华东师范大学第二附属中学(实验班用)数学习题详解-2

2．1 不等式的性质 基础训练

1．判断下列命题是否成立，并说明理由． （1）如果ab，cd，那么acbd． （2）如果ab，cd，那么a2c.b2d． （3）如果ab，cd，那么acbd． 解：（1）不成立，（2）不成立，（3）不成立．

2．对于实数a，b，c中，判断下列命题的真假： ①若ab，则ac2bc2． ②若ac2bc2，则ab．

③若ab0，则a2abb2．

11④若ab0，则．

ab⑤若ab0，则

ba． ab⑥若ab0，则ab． ⑦若cab0，则⑧若ab，

ab． cacb11，则a0，b0． ab解：②③⑥⑦⑧是真命题．

3．设n1，且n1，则n31与n2n的大小关系是__________． 解：分解因式或逐差法可得：n31n2n． 4．比较下列两个数的大小： （1）21与23． （2）23与65．

（3）从以上两小题的结论中，你能否得出更一般的结论？并加以证明． 解：（1）2123． （2）2365．

（3）n1nnn1，nN*． 证明过程如下：n1nnn1 1n1n1nn1 n1nnn1 n1n1．

5．已知fxax2c，4≤f1≤1，1≤f2≤5，求f3的取值范围． 解：fxax2c，

f1acacf1， f24ac4acf21af2f1853可得：f3f2f1． 33c1f24f133由于4≤f1≤1，1≤f2≤5，则：1≤f3≤20． 能力提高

6．若不等式a2x22a2x40对一切xR成立，求a的取值范围． 解：当a2时，显然成立．

a202a2． 当a2时，则0综上：a2，2．

7．若关于x的方程x2axa210有一正根和一负根，求a的取值范围． 解：由f00可得：1，1．

8．关于x的方程mx33m2x的解为不大于2的实数，求m的取值范围． mm2311，． 解：，解不等式得：，0，3m32x≤2mm29．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较结果

是（ ）．

（A）2枝玫瑰价格高 （B）3枝康乃馨价格高 （C）价格相同 （D）不确定

解：这是一个大小比较问题，可先设玫瑰与康乃馨的单价分别为x元、y元，

6x3y24 则由题设得 ① 4x5y22 且 ②

问题转化为在条件①②的约束下，比较2x与3y的大小，2枝玫瑰价格高，故选A． 2．2 一元二次不等式及其解法

1．设a1，b1，c1，a2，b2，c2均为非零实数，不等式a1x2b1xc10，a2x2b2xc20的解集分别是集合M，N，则“解：不是．

a1b1c1”是“MN”的充要条件对吗？ a2b2c2反例：x23x10，2x26x10，则

a1b1c1MN不成立． a2b2c2a1b1c1不成立． a2b2c2x23x1000，x23x10000，则MN2．已知不等式ax2bxc0的解集为x2x4，求不等式cx2bxa0的解集． a0b2解：由不等式axbcc0的解集为x2x4，可得：6．

