本小题满分13分）

已知四边形ABCD，点E在边BC上，P为对角线BD上的动点，满足APPE. （Ⅰ）当四边形ABCD为正方形时（如图1），求证：PAPE；

（Ⅱ）当四边形ABCD为矩形，且AD6，CD4时（如图2），试探究AP:PE 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

14.（本小题满分13分）

如图，海中有一小岛D，它周围12海里内有暗礁.一艘巡逻船在D岛海域例行巡逻，某时刻航行至A处时，测得其东北方向与它相距16海里的B处有一渔船，且D岛位于巡逻船正东142海里处.观测中发现，此渔船正以每小时4海里的速度沿正南方向航行.如果渔船不改变航线继续前行，有没有触礁危险？请通过计算加以说明.如果有危险，巡逻船的速度至少为多少时，才能将该渔船拦截在暗礁区域之外，并确定此时巡逻船的航向. （参考数据：sin3652'0.6，sin5308'0.8）

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15.（本小题满分14分）

已知抛物线C1:y1(x1)2h的顶点为C，并与x轴交于A、B两点，点A在点B2的左侧，直线l:yxb经过B、C. （Ⅰ）求抛物线C1的解析式和直线l的表达式；

（Ⅱ）点D是点C关于x轴的对称点，连接CD、BD.平移BCD，得到PQF(B、C、

D的对应点分别为P、Q、F)，满足PQ在直线l上，点F在抛物线C1上，求此时点F的坐标；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，取位于x轴上方的点F，连接AF、AC.设M、N分别为射线CA和射线AF上的动点，连接MN，以MN为直径的⊙R经过点Q，点M从C开始沿射线CA运动的过程中，试求线段FR的最小长度.

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福州一中2017年高中招生（面向市区以外）

综合素质测试数学参

一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

题号 答案

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 7． 9． 11．

1 C 2 C 3 D 4 A 5 B 6 D 5x2y10 8． 288 2x5y8x5

10．12．

132333435363212

0n1 3443 三、解答题（本大题共3小题，满分40分）

13. 本小题主要考查三角形全等、相似的判定方法；特殊四边形的性质及判定等基础知识，考查识图、辩图、逻辑推理能力，考查几何直观等形象思维．满分13分．

（Ⅰ）法一:证明：过P作PMAB于M，PNBC于N，„„„„„„„„1分 ∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ ABC90， ∴ 四边形BMPN是矩形， 又 ∵ BD是ABC的角平分线，

∴ PMPN„„„„„„„„„„„„„„2分 ∴ 四边形BMPN是正方形， ∴ MPN90， ∵ APPE， ∴ APE90，

∴ APEMPEMPNMPE

∴ APMEPN„„„„„„„„„„„„„„4分 在APM和EPN中，

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

∴ APM≌EPN（ASA），„„„„„„„„„„„„„„5分 ∴ APPE.„„„„„„„„„„„„„„6分 法二：连AE，由ABCAPE90，

AMPENP， PMPNAPMEPNB、P两点都在以AE为直径的圆上，.....................2分

∴ ABPAEP.....................3分 ∵ 四边形ABCD是正方形，

∴ABP45，∴ AEP45 ，∴EAP45

EAPAEP......................5分 ∴ APPE.„„„„„„„„„„„„„„6分

（Ⅱ）法一：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ BAD90， 又∵PBM90， ∴ PM∥AD， ∴ BPM∽BDA， ∴

PMBP，„„„„„„„„„„„„„„7分 ADBD 同理，

PMADPM∴

PN∴

PNBP， CDBDPN， CDAD63==，„„„„„„„„„„„„„„9分 CD42∵ AMPENP90，MPAEPN， ∴ APM∽EPN.„„„„„„„„„„„„„„10分 ∴

APPM„„„„„„„„„„„„„„11分 PEPN∴ AP:PE3:2.为定值.„„„„„„„„„„„„„12分 法二：连AE，由ABCAPE90，

B、P两点都在以AE为直径的圆上，..................8分

ABPAEP，......................9分 市外招生数学试卷第6页 共4页

tanABPtanAEP

APAD，tanABP....................11分 AEABAPAD3......................12分 ∴

AEAB2（或证明AEP∽ABD）

∵ tanAEP14. 本小题主要考查勾股定理、解直角三角形等基础知识，考查应用意识、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分14分．

