荣县二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

荣县二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 下列命题的说法错误的是（ ）

A．若复合命题p∧q为假命题，则p，q都是假命题 B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件

C．对于命题p：∀x∈R，x2+x+1＞0 则￢p：∃x∈R，x2+x+1≤0

D．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0” 2． “x2﹣4x＜0”的一个充分不必要条件为（ ） A．0＜x＜4 B．0＜x＜2 C．x＞0 D．x＜4 3． 直线在平面外是指（ ） A．直线与平面没有公共点 B．直线与平面相交 C．直线与平面平行

D．直线与平面最多只有一个公共点

4． 若函数f（x）=﹣2x3+ax2+1存在唯一的零点，则实数a的取值范围为（ ） A．[0，+∞） B．[0，3]

C．（﹣3，0]

D．（﹣3，+∞）

1x2,x1,315． 若函数f(x)则函数yf(x)x的零点个数为（ ）

32lnx,x1,A．1 B．2 C．3 D．4 6． 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是 A、2865 B、3065

C、56125 D、 60125

7． 若函数f（x）=ax2+bx+1是定义在[﹣1﹣a，2a]上的偶函数，则该函数的最大值为（ ） A．5 B．4 C．3 D．2

8． 与﹣463°终边相同的角可以表示为（k∈Z）（ ） A．k360°+463° 可以为（ ）

B．k360°+103°

C．k360°+257°

D．k360°﹣257°

29． 设曲线f(x)x1在点(x,f(x))处的切线的斜率为g(x)，则函数yg(x)cosx的部分图象

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A． B． C. D．

10．已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x4)f(x),且在区间[0,2]上是增函数，则 A、f(25)f(11)f(80) B、f(80)f(11)f(25) C、f(11)f(80)f(25) D、f(25)f(80)f(11)

ABC上的射影为BC的中点， 11．已知三棱柱ABCA1B1C1 的侧棱与底面边长都相等，A1在底面

则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（ ）

A．3357 B． C. D．

444412．已知圆C：x2+y2=4，若点P（x0，y0）在圆C外，则直线l：x0x+y0y=4与圆C的位置关系为（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定

二、填空题

13．在（1+x）（x2+）6的展开式中，x3的系数是 ．

14．若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于 ．

15．设函数f（x）=

16．已知函数f(x)asinxcosxsinx___________．

【命题意图】本题考查三角变换、三角函数的对称性与最值，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、转化思想与方程思想．

2若f[f（a）]，则a的取值范围是 ．

1的一条对称轴方程为x，则函数f(x)的最大值为26第 2 页，共 16 页

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17．某种产品的加工需要 A，B，C，D，E五道工艺，其中 A必须在D的前面完成（不一定相邻），其它工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间，B 与C 必须相邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有 种．（用数字作答）

218．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)x2x,则yf(x)在R上的解析式为

三、解答题

19．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 选修41：几何证明选讲 如图，A,B,C为

上的三个点，AD是BAC的平分线，交于

点D，过B作的切线交AD的延长线于点E． （Ⅰ）证明：BD平分EBC； （Ⅱ）证明：AEDCABBE．

20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥PA，BC=2AB=2AD=4BE，平面PAB⊥平面ABCD，

（Ⅰ）求证：平面PED⊥平面PAC；

（Ⅱ）若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为

，求二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．

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21．（本小题满分12分）

112xyx2y222设椭圆C:221(ab0)的离心率e，圆xy与直线1相切，O为坐标原

27abab点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点Q(4,0)任作一直线交椭圆C于M,N两点，记MQQN，若在线段MN上取一点R,使 得MRRN，试判断当直线运动时，点R是否在某一定直一上运动？若是，请求出该定直线的方 程；若不是，请说明理由.

22．在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2+y2=4，A（PA为直径的圆与圆C相切．

（Ⅰ）求证：|PA1|+|PA|为定值，并求出点P的轨迹方程C1；

（Ⅱ）若直线PA与曲线C1的另一交点为Q，求△POQ面积的最大值．

23．为配合国庆黄金周，促进旅游经济的发展，某火车站在调查中发现：开始售票前，已有a人在排队等候购票．开始售票后，排队的人数平均每分钟增加b人．假设每个窗口的售票速度为c人/min，且当开放2个窗口时，25min后恰好不会出现排队现象（即排队的人刚好购完）；若同时开放3个窗口，则15min后恰好不会出现排队现象．若要求售票10min后不会出现排队现象，则至少需要同时开几个窗口？

，0），A1（﹣

，0），点P为平面内一动点，以

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24．已知f（x）=log3（1+x）﹣log3（1﹣x）． （1）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明； （2）已知函数g（x）=log

，当x∈[，

]时，不等式 f（x）≥g（x）有解，求k的取值范围．

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荣县二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】A

【解析】解：A．复合命题p∧q为假命题，则p，q至少有一个命题为假命题，因此不正确； B．由x2﹣3x+2=0，解得x=1，2，因此“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件，正确； C．对于命题p：∀x∈R，x2+x+1＞0 则￢p：∃x∈R，x2+x+1≤0，正确；

