江苏省苏州实验中学三角函数与解三角形多选题试题含答案

一、三角函数与解三角形多选题

1．在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a2，sinB2sinC，有以下

四个命题中正确的是（ ）

A．满足条件的ABC不可能是直角三角形 B．ABC面积的最大值为

4 3C．当A=2C时，ABC的周长为223

D．当A=2C时，若O为ABC的内心，则AOB的面积为【答案】BCD 【分析】

对于A，利用勾股定理的逆定理判断；

对于B，利用圆的方程和三角形的面积公式可得答案； 对于C，利用正弦定理和三角函数恒等变形公式可得答案

对于D，由已知条件可得ABC为直角三角形，从而可求出三角形的内切圆半径，从而可得AOB的面积 【详解】

对于A，因为sinB2sinC，所以由正弦定理得，b2c，若b是直角三角形的斜边，

31 323，所以A错误； 3对于B，以BC的中点为坐标原点，BC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则

则有a2c2b2，即4c24c2，得cB(1,),C(1,0)，设A(m,n)，

因为b2c，所以(m1)2n22(m1)2n2， 化简得(m)n53224165，所以点A在以,0为圆心，为半径的圆上运动， 9331442，所以B正确； 233对于C，由A=2C，可得B3C，由sinB2sinC得b2c，

所以ABC面积的最大值为由正弦定理得，

2ccbc，即，

sin(3C)sinCsinBsinC所以sin3C2sinC，化简得sinCcos2C2cos2CsinC2sinC， 因为sinC0，所以化简得cosC23， 413，则sinC，

22因为b2c，所以BC，所以cosC所以sinB2sinC1，所以B因为a2，所以c2，C6，A3，

2343， ,b33所以ABC的周长为223，所以C正确； 对于D，由C可知，ABC为直角三角形，且B2，C6，A3，

c2343， ,b33所以ABC的内切圆半径为r12343321， 23331123331cr1所以AOB的面积为 22333所以D正确， 故选：BCD 【点睛】

此题考查三角形的正弦定理和面积公式的运用，考查三角函数的恒等变换，考查转化能力和计算能力，属于难题.

2．在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，下列命题正确的是（ ） A．若a:b:c4:5:6，ABC的最大内角是最小内角的2倍 B．若acosBbcosAc，则ABC一定为直角三角形 C．若a4,b5,c6，则ABC外接圆半径为

167 7D．若cosABcosBCcosCA1，则ABC一定是等边三角形 【答案】ABD 【分析】

对于A选项，求得2AC，由此确定选项正确.对于B选项，求得A2，由此确定选项

正确.对于C选项，利用正弦定理求得ABC外接圆半径，由此确定选项错误.对于D选项，证得cosABcosBCcosCA1，得到ABC，确定选项正确. 【详解】

对于A选项，A角最小，C角最大.由余弦定理得cosA2536164530，

25660421625365131cosC0，cos2A2cos2A12，124540884cos2AcosC.0A2,0C2，则02A，所以2AC，所以A选项正确.

对于B选项，acosBbcosAc，由正弦定理得sinAcosBsinBcosAsinC，

sinAcosBcosAsinBsinABsinAcosBcosAsinB，cosAsinB0，由

于0A,0B，所以A2，故B选项正确.

216253651137，0C，sinC1对于C选项，cosC， 24540888设三角形ABC外接圆半径为R，则选项错误.

2RccRsinC2sinC6877，故C3728对于D选项，0A,B0,AB，故1cosAB1，同理可得1cosBC1,1cosCA1， 要使cosABcosBCcosCA1， 则需cosABcosBCcosCA1，

所以AB0,BC0,CA0，所以ABC，所以D选项正确. 故选：ABD 【点睛】

利用正弦定理可求得三角形外接圆的半径R，要注意公式是

a2R，而不是sinAaR. sinA

3．已知函数fxAsinxA0,0,法正确的是（ ）

的部分图象如图所示，下列说2

A．函数yfx的周期为 B．函数yfx在2,单调递减 36C．函数yfx的图象关于直线xD．该图象向右平移【答案】ACD 【分析】

5对称 12个单位可得y2sin2x的图象 6先根据图像求出yfx的解析式，再分别验证A、B、C、D是否正确. 对于A：利用周期公式求周期；

对于B：利用复合函数“同增异减”求单调区间； 对于C：计算f55x，看是否经过顶点； 1212对于D：利用“左加右减”判断. 【详解】

由图像可知：A=2，周期T42,2；

T312f=2sin221212由解得：

32故函数fx2sin2x对于A：T4对于B：当故B错误； 对于C：当x 3，故A正确； 31222,上不单调.x 时2x0，所以yfx在363365 时12555f2sin22x，即直线是1212312yfx的一条对称轴.故C正确；

