考研数学真题答案数一

一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．1、设函数f(x)在连续，其2阶导函数f(x)的图形如下图所示，则曲线yf(x)的（-,+）拐点个数为（）

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【答案】(C)

【考点】拐点的定义 【难易度】★★

【详解】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点上，并且在这点的左右两侧二阶导数异号，因此，由f(x)的图形可知，曲线yf(x)存在两个拐点，故选(C).

2、设y则（）

12x1exex是二阶常系数非齐次线性微分方程yaybycex的一个特解，23（A）a3,b1,c1. （B）a3,b2,c1. （C）a3,b2,c1. （D）a3,b2,c1. 【答案】(A)

【考点】常系数非齐次线性微分方程的解法 【难易度】★★ 【详解】

12x1xe,e为齐次方程的解，所以2、1为特征方程2+ab0的根，从而23a123,b122,再将特解yxex代入方程y3y2ycex得：c1.

3、若级数

an1n条件收敛，则x3与x3依次为幂级数nanx1的：

n1n（A）收敛点，收敛点 （B）收敛点，发散点 （C）发散点，收敛点 （D）发散点，发散点 【答案】(B)

【考点】级数的敛散性 【难易度】★★★ 【详解】因为

an条件收敛，故x2为幂级数anx1的条件收敛点，进而得

n1n1nanx1的收敛半径为1，收敛区间为0,2，又由于幂级数逐项求导不改变收敛区间，故

n1nnax1nn1n的收敛区间仍为0,2，因而x3与x3依次为幂级数nanx1的收敛

n1n点、发散点.

4、设D是第一象限中曲线2xy1,4xy1与直线yx,y3x围成的平面区域，函数f(x,y)在D上连续，则

f(x,y)dxdy

D（A）

d241sin212sin21sin212sin2f(rcos,rsin)rdr （B）2d41sin212sin2f(rcos,rsin)rdr

（C）

d34f(rcos,rsin)dr （D）3d41sin212sin2f(rcos,rsin)dr

【答案】(D)

【考点】二重积分的极坐标变换 【难易度】★★★ 【详解】由yx得，24；由y3x得，3

由2xy1得，2rcossin1,r1

sin21

2sin2由4xy1得，4rcossin1,r1sin212sin22所以

f(x,y)dxdyd3D4f(rcos,rsin)rdr

11115、设矩阵A12a，bd，若集合{1,2}，则线性方程组Axb有无穷多个14a2d2解的充分必要条件为

（A）a,d （B）a,d （C）a,d （D）a,d 【答案】(D)

【考点】非齐次线性方程组的解法 【难易度】★★

111111【详解】A,b1112add101a114a2d200a1

a2d1d2Axb有无穷多解R(A)R(A,b)3 a1或a2且d1或d2

6、设二次型f(x2221,x2,x3)在正交变换xPy下的标准形为2y1y2y3，其中

P(e1,e2,e3)，若Q(e1,e3,e2)，则f(x1,x2,x3)在正交变换xQy下的标准形为（A）2y2222221y2y3 （B）2y1y2y3 （C）2y2222221y2y3 （D）2y1y2y3 【答案】(A) 【考点】二次型 【难易度】★★

20【详解】由xPy，故fxTAxyT(PTAP)y2y222T1y2y3且：PAP0100

100QP001200PC,QTAQCT(PTAP)C010

010001T所以fxAxyT(QTAA)y2y2221y2y3，故选(A)

00

1

7、若A,B为任意两个随机事件，则

（A）P(AB)P(A)P(B) （B）P(AB)P(A)P(B)

（C）P(AB)P(A)P(B)P(A)P(B) （D）P(AB)

22【答案】(C)

【考点】

【难易度】★★

【详解】P(A)P(AB),P(B)P(AB)