D．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，正确． 故选：A．

2． 【答案】B

2

【解析】解：不等式x﹣4x＜0整理，得x（x﹣4）＜0 ∴不等式的解集为A={x|0＜x＜4}，

因此，不等式x﹣4x＜0成立的一个充分不必要条件，

2

对应的x范围应该是集合A的真子集．

写出一个使不等式x﹣4x＜0成立的充分不必要条件可以是：0＜x＜2，

2

故选：B．

3． 【答案】D

【解析】解：根据直线在平面外是指：直线平行于平面或直线与平面相交， ∴直线在平面外，则直线与平面最多只有一个公共点． 故选D．

4． 【答案】 D

32

【解析】解：令f（x）=﹣2x+ax+1=0，

易知当x=0时上式不成立； 故a=

=2x﹣

，

=2

，

令g（x）=2x﹣，则g′（x）=2+

故g（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数，

在（﹣1，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数； 故作g（x）=2x﹣

的图象如下，

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，

g（﹣1）=﹣2﹣1=﹣3， 故结合图象可知，a＞﹣3时， 方程a=2x﹣

有且只有一个解，

32

即函数f（x）=﹣2x+ax+1存在唯一的零点，

故选：D．

5． 【答案】D 【

解

析

】

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考点：函数的零点．

【易错点睛】函数零点个数的判断方法：（1）直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理法：要求函数在[a,b]上是连续的曲线，且f(a)f(b)0.还必须结合函数的图象和性质（如单调性）才能确定函数有多少个零点．（3）图象法：先把所求函数分解为两个简单函数，再画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.

6． 【答案】B

【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥， 所求表面积为三棱锥四个面的面积之和。 利用垂直关系和三角形面积公式，可得：

S底10,S后10,S右10,S左65，

因此该几何体表面积S3065，故选B． 7． 【答案】A

2

【解析】解：函数f（x）=ax+bx+1是定义在[﹣1﹣a，2a]上的偶函数，

可得b=0，并且1+a=2a，解得a=1，

2

所以函数为：f（x）=x+1，x∈[﹣2，2]，

函数的最大值为：5． 故选：A．

【点评】本题考查函数的最大值的求法，二次函数的性质，考查计算能力．

8． 【答案】C

【解析】解：与﹣463°终边相同的角可以表示为：k360°﹣463°，（k∈Z） 即：k360°+257°，（k∈Z） 故选C

【点评】本题考查终边相同的角，是基础题．

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9． 【答案】A 【解析】

试题分析：gx2x,gxcosx2xcosx,gxgx,cosxcosx，ygxcosx为奇函数，排除B，D，令x0.1时y0，故选A. 1 考点：1、函数的图象及性质；2、选择题“特殊值”法.

10．【答案】D

【解析】∵f(x4)f(x)，∴f(x8)f(x4)，∴f(x8)f(x)， ∴f(x)的周期为8，∴f(25)f(1)，f(80)f(0)，

f(11)f(3)f(14)f(1)f(1)，

又∵奇函数f(x)在区间[0,2]上是增函数，∴f(x)在区间[2,2]上是增函数， ∴f(25)f(80)f(11)，故选D. 11．【答案】D 【解析】

考

点：异面直线所成的角. 12．【答案】C

2222

【解析】解：由点P（x0，y0）在圆C：x+y=4外，可得x0+y0＞4，

求得圆心C（0，0）到直线l：x0x+y0y=4的距离d=故直线和圆C相交， 故选：C．

＜=2，

【点评】本题主要考查点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．

二、填空题

13．【答案】 20 ．

26

【解析】解：（1+x）（x+）的展开式中，

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x3的系数是由（x2+）6的展开式中x3与1的积加上x2与x的积组成；