ac8a11cx2bxa08ax26axa0xx，x．

243．不等式ax2ab1xb0的解是1x2，求a，b的值．

a0b1解：2b1，2，，1． 2a23a10，解得a，2aab13a4．若不等式x2kx40的解集为R，求实数k的取值范围． 解：k2160，则4k4．

5．已知不等式ax23x64的解集为xx1或xb． （1）求a、b． （2）解不等式

xc． 0（c为常数）

axb2ba2解：（1）由题知，b不是方程ax3x20的两根，即则a1，b2．

31ba（2）当c2时，解集为xxc或x2；当c2时，解集为xxc或x2；当c2时，解集为

xx2，xR．

能力提高

6．若关于m的不等式mx22m1xm1≥0的解集为空集，求m的取值范围． m011解：m0时不符题意，m0时，有m，故m．

880

x2xaa207．已知不等式组的整数解恰好有两个，求a的取值范围．

x2a1解：a的取值范围是1a≤2．（提示：可以因式分解，分别对a论）．

111，a，a这三情况进行讨2228．已知fxax2bxc在0，1上满足fx≤1，试求abc的最大值． 1ab解：首先f0c，f1abc，fc≤1．

242abab于是b4cabc3c≤4cabc3c≤8．

4242ababa4c2abc2c≤4c2abc2c≤8．

4242abc≤88117．

又当a8，b8，c1时，fx8x28x11，1，所以abc的最大可能值为17． 2．3 分式不等式 基础练习

1．解下列不等式：

x23x2（1）20．

x2x3x3（2）≥0．

x2（3）x1． x23（4）

x2x1x2x10．

15x211x2（5）0．

2x23x212，． 解：（1）1，21，． （2），01，． （3）1，22，． （4）1，112（5），，2，．

2352．已知关于x的不等式

kxb12，3，求关于x的不等式0的解集为2，xaxckxbx10的解集． ax1cx11bkxbx1k11x1解：00x，，1．

ax1cx123211acxx3．若abc，a、b、c为常数，求关于x的不等式xaxc0解： 可得：，ca，．

xbxaxc的解集．

02xb能力提高

1111． x4x5x6x3111111解： x5x6x3x4x5x6x3x44．解不等式

1x5x6x3x4104x180

x3x4x5x69xx3x4x5x60．

2965，4，3． 解得：，25．若不等式

xa≥0的解集为x3x1或x≥2，求实数a的值．

x24x32x4x30解：的解集为x3x1，x≥2，所以a2．

xax1x3≥06．若mn0，求关于x的不等式

mxnx2x1≥0的解集．

解：

mxnx2x1x1n≥0，12，． nx1xx2≥0mm2x22kxk7．不等式1的解为一切实数，求实数k的取值范围．

4x26x3解：4x26x3恒大于0，故原不等式2x22kxk4x26x32x262kx3k0，结合题意可知62k83k0，故k3或k1． 2．4 高次不等式 基础练习

1．解不等式x33x22x6． 解：3，223，．

2．解不等式x24x5x2x20．

解：x24x5x2x20x24x50x1，5． 3．解不等式x2x1x1x20． 解：，22，11，2． 能力提高

14．对于一切x2，，不等式ax3x2x1≥0恒成立，求实数a的取值范围．

2235．设Px46x311，x23x31，求使P为完全平方数的整数x的值． 解：Px23x13x10．所以，当x10时，P1312是完全平方数．

2下证没有其他整数x满足要求． （1）当x10时，有Px23x1．

2又Px23x2x23x310，所以Px23x．

22从而x23xPx23x1．又xZ，所以此时P不是完全平方数．

22（2）当x10时，有Px23x1．令Py2，yZ，

2则yx23x1，即y1≥x23x1，所以y22y1≥x23x1，

2即3x102x23x11≥0．

解此不等式，得x的整数值为2，1，0，3，4，5，6，但它们对应的P均不是完全平方数．

综上所述，使P为完全平方数的整数x的值为10．

6．已知x0，y0，axy，bx2xyy2，cmxy，问是否存在正数m使得对一直在任意正数x，y可使a，b，c为三角形的三边构成三解形，如果存在，求出m的值，如果不存在，请说明理由．

解：因为x0，y0，所以axyx22xyyb，axy≥2xy．

当m≤2时，有a≥c，若要使a，b，c为三角形的三边，则应有bca，即mxy2xxy2yxy22x2xyym，整理得

xy2yx1xyxy1．设t，则

yxyxt≥2．即要使mt2t1，对所有t≥2恒成立，即mt2t1恒成立．

11m23（t2时取得），所以23m≤2． 43t2t1当m2时，若要使a，b，c为三角形的三边，则应有bca，abc同时成立．由bca可得

c，m23，由ab即xyx2xyy2mxy，得mxy2yxxyxy设t，1．yxyx则t≥2，即要使mt2t1，对所有t≥2恒成立，所以有m23，所以2m23． 23使得对于任意正数x，y可使a，b，c为三角形的三边构成综上所述，存在正数m23，三角形．

