华东师范大学第二附属中学(实验班用)数学习题详解-7

7.1 向量的基本概念及表示

基础练习

1．下列各量中是向量的有__________．

（A）动能 （B）重量 （C）质量 （D）长度 （E）作用力与反作用力度

解：A，C，D，F只有大小．没有方向，而B和E既有大小又有方向，故为向量．2．判断下列命题是否正确．若不正确，请简述理由．

①向量AB与CD是共线向量，则A，B，C，D四点必在一直线上．

②单位向量都相等．

③任一向量与它的相反向量不相等．

④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同．

解：①不正确．可能平行但不共线．

②不正确．方向不一定相同．

F）温 （

③不正确．零向量．

④不正确．两个同向且模相等的向量．

3．回答下列问题，并说明理由．

（1）平行向量的方向一定相同吗？

（2）共线向量一定相等吗？

（3）相等向量一定共线吗？不相等的向量一定不共线吗？

解：（1）平行向量的方向不一定相同．可能方向相反．

（2）不一定，大小不一定相等．

（3）相等向量必共线，不相等的可以是不共线的．也可以是共线的．

4．命题“若a∥b，b∥c，则a∥c．”（ ）．

A．总成立 B．当a0时成立

C．当b0时成立 D．当c0时成立

解：C．

5．已知正六边形ABCDEF（见图73），在下列表达式中：①BCCDEC；②2BCDC；③EFED；

④2EDFA；与AC相等的有____________．

解：①②③④．

BAOCFD图 73E

7.2 向量的加减法

1．若对n个向量a1，a2，立，则称向量a1，a2，，an，an存在n个不全为零的实数k1，k2，…，kn，使得k1a1k2a2knan0成

为“线性相关”，依此规定，能说明a11，0，a21，1，a32，2 “线性

相关”的实数是k1，k2，k3依次可以取__________________ （写出一组数值即可，不必考虑所有情况）．

21（只要符合这个比例就行）解：k1∶k2∶k34∶∶．

2．已知矩形ABCD中，宽为2，长为2其模的大小．

3，ABa，BCb，ACc，试作出向量abc，并求出

解：

abc8．

3．设a，b为两个相互垂直的单位向量．已知OPa，OQb，ORrb．若△PQR为等边三角形，则

k，r的取值为（ ）．

A．

kr132 B．

k1313，r22 C．

kr132 D．

k1313，r22

解：C．

4．若A、B、C、D是平面内任意四点，则下列四式中正确的是（ ）．

①ACBCBCAD ②ACBDDCAB

③ABACDBDC ④ABBCADDC

A．1 B．2 C．3 D．4

解：C．

5．设a表示“向东走10km”，b表示“向西走5km”，c表示“向北走10km”，d表示“向南走5km”．说明下列向量的意义．

（1）ab． （2）bd （3）dad．

解：（1）ab表示向东走5km．

（2）bd表示向西南走52km．

（3）dad表示向东南走102km．

6．在图711的正六边形ABCDEF中，ABa，AFb，求AC，AD，AE．

BACOFDE图 711

解：ACAOABaba2ab；

AD2AO2(ab)2a2b．

AEADAB2a2baa2b．

7.3实数与向量的乘法

1．已知向量a，b是两非零向量，在下列四个条件中，能使a，b共线的条件是（①2a3b4e且a2b3e；

②存在相异实数、u，使aub0；

③xayb0 （其中实数x、y满足xy0）；

④已知梯形ABCD中，其中ABa、CDb．

． ）