26

又（x+）的展开式中，

通项公式为 Tr+1=•x12﹣3r，

令12﹣3r=3，解得r=3，满足题意； 令12﹣3r=2，解得r=

3

，不合题意，舍去；

=20．

所以展开式中x的系数是

故答案为：20．

14．【答案】 9 ．

【解析】解：由题意可得：a+b=p，ab=q， ∵p＞0，q＞0， 可得a＞0，b＞0，

又a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列， 可得解①得：

①或；解②得：

②． ．

∴p=a+b=5，q=1×4=4， 则p+q=9． 故答案为：9．

15．【答案】

【解析】解：当∵当

，由

，f（a）=2（1﹣a），

，则

，

时，

． ，解得：

，所以

；

或a=1 ．

∵0≤2（1﹣a）≤1，若分析可得a=1． 若

，即

，因为2[1﹣2（1﹣a）]=4a﹣2，

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由综上得：故答案为：中档题．

16．【答案】1 【

，得：或a=1． 或a=1．

．

【点评】本题考查了函数的值域，考查了分类讨论的数学思想，此题涉及二次讨论，解答时容易出错，此题为

解析】

17．【答案】 24

【解析】解：由题意，B与C必须相邻，利用捆绑法，可得故答案为：24．

【点评】本题考查计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础．

2x2x,x018．【答案】y2

x2x,x0=48种方法，

因为A必须在D的前面完成，所以完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有48÷2=24种，

【解析】

2试题分析：令x0，则x0，所以fxx2xx2x，又因为奇函数满足

22x2x,x0。 fxfx，所以fxx2xx0，所以yfx在R上的解析式为y2x2x,x02考点：函数的奇偶性。

三、解答题

19．【答案】

【解析】【解析】（Ⅰ）因为BE是⊙O的切线，所以EBDBAD…………2分 又因为CBDCAD,BADCAD………………4分

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所以EBDCBD,即BD平分EBC．………………5分 （Ⅱ）由⑴可知EBDBAD，且BEDBED，

BDE∽ABE,所以

BEBDBCDBAEAEDBEAB,……………………7分 又因为DBC,

所以BCDDBC，BDCD．……………………8分

所以

BEBDCDAEAEDCAB，……………………9分 ABAB所以BE．……………………10分

20．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，AB⊥PA ∴PA⊥平面ABCD 结合AB⊥AD，可得

分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系o﹣xyz，如图所示… 可得A（0，0，0）D（0，2，0），E（2，1，0），C（2，4，0）， P（0，0，λ） （λ＞0） ∴，，

得

，

，

∴DE⊥AC且DE⊥AP，

∵AC、AP是平面PAC内的相交直线，∴ED⊥平面PAC． ∵ED⊂平面PED∴平面PED⊥平面PAC （Ⅱ）由（Ⅰ）得平面PAC的一个法向量是

，

设直线PE与平面PAC所成的角为θ， 则得λ=±2

∵λ＞0，∴λ=2，可得P的坐标为（0，0，2） 设平面PCD的一个法向量为

=（x0，y0，z0），

，

由

，

，得到，

令x0=1，可得y0=z0=﹣1，得

=（1，﹣1，﹣1）

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解之

，

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∴cos＜，

由图形可得二面角A﹣PC﹣D的平面角是锐角， ∴二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值为

．

【点评】本题在四棱锥中证明面面垂直，并且在线面所成角的正弦情况下求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．着重考查了线面垂直、面面垂直的判定定理和利用空间向量研究直线与平面所成角和二面角大小的方法，属于中档题．

x2y21；（2）点R在定直线x1上. 21．【答案】（1）43【解析】

试

题解析：

ab1e2122122（1）由e，∴2，∴3a4b，又， 222a47abx2y21. 解得a2,b3，所以椭圆C的方程为43第 13 页，共 16 页

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设点R的坐标为(x0,y0)，则由MRRN，得x0x1(x2x0)， 解得x0

x1x21x1x14x2x242xx4(x1x2)12

x14(x1x2)81x2464k21232k2244又2x1x24(x1x2)2，

34k234k234k232k2242x1x24(x1x2)(x1x2)88，从而x1， 034k234k2(x1x2)8故点R在定直线x1上.

考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系. 22．【答案】

【解析】（Ⅰ）证明：设点P（x，y），记线段PA的中点为M，则 两圆的圆心距d=|OM|=|PA1|=R﹣|PA|， 所以，|PA1|+|PA|=4＞2

，

故点P的轨迹是以A，A1为焦点，以4为长轴的椭圆，

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所以，点P的轨迹方程C1为：

=1． …

，…

（Ⅱ）解：设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线PQ的方程为：x=my+代入则y1+y2=﹣

=1消去x，整理得：（m2+4）y2+2

，y1y2=﹣

，…

…

my﹣1=0，

△POQ面积S=|OA||y1﹣y2|=2令t=

（0

，则S=2

≤1（当且仅当t=时取等号）

所以，△POQ面积的最大值1． …

23．【答案】

【解析】解：设至少需要同时开x个窗口，则根据题意有，由①②得，c=2b，a=75b，代入③得，75b+10b≤20bx， ∴x≥

，

．

即至少同时开5个窗口才能满足要求．

24．【答案】

【解析】解：（1）f（x）=log3（1+x）﹣log3（1﹣x）为奇函数． 理由：1+x＞0且1﹣x＞0，得定义域为（﹣1，1），（2分） 又f（﹣x）=log3（1﹣x）﹣log3（1+x）=﹣f（x）， 则f（x）是奇函数. （2）g（x）=log

=2log3

，（5分）

又﹣1＜x＜1，k＞0，（6分） 由f（x）≥g（x）得log3即

≥

≥log3

，

，（8分）

即k2≥1﹣x2，（9分）

x∈[，]时，1﹣x2最小值为，（10分）

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2

则k≥，（11分）

又k＞0，则k≥，

].

即k的取值范围是（﹣∞，

【点评】本题考查函数的奇偶性的判断和证明，考查不等式有解的条件，注意运用对数函数的单调性，考查运算化简能力，属于中档题．

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