7．已知函数fx2x4k22k4x24x42x24的最小值是0，求非零实数k的值．

x2x2142x4≥4x解：fx1k2k64，因为，故． 0≤≤x2x24x42x246当k22k6≥0时，fmin1，不合题意； 当k22k60时，fmax1，fmin1由条件知112k2k6． 612k2k60，解得k2． 62．5 无理不等式 基础练习

1．解下列不等式：

（1）2x33x55x6． （2）3x3x33xx3． （3）41x2x． （4）x1x2x2≥0． ． 解：（1）2，． （2）3，513（3），1． 2． （4）12，2．解不等式9x26xx23． 3． 解：移项平方再平方可得：0，3．解不等式2x1x11．

1解：分类讨论，然后两边平方可得：，．

24．解不等式32xx11． 解：1，210，．

5．满足3x≥x1的x的集合为A；满足x2a1xa≤0的x的集合为B． （1）若AB，求a的取值范围．

（2）若AB，求a的取值范围．

（3）若AB为仅含一个元素的集合，求a的值． 解：A1，2，Bxx1xa≤0． （1）2，（2）1，2．（3），．1． 6．求不等式

4x22x9的解集．

112x21解：由112x0得x≥，x0．

2原不等式可变为112x22x9，解得x45． 845100，． 故原不等式的解集为，827．求使关于x的不等式x36x≥k有解的实数k的最大值．

99x的最大值为6，结合解：x36xx36x2x36x32422题意知实数k的最大值为6． 2．6 绝对值不等式

基础练习

1．解不等式x1x2x1． 解：一切实数．

2．已知Ax2x3a，Bxx≤10，且AÜB，求实数a的取值范围． 3aa3，10a，17． 解：A，B10，223．求不等式x23x14的解集． 532，． 解：分类讨论或由几何性质可得：，4．求不等式x1x57的解集．

113解：分类讨论或由几何性质可得：，．

225．（1）对任意实数x，x1x2a恒成立，求a的取值范围． （2）对任意实数x，x1x3a恒成立，求a的取值范围． 解：（1）由几何意义可知，x1x2min3，则a，3． （2）由几何意义可知，x1x3max4，a4，．

能力提高

6．在一条公路上，每隔100km有个仓库（如图2-5），共有5个仓库．一号仓库存有10t货物，二号仓库存20t，五号仓库存40t，其余两个仓库是空的，现在想把所有的货物放在一个仓库里，如果每吨货物运输1km需要0.5元运输费，那么最少要多少运费才行？ 解：以一号仓库为原点建立坐标轴，

100，A3∶200，A4∶300，A5∶400， 则五个点坐标分别为A1∶0，A2∶设货物集中于点B∶x则所花的运费y5x10x10020x200，当0≤x≤100时，x100时，ymin6500； y25x900，此时，当0当100x400时，y5x7000，此时，5000y6500； 当x≥400时，y35x9000， 此时，当x400时，ymin5000．

综上可得，当x400时，ymin5000，即将货物都运到五号仓库时，花费最少，为5000元． 7．若关于x的不等式x4x3a的解集不是空集，求a的范围． ． 解：利用几何意义可知，x4x3min7，a7，2．7 绝对值的不等式的性质