P(A)P(B)2P(AB) P(AB)P(A)P(B)故选（C）2

8、设随机变量X,Y不相关，且EX2,EY1,DX3,则EXXY2 （A）-3 （B）3 （C）-5 （D）5 【答案】(D) 【考点】

【难易度】★★★ 【详解】

22EXXY2XEXEXY2EXXXY2EDXElncosxx0x21【答案】

29、lim【考点】极限的计算 【难易度】★★

2XEXEY2EX5

二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．

1x2lncosxln(1cosx1)cosx121 【详解】limlimlimlimx0x0x0x0x2x2x2x22(10、2-2sinxx)dx1cosx

【答案】

24

【考点】积分的计算 【难易度】★★

sinx22【详解】( x)dx2xdx0-1cosx42211、若函数zz(x,y)由方程exyz+xcosx2确定，则dz【答案】

【考点】隐函数求导 【难易度】★★

z(0,1).

z【详解】令F(x,y,z)exyzxcosx2，则Fxyz1sinx，Fyxz，Fzxy，

FyFxzz又当x0,y1时，z0，所以0，因而dz1，

y(0,1)Fzx(0,1)Fz12、设是由平面xyz1与三个坐标平面所围成的空间区域，则

(0,1)dx

(x2y3z)dxdydz

【答案】

1 4【考点】三重积分的计算 【难易度】★★★

【详解】由轮换对称性，得

òòò(x+2y+3z)dxdydz=6òòòzdxdydz=6ò0zdzòòdxdy

WWDz1其中Dz为平面z=z截空间区域W所得的截面，其面积为

121-z().所以 2òòò(x+2y+3z)dxdydz=6òòòzdxdydz=6òz×WW01131212 1-zdz=3z-2z+zdz=()()ò02420L-12LMMO00L13、n阶行列式0【答案】2n12 【考点】行列式的计算 【难易度】★★★

【详解】按第一行展开得

00220LMM22-12

=2n+1-2

14、设二维随机变量(X,Y)服从正态分布N(1,0,1,1,0)，则P(XYY0)【答案】

.

1 2【考点】

【难易度】★★

【详解】Q(X,Y)~N(1,0,1,1,0)，X~N(1,1),Y~N(0,1),且X,Y独立

X1~N(0,1)，PXYY0P(X1)Y0

11111PX10,Y0PX10，Y0

22222

三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证．．．明过程或演算步骤. 15、（本题满分10分）

设函数f(x)xaln(1x)bxsinx，g(x)kx，若f(x)与g(x)在x0是等价无穷小，求a，b，k值。

【考点】等价无穷小量，极限的计算

3【难易度】★★★

【详解】f(x)xaln(1x)bxsinx

x2x3x33xaxxbxxx3

233!aa 1axbx2x3x3

32f(x)与g(x)kx3是等价无穷小

1+a0a11ab0 b

221akk33

16、（本题满分10分）

设函数在f(x)定义域I上的导数大于零，若对任意的x0I，曲线yf(x)在点(x0,f(x0))处的切线与直线xx0及x轴所围成的区域的面积为4，且f(0)2，求f(x)的表达式. 【考点】微分方程 【难易度】★★★ 【详解】如下图：

xx0处的切线方程为l：yf(x0)(xx0)f(x0)

l与x轴的交点为：y0时，xx0f(x0)f(x0)xx0， ，则ABf(x0)f(x0)因此，Sy111f(x0)ABf(x0)f(x0)4.即满足微分方程：2，解得：

y822f(x0)11xc. y8又因y(0)2，所以c17、（本题满分10分）

已知函数f(x,y)xyxy，曲线C:xyxy3，求f(x,y)在曲线C上的最大方向导数.

【考点】方向导数，条件极值 【难易度】★★★

【详解】根据方向导数与梯度的关系可知，方向导数沿着梯度方向可取到最大值且为梯度的模.，故

2218，故y. 24xgradf(x,y)1y,1x

故f(x,y)在曲线C上的最大方向导数为

221y2(1x)2，其中x,y满足x2y2xy3，

22即就求函数z(1y)(1x)在约束条件xyxy30下的最值. 构造拉格朗日函数F(x,y,)(1y)(1x)(xyxy3)

2222Fx2(1x)2xy0F令2(1y)2yx0可得(1,1),(1,1),(2,2),(1,2) yFx2y2xy30其中z(1,1)4,z(1,1)0,z(2,1)9z(1,2) 综上根据题意可知f(x,y)在曲线C上的最大方向导数为3. 18、（本题满分10分）

