２０１０年第５期 数学教学 ５—２１ 对一道高考试题的思考与探究 ２０１６００上海市松江二中张忠旺 ２００９年全国高考试题Ⅱ卷第１６题：已知 ＡＣ、ＢＤ为圆０： ＋Ｙ ＝４的两条相互垂 为 （０＜ ≤吾），￣ＩＯＭＩ＝ｃｆ，四边形ＡＢ Ｄ 直的弦，垂足为Ｍ（１， ），则四边形ＡＢＣＤ的 面积的最大值为 本题小巧精致，表述简洁，解法灵活，立意于 考查学生的能力．该问题吸引我们对其进行了进 一步的思考和探究，下面将探究过程介绍如下． 一、问题的解答 本题有多种解法，下面我们利用图形的几何 性质给出一种比较简捷的解法． 如图ｌ，设圆心Ｏ到 、ＢＤ的距离分别为 ｄ１、ｄ２，Ｎｄ｝＋ｄ；＝ＯＭ ＝３． ，一一 ／ ＼ ｃ 图１ 四边形ＡＢＣＤ的面积Ｓ＝去ｌＡＣＩ・ｌＢＤｌ： ２Ｘ／—（４－ｄ￣）—（４－ｄ２）＝２Ｖ／—４＋（ｄ—ｉｄ２）２． 由ｄ｛＋ｄ；＝３得０≤ｄｌｄ２≤昙．当且仅当 ｄｌｄ２：昙，即ｄ１：ｄ２： 时，ｓｍ ：５．我 们同时得到当ｄｉｄ２＝０，即 或ＢＤ有一条是 圆（＝）的直径时，Ｓｍｉ ＝４． 二、问题的进一步探究 问题１将原问题推广，若 、ＢＤ过圆（二） 内的定点Ｍ，且其夹角保持定角 不变，结论如 何呢？ 定理１ 已知Ｍ是半径为７’的圆（＝）内一定 点，ＡＣ、ＢＤ为过点Ｍ的两条弦，且它们的夹角 的面积为Ｓ，则 （１）当（ｆ１＝ｄ２＝ｄｓｉｎ 时，ｓ取得最大值 ２（ｒ２ ｓｉｎ ）ｓｉｎ ； （２）当０＜０＜ａｒｃ ｃｏｓ ，ｄｌ ｄ２ ｄｃ。ｓ兰时，ｊ５，取得最小值２（ｒ２－ｄ２ ｃｏｓ２鲁）ｓｉｎ ； ａｒｃ ｃｏｓ ≤ ≤ ｄ２＝ ｒ ＣＯＳ ０时，Ｓ取得最小值２ｒ ＝＝． ｓｉｎ ０． 证明：设ＩＯＭｆ＝ｄ，圆心０到ＡＣ、ＢＤ的 距离分别为ｄｌ、ｄ２，不妨设ＺＡＭＤ＝０． ｓ＝ ＩＡＣＩ・ＩＢＤＩ ｓｉｎ ＝２ ｓｉｎ Ｏｖ／（ｒ２一田）（７’。一 ） ＝２ ｓｉｎＯｖ／（ｄｌｄ２）２一ｒ２（ｃｆ；＋ｄ；）＋ｒ ． 如图２，当０在ＺＡＭＤ内时， ｄｉ＋ｄ；＋２ｄ１ｄ２ ＣＯＳ ０＝ｄ ｓｉｎ。０． 由基本不等式得０≤ｄｌ ｃｆ２≤ｄ２ ｓｉｎ ． 此日 ！ 三 ２ ｓｉｎ Ｏ￣／（ｄｌｄ２＋７＇ ｃｏｓ Ｏ） ＋Ｔ２（ 一ｄ ）ｓｉｎ ０ （。≤ ≤ ｉｎ 曼）． ５—２２ 数 学教学 即０＜０＜ａｒｃ ｃｏｓ ２０１０年第５期 ， ｄｌ＝ｄ２＝ｄｃｏｓ 时Ｉ ＝２（ｒ２一 。ｓ 鲁）ｓｉ１ ． 