基础练习

1．ab0，则①aba，②abb，③abab，④abab四个式中正确的是（ ）． （A）①② 解：C．

（B）②③ （C）①④ （D）②④

2．x为实数，且x5x3m有解，则m的取值范围是（ ）． （A）m1 解：C． 3．不等式

abab （B）m≥1 （C）m2 （D）m≥2

≤1成立的充要条件是（ ）．

（A）ab0

解：B．

（B）a2b20 （C）ab0 （D）ab0

4．已知ab，m（A）mn 解：D． 能力提高

abab，nabab，那么m、n之间的大小关系为（ ）．

（C）mn

（D）m≤n

（B）mn

5．已知fxx2axba，bR，求证：f12f2f3≥2． 解：f12f2f3≥f12f2f32．

6．实数x1、x2、„、x2007R，满足x2x1x3x2x2007x20062007，设

ykx1x2xk，k1，2，3，„，2007．求：y2y1y3y2y2007y2006的最大

k值．

解：对k1，2，„，2006，有 ykyk111x1x2xkx1x2xk1 kk11x1x2xkkxk1 kk11x1x22x2x3kxkxk1

kk11x1x22x2x3kxkxk1．

kk1

≤所以y1y2y2y3y2006y2007

111≤x1x22x2x312232006200712006x2006x200720062007111233420062007

1x1x212x2x320071x1x21x2x3200711112006xx 20062007220072006200720061

20072x2006x200720071≤1x1x2x2x3x2006x2007

20072006

2．8 含字母系数的不等式

基础练习

1．设a0，b0，解关于x的不等式：ax2≥bx．

22，解：当ab0时，原不等式解集为，， abab2当0a≤b时，原不等式解集为，． ab2．解关于x的不等式：

2x2a1x1xx12x2a1x1xx1． 1（其中a1）

解：

1xx1x2ax10，

1a≤2时，x1或x0；

aa24aa24a2时，x0或x1或x．

223．解关于x的不等式：m1x24x1≤0mR．

1解：m1时，x≥；

4m3时，x； m3时，x2；

1m3时，23mx23m； m1时，x23m或x23m．

ax10．

xx2解：a0时，1x2； a1时，x2； 4．解关于x的不等式：

2a1时，x1； 21x2或x1； a1； aa1时，

1a0时，1x2或x0a11时，x或1a2； 2aa11时，x2或1x．

a25．关于x的不等式m1x22m1x3m10的解是一切实数，求实数m的取值范围． 2． 解：0且m10得：m， 能力提高

116．设mR，m0，解关于x的不等式x2mxm0．

mm22411解：m4m222m21m21≥0．

mmm1120，21时，xm1，1； 当m，m1021，时，x1，m1； 当m12，m2当m12或21时，x．

7．设不等式2x1mx21对满足m≤2的一切实数m的值都成立，求x的取值范围． 解：令fmx21m2x1．

原题等价于，对满足m≤2的一切实数m的值，fmx21m2x10恒成立．

7113f10x则，可得：． 22f208．若关于x的不等式ax26的解集是1，2，求不等式21解：a4，，．

52x≤1的解集． ax29．设不等式x22axa2≤0的解集为M，如果M1，4，求实数a的取值范围． 解：令fxx22axa2， ≥0，f1≥0，分为两类情形：0或

1a4，f4≥0，18由此可得：a1，．

7

2，y2，3恒成立，求a的取值范围． 10．已知不等式xy≤ax22y2对于x1，xy2y2yy2a1，． 解：由于x0，则a≥2xxx222．9 基本不等式及其应用