A．①② B．①③ C．②④ D．③④

解：A．

2．判断下列命题的真假：

（1）若AB与CD是共线向量，则A，B，C，D四点共线．

（2）若ABBCCA0，则A，B，C三点共线．

（3）R，则

aa．

（4）平面内任意三个向量中的每一个向量都可以用另外两个向量的线性组合表示．

解：四个命题均是错误的．

ABACBDAD1． 3．已知△ABC中D是BC上的一点，且DC，试求证：

BDDC证明：，

则BDDC

由向量求和的三角形法则知（参见题3解析图）：

ABD题3解析图C

ADABBDABDC ①

ADACCDACDC ②

再由①+②得：ADADABAC

则

ADABAC1．

4．已知AD3AB，DE3BC．试判断AC与AE是否共线．

解：由于AEADDE3AB3BC3(ABBC)3AC

则AC与AE共线．

5．已知在四边形ABCD中，ABa2b，BC4ab，CD5a3b，求证：四边形ABCD是梯形．

证明：参见题5解析图，显然ABCD，ADACCDABBCCD

(a2b)(4ab)(5a3b)2(4ab)2BC

又B点不在AD上，

则ADBC，AD∥BC，

则四边形ABCD是梯形．

BCA题5解析图D

6．已知A(2cos，3sin)，B(2cos，3)，C(1，0)是平面上三个不同的点，且满足关系式CABC，

求实数的取值范围．

x2y21A，B43解：由题：在椭圆上．

设AOx，则

3332，BC12cos2cosCA1cos=2，

CABC2cos2cos4412cos2cos2cos．

1其中cos1，则

，331．

7．已知梯形ABCD中，

AB2DC，M，N分别是DC、AB的中点，若ABe1，ADe2，用e1，e2表

示DC，BC，MN．

111ABe1e10e2222解：参见解析图，（1）

DC．

DMCAN题7解析图B

（2）BCACABADDCAB

11e2e1e1e2e122．

11111MNMDDNDC(BC)e1e2e1e1e222224（3）

．

8．四边形

ABa，ADbABCD是一个梯形，AB∥CD且AB2CD，M，N分别是DC和AB的中点，已知

，试用a，b表示BC和MN．

111BCNBCNba，MNCNCMCNANab224解：．

d2a2b9．已知a，b是不共线的非零向量，c1a11b，，其中1，1，2，2为常数，若

cdmanb，求m，n的值．

解：m12，n12．

10．设a，b是不共线的两个非零向量，OMma，ONnb，OPab，其中m，n，，均为实

数，m0，n0，若M，P，N三点共线，求证：mn1．

证明：由于M，P，N三点共线，则存在实数，使得MPPN，

则

OPOMON1mn1a1b，

m1n由于a，b不共线，则1，则mn1111．

11．在△ABC中，BE与CD交点为P．设ABa，ACb，APc，ADa，试用向量a，b表示c．

解：由于BP与BE共线，则

BPmBEmAEABmba，

则APABBPam(ba)(1m)amb ①

又CP与CD共线，则

CPnCDn(ADAC)nab，

则

APACCPbnabna(1n)b ②

由①②，得(1m)ambna(1n)b．

1m由于a与b不共线，则nnm10m1n即nm10

③

(01)，AEb(01)，解方程组③得

m11，n11，将它们代入①式得

c(1m)amb1(1)a(1)b1．

12．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向量OA(1，2)，OB(2，1)，若OPxOAyOB且