对于D：yfx向右平移确. 故选：ACD 【点睛】

个单位得到y2sin2x22sin2x，故D正663求三角函数解析式的方法： (1)求A通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；

()求φ通常利用函数上的点带入即可求解.

f(x)2sin2x4．已知函数，则（ ）

6A．函数f(x)的最小正周期为 C．f(x)的图象关于点【答案】ABD 【分析】

B．f(x)的图像关于直线x

6

对称

,0对称 3D．f(x)在区间(0,)上有两个零点

f(x)2sin2x借助于的图像及y=sinx的性质，对ABCD四个选项一一验证：

6对于A：利用T2求周期；

对于B：利用图像观察，也可以根据f()2判断；

6对于C：利用图像观察，也可以根据f()1否定结论；

3对于D：利用图像观察，可以得到f(x)在区间(0,)上有两个零点. 【详解】

对于A：函数yfx的周期T22故A正确； 2对于B：∵ f()2sin2662，∴f(x)的图像关于直线x对称，故B正66

1，故f(x)的图像不经过点确；

对于C：∵ f()2sin23352sin66,0，,0也不是其对称中心，故C错误； 33对于C：由图像显然可以观察出，f(x)在区间(0,)上有两个零点.也可以令

511fx00x，即2sin2x0，解得：x或，故f(x)在区间

61212(0,)上有两个零点，故D正确.

故选：ABD 【点睛】

三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，即yAsinxB的结构：

（1）画出图像，利用图像分析性质；

（2）用tx借助于ysinx或ycosx的性质解题.

5．将函数ycos2x的图象上所有点向左平移得到函数yfx的图象，则（ ） A．fx的图象的对称轴方程为xB．fx的图象的对称中心坐标为C．fx的单调递增区间为D．fx的单调递减区间为【答案】AC 【分析】

首先根据图象平移求函数yfx的解析式，再根据整体代入的方法判断函数的对称性和单调区间. 【详解】

个单位长度，再向下平移1个单位长度，66kkZ 2k,0kZ 2122k,kkZ

632k,kkZ

36ycos2x的图象上所有点向左平移

π个单位长度，得到ycos2x，再向下平移

661个单位长度后得到yfxcos2x对于A，令2x1， 33k，解得x6k,kZ，函数的对称轴是2x6k,kZ，故A正确； 2对于B，令2x32k，解得：x12k,kZ，所以函数的对称中心2k,1,kZ，故B不正确； 122对于C，令2k2x调递增区间是递增区间为32k，解得：2kxk，所以函数的单362k,k,kZ，由于单点不具有单调性，所以fx的单调

632k,kkZ也正确，故C正确；

63对于D，令2k2x区间是32k，解得：6kx3k，所以函数单调递减

k,k，kZ，故D不正确.

36故选：AC 【点睛】

方法点睛：本题考查函数的图象变换，以及yAsinωxφ的性质，属于中档题型，

yAsinx的横坐标伸长（或缩短）到原来的

1倍，得到函数的解析式是

yAsinωxφ，若yAsinx向右（或左）平移（0）个单位，得到函数的解

析式是yAsinx或yAsinx.

6．在ABC中，下列说法正确的是（ ） A．若AB，则sinAsinB B．存在ABC满足cosAcosB0 C．若sinAcosB，则ABC为钝角三角形 D．若C2，则sinCsin2Asin2B

【答案】ACD 【分析】

A项，根据大角对大边定理和正弦定理可判断；

B项，由AB和余弦函数在0,递减可判断； C项，显然A断；

D项，根据AB由放缩法可判断. 【详解】

解：对于A选项，若AB，则ab，则2RsinA2RsinB，即sinAsinB，故A选项正确；

对于B选项，由AB，则AB，且A,B0,，ycosx在0,上递减，于是cosAcosB，即cosAcosB0，故B选项错误﹔ 对于C选项，由sinAcosB，得cos此时：若0A若A2，分0A2和A2两种情况讨论，结合余弦函数的单调性可判

和正弦函数的单调性得出0sinAcosB和0sinBcosA，再2AcosB，ycosx在0,上递减， 22，则

AB，则AB，于是C； 222cosA，则cosB，则AB，

222于是A2B，故C选项正确；

对于D选项，由C2，则AB，则0AB，ysinx在0,递2222增，于是sinAsin此时，

B， 即0sinAcosB，同理0sinBcosA， 2sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinBsinAsinAsinBsinBsin2Asin2B

所以D选项正确. 故选：ACD 【点睛】

关键点点睛：正余弦函数的单调性，正弦定理的边角互化，大边对大角定理以及大角对大边定理，不等式的放缩等等，综合使用以上知识点是解决此类题的关键.