基础练习

1．已知a，b，c都是正数，求证：abbcca≥8abc．

解：ab≥2ab；bc≥2bc；ca≥2ac，三个不等式的相乘，即可得证． 2．设a，b，cR，且abbcca108，求

abbcca的最小值． cab1222解：由不等式：a2b2c2≥abbccaabbcca≥0可知：

2abbccaabbccaabbcca≥abc， cabcabcab2abbcca222≥abcabc2abbcca≥3abbcca324．

abc2abbcca18，当且仅当abc6时等号成立． cabmin3．（1）若x0，求fx4x（2）若x0，求fx4x解：（1）12．（2）12．

9的最小值． x9的最大值． x1的取值范围． x（2）若ab1，求ab的取值范围． 4．（1）若x0，求x（3）若x51，求4x2的最大值．

4x54x23x3（4）若x2，求的最小值．

x219（5）若x，y0，且1，求xy的最小值．

xy（6）若x，y0，且xy1，求

x213x4241的最小值． xy（7）求y和yx25x42的最小值．

（8）若a，b0，且abab3，求ab的取值范围．

11解：（1）x≥2或x≤2．

xx（2）ab≥2或≤2． （3）1．

x23x3（4）≥3．

x2（5）16． （6）9．

5（7）6和．

2（8）ab≥9．

5．某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？ 解：297600元，当池底为4040的正方形时取等号．

6．某房屋开发公司用100万元购得一块土地，该地可以建造每层1000m2的楼房，楼房的总建筑面积（即各层面积之和）每平方米平均建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整幢楼房每平方米建筑费用提高5%．已知建筑5层楼房时，每平方米建筑费用为400元，公司打算造一幢高于5层的楼房，为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低（综合费用是建筑费用与购地费用之和），公司应把楼层建成几层？ 解：7层．

7．用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量

1，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上，2设用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数的水可洗掉蔬菜上残留农药量的fx．

（1）试规定f0的值，并解释其实际意义．

（2）试根据假定写出函数fx应满足的条件和具有的性质．

1，现有aa0单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清1x2洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由． （3）设fx解：（1）f01表示没有用水洗时，蔬菜上的农药量将保持原样． （2）函数fx应该满足的条件和具有的性质是：f01，f1在0，上fx单调递减，且0fx≤1．

116（3）设仅清洗一次，残留的农药量为f2，

22a24a12a2a28116则f1f2． 1a24a221a24a2221． 2于是，当a22时，f1f2； 当a22时，f1f2； 当0a22时，f1f2；

当a22时，清洗两次后残留的农药量较少； 当a22时，两种清洗方法具有相同的效果； 当0a22时，一次清洗残留的农药量较少．

8．设a11，a12，a211． 1a1（1）证明：2介于a1，a2之间． （2）a1，a2中哪一个更接近于2．

（3）根据以上事实，设计一种求2近似值的方案，并说明理由．

解：（1）

2a12a2122a121a10，则2介于a1与a2之间．

（2）2a2122a11a121a12a12， 1a1a2比a1更接近于2．

（

3

）

依

次

令

an1121nN1an，

n1则

2an而

211an12an1212an122a22122an12122a1．

2an2an12a1．

故a1，a2，a3，„，an依次接近于2，且liman2．

n9．设常数a，bR，试探求不等式ax2ab1xb0对任意x1成立的充要条件． 解：ax2ab1xb0bx1ax2axx

baxx（由于x1） x11a1， x11又由ax1a1≥2aa1x1bax1故所求的充要条件为ba1．

a1（当x121a时等式成立），得到ba1，

210．已知集合Dx1，． x2x10，x20，x1x2k（其中k为正常数）（1）设ux1x2，求u的取值范围． 1（2）求证：当k≥1时，不等式x1x11k2x2D恒成立． x2≤对任意x1，x2k2211k2（3）求使不等式x1x2≥对任意x1，x2D恒成立的k2的范围．