≤x≤y≤2，则求出点P所有可能的位置所构成的区域面积．

yG4A2MFNOxB2E题12解析图

解：作OG2OA，OE2OB，

OF2OA2OB

5M，N为OF，EF中点，则P在△MNF内，面积为2．

7.4向量的数量积

1．已知a，b，c是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数为（ ）

1 ①

ababa∥b； ②a，b反向

abab；

③

a⊥babab； ④

abacbc．

A．１ B．２ C．３ D．４

解：④错，所以选C．

2．已知向量i，j为相互垂直的单位向量，ab2i8j，ab8i16j，求ab．

解：ab(3i4j)(5i12j)154863．

3．如图716所示，已知平行四边形ABCD，

ABa，ADb，a4，b2，求OAOB．

DOaAb图 716CB

解：3．

4．设

a6，b10，ab46，求a与b的夹角的余弦值．

解：96=

abab2ab(46)296ab20222cosabab，

2016103．

5．已知

a⊥b，a2，b3，当(3a2b)⊥(ab)时，求实数的值．

32．

解：

(3a2b)(ab)06．已知不共线向量

a，b，a3，b2，且向量ab与a2b垂直．求：a与b的夹角的余弦值．

16．

解：

(ab)(a2b)0aab2b0ab1，cos227．已知

a3，

b4，且a与b不共线，k为何值时，向量akb与akb互相垂直？

解：

k34．

8．在△ABC中，已知ABAC4，ABBC12，求

AB

．

解：

ABACABBCAB(ACBC)AB4(12)16AB42．

9．在△ABC中，ABa，BCb，且ab0，则△ABC的形状是__________．

解：BCBC0cosB0，故△ABC是钝角三角形．

10．已知向量a(2，4)，b(1，1)．若向量b⊥(ab)，则实数的值是_______．

解：3．

11．如图7-17，在四边形ABCD中，求(ABDC)AC的值．

ABBDDC4，ABBDBDDC0，

ABBDBDDC4，

DCA图 717B

解：(ABDC)AC=4．

12．如图7-18，在Rt△ABC中，已知BCa，若长为2a的线段PQ以点A为中点．问PQ与BC的夹角为何值时，BPCQ的值最大？并求出这个最大值．

CQABP图 718

解：由于AB⊥AC，则ABAC0．由于APAQ，BPAPAB，CQAQAC，

1ABAQABACa2AP(ABAC)a2PQ2则BPCQ(APAB)(AQAC)APAQAPAC．

BCa2a2cos．

当cos1，即0，（PQ与BC方向相同时），BPCQ最小，即最大值为0．

13．已知△ABC中满足(AB)2ABACBABCCACB，a，b，c分别是△ABC的三边．试判断△ABC的形状，并求sinAsinB的取值范围．

解：由于

(AB)2ABACBABCCACB，

(AB)2AB(ACCB)CACB，即(AB)2ABABCACB，

即CACB0，△ABC是以C为直角顶点的直角三角形，

ππsinAsinBsinAcosA2sinA，A0，42， 则

1，2． sinAsinB则的取值范围为

14．设边长为1的正△ABC的边长BC上有n等分点，沿点B到点C的方向，依次为P1，P2，若SnABAP1AP1AP25n22SnAPn1AC6n． ，求证：

，Pn1，

证明：设

ABc，ACb，BCa，令

1BCpn，则

APkABBPkckp，(k0，1，2，，n)．其中，

AP0AB，APnAC．

(ckp)c2(2k1)cpk(k1)p2APk1APkc(k1)p则．

又由于SnABAP1AP1AP2APn1AC，

nnSnnc(2k1)cpk(k1)p2k1k1则

2

nc2n2cpn(n1)(n1)(np)23

n21n21222ncnc(np)(np)ncncaa3n3n2．

又由于

abc1，c与a的夹角为120，

1n215n22Snnn23n6n． 则

15．在

a∶b∶c△ABC中，

ABa，BCc，CAb，又

(cb)∶(ba)∶(ac)1∶2∶3，则

△ABC三边长之比

___________．

∶2∶3解：（CACB）∶(ABAC)∶(BABC)1

23cbcosC∶bacosA∶accosB1∶∶

bca∶abc∶acb2222222221∶2∶3

a∶b∶c5∶3∶2．

abc0ab∶bc∶ca1∶3∶(32)a1b16．在向量a，b，c之间，该等式成立，当时，求

和的值．

c解：

b62，c32．

17．若a，b，c中每两个向量的夹角均为60，且

a4，b6，c2，求

abc的值．

解：

abcabc2ab2ac2bc1002222

abc10．

7.5向量的坐标表示及其运算

基础练习

1． 已知a(2，1)，b(3，4)，求ab，ab，3a4b的坐标．

19)． 解：列式计算得(1，5)，(5，3)，(6，2．设O点在△ABC内部，且有OA2OB3OC0，求△ABC的面积与△AOC的面积的比．

1解：OA2OB3OC0(OAOC)2(OBOC)3∶．

1)，(1，3)，(3，4)，求顶点D的坐3．已知平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别为(2，标．