7．已知函数f(x)2sinxA．函数f(x)的初相为(0)，则下列结论正确的是（ ） 6 6B．若函数f(x)在,上单调递增，则(0,2] 63C．若函数f(x)关于点1,0对称，则可以为

22D．将函数f(x)的图象向左平移一个单位得到的新函数是偶函数，则可以为2023 【答案】AB 【分析】

根据选项条件一一判断即可得结果. 【详解】

A选项：函数f(x)2sinxB选项：若函数f(x)在(0)的初相为，正确； 66,上单调递增，则2k，

266633622k，kZ，所以212k26k，kZ，又因为0，则

02，正确；

C选项：若函数f(x)关于点,0对称，则k,kZ，所以

2622k,kZ

故不可以为

131，错误； 2D选项：将函数f(x)的图象向左平移一个单位得到fx12sinx数，则是偶函662k,kZ，所以2k,kZ故不是整数，则不可以为32023，错误； 故选：AB 【点睛】

掌握三角函数图象与性质是解题的关键.

8．已知函数f(x)tanx(0)，则下列说法正确的是（ ） 6A．若f(x)的最小正周期是2π，则1 20(kZ)B．当1时，f(x)的对称中心的坐标为kπ， 6π2πC．当2时，f()f() 1252π0D．若f(x)在区间，上单调递增，则 33【答案】AD 【分析】

根据正切函数的性质，采用整体换元法依次讨论各选项即可得答案. 【详解】

解:对于A选项，当f(x)的最小正周期是2π，即：T确；

对于B选项，当1时，f(x)tanx6，所以令x12，则，故A选项正26k,kZ，解得：2x6kk，0(kZ)，故B选项错误； ,kZ，所以函数的对称中心的坐标为622对于C选项，当2时，f(x)tan2x6，

fπtan2πtantan10，

12126330f2πtan22πtan19tan11，由于ytanx在,0单调递增，故55630302fπf2π，故C选项错误； 1252kx对于D选项，令62k,kZ，解得：k2kx 33所以函数的单调递增区间为：k2kπ,上,kZ，因为f(x)在区间3，33k323,kZ，解得：13kk,kZ，另一方单调递增，所以32k323235，，所以k，即k，又因为0，所以3323262k0，故0，故D选项正确.

3故选：AD 【点睛】

面，T本题考查正切函数的性质，解题的关键在于整体换元法的灵活应用，考查运算求解能力，是中档题.其中D选项的解决先需根据正切函数单调性得13k合T2k,kZ，再结32和0得k0，进而得答案. 33

二、数列多选题

9．已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,……，其中第一项是20，接下来的两项是

20,21,再接下来的三项是20,21,22,依次类推…，第n项记为an，数列an的前n项和为

Sn，则（ ）

A．a6016 【答案】AC 【分析】

对于AC两项，可将数列进行分组，计算出前k组一共有即2k1，可得到选项C

由C得到a552，a60则为第11组第5个数，可得a60 对于BD项，可先算得

9B．S18128

k1a22kkC．

2kS2k1 2kkD．

2k1k个数，第k组第k个数2Sk2k2，即前k组数之和

k1S2k2结论计算即可. 2S18即为前5组数之和加上第6组前3个数，由kk2【详解】

A.由题可将数列分组

第一组：20 第二组：2,2, 第三组：2,2,2, 则前k组一共有12…k第k组第k个数即2又

k101012k1k个数 22k1a22，故kk，C对

10101955，故a552 21111166， 2012345678910又

a60则为第11组第5个数

第11组有数：2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2 故a60216，A对

对于D. 每一组的和为22…201k142k12k1 21故前k组之和为2122…2kk22k121k2k12k

Sk2k2k1k2

2故D错. 对于B.

由D可知，S15252

655166115，21

22S18S152021222652764

故B错 故选：AC 【点睛】

数列求和的方法技巧

(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．

10．已知等差数列{an}中，a5a9，公差d0，则使得前n项和Sn取得最小值的正整数n的值是（ ） A．5 【答案】BC 【分析】

分析出数列an为单调递增数列，且a70，由此可得出结论. 【详解】

在等差数列{an}中，a5a9，公差d0，则数列an为递增数列，可得a5a9，

B．6

C．7

D．8

a5a9，可得a5a92a702a5，a50a7，

所以，数列{an}的前6项均为负数，且a70， 因此，当n6或7时，Sn最小. 故选：BC. 【点睛】

方法点睛：本题考查等差数列前n项和最大值的方法如下：

（1）利用Sn是关于n的二次函数，利用二次函数的基本性质可求得结果； （2）解不等式an0，解出满足此不等式的最大的n即可找到使得Sn最小.