此时，ＭＯ平分／ＡＭＤ的补角， 至此，定理得证． 问题２如果ＡＣ、ＢＤ绕点 任意转动，这 图３ ｄ；＋ｃｆ；一２ｄｌｄ２ ｃｏｓ０＝ｄ２ ｓｉｎ ０． 此时，可得 Ｓ２＝２ ｓｉｎ Ｏ￣（ｄ１ｄ２－ｒ２ ｃｏｓ ０）２＋７，２（７＇２一ｄ２）ｓｉｎ ０ （０ ｄ由于 ≤Ｓ１≤ｄ￣ｃｏｓ，要求 的最值，我们只要求 ２曼）． Ｓｌ的最大值和 的最小值即可． ｘ￣ｆｆ：Ｓｌ，当ｄｉｄ２＝ｄ ｓｉｎ 昙， 即当ｄｌ＝如＝ｄｓｉｎ 时， 此时，Ｍ《＝２（＝）平分 Ａ Ｄ． 一 ｉｎ ） ｓｉｎ ． 对于 ，若０≤ｒ。ｃｏｓ０≤ｄ ｃｏｓ 昙， ￣ｐ ａｒｃｃｏｓ ≤ ≤吾・ 当ｄｌｄ２＝ｒ２ ＣＯＳ０时， ｉｎ＝２ｒ ｓｉｎ ０． 此时，设ＯＨ上ＡＣ于Ｈ，ＯＧ上ＢＤ于 Ｇ．如果延长ＯＧ交圆０于Ｐ，过ＪＦ）作ＰＱ垂直 ＯＨ＝ｔ：Ｑ，由（ｆ１ｄ２￣－Ｔ２ ＣＯＳ 得丽ＯＨ＝ ＯＰ，此时 ＧＱｆｆＰＨ（ 时四边形ＡＢＣＤ的面积Ｓ如何变化？ 显然，这时Ｓ无最小值，但有最大值． 定理２ 已知吖是半径为ｒ的圆Ｏ内一定 点，ＡＣ、ＢＤ为过点 的两条弦，设ＩＯＭＩ＝ ｄ，则当ＡＣ、ＢＤ的夹角为 ０ ｌ其中ｃｆ ｏｓ Ｏｏ ｌ 一（ 一丢）＋ ２｛＝ ２ ｄ ／ ）时， 四边形ＡＢＣＤ的面积Ｓ取得最大 值【２ｒ。一（１一 ＣＯＳ Ｏｏ）ｄ 】ｓｉｎ Ｏｏ． 证明：如图５，设ＡＣ、ＢＤ的夹角为０，０∈ （。，吾］， 固定时，由定理１知， －＝ｄ２＝ｄｓｉｎ 时，可得ｓ的最大值２（ｒ２＿ｄ２ ｓｉｎ２曼）ｓｉｎ Ａ Ｅ Ｂ ＼ｔ ．Ｆ 下面我们只要求出当０变化时，ｆ（ｏ）＝ ２ ｒ＿ｄ２ ｓｉｎ２ ）ｓｉｎ 的最大值即可・将．厂（ ） 化简得，（ ）＝（２ｒ２一ｄ。）ｓｉｎ ＋ ｄ２ ｓｉｎ２０． 由．厂 （ ）＝（２ｒ２一ｄ ）ＣＯＳ ０十ｄ２ ＣＯＳ ２０＝０ ￣ＣＯＳ２ ０＂４－（爱一壶）ｃｏｓ Ｏ－ １一ｏ． 令入＝ ｒ２，上式化为ｃｏｓ２ ０＋（ 一 ）ｃ。ｓ 一丢＝ｏ．解得 ２０１０年第５期 数学数学 ５—２３ 一（入一 又．厂 （ ）＝一（２ｒ２一ｄ。）ｓｉｎ０—２ｄ２ ｓｉｎ２ ＜０ 所以当 ０满足 一ＣＯＳ ００ （ １）＋ ２ ’ ＝ｄ。＝ｄｓｉｎ譬 ｆ（ｇ）有最大值【２ｒ。一 图６ （１一ＣＯＳＯｏ）ｄ ］ｓｉｎＯｏ． 下面只要求，（ ）＝２ｒ ｓｉｎ ０、／／ 一二二 丽， 问题３如果 是圆（二）的一条直径，点Ｍ 当 变化时的最大值即可． 