解：由平行四边形性质，易得（2，2）．

4．已知向量i，j为相互垂直的单位向量，设a(m1)i3j，bi(m1)j，(ab)⊥(ab)，求m的值．

解：由ij0，易得m2．

5．已知等腰梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC2），求D点的坐标．

AB，三个顶点A（1，2），B（2，1），C（4，

解：作图，南等腰梯形性质易得，D点坐标为（2，4）．

6．如图7-21所示，已知OA(2，0)，OB(1，3)，将BA绕着B点逆时针方向旋转60，且模伸长

到BA模的2倍，得到向量BC．求四边形AOBC的面积S．

yBCO12A图 721x

解：S△OABS△ABC33．

B3，1，D2，4，其中A(1，2)，，

BCAD∥BC，7．如图7—22所示，已知四边形ABCD是梯形，

2AD求C点坐标及AC的坐标．

yCDABO图 722x

解：C点坐标为（5，5），AC坐标为（4，3）．

8．已知向量

ax3，x23x4与AB相等，其中A1，2，B3，2，求x．

解：aAB，列式算得x1．

9．平面内有三个已知点A1，2，B7，0，C5，6，求

1AC，AB3AC2．

（1）AB，AC．（2）ABAC，ABAC．（3）解（1）由于A1，2，B7，0，C5，6，

2AB则AB71，026，2，AC51，626，8，

（2）ABAC66，280，10，ABAC66，2812，6．

或ABACCB75，0612，6．

1AC26，236，86，28，24618，22424，222．

（3）

2AB或AB3AC6，236，86，218，24618，22424，22．

10．已知向量a1，2，bx，1，a2b，v2ab，且∥v，求x．

12．

解：

x11．已知a2，3，b1，4，c5，6，求abc和

abc．

解：abc105，650，60，abc2，31938，57

12．已知两个非零向量a和b满足ab2，8，ab6，4，求a与b的夹角的余弦值．

解：

a2，6，b4，2，cosabab4202210．

13．已知平面上三个向量a，b，c均为单位向量，且两两的夹角均为120，若求k的取值范围．

kabc1kR，

解：

bca，kabck1ak11，k，02，．

14．已知OA，OB不共线，点C分AB所成的比为2，OCOAOB，求．

121OCOAOB，333． 解：

7.6线段的定比分点公式与向量的应用

1．在△ABC中，若

ABBCBCCAABCA321，则tanA=_____________．

c2a2b2a2b2c2b2c2a2a2b2c23216解：由已知得

．

所以，a∶b∶c2225∶∶34．由余弦定理得

cosA123tanA11．

2． 已知P为△ABC内一点，且满足3PA4PB5PC0，那么S△PAB∶S△PBC∶S△PCA____________．

解：P为△ABC重心（参见题2解析图）．

CPA题2解析图B

S△PAB1APBPsinAPB2

1111APBPsinAPBS△ABC23412．

同理，

S△PBC11S△ABC，S△PCAS△ABC2015，则

S△PAB∶S△PBC∶S△PCA111∶∶5∶∶34122015．

3． 如图727，设P为△ABC内一点，且

S△ABPS△ABD1S△ABCS△ABC5AP21ABAC55，求△ABP的面积与△ABC的面积之比．

解：．

CPA图 727B

4．已知△ABC的三顶点坐标分别为A1，1，B5，3，C4，5，直线l∥AB，交AC于D，且直线l平分△ABC的面积，求D点坐标．

1CD解：因为直线l平分△ABC的面积，由相似可知：CA2，

2CD1CD1CDCADA221所以

21DA，

由定比分点公式可知，

xD421121832521，yD5222121．

832，5222． 所以D点坐标为

5．

1ACAB，AD3ABA2，3B1，53已知，，且，求点C、D的坐标．

解：

AC11211AB3，21，C1，333，所以点C的坐标为3． ABACOPOAABACA，B，C，OP6．点是平面上一定点，是此平面上不共线的三个点，动点满足

0，．则点P的轨迹一定通过△ABC的________心．

ABAC解：

AB表示与AB共线的单位向量，

AC表示与AC共线的单位向量，

ABACABAC表示菱形的对角线向量， 由平行四边形法则可知，

ABACABACAPABABACAC，0，． A因此表示角的角平分线向量，又因为

所以AP表示角A的角平分线向量，所以点P的轨迹一定通过内心．

能力提高