(Ⅰ)设函数u(x),v(x)可导，利用导数定义证明

[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)u(x)v(x)'

(Ⅱ)设函数u1(x),u2(x)...un(x)可导，f【考点】导数定义 【难易度】★★ 【详解】

'(x)u1(x)u2(x)...un(x),写出f(x)的求导公式.

limuxvxVx0 limVx0uxVxvxVxuxv(x)VxuxVxu(x)vxVxuxv(xVx)v(x)Vx

u'xv(x)uxv'(x)

f'(x)u1(x)u2(x)Lun(x)''' u1'(x)u2(x)Lun(x)u1(x)u2(x)Lun(x) L u1'(x)u2(x)Lun(x)u1(x)u2(x)u3(x)Lun(x)

u1'(x)u2(x)Lun(x)u1(x)u2'(x)Lun(x)Lu1(x)u2(x)Lun'(x)

19、（本题满分10分）

z2x2y2,已知曲线L的方程为起点为A(0,2,0)，终点为B(0,2,0)，计算曲线积

zx,分IL(yz)dx(z2x2y)dy(x2y2)dz

【考点】曲线积分的计算

【难易度】★★★

xcos,【详解】曲线L的参数方程为y2sin,从到

22zcos,I(yz)dx(z2x2y)dy(x2y2)dz

L222(2sincos)sin2sin2cos(cos2sin)sind2122sin2sin2sinsin3d22

222sind222sin2d22021222220、（本题满分11分）

设向量组1,2,3是3维向量空间¡3的一个基，1212k3，222，

31(k1)3。

（Ⅰ）证明向量组1,2,3是¡3的一个基；

（Ⅱ）当k为何值时，存在非零向量在基1,2,3与基1,2,3下的坐标相同，并求出所有的。

【考点】线性无关，基下的坐标

【难易度】★★★

2【详解】（Ⅰ）(1,2,3)(1,2,3)02k2因为01 200k100210222k1k140，

2k0k1所以1,2,3线性无关，1,2,3是¡3的一个基。

2（Ⅱ）设P02k1,,,,20，P为从基123到基123的过渡矩阵，又设在基

0k101,2,3下的坐标为x(x1,x2,x3)T，则在基1,2,3下的坐标为P1x，

由xPx，得Pxx，即(PE)x0

11由PE001100k12k2k1,c为任意常数。

k0，得k0，并解得xc0k11从而c1c3,c为任意常数。 21、（本题满分11分）

02-31-20设矩阵A-133相似于矩阵B0b0. 1-2a031（Ⅰ）求a,b的值.

（Ⅱ）求可逆矩阵P，使得P1AP为对角阵.

【考点】相似矩阵，相似对角化

【难易度】★★★

023120【详解】由A133相似于B0b0

12a03103a1b1023120则,解得a4,b5

1330b012a031fA()|EA|11233(1)2(5)0

324123123当121,(EA)123000

12300023特征向量11,20，

01523123101

当35,(EA)1231210111215230001100231则特征向量31,所以P(1,2,3)101,得P1AP010 100501122、（本题满分11分） 设随机变量X的概率密度为

2-xln2x0f(x)=

0x0对X进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记Y（Ⅰ）求Y的概率分布； （Ⅱ）求EY. 【考点】

【难易度】★★★★ 【详解】Px3为观测次数.

32xln2dx7812k2（）PYkCk(k1)()2()k2,k2,3,4....1()()1818

1878

17k217（）EYk(k1)()()k(k1)()k2

8864k28K2121k1k2k(k1)xx设级数S(x) 364k264(1x)64k277S()16所以EYS()16 8823、（本题满分11分） 设总体X的概率密度为

21f(x;)=10x1其他

其中为未知参数，X1，X2.....Xn为来自该总体的简单随机样本. （Ⅰ）求的矩估计.

（Ⅱ）求的最大似然估计. 【考点】

【难易度】★★★ 【详解】由题可得（）

x1x211EXdx|11221112xixi12ni1ni1nn

（）联合概率密度

f(x1,x2,L,xn;)lnfnln(1)1,xi1 n(1)dlnfn0，故取 d1minx1,x2,L,xn