是直径ＡＣ上的一定点，当ＢＤ绕点 转动时， 四边形ＡＢＣＤ的面积 如何变化呢？ ）＝２ｒｄ 定理３已知 是半径为７１的圆Ｏ的一条 ＝２ｒｄ 直径，点 是直径ＡＣ上的一定点，设ｊＯＭＩ＝ ｄ，ＢＤ是圆（）的过点 的一条动弦．则四边形 当 （ｆ≥７＇＞ｄ时， ＜ＡＢＣＤ的面积的最大值是 豪≤ ，当 ｒ３此时由ｓｉｎ ： ｌ ： 、，／２ｄ≥？’＞ｄ； ｓｉｎ ０＝ ｇ２一ｄ时，●Ｊ … ａ－ｘ ～ ，ｄ Ｓ ＝｛ｄ一一一一 一ｌ ２ｒ、／／７・２一ｄ２，、／／２ｃ ｆ＜ ． 证明：如图６，设 Ｃ、 ＢＤ的夹角为 拿 …； ＜眦 ｒ２ ，此 《０＜０≤等），此时，四边形ＡＢＣＤ面积Ｓ＝ 时ｓｉｎ ＝１，即 ：：：吾时，Ｓｍａｘ＝２ ・ （上接第５—２０页） 则当 ＝ｍ＋１时，ｆ（ａｋ）＝１． （０，＋∞）的等比数列，故ｌ＜ｎ ＋１＝ａｌ・ａ２ ｜＋１， 证略． ＞ ｎ２ｍ１＋Ｉ ＞ｏｆ（ａ１）＞，（＼ ＋ａ２ｍ）ｌ／ 推广６已知定义在Ｒ上的函数．厂（ｚ）满足 ，，（一 ） ・￣２２ｍ＋ ，＂ ∈Ｎ 的等差 ｌｇ ＝一ｌｇａ２ 冲ｌ＝－ｆ（ａ２ｍ＋１），即ｆ（ａｔ） 数列｛０ ）满足公差ｄ≠０．若，（０１）・ｆ（ａ２）…一 ＋ｆ（ａ２ｍ＋１）＞０．同理ｆ（ａ２）＋ｆ（ａ２ ）＞０，・一， ｆ（ａ２ｍ＋１）＝１，贝０当 ＝７ｎ＋１时，ｆ（ａｋ）＝１． ｆ（ａ ）＋ｆ（ａ．ｍ＋２）＞０，故ｆ（ａ１）十ｆ（ａ２）＋…＋ 证略． ｆ（ａ２ｍ＋１）＞０，与题设矛盾． 推广７已知定义在（０，＋∞）上的函数ｆ（ｚ） 同理假设ｆ（ａｍ＋１）＜０时，也与题设矛盾． 故ｆ（ａｍ＋１）＝０，从而ａｍ＋１＝１．即得ｋ＝ｍ＋１． 满足，（ ）＝一．厂（ ）．项数为２ｍ＋１，ｍ∈Ｎ 接着有学生提出可将上述三个命题中的具 的等比数列｛０ｎ］．满足ａ他∈（０，＋。。），且公ｇｑ＞ 体函数推广到满足一定条件的抽象函数如下． ０，ｑ≠１．若，（口１）＋ｆ（ａ２）十・・・＋ｆ（ａ２ｍ＋１）＝ 推广５已知定义在（０，＋∞）上的函数ｆ（ｘ） ０，则当 ＝７ｎ＋１时，，（ｎ ）＝０． 证略． 满足，Ｉ ｌ＝ Ｌ＿．项数为２ｍ＋１，ｍ∈Ｎ 感谢每年全国各地层出不穷的高质量的高 的等比数列｛ 】．满足ａｎ∈（０，＋∞），且公比ｑ＞ 考题，为我们一线教师指导学生研究性学习带来 ０，ｑ≠１．若ｆ（ａ１）・ｆ（ａ２）・…・ｆ（ａ２ｍ＋１）＝１， 了大量素材．如今恰逢十月金秋，我们收获累累．