7．设x，yR，i，j为直角坐标系内x、y轴正方向上的单位向量，若axiy2j，bxiy2j，且a2b216．

（1）求点Mx，y的轨迹C的方程．

（2）过定点（0，3）作直线l与曲线C交于A，B两点，设OPOAOB，是否存在直线l使四边形OAPB为正方形？若存在，求出l的方程，若不存在说明理由．

解：（1）由a222b216得xy4．

（2）假设直线l存在，显然l的斜率存在． 设Ax1，y1，Bx2，y2．

ykx321k2xy24由得

26kx50，

x1x26k5，xx121k21k2，由于

OAOB，

则若OAPB为正方形，只有OA⊥OB即x1x2y1y20，

y1y2kx13kx23k2x1x23kx1x290．

557146k2k3k902221k1k1k22则

．

则存在l且l的方程为

y14x32．

8．（1）已知

a4，b3，2a3b2ab61，求a与b的夹角．

（2）设OA2，5，OB3，1，OC6，3，在OC上是否存在点M，使MA⊥MB，若存在，求出点

M的坐标，若不存在，请说明理由．

解：（1）由于2a3b2ab61，则4a24ab3b261．

又

a4，b3cosabab，则ab6．则

12，则120．

（2）设存在点M，且OMOC6，30≤1，

则MA26，53，MB36，13． 则263653130，．

1113或15，

则45248110，解得

2211OM，5． 5则OM2，1或

2211M，则存在M2，1或55满足题意．

9．设a，b是两个不共线的非零向量tR

1ab3（1）记

OAa，OBtb，OC，那么当实数t为何值时，A、B、C三点共线？

axb（2）若

ab1且a与b夹角为120，那么实数x为何值时的值最小？

解：（1）A，B，C三点共线知在在实数，使OCOA1OB，

111aba1tbt即3，则3，实数2．

（2）

ababcos12012，

则

axbaxb2xabxx122222，当

x1axb2时，

取最小值32．

OB5，1，OM2，110．设平面内的向量OA1，7，，点P是直线OM上的一个动点，求当PAPB取最小值时，OP的坐标及APB的余弦值．

解：设OPx，y．由于点P在直线OM上，则OP与OM共线，而OM（2，1），

则x2y0即x2y，有OP2y，y．

由于PAOAOP12y，7y，PBOBOP52y，1y，

则PAPB12y52y7y1y

5y220y125y282．

从而，当且仅当y2，x4时，PAPB取得最小值8，

此时OP4，2，PA3，5，PB1，1．

于是

PA34，PB2，PAPB31518，

cosAPBPAPBPAPB8342则

41717．

3πm1，1nm411．已知向量，向量与向量夹角为，且mn1．

（1）求向量n．

Aπp2sinA，4cos22，求2np（2）若向量n与向量q1，0的夹角为2，向量的值．

解：（1）设nx，y，由mn1，有xy1

①

3322πmnmncosπn1xy14．则由m与n夹角为4，有

②

x1，x0，n1，0y0．即由①②解得或y1．或n0，1．

A2np2sinA，4cos22(2sinA，2cosA)2（2）由n与q垂直知n0，1．，

则

2np4sin2A4cos2A2．

12．已知定点A0，1，B0，1，C1，0．动点P满足：

APBPkPC2．

（1）求动点P的轨迹方程．

（2）当k0时，求

2APBP的最大值和最小值．

解：（1）设动点的坐标为Px，y，则APx，y1，BPx，y1，

2则

APBPkPC，

则

x1x，y1x，y1k2y21kx21ky22kxk10．

若k1，则方程为x1，表示过点1，0是平行于y轴的直线．

k12xy1k1kk1若，则方程化为：

221k，0k1为圆心，以1k，表示以

为半径的圆．

22xy1． k0（2）当时，方程化为

2APBP2x，y1x，y12x，2y2x，y13x，3y1，

2APBP9x23y199y26y16y102．

由x21y2≥0，则1≤y≤1，则2APBP的最大值为4，最小值为2．

由于2APBP2x，y1x，y13x，3y1，

则

APBP9x29y26y1．

x2y24x3，则APBP36x6y26．

由于x22y21，则令x2cos，ysin．

36x6y2636cos6sin46

637cos4646637，46637．

则

2APBP的最大值为46637337，最小值为46637373．

13．在平行四边形ABCD中，A1，1，AB6，0，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P．