解：在ΔABD中作B CDA于点C.„„„„„„„2分 在RtABC中，AB16，BAC45

BCAC82„„„„„„„„„„„„„„3分

CDADAC1428262„„„„„„„„„„„„4分

依题意，以点D为圆心，12海里为半径的圆形区域为暗礁区域„„„„„„5分 ∵ 6212

所以，如果渔船不改变航线继续航行，有触礁危险.„„„„„„„„„„„6分 在BC上取点E使得ED12，连接AE，ED . 在RtCED中，ED12，CD62

所以，CEEDCD

222CE62„„„„„„„„„„„8分

在RtCEA中，AECEAC

222AE102„„„„„„„„„„„9分

所以，在RtCEA中，sinEACCE3 AE5EAC3652' „„„„„„„„„„„11分

因为该渔船到达点E的时间tBE222小时. 442所以巡逻船速度vAE10220海里/小时. „„„„„„„„„13分 t22所以，巡逻船要以北偏东9036525308的航向和至少每小时20海里的速度前往拦

截. „„„„„„„„„14分 （注：没有取“=”扣1分）

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15. 本题考查一次函数和二次函数的图像与性质，综合了等腰直角三角形、圆、矩形的性质及垂直平分线的判定，解题过程中利用了图象平移的性质，蕴含了方程思想、化归及数形结合等数学思想．满分14分．

11(x1)2h0 ，则 (x1)2h有两个不同的实根， 22h0 (注：说明因二次函数开口向上，与x轴交于A、B两点则h0亦可) „„1分

解：（Ⅰ）法一： 当y0时即

12(b1)h0由已知可得B(b,0)，C(1,h)，则2

hb1解得h2或0（舍），b3.......................................3分

113(x1)22x2x l:yx3............4分 222法二：过C作CHx轴于H

1122当y0时即(x1)h0 ，则 (x1)h有两个不同的实根，h0...1分

22 C1:y 解得x12h，则B(12h,0)

由已知可得B(b,0)，C(1,h)，设直线l与y轴交于点D(0,b)， ∵ OBOD|b|，BOD90

OBD45BCH为等腰直角三角形

CHBH即12h1h解得h2

B(3,0)，C(1,2)...................................3分

C1:y113(x1)22x2x l:yx3............4分 222（Ⅱ）设DC交x轴于H.由题意可得D(1,2)，H(1,0)

BHCH，CHB90，BCHCBH45

∵点D和点C关于x轴对称

BCBD，BCD为等腰直角三角形且CD2CH4 由平移的性质可知FQ4且FQ//CD...............6分 设Q(t,t3)，则F(t,tt)，

1223213FQ|t2t(t3)|4....................8分

22

解得t1或5，则F(1,0)或(5,6) ....................9分

市外招生数学试卷第8页 共4页

（Ⅲ）连接AR，QR ∵ ACBC22，AB4

ABC为等腰直角三角形

ACB90，ABCBAC45.......10分

由（Ⅱ）可知ACBFPQ90，Q(5,2)

AC//PF

∵ACBCPF 四边形ACPF为矩形

MAN90AR1MNRQ 2R在AQ的垂直平分线m上......................11分

过F作FGm于G，由垂线段最短可知FG即为线段FR的最小长度. .... .....12分 当点M在C处时，R在AQ的中点R1处，当点M在A处时，R在AN上的点R2处 由上可知F5，6. 则CQ42，AQ∵四边形ACPF为矩形

AC2CQ2210，AR110，AFCP62

AF//CP CQAR1AR2 cosCQAcosR1AR2

得AR25272，FR2 22∵AR1R290FGR2

FG//AR1R2AR2GFR2

cosR2AR1AR1FG cosGFR2AR2FR2FG

710710 即线段FR的最小长度为..............................14分 55市外招生数学试卷第9页 共4页