x1x22kk2kx1x2解：（1）x1x2≤，当且仅当x1x2时等号成立， 422k24故u的取值范围0，．

211x1x2x12x211k21（2）x1x2x1x2x1x2dyx1x2

xxxxxxxxxxxx12122112121222k212u2．

uk2k2k212由0u≤，又k≥1，k1≥0，则fuu2在0，上是增函数，

4u411k21k2k21k242k所以x1x2u2≤2222，

u4k4kk2x1x211k2即当k≥1时不等式x1x2≤成立．

x1x22k11k21k2k2（3）记x1x2u2fu，则f，

xxu2k412k2k2即求使fu≥f对u0，恒成立的k的范围．

4422211k2由（2）知，要使x1x2≥对任意x1，x2D恒成立，必有0k1，

xx2k1221k2上递增，要因此1k0，则函数fuu2在0，1k2上递减，在1k2，u2k2使函数fu在0，上恒有fu≥4k2k2f，必有≤1k2，

44即k416k216≤0，得0k2≤458． 11．已知a，b，cR，且满足

22kabc22≥abab4c，求k的最小值．

abc22解：因为abab4caba2cb2c ≥2ab222ac22bc2

4ab8acd8bc16cab，

所以

ab2ab4cabc2abc4ab8ac8bc8cab8cabaabbc

abc222213≥852a2b2c2a2b2c55100． 42当ab2c0时等号成立．故k的最小值为100．

2．10 不等式的证明 基础练习

1．（1）若x1，求证：x3x11． x（2）若a，bR，求证：a2b2≥abab1．

a2b2ab（3）若ab0，求证：2． ab2ab（4）若a0，b0，求证：aabb≥abba．

1解：（1）原不等式x1x3x210．

x1222（2）原不等式aba1b1≥0．

2（3）原不等式2ab0． 22ababaa（4）原不等式≥．

bb2．若x，y，zR，a，b，cR，则

2bc2ca2ab2xyz≥2xyyzzx． abc22bacbca解：原不等式xyyzxz≥0． abbcac3．若a,b，c为不全相等的正数 ，则a2bab2b2cbc2a2cac26abc． 解：原不等式abcbaccab≥0．