（1）若AD3，5，求点C的坐标．

（2）当

ABAD时，求点P的轨迹．

解：（1）设点C坐标为x0，y0，又ACADAB3，56，09，5， 即x01，y019，5，则x010，y06，即点C0，6．

（2）设Px，y，则BPAPABx1，y16，0x7，y1，

ACAMMC111AB3MPAB3APAB222

APAB3x1，3y16，03x9，3y3

由于

ABAD，则平形四边形ABCD为菱形．

则AC⊥AD，即x7，y13x9，3y30．

x73x9y13y30．

x2y210x2y220y1则．

故点P的轨迹是以5，1为圆心，2为半圆去掉与直线y1的两个交点．

3π14．已和向量a2，2，向最b与向量a的夹角为4，且ab2，

（1）求向最b．

Cb⊥t，ccosA，2cos22，其中A，C是△ABC的内角，若三角形的内角A、B、C（2）若t1，0且

依次成等差数列，试求

bc的取值范围．

b解：（1）设bx，y，则2x2y2，且

ab1x2y23πacos4．

x1x0b1，0，b0，1y1y0则解得，．

（2）

Bπ3，由于b⊥t，t1，0，则b0，1．

CbccosA，2cos21cosA，cosC2则，

则

bccos2Acos2C121cos2Acos2C2

11cos(AC)cosAC1cosAC2，

由于

2π2πAC33，

251≤bccosAC≤12则2，则2．

第八章 空间直线与平面

8.1平面及其基本性质

基础练习

1．用符号语言表示下列语句：

（1）点A在平面内，但在平面外．

（2）直线a经过平面外一点M．

（3）直线a在平面内，又在平面内，即平面和平面相交于直线a．解：（1）A但A．

（2）M，Ma．

（3）a且a，即a．

2．已知a、b、c是空间三条直线，且a∥b，c与a、b都相交，求证直线a、上．

证明：设直线n与直线r交于点A，直线6与直线c、交于点B．

因为a∥b，则直线a、b确定一个平面，设为，

则a，AaA，同理可知Ba，A、B在直线c上，故可知c．

3．怎样用两根细绳检查一张桌子的四条腿的下端是否在一个平面内？

b、c在同一个平面

解：提示：将桌子的四条腿中在对角线的两条腿分别用细绳相连，若两条细绳相交，则四条腿的下端在同一平面内．

4．如图86所示，△ABC与△A1B1C1不在同一个平面内，如果三直线AA1、BB1、CC1两两相交，证明：三直线AA1、BB1、CC1交于一点．

CC1BB1PA1图 86A

解：证明三线共点的一般思路是：先证明两条直线交于一点，再证明该点在第三条直线上即可．

5．已知△ABC在平面外，它的三边所在的直线分别交平面于P，Q，R三点，证明：P，Q，

R三点在同一条直线上．

解：如题5解析图所示，欲证P，Q，R三点共线，只须证P，Q，R在平面和平面△ABC的交线上，由P，Q，R都是两平面的公共点而得证．

ABCαQPR题5解析图

6．画水平放置的正五边形的直观图．

解：提示：用斜二侧画法．

8.2空间直线与直线之间的位置关系

基础练习

1．从正方体的12条棱和12条面对角线中选出n条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则”的最大值为___________．

解：提示与答案：不能有公共端点，最多4条，由题l解析图可知4条可以．

题1解析图

2．如图812，已知三棱锥SABC中，ABC90，侧棱SA⊥底面ABC，点A在棱SB和SC上的射影分别是点E、F，求证：EF⊥SC．

SFEAB图 812C

证明：由于A、E、F三点不共线，AF⊥SC，

则要证EF⊥SC，只要证SC⊥平面AEF，

只要证SC⊥AE （如图812）．

又由于BC⊥AB，BC⊥SA，则BC⊥平面SAB，

则SB是SC在平面SAB上的射影．

则只要证AE⊥SB （已知），则EF⊥SC．

4． 已知a、b是两条异面直线，直线a上的两点A、B的距离6，直线b上的两点C、离为8，AC、BD的中点分别为M、N，且MN5，见同813．求异面直线a、b所成的角．AMaBCObND图 813

