含绝对值的不等式解法·典型例题

能力素质

例1 不等式|8－3x|＞0的解集是

A． B．RC．{x|x≠83} D．{83}

分析 ∵|8－3x|＞0，∴8－3x≠0，即x≠83．

答 选C．

例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是

A．3 C．－2 B．2

．－5

]

]

[ [ D

分析 列出不等式．

解 根据题意得2＜|x|≤5．

从而－5≤x＜－2或2＜x≤5，其中最小整数为－5，

答 选D．

例3 不等式4＜|1－3x|≤7的解集为________．

分析 利用所学知识对不等式实施同解变形．

解 原不等式可化为4＜|3x－1|≤7，即4＜3x－1≤7或－7

58≤3x－1＜－4解之得＜x≤或－2≤x＜－1，即所求不等式解集为3358{x|－2≤x＜－1或＜x≤}．33

例4 已知集合A＝{x|2＜|6－2x|＜5，x∈N}，求A．

分析 转化为解绝对值不等式．

解 ∵2＜|6－2x|＜5可化为

2＜|2x－6|＜5

即－5＜2x－6＜5，2x－6＞2或2x－6＜－2， 即1＜2x＜11，2x＞8或2x＜4，

解之得4＜x＜112或12＜x＜2．

因为x∈N，所以A＝{0，1，5}．

说明：注意元素的条件．

例5 实数a，b满足ab＜0，那么A．|a－b|＜|a|＋|b|

B．|a＋b|＞|a－b|

C．|a＋b|＜|a－b|

]

[ D．|a－b|＜||a|＋|b||

分析 根据符号法则及绝对值的意义．

解 ∵a、b异号，

∴ |a＋b|＜|a－b|．

答 选C．

例6 设不等式|x－a|＜b的解集为{x|－1＜x＜2}，则a，b的值为A．a＝1，b＝3

B．a＝－1，b＝3

C．a＝－1，b＝－3

D．a＝132，b＝2

分析 解不等式后比较区间的端点．

]

[

解 由题意知，b＞0，原不等式的解集为{x|a－b＜x＜a＋b}，由于解集又为{x|－1＜x＜2}所以比较可得．

a－b＝－113，解之得a＝，b＝．22a＋b＝2

答 选D．

说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组．

例7 解关于x的不等式|2x－1|＜2m－1(m∈R)

分析 分类讨论．

1解 若2m－1≤0即m≤，则|2x－1|＜2m－1恒不成立，此时原不等2

式的解集为；

1若2m－1＞0即m＞，则－(2m－1)＜2x－1＜2m－1，所以1－m＜2

x＜m．

1综上所述得：当m≤时原不等式解集为；21当m＞时，原不等式的解集为2

{x|1－m＜x＜m}．

说明：分类讨论时要预先确定分类的标准．

点击思维

3－|x|1例8 解不等式≥．|x|＋22

分析 一般地说，可以移项后变形求解，但注意到分母是正数，所以能直接去分母．

解 注意到分母|x|＋2＞0，所以原不等式转化为2(3－|x|)≥|x|＋2，整理得

44444|x|≤，从而可以解得－≤x≤，解集为{x|－≤x≤}．33333

说明：分式不等式常常可以先判定一下

分子或者分母的符号，使过程简便．

例9 解不等式|6－|2x＋1||＞1．

分析 以通过变形化简，把该不等式化归为|ax＋b|＜c或|ax＋b|＞c型的不等式来解．

解 事实上原不等式可化为

6－|2x＋1|＞1

①

或 6－|2x＋1|＜－1

②

由①得|2x＋1|＜5，解之得－3＜x＜2；

由②得|2x＋1|＞7，解之得x＞3或x＜－4．

从而得到原不等式的解集为{x|x＜－4或－3＜x＜2或x＞3}．

说明：本题需要多次使用绝对值不等式的解题理论．

例10 已知关于x的不等式|x＋2|＋|x－3|＜a的解集是非空集合，则实数a的取值范围是________．

分析 可以根据对|x＋2|＋|x－3|的意义的不同理解，获得多种方法．

解法一 当x≤－2时，不等式化为－x－2－x＋3＜a即－2x＋1＜a有解，而－2x＋1≥5，

∴a＞5．

当－2＜x≤3时，不等式化为x＋2－x＋3＜a即a＞5．

当x＞3是，不等式化为x＋2＋x－3＜a即2x－1＜a有解，而2x－1＞5，∴a＞5．

综上所述：a＞5时不等式有解，从而解集非空．

解法二 |x＋2|＋|x－3|表示数轴上的点到表示－2和3的两点的距离之和，显然最小值为3－(－2)＝5．故可求a的取值范围为a＞5．

解法三 利用|m|＋|n|＞|m±n|得

|x＋2|＋|x－3|≥|(x＋2)－(x－3)|＝5．

所以a＞5时不等式有解．

说明：通过多种解法锻炼思维的发散性．

例11 解不等式|x＋1|＞2－x．

分析一 对2－x的取值分类讨论解之．

解法一 原不等式等价于：

2－x≥0①x＋1＞2－x或x＋1＜x－2 2－x＜0或②x∈R

x≤2由①得1x＞或1＜－22

x≤2即11x＞，所以＜x≤2；22

由②得x＞2．

11综合①②得x＞．所以不等式的解集为{x|x＞}．22

分析二 利用绝对值的定义对|x＋1|进行分类讨论解之．

解法二 因为

 x＋1，x≥－1|x＋1|＝－x－1，x＜－1

原不等式等价于：

x1≥0x1＜0①或②x1＞2xx1＞2x

x≥11由①得 即x＞；12x＞2

x＜－1由②得 即x∈．－1＞2 1所以不等式的解集为{x|x＞}．2

学科渗透

例12 解不等式|x－5|－|2x＋3|＜1．

分析 设法去掉绝对值是主要解题策略，可以根据绝对值的意义分

3区间讨论，事实上，由于x＝5时，|x－5|＝0，x＝－时|2x＋3|＝0．2

3所以我们可以通过－，5将x轴分成三段分别讨论．2

3解 当x≤－时，x－5＜0，2x＋3≤0所以不等式转化为2

－(x－5)＋(2x＋3)＜1，得x＜－7，所以x＜－7；

3当－＜x≤5时，同理不等式化为2

－(x－5)－(2x＋3)＜1，

11解之得x＞，所以＜x≤5；33

当x＞5时，原不等式可化为

x－5－(2x＋3)＜1，

解之得x＞－9，所以x＞5．

1综上所述得原不等式的解集为{x|x＞或x＜－7}．3

说明：在含有绝对值的不等式中，“去绝对值”是基本策略．

例13 解不等式|2x－1|＞|2x－3|．

分析 本题也可采取前一题的方法：采取用零点分区间讨论去掉绝

对值，但这样比较复杂．如果采取两边平方，即根据|a|＞|b|a2＞b2解

之，则更显得流畅，简捷．

解 原不等式同解于

(2x－1)2＞(2x－3)2，

即4x2－4x＋1＞4x2－12x＋9，

即8x＞8，得x＞1．

所以原不等式的解集为{x|x＞1}．

说明：本题中，如果把2x当作数轴上的动坐标，则|2x－1|＞|2x－3|表示2x到1的距离大于2x到3的距离，则2x应当在2的右边，从而2x＞2即x＞1．