4．已知a，bR，且ab，求证：aba2abb2a2b2．

22222解：原不等式3abab0． 基础练习

1．求证：3725． 解：提示：两边平方．

2．设x0，y0，证明不等式：xy21222x3y133，

解：提示：两边六次方．

3．已知a，b，c分别为一个三角形的三边之长，求证： 解：

cab2． abbccacabccaabb2． abbccaabcbcacab2111yzzxxy4．若x，y，zR，且xyzxyz，证明不等式≥2．

xyzxyzyzzxxy2解：原不等式x2y2z2≥2xyyzzx

yzxxyzyzyzzxzxxyxy≥2xyyzzx xyzy2zyz2z2xzx2x2yxy2 ≥2x2y2y2z2z2x24x2yzxy2zxyz2

y3zyz3z3xzx3x3yxy3≥2x2yz2xy2z2xyz2

2yzyzzxzxxyxyx2yzy2zxz2xy≥0． 5．已知x，y，zR，且x2y2z21，求证：

xyz33≥． 1x21y21z22222222解：提示：先证

x3322≥x1x2x≤，分析法可证明，证明如下： 21x23331x221124x1x1xx1x21x22x2≤．

2232722226．已知0≤a，b，c≤1，求证：解：提示：先证基础练习

abc≤2． bc1ca1ab1a2a，累加可证明． ≤bc1abc111．求证：≤x1x2≤．

221解：提示：两边平方力量x21x2≤．

42．已知a，b，cR，求证：a2b2c2≥abbcac．

1222解：原不等式abbcca≥0．

23．已知x，yR，求证：x2y21≥xyxy．

1222解：原不等式xyx1y1≥0．

24．已知a，b，cR，求证：a2b2c2≥12abc． 31222解：原不等式abbcca≥0．

35．已知a，b，cR，求证：

bcacab≥abc． abc1222解：原不等式c2aba2bcb2ca≥0．

26．设an1223nn1nN，求证：

nn12nn12an2n122．

解：an12nn11352n1；an． 22nt2．11 几个常用的不等式

1． 是否存在最小的正整数t，使得不等式nt的结论．

证：取t，n1，1，2，2，3，3，容易验证知t1，2，3时均不符合要求． 当t4时，若nl，式①显然成立，n≥2，则

1nnntt对任何正整数n恒成立，证明你

344nnn1nn22n2n223 n2n22n32n223≤n4n28n16n4n4323n1n28n14n4n4

n4n1．

故题式成立，因此t4满足对任何正整数n，题式恒成立．

42．设△ABC三边长分别为a，b，c，且abc3，求fa，b，ca2b2c2abc3值．

442解：fa，b，ca2b2c2abcabc2abbccaabc9

3322abbccaabc．

3因为a，b，c是△ABC三边长，且abc3，所以0a，b，c333abc133322于是abc≤2，

322283的最小

3， 227即abbccaabc≤．

33则fa，b，c≥92713．等号当且仅当abc1时取到， 33故fa，b，c的最小值为

n13． 3n3．设xi1，xi0，求证：nx12i1xixjxixj2≤1．

i1ij证：因为xi1，所以有xi22xi，xj1，又xi0，故有xixj1，

i1nni1ijnxi2i1ijnxixjxixj2≤nxi2xixj

2i1ijnnnnxn1xi22xixj

2ii1i1ijnxi22xixj1．

i1ij4．已知x，y，z均为正数，

xyz111（1）求证：≥．

yzzxxyxyz（2）若xyz≥xyz，求uxyz的最小值． yzzxxy证：（1）由于x，y，z均为正数，则原不等式x2y2z2≥xyyzzx

xyyzzx≥0． 解：（2）xyz≥xyz2222111≥1， xyxzyz因为，abc≥3abbcaca2b2c2≥abbcac，

1111xyz11111u≥≥3≥3，

yzzxxyxyzxyzxyxzyz当且仅当xyz3时，等号成立．

5．给定两组数x1，x2，„，xn和y1，y2，„，yn

2（1）x1x2xn0，y1y2yn0；

（2）x1y1，x1x2y1y2，„，x1x2xny1y2yn0．

kkkk求证：对于任何自然数k，都有如下不等式成立：x1kx2． xny1ky2yn证：要证明上述不等式，先证以下命题：若a1a2an0， 则a1x1a2x2anxna1y1a2y2anyn 由于a1a2an0，

设anb1，an1b1b2，„，a1b1b2bn． 则a1x1a2x2anxn

x1b1b2bnx2b1b2bn1b1xn b1x1x2xnb2x1x2xn1bnx1 b1y1y2ynb2y1y2yn1bny1 y1b1b2bny2b1b2bn1b1yn a1y1a2y2anyn．

①

则①式成立．

k1k1取a1x1k1，a2x2，„，anxn代入①

kkk1k1x1kx2xnx1k1y1x2y2xnyn．

k2k2取a1x1k2y1，a2x2y2，„，anxnyn代入①

k1k1k22k22x1k1y1x2y2xnynx1k2y12x2y2xnyn．

k1k1取a1y1k1，a2y2，„，anyn代入①

k1k1kkx1y1k1x2y2xnyny1ky2yn．

kkkkxny1ky2yn则x1kx2．

原不等式得证．

111116．n为正整数，证明：n1nn11nn1n1．

23nn证：先证左边不等式

11111n1nn111nn123n111123n

n1n1n1111n23n

n1nn11111111123n

n2n1n34n123n*

n234n123nn234n1nn1．

n23n*式成立，故原左边不等式成立．

其次证右边不等式

1111n11nn1n 23nn1n1111111n1111123n23n n1n1nn112n11n** n123nn1**式恰符合均值不等式，故原不等式右边不等号成立．

2．12 不等式的应用 基础练习

1．今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确，有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左右托盘各称一次，则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量，这种说法对吗？并说明你的结论．