解：如图8—13，连接BC，并取BC的中点O，连接OM、ON，

由于OM、ON分别是△ABC和△BCD的中位线，

则OM∥AB，ON∥CD，即OM∥a，ON∥b．

则OM、ON所成的锐角或直角是异面直线a、b所成的角．

D的距

又由于AB6，CD8．

则OM3，ON4．

在△OMN中，又由于MN5，

则OM2ON2MN2，

则么MON90．

故异面直线a、b所成的角是90．

4．已知四面体SABC的所有棱长均为a．求：

（1）异面直线SC，AB的公垂线段EF及EF的长．

（2）异面直线EF和SA所成的角．

解：（1）构造立方体的内接正四面体，可知SC，AB所在面夹的棱即为EF，由此可知EF长度等于立方体边长，故

EF2a2．

π（2）SA与所在正方形边所夹的角即为所求，为4．

5．如图814，等腰直角三角形ABC中，90，BC中点．求异面直线BE与CD所成角的余弦值．

2，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA1．且E为DA的

DEAFB图 814C

解：取CA中点F，连接EF，BF．

FEB即为所求．

EBBF5210，EF，cosFEB2210．

6．如图8—15，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，

AD，BE，DE的中点．将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，求GH与=IJ所成角的度数．

AHDGFJECB图 815

解：由于G，H分别为AF，AD中点，

则GH∥FD，同理IJ∥BD，

则FD与BD所成角的度数等于GH与IJ所成角的度数．

由于三棱锥为正三棱锥，则FD与BD所成角为60，

则GH与IJ所成角的度数为60．

7．长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA14，AD3，则异面直线A1D与B1D1间的距离为__________．

解：以A为原点建立空间直角坐标系可得：

A1D3，0，4，B1D13，4，0，d63417．

8．空间两条异面直线a，b所成角，过空间一定点O与a，b所成角都是口的直线，有多少条？

2解：

20≤时，l有0条；

时，l有1条；

π22时，l有2条；

π2时，l有3条；

ππ22时，l有

2条；



π

2时，l有

1条；



π

2时，l有

0条．

8.3空间直线与平面

1．如果三个平面、、两两相交于三条交线a、b、c，讨论三条交线的位置关系，并证明你的结论．

解：平行或者交于一点．

2．在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为棱AB上一点，过点P在空间作直线l，使l与平面ABCD和平面ABC1D1均成30角，求这样的直线条数．

解：2条．

3． 已知空间四边形ABCD，P、Q分别是△ABC和△BCD的重心，求证：PQ∥平面ACD．

证明：取BC中点M．PM∥AC且QM∥CD，则平面PQM∥平面ACD．

所以PQ∥平面ACD．

4．在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，

（1）求证：B1D⊥CD1．

（2）求证：B1D⊥平面ACD1．

（3）求点D到平面ACD1的距离．

解：（1）B1D在平面CDC1D1上投影为DC1，由三垂线定理可得B1D⊥CD1．

（2）由（1）可知B1D⊥CD1，同理B1D⊥CA．所以平面ACD1⊥DB1．得证．

（3）等体积法得：

VDACD1VD1ACD，所以

d33．

5．正方体ABCDA1B1C1D1中，求B1D与平面ABC1D1所成角的大小．

解：易知，DA1⊥ABC1D1．令DA1与AD1交于O，DB1与ABC1D1交于M，AB2．

易知，OM1，OD2．

又DOM为直角，则DMOarctan2

6．正方体ABCDABCD的棱长为a，则异面直线CD与BD间的距离等于________．

解：取CD中点M，连接MC，AM，AM与BD交于P，MC与CD交于Q

由于PQ∥AC，则PQ为CD与BD间的垂线．

PQ13ACa33．

7．正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各取一点P、Q，且APDQ．求证：PQ∥平面BCE．

APAMDQ解：在AB取一点M，使得PM∥BE．得到：PEMBQB．

故MQ∥AD∥BC．

因为MQ∥BC，PM∥BE，则平面PMQ∥平面BCE．

所以PQ∥平面BCE．

能力提高

8．如图823，已知AOB在平面M上，P为平面外一点，满足POAPOB（为锐角），点P在平面上的射影为Q．

PMOEFBQA图 823

（1）求证点Q在AOB的平分线OT上．

（2）讨论POA、POQ、QOA之间的关系．

证明：（1）过点Q分别作AO、BO垂线，垂足分别为E、F．

由于PQ⊥平面M，OA平面MPQ⊥OA，

又OA⊥QE，则OA⊥平面PEQ，则OA⊥PE．

同理OB⊥QF，

在△POE和△POF，

POEPOF，POPO，PEOPFo90

则△POE≌△POF．则OEOF，

又OA⊥QE，OB⊥QF，则点Q在AOB的平分线OT上．

OEPO．

（2）在直角三角形△POE中

cosPOAcosPOE在直角三角形△POQ中，

cosPOQOQPO，

在直角三角形△OQE中，

cosAOQcosEOQOEOQ，

则cosPOAcosAOQcosPOQ．

π9．若直线l与平面成角3，直线a在平面，且和直线l异面，则l与a所成角的取值范围是多

少？

ππ3，2． 解：由直线与面所成角的概念可知，10．如图824，AB为平面的斜线，B为斜足，AH垂直平面于H点，BC为平面内的直线，

ABH，HBC，ABC，求证：coscoscos．

ABαθβαD图 824HC

证明：过H点作HD垂直BC于D点，连AD．

由于AH⊥，

则AD在平面内射影为HD．

由于BC⊥HD，BC，

则BC⊥AD．

BHBA在Rt△ABH中有

cos ①

在Rt△BHD中有

cosBDBH ②

在Rt△ABD中有

cosBDBA

③

由①②③可得 coscoscos．

11．如图8—25，平面内有一半圆，直径AB，过A作SA⊥平面，在半圆上任取一点M．连

SM，SB，且N，H分别是A在SM、SB上的射影．

SHAα图 825NMB

（1）求证：NH⊥SB．

（2）这个图形中有多少个线面垂直关系？

（3）这个图形中有多少个直角三角形？

（4）这个图形中有多少对相互垂直的直线？

解：（1）证明：连接AM、BM，如上图所示，

由于AB为已知圆的直径，则M⊥BM．

由于SA⊥平面，BM，则SA⊥MB．

由于AMSAA，则BM⊥平面SAM．

由于AN平面SAM，则BM⊥AN．

由于AN⊥SM于N，BMSMM，则AN⊥平面SMB．

出于AH⊥SB于H，且NH是AH在平面SMB的射影，则NH⊥SB．

（2）由（1）知，SA⊥平面AMB，BM⊥平面SAM，AN⊥平面SMB．

由于SB⊥AH且SB⊥HN，则SB⊥平面ANH，

则图中共有4个线面垂直关系．

（3）由于SA⊥平面AMB，则△SAB、△SAM均为直角三角形．

由于BM⊥平面SAM，则△BAM、△BMS均为直角三角形．

由于AN⊥平面SMB，则△ANS、△ANM、△ANH均为直角三角形．

由于SB⊥平面ANH，则△SHA、△BHA、△SHN、△BHN均为直角三角

综上，图中共有11个直角三角形．

（4）由SA⊥平面AMB知，SA⊥AM，SA⊥AB，SA⊥BM．

由BM⊥平面SAM知，BM⊥AM，BM⊥SM，BM⊥AN．

由AN⊥平面SMB知，AN⊥SM，AN⊥SB，AN⊥NH．

由SB⊥平面ANH知，SB⊥AH，SB⊥HN．

综上，图中共有11对互相垂直的直线．

12．如图8-26，在正方体ABCDA1B1C1D1中．EF为异面直线A1D与AC的公垂线，求证：EF∥BD1．

EF⊥AC， 11，证明：连接A1C1，由于AC∥ACD1A1EDFA图 826C1B1CB

11． 则EF⊥AC又EF⊥A1D，A1DAC11A1，

则EF⊥平面A1C1D． ①

11平面A1B1C1D1， 由于BB1⊥平面A1B1C1D1，AC11． 则BB1⊥AC由于四边形A1B1C1D1为正方形，

B1D111⊥B1D1，则ACBB1B1，

11⊥平面BB1D1D， 则AC11⊥BD1． 而BD1平面BB1D1D，则AC同理DC1⊥BD1，DC1AC11C1，

则BD1⊥平面A1C1D．②

由①、②可知：EF∥BD1．