解：错，mm1m2．

2．已知水渠在过水断面面积为定值的情况下，过水湿周越小，其流量越大，现有以下两种设计，如图213的过水断面为等腰△ABC，ABBC，过水湿周l1ABBC．

ACB图 2-13

图214的过水断面为等腰梯形ABCD，ABCD，AD∥BC，BAD60，过水湿周

l2ABBCCD．若△ABC与梯形ABCD的面积都为S，

ADB图 2-14C

（1）分别求l1和l2的最小值．

（2）为使流量最大，给出最佳设计方案．

解：（1）在图213中，设ABC，ABBCa，则Sa2sin， 由于S，a，sin均为正值， 则当且仅当sin1，即

π

时取等号，l1≥22s． 2

π， 3在图214中，设ABCDm，BCn，由BAD可求得：ADmnm，n0． 由S3mnmn， 4则l22mn≥23S243S，l2≥23s3．

（2）由于22s≥23s3，故在方案②中当l2取得最小值时的设计方案为最佳方案．

3．设x，y，a都是实数，且xy2a1，x2y2a22a3，求xy的最小值及相应的a的值． 解：利用柯西不等式求解，取a能力提高

4．（1）已知：a，b，x均是正数，且ab，求证：1（2）当a，b，x均是正数，且ab对真分数（3）证明：△ABC中，

22时，xy332． 2axa． bxba，给出类似上小题的结论，并予以证明． bsinAsinBsinC、（2）2（可直接应用第（1）

sinBsinCsinCsinAsinAsinB小题结论）．

（4）自己设计一道可直接应用第（1）、（2）小题结论的不等式证明题，并写证明过程． 解：（1）由于axbx0，则1ax， bx又

axaxbaaxa0，则1， bxbbbxbxb（2）由于ab，则

bbxbbbx1，应用第（1）小题结论，得1，取倒数，得1．

axaaaxaabc2． bccaab证明：（3）由正弦定理，原题△ABC中，求证：由（2）的结论得，a，b，c0，且则

abc，，均小于1，

abbccaa2ab2bc2c，，， bcabccaabccbabcabc2a2b2c2． bccaababcabcabc解：（4）在四边形ABCD中，求证：

abcd2．

bcdcdaabdabc凸n边形A1A2A3An中，边长依次为a1，a2，„，an，可证： ana1a22．

a2a3ana1a3ana1a2an1an为各项为正数的等差数列，d0，求证：

aaa1a2aa2n1242n． a2a3a2na3a5a2n135．设≤x≤5证明不等式2x12x3153x219．

2证：abcda2b2c2d22abacbcbdcd≤4a2b2c2d2， abcd≤2a2b2c2d2（当且仅当abcd时取等号）．

2取abx1，c2x3，d153x，则

2x12x3153x≤2x1x12x3153x2x14≤219．

x1，2x3，153x不能同时相等，

2x12x3153x219．

6．设a，b，c是大于1的整数．求u示正整数x，y的最小公倍数．

b，c2，2，2，3，2，2， 3，3，3，4，2，2时， 解：不妨设a≥b≥c，当a，u2，

bb，cc，aabca，的最小值，其中x，y表2abc3177113，，，，下证：当abc≥9是时，有u≥， 28224bb，cc，a3abca，≥ 2abc22abc2a，bbcc，a≥3abc

a2b2c22aba，b2bcbc2cac，a≥3abc． 因为xy≥x，y，所以只需证a2b2c2≥3abc． 由于abc≥9，且由柯西不等式3a2b2c2≥abc，

2所以a2b2c2≥abc323abcabc9≥3abc．

3故u≥，当a，b，c3，2，2时等式成立，

2所以，u的最小值为

3． 27．设实数a，b满足3a13b17a，5a7b11b，证明：ab．

证：假设a≥b，则13a≥13b，5a≥5b，由3a13b17a，得3a13a≥17a，即

31316313313≥1fx，由于单调递减，f11， 17171717171717且fa≥1f1，则a1．

57由5711，得57≤11，即≤1．

1111abbbbbaaxxbb571257由于gx单调递减，g11，且gb≤1g1，

1111111111则b1，因此，a1b，与a≥b矛盾，所以，ab．

xx